Até agora temos focado toda a nossa atenção em u = 0. Porém a seguinte pergunta a responder é qual seria o valor máximo de u que ainda manteria as mesmas características de u = 0? Ou seja, qual é o valor máximo de u com z = 0, possuindo uma dinâmica transiente com um tempo máximo tc, tamanhos de aglomerados na primeira camada finitos
independentes de L e tempos de criação e destruição de novos aglomerados finitos? Sempre que isto aconteça para valores de (u, p) próximos à (u, p) ' (0, 1), podemos imaginar que existe uma transformação de renormalização (transformação de dizimação) que torna o tamanho típico de aglomerados no tamanho de um tijolo, mapeando assim o tempo de vida de criação e destruição dos aglomerados no tempo típico em que um tijolo é criado e destruído para valores de u ' 0. Portanto estaremos falando de uma fase suave e massiva.
Embora nesta tese não propomos nenhuma transformação de renormalização, nesta seção mostraremos resultados que são coerentes com uma transformação que mapeia substratos em substratos e pirâmides em pirâmides∗, indicando que a fase massiva se mantém sempre que u < 1.
O primeiro resultado consistiu na medida do expoente z1 (ver Eq.3.11) como função
de u. Para isto utilizamos diferentes tamanhos de rede 1024 ≤ L ≤ 122000 e monitoramos a dinâmica da altura média partindo da pirâmide que ocupa toda a rede. Como observamos da figura 22, este expoente dinâmico fictício se mantém constante z1 ' 1 para valores de
u . 1, sugerindo assim que para todos estes valores z = 0, pois poderíamos imaginar que
existe uma transformação de renormalização que mapeia uma pirâmide de tamanho L em outra pirâmide de menor tamanho e com u ' 0, portanto observaríamos z1 = 1. Como
acontece em u = 0 a fase seria então massiva.
O segundo resultado consistiu em monitorar o tempo necessário para se atingir o estado estacionário ao iniciar-se desde o estado substrato. A idéia por trás desta medida é que o estado estacionário está constituído por aglomerados de tijolos que podem ser criados espontaneamente. Estes aglomerados podem crescer até um tamanho máximo finito independente de L, e posteriormente podem ser evaporados. Portanto, partindo do estado substrato que não tem nenhuma correlação espacial ξr (não existem aglomerados) o estado
3.5 Região massiva com u 6= 0 71 10-3 10-2 10-1 100 101 102 U 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 z 1
Figura 22 – Valor do aparente expoente dinâmico z1 como função de u. O valor de z1 foi determinado
utilizando-se a relação 3.11 com a pirâmide que ocupa toda a rede como condição inicial. Como se observa para u. 1 e p = 0 o valor de z1 permanece constante, indicando que em
toda esta região de parâmetros o modelo é massivo (z = 0). Fonte: Elaborada pelo autor.
estacionário só será atingido quando pela primeira vez o aglomerado de maior tamanho seja criado. Deste modo, sempre que nos encontremos na fase massiva observaremos que acima de certo valor de L este tempo será finito e só dependerá dos parâmetros do modelo (u, p). Porém ao variar u, conforme nos aproximamos a uma transição continua, observaremos que o tamanho do maior aglomerado começará a aumentar e consequentemente também aumentará o tempo para atingir-se o estado estacionário. O comportamento deste tempo assintótico tassin é ilustrado na figura 23 para um tamanho de rede L = 214. Este tempo
foi medido monitorando-se a evolução da rugosidade ao quadrado w2 (ver Eq.1.5), e
procurando o maior tempo tassin (número inteiro) menor do que 0.99 ·
hw2i ∞− 3σhw2i ∞ , sendo hw2i
∞ a média da propriedade sobre todas as amostras de Monte Carlo no limite
t → ∞, e σhw2i
∞ a largura da distribuição correspondente. Como se observa da figura 23
este tempo aumenta com u até atingir um máximo em u ' 0.96. Contudo ao utilizar-se tamanhos de rede de até L = 219 se observa que a posição do máximo se movimenta em
direção à u ' 1. Este fato é uma forte indicação que o modelo é massivo para u > 1. O terceiro resultado que indicaria que a região com u < 1 é massiva utiliza uma medida do tamanho horizontal de um aglomerado acima do substrato. Aqui o tamanho médio dos clusters CS foi definido de uma maneira sutil como
CS = Nclu X k=1 sk· s k Nocc , (3.12)
sendo sk o número de tijolos na primeira camada (hi ≤ 2) do k-ésimo aglomerado, Nclu
é o número de clusters em toda a rede e Nocc =PNk=1clusk é o número de sítios ocupados
na primeira camada. Esta definição nos daria a informação de quão grande é o cluster ao qual pertenceria um sítio escolhido aleatoriamente, caso a escolha fosse feita sobre os sítios
72 Capítulo 3 Região massiva (U<1) Te m po A ss in tó ti co (tas si n ) 100 101 102 103 104 u 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 Simulação
Figura 23 – O tempo característico necessário para atingir-se o estado estacionário partindo-se partir da condição substrato como função de u.( )Valor encontrado para o tempo assintótico para um tamanho de rede L = 214. A curva vermelha é um ajuste com uma função do tipo tassin ∼ (uc− u)
−νt, obtendo-se u
c' 0.9626 e νt' 2.4266. Ao utilizar-se tamanhos de rede
maiores L ≤ 219 se observa que o lugar do máximo é deslocado para u ' 1.
