Aula 3 – Matemática e Raciocínio Lógico – Senado Federal
Porcentagem ... 2 Exercícios Resolvidos – Porcentagem ... 6 Problemas do primeiro grau ... 24 Equação do 2º grau ... 43 Relações de Girard ... 53 Pares Ordenados ... 58 Plano Cartesiano ... 58 Funções ... 60 Domínio e Imagem ... 63 Reconhecimento gráfico de uma função ... 63 Imagem de um elemento ... 65 Zero de uma função ... 68 Função Afim e Inequação do 1º grau ... 69 Função Quadrática e Inequação do 2º grau ... 82 Metrologia: sistemas de numeração, sistemas de unidades e medidas... 98 Relação das questões comentadas ... 104 Gabaritos ... 123
Olá pessoal!
Vamos dar continuidade ao nosso curso de Matemática e Raciocínio Lógico para o Senado Federal. De acordo com a nossa programação:
Aula 3: Porcentagens. Equações e inequações de 1.° e de 2.° graus. Funções e gráficos.
A aula passada foi muito longa e acabei esquecendo de colocar a exposição teórica sobre metrologia (sistemas de numeração e medidas). Peço desculpas. Este material se encontra no final desta aula. Obrigado pelos alunos que me avisaram!
Porcentagem
As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões
centesimais, percentagem ou porcentagem.
Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento).
Ou seja,
100
%
Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para
obter a taxa unitária, basta dividir o numerador por 100.
75%
75
100
0,75
33%
33
100
0,33
100%
100
100
1
350%
350
100
3,5
1
Percentual de um valor
Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número x/100.
Exemplo: Calcular 30% de 500.
Resolução
30% 500
30
2
Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual
Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta
multiplicá-la por 100%.
Esse fato é matematicamente correto, pois 100%
1 e o número 1 é o
elemento neutro da multiplicação. Ou seja, multiplicar por 100% não altera o
resultado.
Exemplo: Transformar a fração 3/4 em taxa percentual.
Resolução
3
4
3
4
· 100%
300
4
%
75%
Exemplo: Transformar a fração 5/8 em taxa percentual.
Resolução
· % % , %
Exemplo: Transformar o número 0,352 em forma de taxa percentual.
Resolução
,
,
·
%
, %
Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a
vírgula duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais,
então deveremos adicionar zeros a direita.
3 Variação
Percentual
i) Imagine a seguinte situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve
presentear a sua esposa com uma bolsa. Vai ao Shopping Center e encontra a
bolsa dos sonhos da sua mulher por apenas R$ 200,00. Lástima! Esqueceu a
carteira em casa. Resolve então comprar a bolsa no final de semana. Quando
você retorna ao Shopping Center, encontra a mesma bolsa por
R$ 280,00. Obviamente o valor da bolsa aumentou em R$ 80,00.
ii) Imagine agora outra situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve
presentear a sua esposa com um anel de brilhantes. Vai à joalheria e encontra
o anel dos sonhos da sua mulher por “apenas” R$ 4.000,00. Lástima!
Esqueceu a carteira em casa. Resolve então comprar o anel no final de
semana. Quando você retorna à joalheria, encontra o mesmo anel por R$
Em valores absolutos, o aumento do valor da bolsa foi igual ao aumento do
valor do anel. Qual dos dois aumentos foi mais significativo em relação ao valor
inicial do objeto? Obviamente um aumento de R$ 80,00 em um produto que
custa R$ 200,00 é bem mais representativo do que um aumento de R$ 80,00
em um produto que custa R$ 4.000,00. Uma maneira de comparar esses
aumentos é a chamada variação percentual.
Definição
A razão entre o aumento e o preço inicial, expressa em forma de porcentagem,
é chamada variação percentual.
Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial
na data 0 e valor
final
em uma data futura . A variação percentual dessa grandeza entre
as datas consideradas é o número (expresso em porcentagem) dado por:
Voltemos aos nossos exemplos:
i)
200,00 e
280,00
Assim, a taxa percentual é:
280
200
200
80
200
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que
multiplicar a fração por 100%.
80
200
80
200
· 100%
40%
ii)
4.000,00 e
4.080,00
Assim, a taxa percentual é:
4.080
4.000
4.000
80
4.000
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que
multiplicar a fração por 100%.
80
4.000
80
4.000
· 100%
2%
Atenção!
Exemplo: João decidiu comprar uma calça no valor de R$ 160,00. O vendedor
informou que se o pagamento fosse feito à vista, então a calça seria vendida
por R$ 140,00. Qual a taxa percentual de desconto?
140
160
160
20
160
20
160
· 100%
12,5%
Portanto, o desconto foi de 12,5%.
4 Variações
percentuais
sucessivas
Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se você fosse
pagar essa mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém,
com o desconto concedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para
calcular o valor após o desconto, devemos multiplicar o valor original por
70%=70/100.
Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por
100% - p%.
Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por
100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar
100% + 20% = 120%.
Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu
um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a
mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual
a variação percentual acumulada?
