Vamos resolver a segunda agora:
3 1 7
3 7 1
2 8 4
Assim, o nosso conjunto solução é formado por todos os números maiores que 1,5 e menores que 4. Como o problema pede apenas as soluções inteiras, devemos selecionar os números inteiros maiores que 1,5 e menores que 4.
1,0,1,2,3 São 5 elementos no conjunto solução.
Letra D
Função Quadrática e Inequação do 2º grau
A função quadrática também é chamada de função polinomial do 2º grau (muitos no cotidiano falam, erradamente, função do 2º grau).
Uma função é chamada de função quadrática quando for do tipo : definida por
² , 0
O coeficiente é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente é o coeficiente do primeiro grau e o coeficiente é o termo independente.
A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com definições formais sobre a parábola).
A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para baixo. Quem decide isso é o coeficiente dominante . Se 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Sabemos que para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o eixo , basta calcular o valor de 0 .
Como a função quadrática é regida pela lei ² :
f 0 a. 0² b. 0 c f 0 c
Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O termo independente nos informa a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo .
Nesta aula, aprendemos a resolver equações do segundo grau. Também aprendemos nesta aula que para descobrir onde o gráfico toca o eixo devemos resolver a
equação 0.
Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo devemos resolver a equação
0
² 0
√ 4
2 Vimos que há três casos a considerar:
0
Duas raízes reais e distintas
0
Duas raízes reais e iguais
0
Não há raízes reais
Δ > ⇔
Δ = ⇔
Δ < ⇔
Assim, a parábola pode cortar o eixo em dois pontos distintos, pode tangenciar (“encostar”) o eixo ou pode não tocar o eixo .
São 6 possibilidades.
Vértice da Parábola
O ponto V representado acima é chamado vértice da parábola. Quando 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo. Quando 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o vértice é um ponto de máximo. 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 V V
Como todo ponto, o vértice tem um par ordenado correspondente , . As coordenadas do vértice são dadas pelas fórmulas:
2
Δ 4
Quando 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor mínimo e a coordenada x é chamada de minimante.
Quando 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor máximo e a coordenada x é chamada de maximante.
Com essas informações, estamos prontos para construir gráficos de funções quadráticas. Em geral, vamos seguir os seguintes passos.
i) Desenhar o eixo .
ii) Calcular o valor do discriminante Δ e as raízes (se houver).
iii) De acordo com o valor de e Δ desenhar um esboço da parábola.
iv) Calcular as coordenadas do vértice.
2
Δ 4 v) Traçar o eixo .
vi) Determinar o intercepto da parábola com o eixo (lembre-se que este intercepto é dado pelo valor do termo independente).
Construa o gráfico da função real definida por 6 8 Resolução 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0
Temos que 1, 6 8.
Como 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Vamos calcular o valor do discriminante:
Δ 4 6 4 1 8 4
Como Δ 0, a parábola corta o eixo em dois pontos distintos. Vamos, então, calcular as raízes: √Δ 2 6 √4 2 1 6 2 2 2 4
Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto:
Vamos calcular as coordenadas do vértice:
2 6 2 1 3 Δ 4 4 4 1 1
Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte: somar as raízes e dividir por 2. Ou seja, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes. Como as raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por:
2 4 2 3 4 2 1 3 4 2
Lembrando agora que o coeficiente 8 é o intercepto do gráfico com o eixo .
68. (SERC/MS 2006/FGV) A ordenada do vértice da parábola 4 é: a) 4 b) 2 c) 0 d) 2 e) 4 Resolução
A ordenada do vértice da parábola é o .
Nesta parábola, temos que 4, 1 e 0.
O discriminante é igual a ∆ 4 4 4 · 1 · 0 16. Basta aplicar a fórmula:
Δ 4
16 4 · 1 4 Letra E
69. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o
lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é 8 1 3 4 2
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00 Resolução
Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática com 0.
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um ponto de mínimo.
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um ponto de máximo.
Se a < 0, a função quadrática admite o valor máximo
á
Δ
4 á
b 2
Neste caso o valor Δ é denominado valor máximo da função e o valor é denominado maximante.
Se a > 0, a função quadrática admite o valor mínimo
í
Δ
4 í
b 2
Neste caso o valor Δ é denominado valor mínimo da função e o valor é denominado minimante.
O ponto , Δ é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática.
Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis.
Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400. Assim, a resposta só pode ser a letra D.
Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico. O valor máximo da função é dado por
á
Δ 4 Lembrando que Δ 4 .
A função lucro é dada por L(x) = –x2 + 90x – 800.
Então Δ 4 90 4 · 1 · 800 4.900
Assim, o valor máximo (lucro máximo) é
á Δ 4 4.900 4 · 1 4.900 4 1.225 Letra D
Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo bastaríamos calcular xmáx.
á 2
90
2 · 1 45 Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x).
Observe outra coisa: o xmáx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As
raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o gráfico, vemos que a parábola toca o eixo x em
x = 10 e em x = 80. Assim,
á
10 80
2 45
E, sabendo o xmáx podemos calcular ymáx substituindo o x na função por 45.
– 90 – 800
45 – 45 90 · 45 – 800 1.225