C i n⋅ ⋅ =
⋅C
. Nesse ponto, podemos “cancelar os C’s” esubstituir a taxa por 3%= 0,03
14
100
J
=
⋅C
0, 03⋅ =n
0,14
0,14
14
0, 03
3
n =
=
Como a taxa é mensal, o tempo será expresso em meses. Devemos dividir 14 meses por 3. 14 meses dividido por 3 é igual a 4 meses - resto 2 meses. Só
que o resto (2 meses) é igual a 60 dias, e 60 dias dividido por 3 é igual a 20 dias. Resposta: 4 meses e 20 dias.
Letra E
EC 23. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de
a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00 Resolução
Vamos analisar separadamente as duas aplicações. 1ª pessoa
Aplicou R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Lembremos a fórmula do montante:
1
(1
)
M
= ⋅ + ⋅C
i n
Chamando de M1 o montante da primeira pessoa, ele será dado por:
1 1
10.000 (1 0, 02
)
10.000
200
M
n
M
n
=
⋅ +
⋅
=
+
2ª pessoaAplicou R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. O problema é quanto ao tempo de capitalização. A segunda pessoa começou a aplicar o
seu dinheiro 2 meses após a primeira pessoa. Se o tempo de aplicação da primeira pessoa é igual a n, o tempo de aplicação da segunda pessoa será n-2. Ou seja, nas fórmulas de juros simples, ao invés de colocarmos n para o tempo, colocaremos n-2.
Assim, chamando de M2 o montante da segunda pessoa, ele será dado por:
[
]
21
(
2)
M
= ⋅ + ⋅C
i n−
[
]
[
]
[
]
2 2 2 28.000 1 0, 04 (
2)
8.000 1 0, 04
0, 08)
8.000 0, 04
0, 92
320
7.360
M
n
M
n
M
n
M
n
=
⋅ +
⋅
−
=
⋅ +
⋅ −
=
⋅
⋅ +
=
⋅ +
“No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de...” Devemos, portanto, igualar os montantes calculados anteriormente.
2 1
M
=
M
120⋅ =n
2.640
22 meses
n =
Essa ainda não é a resposta do problema!!! A questão pediu “o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa”.
Lembremos que a primeira pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 22 meses (observe que se estivéssemos calculando o juro correspondente a segunda pessoa, deveríamos utilizar 20 meses!!).
Portanto, o juro será
10.000 0, 02 22
4.400
J
C i n
J
J
= ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
=
Letra A320
7.360
10.000
200
320
200
10.000 7.360
n
n
n
n
⋅ +
=
+
⋅
⋅ −
⋅ =
−
4 Juro Exato e Juro Comercial
Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação.
Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.
Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias.
Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses.
Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo.
Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo:
Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo:
Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais “espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo:
Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias, conforme já falamos).
Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias).
Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos.
Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não.
Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares.
Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400.
Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4.
Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:
Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!
Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.
EC 24. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é
a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 Resolução Juros Comerciais
O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 30.
݅ = 9,3%
30 = 0,31% ܽ ݀݅ܽ = 0,0031 ܽ ݀݅ܽ O juro comercial é dado por:
ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ = 15.000 ∙ 0,0031 ∙ 5 = 232,50
Juros Exatos
O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 31.
݅ = 9,3%
31 = 0,3% ܽ ݀݅ܽ = 0,003 ܽ ݀݅ܽ O juro exato é dado por:
ܬா = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ = 15.000 ∙ 0,003 ∙ 5 = 225,00
A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros exatos.
ܬ − ܬா = 232,50 − 225,00 = 7,50
Letra E
EC 25. (Auditor de Tributos Municipais – Fortaleza – 1998 – ESAF) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.
a) 4,70% b) 4,75% c) 4,80% d) 4,88% e) 4,93% Resolução
Para calcular o juro simples exato, precisamos saber o tempo total de aplicação. E já que o período de aplicação é do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, devemos nos perguntar se o ano de 1998 (ano de aplicação da prova) foi bissexto ou não.
Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400.
Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4.
Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:
Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!
Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. Vamos agora calcular o total de dias da aplicação.
O mês de fevereiro de 1998 teve 28 dias (pois 1998 não foi bissexto). Como a aplicação começou no dia 10, então contamos 18 dias de aplicação (28 – 10 = 18 dias).