Resolução
Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que
pagar os 100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento.
Pagará, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria,
após o aumento, vale:
140% $300,00
140
100
· 300
420
.
A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não
pagará o valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto.
O cliente pagará 100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a
mercadoria, após o desconto, vale:
75% $ 420,00
75
100
· 420
$ 315,00
Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00.
Poderíamos ter efetuado este cálculo de uma maneira mais “objetiva”. Toma-se
o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos.
Assim,
300 ·
140
100
·
75
100
315
.
Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e após as variações seu valor é de
R$ 315,00. Ou seja:
300
315
A taxa de variação acumulada é de:
315
300
300
15
300
15
300
· 100%
5%
Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um único
aumento de 5%.
Exercícios Resolvidos – Porcentagem
01. (MINC 2006/FGV) A fração 5/8 equivale a: (A) 50% (B) 54% (C) 56% (D) 60% (E) 62,5% Resolução
Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta
multiplicá-la por 100%.
Letra E
02. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu
peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A
seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo
um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu
regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou
um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para
Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a
esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início
dessa seqüência de visitas, ficou:
a) exatamente igual
b) 5% maior
c) 5% menor
d) 10% menor
e) 10% maior
Resolução
Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanças em seu peso.
Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela
perdeu 20% de peso, então para calcular o peso que ela ficou após essa
mudança, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100.
A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que
fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu
peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100.
Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de
emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também
emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos
multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100.
Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que
acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por
100% + 25% = 125% = 125/100.
Assim, o peso final de Alice será calculado da seguinte maneira:
Seu peso final será:
100 ·
80
100
·
120
100
·
75
100
·
125
100
90
Letra D
03. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida de
R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é
R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período.
a) 12%
b) 15%
c) 20%
d) 25%
e) 30%
Resolução
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Valor inicial: R$ 1200,00
Valor final: R$ 1440,00
Diferença entre os valores: R$ 1440,00 – R$ 1200,00 = R$ 240,00.
240
1200
· 100%
240
12
%
20%
Letra C
04. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA
2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou
que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a
02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a
ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005,
será necessário um aumento de
a) 60%
b) 80%
c) 150%
d) 160%
e) 180%
Resolução
Considere que o número inicial de espécies nativas em 02/01/2004 foi de 100.
Como esse número diminuiu 60%, então em 02/01/2005 havia 40 espécies.
Queremos que em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o
mesmo observado em 02-01-2004. Portanto o número de espécies nativas em
02/01/2006 será igual a 100.
02/01/2004 02/01/2005 02/01/2006
100 40 100
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Valor inicial (02/01/2005): 40 espécies nativas.
Valor final (02/01/2006): 100 espécies nativas.
Diferença entre os valores: 100 – 40 = 60
60
40
· 100%
6000
40
%
150%
Letra C
05. (DOCAS-SP 2010/FGV) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já incluídos os 10% de gorjeta, foi de R$ 105,60. Se eles resolveram não pagar os 10% de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos, e dividiram o pagamento igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de
a) R$ 31,68 b) R$ 30,60 c) R$ 32,00 d) R$ 35,20 e) R$ 33,00 Resolução
Vamos supor que o valor da conta (sem a gorjeta) tenha sido de reais. Para incluir os 10% da gorjeta, devemos multiplicar o valor da conta por 100% + 10% = 110%.
110% 105,60 110 100· 105,60 1,1 105,60 105,60 96
Desta forma, o valor da conta sem a gorjeta é igual a 96 reais. Como são três amigos, então cada um deles pagou:
96 3 32 Letra C
06. (CAERN 2010/FGV) Um restaurante cobra 10% sobre o valor consumido. Assim, quando a conta é apresentada ao cliente, o valor a ser pago já vem com os 10% incluídos. Ao receber a conta no valor de R$ 27,72, Marcelo percebeu que haviam cobrado a sobremesa, que custa R$ 3,50, sem que ele a tivesse consumido. O gerente prontamente corrigiu o valor cobrado. Assim, depois dessa correção, Marcelo pagou a) R$ 21,70. b) R$ 22,50. c) R$ 23,87. d) R$ 24,22. e) R$ 52,20. Resolução
Ao perceber que a sobremesa tinha sido cobrada indevidamente, Marcelo deve pedir que seja cancelado o valor da sobremesa e o valor da gorjeta em função desta sobremesa. Como o restaurante cobra 10% do consumo, então além dos R$ 3,50 da sobremesa, o restaurante deve descontar:
10% 3,50 0,35 Feita a correção, o valor da conta será:
27,72 3,50 0,35 23,87 Letra C
07. (MEC 2009/FGV) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a:
a) 12,5% b) 17,5% c) 20% d) 22,5% e) 25%
Resolução
“Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes.”
Vamos considerar que há h homens, m mulheres e c crianças.
Quando todos os homens são retirados, então o total de pessoas é igual a , ou seja, restam apenas as mulheres e as crianças. Como as mulheres representam 80%,
80% 0,80 · 0,8 0,8 0,8 0,8 0,2 0,8 0,8 0,2 4 Vamos guardar esta expressão...
“Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala.”
Quando todos as mulheres são retirados, então o total de pessoas é igual a , ou seja, restam apenas os homens e as crianças. Como os homens representam 75%,
75% 0,75 · 0,75 0,75 0,25 0,75 0,75 0,25 3
Queremos saber o percentual de crianças em relação ao total de pessoas. Basta dividir o número de crianças pelo total de pessoas. Lembre-se que 4 e 3 .
4 3 8
1 8
Para transformar esta fração ordinária em percentagem, devemos multiplicá-la por 100%. 1 8 1 8· 100% 12,5% Letra A
(MINC 2006/FGV) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 08 e 09.
Em uma escola, 10% dos alunos são canhotos, e, destes, 30% usam óculos. Além disso, 12% dos alunos dessa escola usam óculos.
08. Qual é a porcentagem dos alunos dessa escola que são canhotos e usam óculos? (A) 3% (B) 5% (C) 15% (D) 20% (E) 25% Resolução
30% dos canhotos usam óculos. Como os canhotos representam 10% dos alunos da escola, então a porcentagem dos alunos que são canhotos e usam óculos é igual a:
30% 10% 30
100· 10% 3% Letra A
09. Qual é a porcentagem de canhotos entre os alunos dessa escola que usam óculos? (A) 3% (B) 5% (C) 15% (D) 20% (E) 25% Resolução
Para calcular a porcentagem pedida, devemos dividir o número de canhotos que usam óculos (calculado na questão passada) pelo total de pessoas que usam óculos.
3% 12% 3 12 1 4 1 4· 100% 25% Letra E
10. (CAERN 2010/FGV) Em um saquinho há balas. Quinze delas são de coco. As balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. As 12 restantes são de tamarindo. Quantas balas há no saquinho?
a) 54 b) 33 c) 48 d) 60 e) 63 Resolução
As balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. Portanto, as restantes (coco e tamarindo) representam 45% do total de balas.
As balas de coco e tamarindo totalizam 15 + 12 = 27. Se o total de balas é igual a x, então:
45% 27 0,45 27
27 0,45
Para efetuar esta divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e apagar as vírgulas. 27,00 0,45 2.700 45 60 Letra D
11. (SERC/MS 2006/FGV) Gastava 20% do meu salário com aluguel. Recebi um aumento de salário de 50%, porém o aluguel aumentou de 20%. Quanto passei a gastar com aluguel?
(A) 18% (B) 16% (C) 14% (D) 12% (E) 10% Resolução
Vamos considerar que o salário da pessoa seja de R$ 100,00. Como ele gastava 20% com aluguel, então o aluguel correspondia a R$ 20,00. Ele recebeu um aumento de 50% no salário. Para calcular o novo salário, devemos multiplicar o antigo por 100% +50% = 150%.
100 ·150
100 150 á
O aluguel aumentou 20%. Para calcular o novo valor, devemos multiplicar o antigo por 100% + 20% = 120%.
20 ·120 100 24
Para saber o percentual gasto com o aluguel, devemos dividir o valor do aluguel pelo total do salário.
24
150· 100% 16% Letra B
12. (BADESC 2010/FGV) Um número N acrescido de 20% vale 36, o mesmo
que um número P reduzido de 10%. A soma de N e P é:
(A) 60
(B) 65
(C) 70
(D) 75
(E) 80
Resolução
Para que N seja acrescido de 20%, devemos multiplicar o seu valor por
100% +20% = 120%.
120%
36
120
100
·
36
36 ·
100
120
30
Para que P seja reduzido de 10%, devemos multiplicar o seu valor por
100% - 10% = 90%.
90%
36
90
100
·
36
36 ·
100
90
40
Portanto,
30
40
70.
Letra C
13. (Senado Federal 2008/FGV) Guido fez um investimento em um fundo de ações e, a cada 30 dias, recebe um relatório mostrando a valorização ou desvalorização das cotas do fundo nesse período. No primeiro mês o fundo teve uma valorização de 8% e, no segundo mês de 25%. O terceiro mês foi de crise e todas as ações caíram. Entretanto, no fim do terceiro mês, Guido verificou, com certo alívio, que tinha quase que exatamente o mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização no terceiro mês foi de cerca de: (A) 22%. (B) 26%. (C) 30%. (D) 33%. (E) 37%. Resolução
Vamos considerar que o seu investimento inicial foi de R$ 100,00.
No primeiro mês houve uma valorização de 8%. Para calcular o valor das cotas, devemos multiplicar o valor do investimento por 100% + 8% = 108%.
No segundo mês houve uma valorização de 25%. Devemos multiplicar o último valor por 100% + 25% = 125%.
100 ·108 100·
125
100 135
No terceiro mês, houve uma desvalorização de forma que as cotas de Guido valiam aproximadamente R$ 100,00.
