Para valores de u → 0 o modelo raise and peel (RP M ) em seu estado estacionário, ou assintoticamente próximo, teria tijolos principalmente na primeira camada sobre o substrato (hi ≤ 2). Nestas condições as dessorções seriam locais. Veremos que neste limite
o RPM seria um modelo de crescimento com uma dinâmica assintótica onde o crescimento aconteceria aleatoriamente nos mínimos da superfície mas a evaporação aconteceria nas bordas dos clusters de tijolos contíguos nesta primeira camada. Por conseguinte no limite
u → 0 o RP M pode ser mapeado em um modelo de crescimento com evaporação nas
bordas, (23,64,65) tal como se ilustra na figura 14. Neste modelo a absorção acontece aleatoriamente em algum sítio da rede a uma taxa q e a dessorção acontece nas bordas dos planaltos a uma taxa (1 − q) /2, obtendo uma transição rugosa em qc ' 0.189 com
uma superfície em movimento para q > qc. (23) Na correspondência com o RPM teríamos
que uc = ua/ud = 2qc/ (1 − qc) ' 0.466 e portanto esperaríamos que para u < 0.466 a
superfície flutuante descrita pelo RPM seja suave e sem velocidade vertical. Para u > 0.466 só podemos dizer que começarão a aparecer dessorções não locais no RPM que suavizarão a superfície fazendo-se necessário incrementar o valor de uc acima de 0.466 para alcançar
a transição rugosa.
58 Capítulo 3 Região massiva (U<1)
Figura 14 – Equivalência entre o RPM para valores de u 1 e um modelo de crescimento com evaporação nas bordas dos planaltos (23,64,65).
Fonte: Adaptada de HINRICHSEN. (23)
Nesta região onde os aglomerados de tijolos contíguos desaparecem rapidamente, a superfície é suave e esperamos aglomerados de tamanho pequeno, independente de
L. Podemos dizer então que estamos em uma fase massiva. Portanto nesta região não-
crítica um escalonamento dinâmico, como o proposto pelas equações1.10 e1.12, não seria possível. No entanto, como se ilustra na figura15, a evolução temporal da altura média
0 5 000 10 000 15 000 20 000 0 100 20 40 60 80 (a) 0 5 000 10 000 15 000 20 000 0 100 20 40 60 80 (b)
Figura 15 – Simulações de Monte Carlo com 3200 amostras, utilizando a configuração pirâmide como condição inicial. À esquerda é mostrado, para diversos valores de L, o comportamento da altura média em função do tempo utilizando os parâmetros u = 0.16 e p = 0. À direita é apresentado o colapso das distintas curvas escalando-se o tempo pelo fator 1/Lz. A constante
Lref = 122000 foi utilizada por conveniência para poder comparar na mesma escala temporal
as duas figuras. Os valores z = 0.995 e χ = 0.481 foram utilizados para colapsar as diversas dinâmicas obtidas com condições livres de contorno.
Fonte: Elaborada pelo autor.
h (L, t) = 1
L
PL
i=1hi(t) tomando-se u = 0.16 e p = 0∗ para a condição inicial pirâmide†,
nos mostra uma aparente contradição ao lograr escalar as diferentes dinâmicas para os
∗Como será mostrado no capítulo5o efeito do parâmetro p é introduzir uma dilatação temporal
na dinâmica do RPM.
3.1 O problema 59
tamanhos de rede 8000 ≤ L ≤ 122000, nos dando um expoente dinâmico z ' 1. O mesmo comportamento é observado para valores de u menores até se atingir o valor u = 0.
Procurando entender este comportamento, aparentemente contraditório, determi- namos para condições livres de contorno os autovalores de energia para o caso especial
u = 0. Estes autovalores podem ser facilmente obtidos dos elementos diagonais do operador
Hamiltoniano. Isto se deve ao fato de neste caso especial, o operador Hamiltoniano (ver equação 2.13) ser uma matriz triangular. Para perceber isto basta ordenarmos o espaço de Hilbert de acordo com o número de tijolos acima do estado substrato. A matriz intensidade neste ordenamento é triangular pois com u = 0 a transição do estado |ji → |ii (i 6= j) é proibida se o número de tijolos da configuração |ii é maior ao da configuração |ji, implicando Hij = 0.