O mês de março possui 31 dias e ainda temos 24 dias de aplicação no mês de abril.
O total de dias da aplicação será 18 + 31 + 24 = 73 dias.
A taxa é de 24% = 0,24 ao ano. Para calcularmos a correspondente taxa diária devemos dividir por 365 (já que o ano não é bissexto) A taxa diária é igual a 0,24/365.
Temos a seguinte expressão dos juros simples exatos. ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊
ܬ = ܥ ∙ 0,24 365 ∙ 73 ܬ = 0,048 ∙ ܥ
Para transformar 0,048 em porcentagem, devemos multiplicar por 100%. ܬ = 4,80% ∙ ܥ
EC 26. (AFTN 1998/ESAF) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de $ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos.
a) R$ 4.067,00 b) R$ 3.986,00 c) R$ 3.996,00 d) R$ 3.941,00 e) R$ 4.000,00 Resolução
Como falei anteriormente, o juro simples ordinário considera que os meses possuem 30 dias.
Portanto, para avançar do dia 5 de um mês para o dia 5 do mês seguinte consideramos um período de 30 dias.
5 de maio 5 de junho 5 de julho 5 de agosto 5 de setembro 5 de outubro 5 de novembro.
No período considerado acima temos 30 x 6 = 180 dias.
Temos ainda o período do dia 5 de novembro até o dia 25 de novembro (20 dias). Portanto, o total de dias da aplicação é igual a 200 dias.
Como consideramos o ano comercial com 360 dias, para o cálculo da taxa diária devemos dividir a taxa anual por 360. Assim, a taxa considerada é de
36%
360 = 0,1% ܽ ݀݅ܽ = 0,001 ܽ ݀݅ܽ Sabemos que na capitalização simples o montante é dado por:
ܯ = ܥ ∙ ሺ1 + ݅ ∙ ݊ሻ Portanto,
ܥ = ܯ 1 + ݅ ∙ ݊ Vamos substituir os correspondentes valores:
ܥ = 4.800
1 + 0,001 ∙ 200 =
4.800
1,2 = 4.000,00
simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.
a) R$ 705,00 b) R$ 725,00 c) R$ 715,00 d) R$ 720,00 e) R$ 735,00 Resolução
No cálculo dos juros exatos consideramos o calendário civil. Assim, devemos considerar a quantidade de dias de cada mês e o ano com 365 dias (ou com 366 dias se for bissexto). Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.
Vejamos a quantidade de dias em cada mês:
Abril: o mês de abril possui 30 dias. Como a aplicação começou no dia 12, contaremos apenas 30 – 12 = 18 dias.
Maio: 31 dias Junho: 30 dias Julho: 31 dias Agosto: 31 dias. Setembro: 5 dias. Total: 18 + 31 + 30 + 31 + 31 +5 = 146 dias.
A taxa é de 18% ao ano. Como o ano de 1998 (ano da questão) possui 365 dias, a taxa diária será:
݅ = 18% 365 =
0,18
365 ܽ ݀݅ܽ Calculemos os juros obtidos:
ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ ܬ = 10.000 ∙ 0,18
365 ∙ 146 = 720,00
Letra D
EC 28. (AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do
pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.
a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 Resolução
Tem-se uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta. Portanto, o valor a ser pago por essa multa será de:
2% ݀݁ 2.000 = 2
100 ∙ 2.000 = 40 ݎ݁ܽ݅ݏ
Há ainda uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso. Sabemos que sábado e domingo não são dias úteis (seriam inúteis? Heheh).
Dessa forma, paga-se 0,2% ݀݁ 2.000 = 0,002 ∙ 2.000 = 4 ݎ݁ܽ݅ݏ por dia útil de atraso.
O problema nos disse que o dia 8 (dia de pagamento da conta) foi uma segunda-feira e que o pagamento foi efetuado no dia 22. Ora, o dia 8 não entra como dia de atraso, pois se o pagamento fosse feito no dia 8 não haveria multa. Portanto, devemos contar os dias úteis do dia 9 (terça-feira) até o dia 22.
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo
9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22
Assim, são contados 10 dias úteis de atraso. Como devemos pagar R$ 4,00 reais por cada dia de atraso, a multa será de 10 x 4 = 40 reais.