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou redução percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula:
100
135
135
35
135
· 100%
25,92%
Letra B
14. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um número
20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração:
(A) Dois terços
(B) Cinco quartos
(C) Seis quintos
(D) Sete quintos
(E) Oito sextos
Resolução
Vimos anteriormente que para dar um aumento de 20%, devemos multiplicar o
valor por 100% + 20% = 120% = 120/100.
Simplificando a fração 120/100 obtemos 6/5.
Letra C
15. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse valor,
ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o que
sobrou do salário de Flávio foi
A) inferior a R$ 180,00.
B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00.
C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00.
D) superior a R$ 280,00.
Resolução
Flávio gastou 25% pagando dívidas, portanto ele gastou:
25
100
· 720
1
4
· 720
180
.
Flávio gastou 1/3 com alimentação, portanto ele gastou:
1
3
· 720
240
.
Total dos gastos: 180
240
420
.
Quanto sobrou para Flávio?
$ 720,00
$ 420,00
$ 300,00
Letra D
De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da
lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em
A) exatamente 25% do valor à vista.
B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista.
C) exatamente 30% do valor à vista.
D) mais de 30% do valor à vista.
Resolução
O valor total do pagamento a prazo na compra da lavadora é de:
10 162,50
1.625
Este valor supera o valor do pagamento à vista em:
1.625
1.300
325
.
Para saber qual o percentual deste valor em relação ao valor à vista, devemos
efetuar a divisão entre os valores:
325
1.300
0,25
25%
Letra A
(TJBA 2003/CESPE-UnB)
Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos
analisados em uma repartição pública e do número de servidores que
analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade
analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses
processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens.
17. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos
aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa atividade
na segunda-feira.
Resolução
Foram 5 funcionários na segunda-feira e 8 funcionários na sexta-feira. O
percentual de aumento é:
8
5
5
0,6
60%
O item está certo.
18. Se, na quarta-feira, a produtividade foi de 24 processos por servidor, então
menos de 70 processos foram analisados nesse dia.
Resolução
O texto definiu a produtividade como o cociente entre a quantidade de
processos analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram
esses processos.
quantidade de processos analisados
quantidade de servidores que analisaram esses processos
24
3
3 · 24
72
.
O item está errado.
Resolução
quantidade de processos analisados
quantidade de servidores que analisaram esses processos
Na segunda-feira, 75 processos foram analisados por 5 funcionários. A
produtividade da segunda-feira é igual a:
75
5
15
/
á
Na sexta-feira, 216 processos foram analisados por 8 funcionários. A
produtividade da sexta-feira é igual a:
216
8
27
/
á
O percentual de aumento é dado por:
27
15
15
12
15
0,8
80%
O item está certo.
20. Considere que 81 processos ficaram sem ser analisados nessa semana e
que deveriam ser analisados mantendo-se a mesma produtividade da
sexta-feira. Nessa situação, seriam necessários mais de 12 servidores para cumprir
essa tarefa.
Resolução
A produtividade da sexta-feira foi calculada na questão 10. Vimos que é igual a
27 processos/funcionário. Queremos analisar 81 processos com esta
produtividade.
quantidade de processos analisados
quantidade de servidores que analisaram esses processos
27
81
O item está errado.
21. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na
casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação ao de
outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o
consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao mês anterior. Então,
o consumo de dezembro em relação ao de outubro é maior em:
a) 15%
b) 17%
c) 18%
d) 20%
e) 22%
Resolução
Vamos colocar um valor de referência inicial (outubro) igual a 100. Temos um
aumento de 30%, portanto devemos multiplicar por 100% + 30% = 130%. Em
seguida temos uma diminuição de 10% e devemos multiplicar por 100% - 10%
= 90%.
100 ·
130
100
·
90
100
117
Como o valor inicial do consumo em outubro foi igual a 100 e o consumo em
dezembro foi igual a 117, o aumento foi de 17%.
Letra B
22. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de roupas,
as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas em
março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a março, o aumento nas
vendas desta loja foi de:
A) 80%
B) 86%
C) 92%
D) 120%
Resolução
Temos dois aumentos sucessivos: 20% (devemos multiplicar por 100% + 20%
= 120%) e 60% (devemos multiplicar por 100% + 60% = 160%).
Sempre que não for dado uma referência inicial, vale a pena utilizar o valor
100. Então, vamos supor que o valor inicial das vendas em janeiro foi igual a
100. O valor das vendas em março será igual a:
100 ·
120
100
·
160
100
192
Temos, portanto, um aumento de 92%.
Letra C
23. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos
sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de:
A) 58%
B) 62%
C) 66%
D) 70%
Resolução
Temos agora dois descontos sucessivos. Vamos adotar a mesma estratégia de
utilizar o valor inicial igual a 100.
Para calcular o valor final depois do desconto de 30%, devemos multiplicar o
valor inicial por 100% - 30% = 70%. Da mesma maneira, para dar o desconto
de 40%, devemos multiplicar o valor por 100% - 40% = 60%.