Fonte: Elaborada pelo autor.
da primeira camada que estivessem ocupados (Ver (12, Eq. 1.7)). Como já mencionamos, esperamos que o tamanho típico dos aglomerados permaneça finito enquanto a fase seja massiva. Este comportamento é observado na figura 24 onde o tamanho dos clusters
CS, como função de L, satura em 2.045 ao utilizarmos (u, p) = (0.3, 1). Ao repetir este
procedimento para 0.1 ≤ u ≤ 0.75 e 26 ≤ L ≤ 214observamos que o valor de saturação CS ∞
incrementa com u como CS∞ ∼ (uc− u)
−νr
com uc= 0.955 (5), tal como se evidencia na
figura25. Assim esperaríamos um tamanho infinito para o maior cluster sempre que u ≥ uc.
Para verificar isto realizamos simulações de Monte Carlo para u ∈ {0.955, 0.96, 0.98, 1} e tamanhos maiores de rede (26 ≤ L ≤ 219), esperando um comportamento de lei de potência
CS ∼ LD como consequência da perda de escala. Porém, como se observa na figura26 este comportamento só acontece para u = 1, observando um desvio de uma lei de potência para
u < 1. Isto indicaria um valor finito de saturação CS∞. Deste modo uc' 1, e o modelo
seria massivo para valores de u < 1. Utilizando uc = 1 para ajustar CS∞ se encontra
que CS∞= (uc− u)
−νr
com νr = 2.086 (3). Embora para os parâmetros L e u utilizados
nas figuras23 e 25numericamente νr 6= νt, esperamos que para L → ∞ e u → 1− obter νr = νt pois z = νt/νr.
O último resultado apresentado nesta seção que indicaria que a região com u < 1 é massiva faz uso da equação3.9 obtida analiticamente para a evolução da altura média quando u = 0. Para u = 0 o estado estacionário será o substrato e sempre poderemos
3.5 Região massiva com u 6= 0 73
Figura 24 – Tamanho médio dos aglomerados (Equação 3.12) obtidos no estado estacionário como função do tamanho do sistema L. (#|) Valores obtidos por simulação de Monte Carlo com (u, p) = (0.3, 1) com 10048 amostras em condições livres de contorno. A curva em verde é um ajuste do tipo CS = a −Lbγ mostrando a saturação do tamanho médio dos aglomerados em 2.045.
Fonte: Elaborada pelo autor.
encontrar o autovalor de energia E1 com o seguinte procedimento:
a) Começar com qualquer condição inicial e evoluir o sistema até atingir o estado estacionário.
b) Uma vez no estado estacionário, perturbamos este estado preenchendo com tijolos todos os mínimos entre as posições i = 1 e i = (L − 1)
c) Reiniciamos o tempo (t = 0) e observamos a evolução da altura média, determi- nando tc como o corte entre a linha que ajusta a dinâmica transiente e o valor h (t → ∞).
d) Obter E1 como (L/2 − 1 − Nocc) /tc, sendo Nocc o número total de tijolos que
ocupam a primeira camada no estado estacionário∗.
Este procedimento pode ser utilizado para valores de u 6= 0 enquanto a fase seja massiva, pois esperamos que o tamanho médio dos clusters sature em um valor CS∞, independente
do valor de L, implicando um tempo finito para a criação de cada um destes clusters. Assim em princípio seria possível realizar uma transformação de renormalização (transformação de dizimação), com um fator de escala b = CS∞ que transformaria os parâmetros do
modelo para u ' 0. Claro está que neste grupo de renormalização u = 0 seria um ponto fixo trivial (ξr = 0 e ξt = 0). Com esta idéia, observamos que aplicações sucessivas da
transformação de renormalização no estado estacionário da fase massiva levariam ao estado substrato obtido em u = 0. Assim os passos descritos acima poderiam ser utilizados para obter-se o valor do gap ∆E∗ = E1∗− E0 = E1∗ que seria observado no ponto fixo u∗ = 0. ∗Com a definição dos pontos de contato dada por3.6 temos que (L/2 − N
74 Capítulo 3 Região massiva (U<1) CS∞ 0 5 10 15 20 u 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Simulação CS∞≈ucν/(uc-u)ν
ν = 1.892(1) uc = 0.955(5)
Figura 25 – ( ) Valor de saturação (L → ∞) do tamanho médio dos aglomerados (CS∞) obtidos no
estado estacionário. Este valor foi calculado utilizando-se simulações de Monte Carlo com 26 ≤ L ≤ 214 sítios. A curva vermelha é um ajuste do tipo CS
∞∼ (uc− u)−νr, indicando
uma transição em uc= 0.955 (5). Contudo simulações com redes maiores indicam que uc' 1.
Fonte: Elaborada pelo autor.
De fato este procedimento foi realizado para diferentes valores de u mantendo-se p = 1, observando-se a existência de um regime transiente linear para a altura média tal como é ilustrado na figura 27.a para u = 0.7. Porém nesta figura, ao invés de colocarmos um tijolo em cada mínimo entre i = 1 e i = (L − 1) preencheu-se com uma capa de tijolos as regiões da superfície compreendidas entre um mínimo e o seguinte máximo à direita∗. O motivo desta escolha foi a observação do regime linear transiente desde o início da simulação. Fora disto o resto da dinâmica observada para ambos tipos de pertubações foi a mesma. Ao repetir-se este procedimento para diferentes valores de u observou-se que
E1∗ = (L/2 − 1 − Nocc) /tc varia linearmente com u, aproximando-se a zero para u ' 1.
Isto pode ser observado na figura 27.b, onde foi utilizado um tamanho de rede L = 214 e
6400 amostras de Monte Carlo para o cálculo das médias da altura h (t) e e do número de ocupação Nocc. Este resultado indicaria que a fase u < 1 é massiva e que a fase obtida em u = 1 é não-trivial (ξr = ∞ e ξt= ∞).