O valor a ser pago no dia 22 será de 2.000 + 40 + 40 = 2.080 reais.
Letra A
5 Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio
Prazo Médio
EP 3. Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os prazos de vencimento
o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo?
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:
1º empréstimo
ܬଵ = 4.000 ∙ 100 10 ∙ 4 = 1.600
2º empréstimo
ܬଶ = 2.000 ∙ 100 5 ∙ 8 = 800
Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros.
Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o prazo de 8 meses do segundo empréstimo de forma que o juro total permaneça o mesmo (R$ 2.400,00).
O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado prazo médio.
4.000 ∙ 10 100 ∙ ݊ + 2.000 ∙ 5 100 ∙ ݊ = 2.400 400 ∙ ݊ + 100 ∙ ݊ = 2.400 500 ∙ ݊ = 2.400 ݊ = 245 ݉݁ݏ݁ݏ
Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4 meses e resto igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4 meses de resto equivalem a 4 ∙ 30 = 120 ݀݅ܽݏ. Devemos dividir 120 dias por 5 que é igual a 24 dias.
24 ݉݁ݏ݁ݏ ห 5 4 ݉݁ݏ݁ݏ 4 ݉݁ݏ݁ݏ 120 ݀݅ܽݏ ห 5 0 24 ݀݅ܽݏ Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias. Taxa Média
EP 4. Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir as taxas de juros dos dois empréstimos por uma única taxa, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é essa taxa?
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:
1º empréstimo
ܬଵ = 4.000 ∙ 100 10 ∙ 4 = 1.600
2º empréstimo
ܬଶ = 2.000 ∙ 100 5 ∙ 8 = 800
Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros.
A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é denominado taxa média.
4.000 ∙ ݅ ∙ 4 + 2.000 ∙ ݅ ∙ 8 = 2.400
16.000 ∙ ݅ + 16.000 ∙ ݅ = 2.400
32.000 ∙ ݅ = 2.400
݅ = 32.000 2.400 ∙ 100% = 7,5%
EP 5. Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os capitais dos dois empréstimos por um único capital, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse capital?
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.
Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo
ܬଵ = 4.000 ∙ 100 10 ∙ 4 = 1.600
2º empréstimo
ܬଶ = 2.000 ∙ 100 5 ∙ 8 = 800
Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros.
O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado capital médio.
ܥ ∙ 100 10 ∙ 4 + ܥ ∙100 5 ∙ 8 = 2.400
0,4 ∙ ܥ + 0,4 ∙ ܥ = 2.400
0,8 ∙ ܥ = 2.400
ܥ = 3.000
6 Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio
Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio e em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A demonstração será feita para um caso particular de três aplicações, mas pode ser generalizada para um número qualquer de aplicações.
Fórmula do Prazo Médio
Considere três capitais , ࢋ ,, aplicados às taxas simples , ࢋ ,,
pelos prazos , ࢋ ,.
O juro total obtidos com essas três aplicações é de: ܬ௧ = ܥଵ ∙ ݅ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݅ଷ ∙ ݊ଷ
Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo ݊ denominado
prazo médio de forma que o juro total permaneça constante. ܬ௧ = ܥଵ ∙ ݅ଵ ∙ ݊ + ܥଶ ∙ ݅ଶ ∙ ݊ + ܥଷ ∙ ݅ଷ ∙ ݊ Dessa forma: ܥଵ ∙ ݅ଵ ∙ ݊ + ܥଶ ∙ ݅ଶ ∙ ݊ + ܥଷ∙ ݅ଷ ∙ ݊ = ܥଵ ∙ ݅ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݅ଷ ∙ ݊ଷ ݊ ∙ ሺܥଵ ∙ ݅ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ + ܥଷ ∙ ݅ଷሻ = ܥଵ ∙ ݅ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݅ଷ ∙ ݊ ଷ ݊ = ܥଵ ∙ ݅ଵ ܥ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݅ଷ ∙ ݊ଷ ଵ ∙ ݅ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ + ܥଷ ∙ ݅ ଷ ܬଵ + ܬ݊ଶ + ܬ= ଷ ܥଵ ∙ ݅ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ + ܥଷ ∙ ݅ଷ
A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média ponderada dos prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas.