100 ·
70
100
·
60
100
42
Ora, se uma hipotética mercadoria custava 100 e agora custa 42, então o
desconto total dado foi de 100 – 42 = 58.
Desta forma, o desconto percentual foi de 58% (porque o valor inicial é igual a
100).
Letra A
24. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou
todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em
todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é de:
a) 10%
b) 12%
c) 14%
d) 16%
e) 18%
Resolução
Continuando com a mesma estratégia. Digamos que todos os preços sejam
iguais a 100. O dono da loja aumentou os preços em 20% (devemos multiplicar
por 100% + 20% = 120%) e em seguida anunciou um desconto de 30%
100 ·
120
100
·
70
100
84
Ora, se as mercadorias custavam 100 e agora custam 84, então o desconto
dado foi de 100 – 84 = 16. Como o valor inicial adotado foi igual a 100, o
desconto percentual é de 16%.
Letra D
25. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa companhia
valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das
ações é:
A) o mesmo que o valor inicial
B) maior em 2% que o valor inicial
C) menor em 2% que o valor inicial
D) maior em 4% que o valor inicial
E) menor em 4% que o valor inicial
Resolução
Vamos assumir que o valor inicial das ações é igual a 100. Se as ações
valorizaram 20%, devemos multiplicar o valor de cada ação por 100% + 20% =
120%. Com a desvalorização de 20%, devemos multiplicar por 100% - 20% =
80%.
100 ·
120
100
·
80
100
96
Ora, se as ações valiam 100 e agora valem 96, elas desvalorizaram 4%.
Letra E
26. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel de
sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 25%
e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir
a seguinte porcentagem do novo salário do trabalhador:
a) 25%
b) 35%
c) 27%
d) 37%
e) 50%
Resolução
Digamos que o salário inicial do trabalhador é igual a 100. Como o aluguel
consome 25% do seu salário, então o aluguel é igual a 25.
O salário aumentou 25%. Devemos, então, multiplicar o salário por 100% +
25% = 125%.
100 ·
125
100
125
O aluguel sofreu um aumento de 35%. Devemos, portanto, multiplicá-lo por
100% + 35% = 135%.
25 ·
135
100
33,75
Para saber qual a porcentagem do salário consumida pelo aluguel, devemos
dividir o valor do aluguel pelo salário do trabalhador e multiplicar por 100%
(sempre que quisermos transformar uma fração em porcentagem devemos
multiplicar por 100%).
33,75
125
· 100%
3.375
125
%
27%
Letra C
27. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações de
uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham
valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o
dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi
de:
A) 50%
B) 55%
C) 60%
D) 70%
E) 75%
Resolução
Digamos que o valor inicial das ações de Pedro é igual a 100. Se elas
valorizaram 25%, devemos multiplicar seu valor por 100% + 25% = 125%.
100 ·
125
100
125
No final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro
que investi”. Ora, como o valor inicial era igual a 100 e seu valor foi dobrado,
então o valor final é igual a 200.
Queremos saber a valorização das ações no segundo ano. O valor inicial das
ações no segundo ano era igual a 125. Para calcular a variação percentual
utilizaremos a seguinte fórmula:
ç
· 100%
Valor inicial: R$ 125,00.
Valor final: R$ 200,00 .
Diferença entre os valores: 200 – 125 = 75
75
125
· 100%
7
.500
125
%
60%
Letra C
Vamos agora resolver uma série de exercícios em que tenhamos que construir uma
equação do 1º grau ou um sistema de equações.
Problemas do primeiro grau
28. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça
com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida
some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está
entre:
a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55 ResoluçãoConsidere um número real .
Multiplicando-o por 2, obtemos 2 · .
Somando 1 ao resultado, obtemos 2 · 1.
Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se 3 · 2 · 1 . Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: 3 · 2 · 1 5.
Este resultado é igual a 220.
3 · 2 · 1 5 220 Vamos aplicar a propriedade distributiva.
6 · 3 5 220 6 2 220 6 220 2 6 222 222 6 37 Letra B
29. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça
com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31,
em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222,
o valor de é:
a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40. c) um número par.
d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo.
Resolução
Multiplicando o número obtemos 4 · .
Em seguida some 31
4 ·
31.
Depois divida por 3
Multiplique por 5
5 ·
Subtraia 23
5 ·
23
O resultado é igual a 222.
5 ·
4
31
3
23
222
5 ·
4
31
3
222
23
5 ·
4
31
3
245
4
31
3
245
5
4
31
3
49
4
31
3 · 49
4
31
147
4
147
31
4
116
116
4
29
Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais).
Letra E
30. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema
0,3
1,2
2,4
0,5
0,8
0,9
O valor de é:
a) 1
b) -1
c) 0
d) 2
e) 2/3
Resolução
Para deixar o sistema um pouco mais “limpo”, podemos multiplicar as duas
equações por 10 com o intuito de eliminar as casas decimais.