O elemento diagonal Hjj do modelo é dado por
(Ndecl· ud+ Nval· ua)jqj,
onde Ndecl representa o número de declives∗, Nval o número de vales† e ua(ud) a taxa
absorção (dessorção). No caso u = 0 teríamos
E (Npeak, p, L, ud) = max ( 0, ud(L − 2 · Npeak) L − 1 − Npeak· p L − 1 − Npeak !) ,
onde foi usada a equação (2.17) para condições livres e a relação Ndecl = L − 2 · Npeak
para uma dada configuração j de tamanho L. Esta expressão para os autovalores depende do número de picos Npeak, portanto, para p < p1 só os autovalores com Npeak = 1 e Npeak = L/2 são não degenerados. Para qualquer outro valor do Npeak a degenerescência
incrementa com L. Estes autovalores podem ser arranjados crescentemente mudando-se a variável Npeak = L2 − i, obtendo-se
Ei = max ( 0, 2i · ud " (2 − p) + 2 (p − 1) (2i − 1) L + 2 (i − 1) #) , (3.1)
onde i = 0, 1, · · · , L/2 − 1. Assim o primeiro autovalor não nulo, e portanto o gap de energia, estaria dado por
∆E = E1 = max ( 0, 2 · ud " (2 − p) +2 (p − 1) L #) , (3.2)
implicando claramente que para u = 0 e p < 2 o sistema será massivo. Portanto a evolução temporal do valor esperado de um observável X estaria dado por
hXi (t) =D0 Xe −Ht ψ (t = 0) E .
∗Os declives são pontos na rede que podem desencadear uma dessorção. †Os vales, ou mínimos, são pontos na rede onde pode acontecer uma absorção.
60 Capítulo 3 Região massiva (U<1) 0 5 000 10 000 15 000 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4
Figura 16 – Gráfico semilogarítmico da evolução da altura média calculada sobre 3200 amostras uti- lizando o método de simulação de Monte Carlo (curva preta). A simulação foi iniciada da configuração pirâmide com um tamanho de rede L = 122000 e com os parâmetros (ua, ud, p) = (0, 1, 0) . A curva vermelha é obtida pelo ajuste da função A (tc− t)γe−E
0t
nas proximidades do estado estacionário (h (t → ∞) = 0.5), encontrando (A, tc, γ, E0) =
1.4965 × 10−7, 15360, 2, 5.243 × 10−5. Como se observa tc' 6 × 104τ .
Fonte: Elaborada pelo autor.
Se a base de autovetores {φn} do operador H é completa, então a condição inicial poderá
ser expandida nesta base como
|ψ (t = 0)i =X n cn|φni , implicando que hXi (t) =X n cne−Enth0 |X| φni , (3.3)
onde h0| = (1, 1, 1, 1, · · · , 1), e claramente a dinâmica assintótica será governada pelo autovalor de energia com a menor parte real não nula. Em outras palavras o maior tempo de decaimento característico será dado por τ = Real (1/E1). Para o modelo estudado
nesta tese vemos que para u = 0 e p < 2 este tempo será τ = 1/ (2 · ud(2 − p)) no limite
termodinâmico L → ∞. Porém, como se observa na figura 16este tempo característico é superado por cinco ordens de magnitude ao medir-se a altura média de superfície partindo da configuração inicial pirâmide. Os resultados apresentados na figura 16foram obtidos tomando-se a média de 3200 amostras de uma simulação de Monte Carlo com um tamanho de rede L = 122000 e os parâmetros (ua, ud, p) = (0, 1, 0). Como se observa na escala
semilogarítmica a evolução assintótica da altura média não parece estar dominada por uma exponencial pura, aliás é possível ajustar-se a tal comportamento assintótico da altura média uma função do tipo A (tc− t)γe−E
0t
. Este ajuste foi adicionado na figura 16 com os valores tc = 15360, γ = 2 e E0 = 5.243 × 10−5. Destes valores o mais intrigante é o