Fórmula da Taxa Média
Procedendo da mesma maneira que o item anterior (Fórmula do Prazo Médio), conclui-se que a taxa média é a média aritmética das taxas, tendo como fatores de ponderação os capitais e os prazos.
݅ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ
Fórmula do Capital Médio
Analogamente aos casos anteriores. O capital médio é a média aritmética dos capitais, tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos.
ܥ = ݅ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ ଵ ∙ ݊ଵ + ݅ଶ ∙ ݊ଶ + ݅ଷ ∙ ݊ଷ
EP 6. João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo médio, a taxa média e o capital médio.
Resolução
Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo ܬଵ = 4.000 ∙ 100 10 ∙ 4 = 1.600 2º empréstimo ܬଶ = 2.000 ∙ 100 5 ∙ 8 = 800 Prazo médio ݊ = ܥ ܬଵ + ܬଶ ଵ ∙ ݅ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ ݊ = 4.000 ∙ 0,10 + 2.000 ∙ 0,05 1.600 + 800 =2.400500 =24 5 ݉݁ݏ݁ݏ = 4 ݉݁ݏ݁ݏ ݁ 24 ݀݅ܽݏ Taxa Média ݅ = ܥ ܬଵ + ܬଶ ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݊ଶ ݅ = 4.000 ∙ 4 + 2.000 ∙ 8 1.600 + 800 = 32.000 2.400 ∙ 100% = 7,5% ܽ ݉êݏ
Capital Médio
ܥ = ݅ ܬଵ + ܬଶ ଵ ∙ ݊ଵ + ݅ଶ ∙ ݊ଶ
ܥ = 0,10 ∙ 4 + 0,05 ∙ 8 1.600 + 800 = 2.400 0,8 = 3.000 ݎ݁ܽ݅ݏ
EC 29. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 Resolução
Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são iguais a ݅.
Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. ܬଵ = 50.000 ∙ ݅ ∙ 12 = 600.000 ∙ ݅
ܬଶ = 100.000 ∙ 6 ∙ ݅ = 600.000 ∙ ݅
Apliquemos a fórmula do prazo médio. ݊ = ܥ ܬଵ + ܬଶ
ଵ ∙ ݅ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ
݊ = 600.000 ∙ ݅ + 600.000 ∙ ݅50.000 ∙ ݅ + 100.000 ∙ ݅
݊ = 1.200.000 ∙ ݅150.000 ∙ ݅ = 8 ݉݁ݏ݁ݏ
Letra B
EC 30. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. O btenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.
c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Resolução
Já que os prazos das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todos
os prazos são iguais a ݊.
Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. ܬଵ = 2.500 ∙ 0,06 ∙ ݊ = 150 ∙ ݊ ܬ
ଶ = 3.500 ∙ 0,04 ∙ ݊ = 140 ∙ ݊
ܬଷ = 4.000 ∙ 0,03 ∙ ݊ = 120 ∙ ݊ ܬ ସ = 3.000 ∙ 0,015 ∙ ݊ = 45 ∙ ݊
Apliquemos a fórmula da taxa média. ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ + ܬସ
ܥଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݊ଷ + ܥସ ∙ ݊ସ
݅ = 2.500 ∙ ݊ + 3.500 ∙ ݊ + 4.000 ∙ ݊ + 3.000 ∙ ݊150 ∙ ݊ + 140 ∙ ݊ + 120 ∙ ݊ + 45 ∙ ݊
݅ = 13.000 ∙ ݊ 455 ∙ ݊ =13.000 455 ∙ 100% = 3,5% ܽ ݉êݏ.
Letra E
EC 31. (AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.
a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% Resolução
Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a ݊ meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação.
ܬଵ = 7.000 ∙ 0,06 ∙ ݊ = 420 ∙ ݊
ܬଷ = 3.000 ∙ 0,04 ∙ ݊ = 120 ∙ ݊
ܬସ = 4.000 ∙ 0,02 ∙ ݊ = 80 ∙ ݊
Apliquemos a fórmula da taxa média.
݅ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ + ܬସ
ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݊ଷ + ܥସ ∙ ݊ସ
݅ = 7.000 ∙ ݊ + 6.000 ∙ ݊ + 3.000 ∙ ݊ + 4.000 ∙ ݊420 ∙ ݊ + 180 ∙ ݊ + 120 ∙ ݊ + 80 ∙ ݊
݅ = 20.000 ∙ ݊ 800 ∙ ݊ =
݅ = 20.000 800 = 20.000 800 ∙ 100% = 4% ܽ ݉êݏ.
Como um ano é o mesmo que 12 meses, então para calcular a taxa proporcional anual basta multiplicar a taxa mensal por 12.
݅ = 4% ∙ 12 ܽ ܽ݊ = 48% ܽ ܽ݊
Letra E
EC 32. (SEFAZ/PA 2002/ESAF) Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.
a) 3,5% b) 4% c) 4,25% d) 4,5% e) 5% Resolução
Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a ݊ meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação.
ܬଵ = 1.000 ∙ 0,055 ∙ ݊ = 55 ∙ ݊
ܬଶ = 2.000 ∙ 0,04 ∙ ݊ = 80 ∙ ݊
ܬଷ = 4.000 ∙ 0,045 ∙ ݊ = 180 ∙ ݊
Apliquemos a fórmula da taxa média.
݅ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ
݅ = 1.000 ∙ ݊ + 2.000 ∙ ݊ + 4.000 ∙ ݊
݅ = 7.000 ∙ ݊ 315 ∙ ݊ =
݅ = 7.000 315 = 7.000 315 ∙ 100% = 4,5% ܽ ݉êݏ.
Letra D
EC 33. (AFTN 1998/ESAF) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.
a) Dois meses e vinte e um dias b) Dois meses e meio
c) Três meses e dez dias d) Três meses
e) Três meses e nove dias Resolução
Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são iguais a ݅.
Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. ܬଵ = 20.000 ∙ ݅ ∙ 4 = 80.000 ∙ ݅
ܬଶ = 30.000 ∙ 3 ∙ ݅ = 90.000 ∙ ݅
ܬଷ = 50.000 ∙ 2 ∙ ݅ = 100.000 ∙ ݅
Apliquemos a fórmula do prazo médio. ݊ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ ଵ ∙ ݅ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ + ܥଷ ∙ ݅ଷ ݊ = 80.000 ∙ ݅ + 90.000 ∙ ݅ + 100.000 ∙ ݅20.000 ∙ ݅ + 30.000 ∙ ݅ + 50.000 ∙ ݅ ݊ = 270.000 ∙ ݅100.000 ∙ ݅ =27 10 ݉݁ݏ݁ݏ ݊ = 2,7 ݉݁ݏ݁ݏ = 2 ݉ + 0,7݉ = 2 ݉ + 0,7 ∙ 30 ݀݅ܽݏ = 2 ݉݁ݏ݁ݏ ݁ 21 ݀݅ܽݏ Letra A
EC 34. (AFRF 2002/ESAF) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. O btenha o prazo médio de aplicação destes capitais.
a) quatro meses
b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses
Resolução
Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. ܬଵ = 2.000 ∙ 0,04 ∙ 2 = 160
ܬଶ = 3.000 ∙ 0,04 ∙ 3 = 360
ܬଷ = 1.500 ∙ 0,04 ∙ 4 = 240
ܬସ = 3.500 ∙ 0,04 ∙ 6 = 840
Apliquemos a fórmula do prazo médio.
݊ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ + ܬସ ଵ ∙ ݅ଵ + ܥଶ ∙ ݅ଶ+ ܥଷ ∙ ݅ଷ + ܥସ ∙ ݅ସ ݊ = 160 + 360 + 240 + 84080 + 120 + 60 + 140 ݊ = 1600400 = 4 ݉݁ݏ݁ݏ Letra A
EC 35. (Auditor Fiscal da Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais.
a) 2,5% b) 3% c) 3,5% d) 4% e) 4,5% Resolução
Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a ݊ meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação.
ܬଶ = 300 ∙ 0,025 ∙ ݊ = 7,5 ∙ ݊
ܬଷ = 100 ∙ 0,055 ∙ ݊ = 5,5 ∙ ݊
Apliquemos a fórmula da taxa média.
݅ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݊ଷ ݅ = 200 ∙ ݊ + 300 ∙ ݊ + 100 ∙ ݊8 ∙ ݊ + 7,5 ∙ ݊ + 5,5 ∙ ݊ ݅ = 600 ∙ ݊ 21 ∙ ݊ = ݅ = 600 21 = 600 21 ∙ 100% = 3,5% ܽ ݉êݏ. Letra C
EC 36. (SEFAZ/MS 2001/ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais. a) 3% b) 2,7% c) 2,5% d) 2,4% e) 2% Resolução
Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a ݊ meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação.
ܬଵ = 3.000 ∙ 0,03 ∙ ݊ = 90 ∙ ݊
ܬଶ = 2.000 ∙ 0,04 ∙ ݊ = 80 ∙ ݊
ܬଷ = 5.000 ∙ 0,02 ∙ ݊ = 100 ∙ ݊
Apliquemos a fórmula da taxa média.
݅ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ
ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݊ଷ
݅ = 10.000 ∙ ݊ 270 ∙ ݊ =
݅ = 10.000 270 = 10.000 270 ∙ 100% = 2,7% ܽ ݉êݏ.
Letra B
EC 37. (AFRF 2001/ESAF) Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.
a) 4,83% ao mês b) 4,859% ao mês c) 4,4167% ao mês d) 3,206% ao mês e) 4% ao mês Resolução
Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a ݊ meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação.
ܬଵ = 3.000 ∙ 0,06 ∙ ݊ = 180 ∙ ݊
ܬଶ = 5.000 ∙ 0,04 ∙ ݊ = 200 ∙ ݊
ܬଷ = 8.000 ∙ 0,0325 ∙ ݊ = 260 ∙ ݊
Apliquemos a fórmula da taxa média.
݅ = ܥ ܬଵ + ܬଶ + ܬଷ ଵ ∙ ݊ଵ + ܥଶ ∙ ݊ଶ + ܥଷ ∙ ݊ଷ ݅ = 3.000 ∙ ݊ + 5.000 ∙ ݊ + 8.000 ∙ ݊180 ∙ ݊ + 200 ∙ ݊ + 260 ∙ ݊ ݅ = 16.000 ∙ ݊ 640 ∙ ݊ = ݅ = 16.000 640 = 16.000 640 ∙ 100% = 4% ܽ ݉êݏ. Letra E
7 Disposição gráfica do montante no regime simples
Coloquei este tópico na aula apenas para que possamos fazer uma comparação entre o regime simples e o regime composto. É um assunto de pouca relevância e praticamente não há questões de concursos com envolvendo este tópico. Recordo-me de apenas uma questão da CESGRANRIO em um concurso da Caixa Econômica em que aparece um gráfico para que o aluno faça a comparação entre o Regime Simples e o Composto. Resolveremos esta questão na aula de Juros Compostos.
É fato que no Regime Simples o montante cresce a uma taxa de variação constante. Lembremos a fórmula do montante simples:
ܯ = ܥ ∙ ሺ1 + ݅ ∙ ݊ሻ ܯ = ܥ + ܥ ∙ ݅ ∙ ݊
Ora, o capital aplicado é constante e a taxa de juros também. O único ele- mento que pode variar é o tempo.
Temos então uma função polinomial do 1º grau (função afim) do tipo ݕ = ܽ ∙ ݊ + ܾ. Basta fazer ܽ = ܥ ∙ ݅ ݁ ܾ = ܥ.
É fato também que o gráfico de uma função afim é uma reta não-perpendicular aos eixos. Portanto, o gráfico do montante em função do tempo, no regime simples, tem o seguinte aspecto.
A função é crescente, pois à medida que o tempo vai passando, o montante vai aumentando.
n M
8 Descontos Simples
Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui a dois anos. Mas você foi aprovado no seu tão sonhado concurso e decidiu liquidar a sua divida com o primeiro salário. É justo você pagar R$ 10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? É óbvio que não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a minha dívida de R$ 10.000,00? Essa é uma situação típica de uma operação de desconto. Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. Notas promissórias, duplicatas, letras de câmbio são alguns documentos que atestam dívidas e são chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os seguintes conceitos de valores:
Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N)
É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na data do vencimento.
Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A)
O valor líquido é obtido pela diferença entre o valor nominal e o desconto.
Desconto (D)
Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é