0,3
1,2
2,4 · 10
0,5
0,8
0,9 · 10
3
12
24
5
8
9
Olhemos para a primeira equação: 3
12
24
Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por 3.
4
8
8
4
Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos
por 8
4 .
5
8
9
5 · 8
4
8
9
40
20
8
9
28
9
40
28
49
28
49
49
28
Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o
numerador e o denominador por 7.
49/7
28/7
7
4
Como
8
4 :
8
4 ·
7
4
8
7
1
Letra A
31. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em
uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$
3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para
poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 ResoluçãoDigamos que o homem caridoso possua reais e que existam mendigos.
Vejamos a primeira situação. “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00.”
O homem entrega 5 reais para cada um dos mendigos. Portanto, ele gastou 5 reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual a 5 3 .
5 3
“Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00.”
O homem possui reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria 5 reais. Esta quantia daria para entregar exatamente 6 reais para cada um dos mendigos.
5 6 6 5
5 3 6 5 5 6 5 3 8 8 São 8 mendigos. Letra D
32.
(Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a
metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça
parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje,
calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe.
a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 Resolução
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... Pois ao terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z...
Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P.
Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim, . Assim, 2 · .
Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai.
Ora, há quatros anos, João tinha (J – 4) anos e o seu pai tinha (P – 4) anos. A idade João era a terça parte da idade de seu pai.
ã
· · ·
·
· ·
·
Assim, a mãe de João tem · . O pai de João tem · · . O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe.
Letra B
33. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois
irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o
terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos.
Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da
idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais
velho está com idade igual a
a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos. Resolução
Considere que o irmão mais novo tem anos. Portanto, as idades dos outros irmãos são iguais a 3, 6, 9 12.
A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho.
ã ã 2 12 2 2 12 12 Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24. O irmão mais velho está com 24 anos.
Letra D
a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos. Resolução
Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de 2009. Digamos que a pessoa tenha anos em 2009. Dessa maneira, terá 3 anos em 2012 e 15 anos em 1994. Isso porque 2012 – 2009 = 3 e 2009 – 1994 = 15.
Ano 1994 2009 2012
Idade 15 3
A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em 1994.
2012 3 · 1994 3 3 · 15 3 3 45 3 45 3 2 48 24 Letra C
35. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de
papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em
cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos
números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o:
a)
8b)
12c)
18d)
22e)
24 Resolução
Se o primeiro número par for ,então os próximos números pares sucessivos serão 2, 4 6. A soma destes 4 números deve ser igual a 68.
2 4 6 68
4 12 68
4 56 14
Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 16, 18 e 20 pacotes.
Letra C
36. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e
consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um
quociente igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 ResoluçãoSeja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A soma dos três é igual a 90. Assim,
· ·
O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4. Letra C
37. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24
horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá
em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao
máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
Resolução
Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e
tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de
tempo.
A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso
dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.
Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora.
A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso
dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.
Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do
tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora.
Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda
torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão:
1
24
1
48
2
1
48
3
48
1
16
Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em
horas, em 1 hora encherão 1/x.
Assim:
O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira
enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.
1
1
16
16
.
Letra E
Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo?
Considere que um objeto execute um serviço em horas, outro objeto execute
um serviço o mesmo serviço em horas, outro objeto execute o mesmo serviço
em horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos
executem o serviço em horas. Temos a seguinte relação:
1
1
1
No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda
torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em
.
1
24
1
48
1
2
1
48
1
3
48
1
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
3 ·
1 · 48
48
3
16
.
38. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a
execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos,
eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de
executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em
a) 6 horas e 30 minutos.
b) 7 horas e 30 minutos.
c) 6 horas.
d) 7 horas.
e) 8 horas.
Resolução
Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha
em horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas.
1
5
1
1
3
1
1
3
1
5
1
5
3
15
1
2
15
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
2 ·
1 · 15
15
2
7,5
7
30
Letra B
39. (ANEEL 2004/ESAF) Para
5, a simplificação da expressão
10
50
25
5
é dada por:
a)
2
b) 2
c)
5
d) 5
e) 25
Resolução
Vejamos o numerador:
10
50
10 ·
5
Vejamos o denominador:
25
5
5 · 5
5 ·
5
Desta forma:
10
50
25
5
10 ·
5
5 ·
5
Como
5, podemos cortar os fatores
5 .
10
50
25
5
10 ·
5
5 ·
5
10
5
2
Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x.
Portanto, podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo,
substituir x por 1.
10
50
25
5
10 · 1
50
25
5 · 1
10
50
25
5
40
20
2
Bem melhor, não?
Letra A
40. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio
tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos
reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia
que Carlos tinha inicialmente era de:
a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais Resolução
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z...
No nosso caso, Carlos tem reais e Márcio tem reais.
1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui.
Já que Márcio possui reais, Carlos dará reais para Márcio. Vejamos o que acontece com as quantias de cada um:
Carlos
Márcio
Início
Carlos dá reais para
Márcio
É óbvio notar que se Carlos dá reais para Márcio, então Carlos perde reais e Márcio ganha .
1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui.
Atualmente, Carlos possui . Portanto, Márcio dará a Carlos .
Carlos Márcio
Início
Carlos dá
reais para
Márcio
Márcio dá
(
reais a
Carlos
As duas quantias são iguais a 16 reais.
2
2
16
3
16
Olhemos para a primeira equação:
2
2
16
Podemos dividir os dois membros da equação por 2.
8
8
Vamos substituir esta expressão na segunda equação.
3
16
3
8
16
3
8
16
2
16
8
2
24
12
Como
8:
12
8
20
.
Letra D
41. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro,
redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia
dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela
dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que
possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente
para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00
tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três
meninas possuem juntas é igual a:
a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00 Resolução
Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui.
Alice Bela Cátia
Início 36
Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui.
Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber reais. Para que Cátia duplique sua quantia, ela deve receber 36 reais.
Alice Bela Cátia 36
36 2 36 36 72
Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.
Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber 36. Para que Cátia duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais.
Alice Bela Cátia
2 · 36 2 36 72 2 · 72 144
Manipulando a expressão da quantia de Bela:
Alice Bela Cátia
2 · 36 3 36 2 · 72 144
Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.
Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber 2 · 36 . Para que Bela duplique a sua quantia, ela deve receber 3 36.
Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 · 36 para Alice e 3 36 para Bela, então ficou com:
144 2 · 36 – 3 36
No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto,
144 2 · 36 – 3 36 36
144 2 2 72 3 36 36
216 Multiplicando os dois membros por 1 :
216
A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: 216 36 252 Letra B
42. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do
dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe
restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos
com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui?
a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00 Resolução
Vamos assumir que Rui possui reais e que Pedro possui reais.
“Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará.”
Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. Ou seja, se Pedro possuía , ficará com · .
Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía , ficará com · . Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro.
1
5· 2 · 4 5·
1 5· 8 5· 8 5· 1 5· 7 5· 5 7
Rui diz a Pedro:
“Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais.”
Pedro ficará com 6 reais e Rui ficará com 6 reais. Estas duas quantias devem ser iguais.
6 6
12 Substituindo esta expressão na equação obtida acima:
5 7 5 7 · 12
5 7 84
2 84 2 84 42 .
Letra A
43. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram
um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos
pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram.
Então Carlos pagou:
a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00 Resolução
1ª informação Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. 600
2ª informação Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram.
2
3ª informação Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram.
3 3
Voltemos à primeira equação:
600 Sabemos que . Portanto,
600 3 600
200
Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação.
Sabemos que e que 600.
600 4 600 150 600 200 150 600 350 600 250 Letra C
44. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido.
Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados.
16 21 11
O número que está no primeiro quadradinho é:a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13
Resolução
Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de , o segundo número de e o terceiro de .
Concluímos que:
16
21
11
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular.
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você.
iii) Some as três equações.
Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita escolhida é .
A equação que não aparece o é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois membros da terceira equação por -1.
16
21
11
Ao somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com:16
21
11
2
26
13
Letra E
45. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y
e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural.
Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos
montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O
comprimento dos dutos montados pela equipe
(A) X foi 4 200 m. (B) X foi 4 500 m. (C) Y foi 3 500 m. (D) Y foi 3 900 m. (E) Z foi 5 000 m. Resolução
De acordo com o enunciado temos:
8,2 8,9 9,7
O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular.
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você.
iii) Some as três equações.
Vamos multiplicar a última equação por 1 . 8,2
8,9 9,7 o somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com:
8,2
8,9
9,7
2
7,4
3,7
Substituindo este valor na primeira equação:3,7 8,2 4,5 Como 8,9:
3,7 8,9 5,2
Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe: foi 4,5 4.500
foi 3,7 3.700 foi 5,2 5.200 Letra B
Equação do 2º grau
Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b
e c são números reais e a ≠ 0.
Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a fórmula abaixo:
2
4
b
b
ac
Denominamos discriminante o número real 2
4
b ac
Δ = − , podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira,
2 b x a − ± Δ =
Resolva as equações abaixo:
(
)
2 2 ) 2 10 12 0 2, 10, c 12 10 4 2 12 4 ( 10) 4 10 2 2 2 4 2 ou 3 {2;3} a x x a b x x x S − + = = = − = Δ = − − ⋅ ⋅ Δ = − − ± ± = = ⋅ = = =( )
2 2b)
6
9
0
1, 6,
c
9
6
4 ( 1) ( 9)
0
6
0
6 0
2 ( 1)
2
3 ou
3
{3}
x
x
a
b
x
x
x
S
−
+
− =
= −
=
= −
Δ =
− ⋅ − ⋅ −
Δ =
− ±
− ±
=
=
⋅ −
−
=
=
=
( )
2 2)
4
7
0
1, 4,
c
7
4
4 1 7
12
12
c
x
x
a
b
R
S
φ
−
+ =
=
= −
=
Δ = −
− ⋅ ⋅
Δ = −
Δ = − ∉
=
Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser calculadas com números reais.
Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar.
0
Duas raízes reais e distintas
0
Duas raízes reais e iguais
0
Não há raízes reais
Δ > ⇔
Δ = ⇔
Δ < ⇔
46. (CAERN 2010/FGV) A soma de dois números inteiros é 17, e o produto deles vale 52. A diferença entre esses números é
a) 9 b) 8 c) 10 d) 12 e) 11 Resolução
Vamos considerar que os números são e . A soma deles é 17 e o produto é 52. Alguns rapidamente percebem que os números são 4 e 13. Desta forma a diferença entre eles é 9. Letra A
17 52
Da primeira equação, concluímos que 17 . Substituindo esta expressão na segunda equação, temos:
52
· 17 52
17 52
17 52 0 Desta forma, 1, 17 e 52.
As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula
√
4
2
17
17
4 ·
1 ·
52
2 ·
1
17
√81
2
17
9
2
Desta forma,
4 ou
13.
Como
17
, então:
Se
4, então
13.
Se
13, então
4.
Os números procurados são 4 e 13.
A diferença entre eles é igual a 9.
Letra A
47.
(Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação:
x² - 8x + 7 = 0
a) (1,-1)
b) (-7,-1)
c) (7,1)
d) (-7,1)
e) (-1,0)
Considere uma equação do 2º grau
0, com
0. As raízes
podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula
√
4
2
Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo,
8
8
4 · 1 · 7
2 · 1
8
√64
28
2
8
6
2
Assim, x = 7 ou x = 1.
Letra C
48. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que
represente o conjunto solução em R, para a equação: x
4+13x
2+36 =0
a) S={-2,2,-3,3}
b) conjunto vazio
c) S={-2,-3}
d) S={2,3}
e) S={-2,-3,-1,1}
Resolução
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda
de uma mudança de variável. Chamemos x
2de y. Ou seja,
x
2= y. Assim, x
4= y
2. A equação ficará
13
36
0
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma
equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b
= 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula:
√
4
2
13
√13
4 · 1 · 36
2 · 1
13
√169
144
2
13
5
2
Assim,
13
5
2
4
ou
13
5
2
9
Como x
2=y, então x
2= -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real
que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao
quadrado é não-negativo) ou x
2= -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo
motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio.
Letra B
49. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação
x
4- 25x
2+ 144 = 0 é igual a
a) 0
b) 16
c) 9
d) 49
e) 25
Resolução
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda
de uma mudança de variável. Chamemos x
2de y. Ou seja,
x
2= y. Assim, x
4= y
2. A equação ficará
25
144
0
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma
equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1,
b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:
√
4
2
25
25
4 · 1 · 144
2 · 1
25
√625
576
2
25
7
2
Assim,
25
7
2
16
ou
25
7
2
9
Como x
2=y, então x
2= 16 ou x
2= 9.
16
9
4
4
3
3
A soma de todas as raízes da equação é 4
4
3
3
0.
Letra A
50. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de
1
156
é igual a:
a)
6
b)
2
c)
1
d) 6
e) 13
Resolução
Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo
, a
equação ficará:
1
156
·
1
156
156
156
0
√
4
2
1
1
4 · 1 ·
156
2 · 1
1
√625
2
1
25
2
1
25
2
13 ou
1
25
2
12
i)
13
13
13
0
1
√1
4 · 1 · 13
2 · 1
1
√ 51
2
Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos
continuar neste caso, pois a raiz quadrada de
51 não é um número real.
ii)
12
12
12
0
1
1
4 · 1 ·
12
2 · 1
1
7
2
1
7
2
4
1
7
2
3
A soma dos valores reais de x é igual a 4
3
1.
Letra C
51. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação
4
4
1
0 tenha duas raízes iguais:
a)
0
b)
8
0
c)
8
d)
8
0
e)
0
8
Uma equação do tipo 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ 4 for igual a 0.
4 4 1 0
4 4 · 4 · 1 0
8 16 16 16 0
8 0 Vamos colocar em evidência.
· 8 0
Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0.
Portanto,
0
8
0
Ou seja,
0
8.
Letra B
52. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um
policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu
quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:
a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52
Resolução
De acordo com o enunciado,
4
1.845.
4
1.845
0
Vamos calcular o discriminante:
Δ
4
4
4 · 1 ·
1.845
7.396
Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396.
Observe o seguinte fato:
50
2.500
60
3.600
70
4.900
80
6.400
90
8.100
Como 6.400 7.396 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36).
84
7.056
Deu errado... Só pode ser 86!
86
7.396
Voltando à equação:
4
1.845
0
4
86
2 · 1
4
86
2
Como x representa o número de soldados, obviamente 0, portanto, devemos utilizar apenas o + na fórmula.
x
4
86
2
45 soldados
Letra B
53. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi:
a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27 Resolução
Digamos que há funcionários e que cada um arquivará processos.
O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos que cada um arquivará. Desta forma:
