Aula 9 - Juros Simples e Descontos Simples

Aula 9 - Juros Simples e Descontos Simples

1 Juros . ... 2

2 Regimes de Capitalização . ... 5

3 Juros Simples . ... 9

4 Juro Exato e Juro Comercial . ... 39

5 Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio . ... 46

6 Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio . ... 50

7 Disposição gráfica do montante no regime simples . ... 59

8 Descontos Simples . ... 60

9 Desconto Racional Simples (por dentro) . ... 62

10 Desconto Comercial Simples (por fora) . ... 70

11 Relação entre os descontos simples por fora e por dentro . ... 78

12 Progressão Aritmética . ... 81

13 Relação das questões comentadas . ... 90

1 Juros

Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar certa importância, o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado.

O conceito de juros pode ser fixado através das expressões:

i) Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capit-al de terceiros colocado à nossa disposição.

ii) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.

Em suma, o juro corresponde ao “aluguel” recebido ou pago pelo uso de certo capital financeiro.

Ilustrarei através de um pergunta uma observação importantíssima que todo estudante de matemática financeira deve saber:

Você prefere receber R$100.000,00 hoje ou daqui a 20 anos? É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época

à qual ela está referida.

Um aspecto muito relevante é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre.

O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.

Exemplo:

24% ao ano

24% .

. 6% ao trimestre

6%

. . 2, 5% ao dia

2, 5%

i

a a

i

a t

i

a d

=

=

=

=

=

Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.

comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros. Na prática da Matemática Financeira, o juro é o elemento que nos permite levar um valor datado de uma data para outra, isto é, são os juros que nos permitem levar um Valor Presente para um Valor Futuro ou vice-versa. Enfim, são os juros que nos permitem comparar valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, venda ou pagamento.

Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?

Ora, se a taxa de juros é de 6% ao mês e eu peguei emprestado R$ 2.000,00, então para saldar a minha dívida eu devo pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que irei pagar daqui a um mês será 6% de 2.000. Ou seja,

6

6% de 2000

2000 120

100

j =

=

⋅

=

O valor total que devo depositar na minha conta para saldar a minha dívida é igual a 2.000+120 = 2.120.

É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações:

i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): 6 0, 06

100 =

A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal.

Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros.

“Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?”

Capital (C) → Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que peguei emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ 2.000,00.

Juros (J) → Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário,

durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros.

Taxa de juros (i) → A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de

tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se eu vou ao banco tomar um empréstimo e o gerente me diz: Ok! O seu empréstimo foi liberado!! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo!!! E se essa taxa de juros for ao dia?? Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL.

Tempo (n) → Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se eu ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nosso número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se você demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses é composto por 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e eu usei o cheque especial durante apenas um mês.

Montante (M) → Pode ser chamado de montante, montante final, valor

futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros.

Podemos então escrever que M=C+J.

C=R$2.000,00

J=R$ 120,00

i=6% a.m.

n = 1 mês

banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo.

2 Regimes de Capitalização

Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização.

Capitalização Simples

De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos.

EP 1. Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação.

Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? De R$ 10.000,00!!

Os juros gerados no primeiro ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no segundo ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no terceiro ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no quarto ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no quinto ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são

sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro).

Capitalização Composta

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

EP 2. Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

após o primeiro ano é 10.000+2.000=12.000.

Os juros gerados no segundo ano são

12.000

20

2.400

100

⋅

=

após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são

14.400

20

2.880

100

⋅

=

após o terceiro ano é 14.400+2.880=17.280.

Os juros gerados no quarto ano são

17.280

20

3.456

100

⋅

=

Os juros gerados no quinto ano são

20.736

20

4.147, 20

100

⋅

=

após o quinto ano é 20.736+4.147,20=24.883,20.

Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalização. Verifique!

Vejamos uma questão que faz uma comparação entre os dois regimes de capitalização.

Sobre o tema Capitalização Simples e Composta assinale a alternativa incor-reta.

a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período “n” se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subseqüente n+1 e assim sucessivamente.

b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com o regime de capitalização composta.

c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado.

d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00.

e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00.

Resolução

Vamos comentar cada uma das alternativas.

a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período “n” se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subseqüente n+1 e assim sucessivamente.

Absolutamente verdadeira é a alternativa!! Comentamos praticamente a mesma coisa anteriormente... Com outras palavras... ”No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período.”

Essa foi fácil demais!! Vamos para a próxima...

b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com o regime de capitalização composta.

Basta dar uma olhada no nosso exemplo para constatar que se trata de uma alternativa falsa. No nosso exemplo, em que a taxa era de 20% a.a. e o capital inicial igual a R$ 10.000,00, ao final de 5 anos o montante da capitalização simples foi igual a R$ 20.000,00 e o montante da capitalização composta foi igual a R$ 24.883,20.

Portanto, a resposta da questão é a letra B. Analisemos as outras alternativas.

c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado.

Praticamente a definição de capitalização simples. A alternativa c. está perfeitamente correta.

d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00.

Lembre-se que de acordo com o regime simples, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos.

Dessa forma, os juros gerados no primeiro mês são

1.000

10

100

100

⋅

=

Temos então que os juros gerados em qualquer outro mês serão iguais aos juros gerados no primeiro mês.

Portanto, o montante no final da aplicação de 3 meses será o capital investido (R$ 1.000,00) mais os juros (3 x R$ 100,00 = R$ 300,00). O montante é igual a R$ 1.000,00+R$ 300,00 = R$ 1.300,00. A alternativa D é verdadeira.

E finalmente a última alternativa.

e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00.

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período.”

Dessa forma,

os juros gerados no primeiro mês são

1.000

10

100

100

⋅

=

Os juros gerados no segundo mês são

1.100

10

110

100

⋅

=

o segundo mês é 1.100+110=1.210.

Os juros gerados no terceiro mês são

1.210

10

121

100

⋅

=

terceiro mês é 1.210+121=1.331.

O total de juros é igual a R$ 100,00 + R$ 110,00 + R$ 121,00 = R$ 331,00. Podemos obter os juros da seguinte maneira: Se aplicamos R$ 1.000,00 durante três meses e obtemos um montante igual a R$ 1.331,00, o juro total será igual a R$ 1.331,00 – R$ 1.000,00 = R$ 331,00.

Portanto, a alternativa E é verdadeira!!

Como a questão nos perguntou quem é a incorreta...

LETRA B

Obviamente não resolveremos questões de juros simples e juros compostos da maneira como o fizemos agora. A minha intenção foi mostrar o “DNA” dos dois regimes de capitalização. Faremos agora um estudo pormenorizado de cada um dos regimes. Comecemos pelo regime simples.

3 Juros Simples

Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados.

Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será:

3

3% de 5.000

5.000 150

100

=

⋅

=

Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de:

A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples.

Adotaremos as seguintes notações:

O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será:

J

= ⋅ ⋅

C i n

E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo:

M

= +

C

J

Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão:

M

= + ⋅ ⋅

C

C i n

Em álgebra,

C

1 C

⋅

1

M

= ⋅ + ⋅ ⋅

C

C i n

Colocando o C em evidência,

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

Devemos saber memorizadas as fórmulas (1), (2) e (3)!!!

J

= ⋅ ⋅

C i n

M

= +

C

J

C →→ Capital inicial

i → taxa de juros simples n →→ tempo de aplicação

J → juro simples produzido durante o período de aplicação. M → montante ao final da aplicação

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

E devemos estar atentos a algumas observações importantíssimas... Para começar, deve-se utilizar a taxa na forma fracionária ou unitária.

Assim, por exemplo, se a taxa for de 10% , utilizamos

10

ou 0,1.

Resolução

Quando a questão não diz o regime de capitalização, por convenção, adotamos o regime simples. O capital aplicado é de R$ 13.000,00, durante um ano e três meses (12 + 3 = 15 meses), à taxa de 36% ao ano.

Devemos entrar em um consenso com relação às unidades da taxa de juros e do número de períodos. Uma taxa de 36% ao ano gera 3% ao mês (36%/12). Podemos simplesmente dividir a taxa anual por 12, pois no regime de juros simples, para fazer a conversão de taxas utilizamos o conceito de taxas proporcionais. Lembre-se também que 3% = 3/100 = 0,03.

ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ ܬ = 13.000 ∙ 0,03 ∙ 15

ܬ = 5.850

E como o montante é a soma do capital com o juro gerado... M = C + J = 13.000 + 5.850 = 18.850,00.

Letra B

EC 3. (Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos.

a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 Resolução

Calcular o valor da dívida hoje significa calcular o montante da operação de juros simples. A taxa e o período estão em conformidade quanto à unidade (mês), portanto podemos aplicar diretamente a fórmula de juros simples. O capital é R$ 1.200,00 , a taxa de juros é de 5% ao mês e o tempo é igual a três meses.

J

= ⋅ ⋅

C i n

5

1.200

3

100

J =

⋅

⋅

180

J =

Como o montante é a soma do capital inicial com os juros,

1.200 180

1.380

M

C

J

M

M

= +

=

+

=

EC 4. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses?

a. R$ 4.488,75 b. R$ 1.023,75 c. R$ 3.780,00 d. R$ 1.496,25 e. R$ 5.386,50 Resolução

As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais.

Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. O único problema é que a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. E quem disse que isso é problema? Devemos traçar a nossa estratégia. Devemos escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização.

Sabemos que um ano é a mesma coisa que 12 meses. Logo, 4 anos são o mesmo que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o período de capitalização é igual a 48 + 9 = 57 meses. Já a taxa é igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano. Para sabermos a taxa equivalente ao mês, basta-nos dividir essa taxa por 12. Portanto a taxa de juros mensal será igual a 0,075/12. Agora estamos prontos para aplicarmos a fórmula de juros simples!

J

= ⋅ ⋅

C i n

Temos que o capital é igual a R$ 12.600,00, a taxa é igual a

0, 075

12

o tempo é igual a 57 meses.

0, 075

12.600

57

12

Como 12.600 dividido por 12 é igual a 1.050,

1.050 0, 075 57

J =

⋅

⋅

4.488, 75

J =

EC 5. (UnB/CESPE – PMCE 2008) No regime de juros simples, R$ 10.000,00 investidos durante 45 meses à taxa de 15% ao semestre produzirão um montante inferior a R$ 21.000,00.

Resolução

Devemos estar sempre atentos quanto à conformidade da unidade da taxa de juros com a unidade do tempo de investimento do capital. O tempo de aplicação foi dado em meses. A taxa de 15% ao semestre poderá ser escrita em meses, utilizando o conceito de taxas proporcionais.

Ou seja, para calcular taxas equivalentes no regime simples podemos fazê-lo utilizando uma regra de três simples e direta.

Temos uma taxa de 15% ao semestre (6 meses). Queremos calcular a taxa de juros para 1 mês.

Taxa de Juros Meses

15% 6

1

i

6

⋅ = ⋅

i

1 15%

6

⋅ =

i

15%

i =

2,5% ao mês

i =

0, 025

O juro simples é calculado da seguinte maneira:

J

= ⋅ ⋅

C i n

10.000 0, 025 45

J =

⋅

⋅

11.250

J =

M

= +

C

J

10.000 11.250

M =

+

21.250

M =

O montante é superior a R$ 21.000,00 e o item está ERRADO.

EC 6. (IPESC – Economista – 2005 – FEPESE) A fim de produzir os bens de que necessita no seu dia-a-dia, o Homem combina recursos naturais, trabalho e capital. Pode-se dizer que os organizadores dos sistemas produtivos recebem lucros e os proprietários do capital recebem remuneração, na forma de juros. O s juros simples podem ser calculados, usando-se a relação: juros simples = capital × taxa unitária × no de períodos

Neste contexto, assinale a alternativa correta. Fórmulas: j = Cin

M = C(1 + in)

a. Se colocarmos o capital de R$ 10.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 2% ao mês, teremos em cada mês R$ 250,00 de juros. b. O montante de R$ 10.000,00, a 2% ao mês, durante cinco meses, é

ex-atamente igual ao montante de R$ 10.000,00 a 5% ao mês, durante dois meses.

c. Se colocarmos o capital de R$ 10.000,00 a juros simples, durante 1 semestre, à taxa de 5% ao mês, vamos duplicar o capital.

é meses, 2 durante mês, ao 5% a 10.000,00, R$ de d. O montante

exatamente igual a R$ 10.100,00.

e. R$ 120,00 representa os juros da capitalização de R$ 10.000,00, no decorrer do primeiro mês, quando a taxa é de 10% ao mês.

Resolução

Devemos analisar alternativa por alternativa.

a. Se colocarmos o capital de R$ 10.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 2% ao mês, teremos em cada mês R$ 250,00 de juros.

Já que a taxa de juros é de 2% ao mês, para calcular o juro de cada mês basta-nos calcular 2% de 10000:

2

10.000

=

200

a. está errada.

b. O montante de R$ 10.000,00, a 2% ao mês, durante cinco meses, é ex-atamente igual ao montante de R$ 10.000,00 a 5% ao mês, durante dois meses.

Já que o capital inicial é o mesmo, basta verificarmos se os juros produzidos são os mesmos. Basta perceber que 2% ao mês durante 5 meses são gerados ao todo 10% de juros e que 5% ao mês durante dois meses também geram 10% de juros. Podemos resolver efetuando os dois cálculos de juros simples a partir da fórmula

J

= ⋅ ⋅

C i n

2

10.000

5 1.000

100

J =

⋅

⋅ =

10.000

5

2

1.000

100

J =

⋅

⋅ =

Logo, os montantes gerados são iguais e a alternativa B está correta. c. Se colocarmos o capital de R$ 10.000,00 a juros simples, durante 1

semestre, à taxa de 5% ao mês, vamos duplicar o capital.

Lembrando que 1 semestre é o mesmo que 6 meses, temos o seguinte cálculo:

5

10.000

6

100

3.000

J

= ⋅ ⋅

C i n

=

⋅

⋅

=

Portanto, o montante será

M =

10.000

+

3.000

=

13.000

é meses, 2 durante mês, ao 5% a 10.000,00, R$ de d. O montante exatamente igual a R$ 10.100,00.

5

10.000

2

100

1.000

J

= ⋅ ⋅

C i n

=

⋅

⋅

=

Portanto, o montante será

M =

10.000 1.000

+

=

11.000

e. R$ 120,00 representa os juros da capitalização de R$ 10.000,00, no decorrer do primeiro mês, quando a taxa é de 10% ao mês.

basta multiplicar a taxa pelo capital. Portanto, o juro será igual a 10% de R$10.000,00.

10

10% de 10.000

10.000

1.000

100

=

⋅

=

Portanto, a alternativa E é falsa. Resposta: Letra B

EC 7. (AFRE-PB 2006/FCC) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a

(A) R$ 12.535,00 (B) R$ 12.550,00 (C) R$ 12.650,00 (D) R$ 12.750,00 (E) R$ 12.862,00 Resolução

Temos duas aplicações em regime simples. A taxa da segunda aplicação é igual ao dobro da taxa da primeira aplicação. Portanto, o primeiro passo é determinar a taxa da primeira aplicação.

1ª aplicação:

O capital é igual a R$ 10.000,00 e o montante é igual a R$ 10.900,00. Portanto o juro é igual a J = 10.900 – 10.000 = 900.

O tempo de aplicação é de 6 meses. Assim, podemos aplicar a fórmula de juros simples.

J

= ⋅ ⋅

C i n

900 10.000

=

⋅ ⋅

i

6

900

=

60.000 i

⋅

900

60.000

i =

0, 015

i =

2ª aplicação:

Lembrando que a taxa da segunda aplicação é o dobro da taxa da primeira aplicação, concluímos que a segunda taxa é igual a 0,015 x 2 = 0,03.

O capital aplicado da segunda aplicação é o montante da primeira aplicação. Portanto, o capital aplicado é igual a R$ 10.900,00. O tempo de aplicação é igual a 5 meses. Logo, o montante será dado por

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

10.900 (1 0, 03 5)

M =

⋅ +

⋅

10.900 1,15

M =

⋅

12.535

M =

EC 8. (Agente Administrativo – SAAE – Pref. Porto Feliz SP 2006/CETRO) Aplicando um determinado valor à taxa simples de 2% a.m., um investidor resgatou a quantia correspondente ao dobro do principal. Indique o prazo desta aplicação: (A) 10 meses. (B) 20 meses. (C) 40 meses. (D) 50 meses. (E) 60 meses. Resolução

Imagine, por hipótese que você aplicou R$ 100,00. Se você pretender resgatar o dobro do principal, você pretende resgatar R$ 200,00. O valor resgatado é o que denominamos MONTANTE. Ora, se aplicamos R$ 100,00 e resgatamos R$ 200,00, então o juro gerado no período é igual a R$ 100,00. A taxa de juros 2% ao mês é igual a 2/100=0,02 ao mês.

ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ 100 = 100 ∙ 0,02 ∙ ݊

100 = 2 ∙ ݊

O número 2 que está multiplicando no segundo membro, “passa dividindo para o primeiro membro”. Assim,

݊ = 100

EC 9. (UnB/CESPE – PMAC 2008) Um indivíduo emprestou R$ 25.000,00 a um amigo à taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu o montante de R$ 32.200,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15 meses.

Resolução

Para efeito de cálculo a taxa de juros 1,8% será escrita como 1,8/100 = 0,018.

Sabemos que o montante é a soma do capital com o juro.

M

= +

C

J

J

=

M

− =

C

32.200 25.000

−

=

7.200

J

= ⋅ ⋅

C i n

7.200

=

25.000 0, 018 n

⋅

⋅

7.200

=

450 n

⋅

7.200

16 meses.

450

n =

=

O item está ERRADO.

EC 10. (Agente de Defesa Civil - Pref. Mairinque/SP 2009 CETRO) Um capital de R$750,00, aplicado a juros simples de 12% ao ano, gerou um montante de R$1.020,00. Com esses dados, é correto afirmar que o tempo de aplicação foi de (A) 12 meses. (B) 24 meses. (C) 36 meses. (D) 48 meses. (E) 60 meses. Resolução

Ora, sabemos que o montante é a soma do capital com o juro gerado no período. Assim, se o montante foi de R$ 1.020,00 e o capital aplicado foi de R$ 750,00, então o juro gerado no período foi de 1.020 – 750 = 270 reais.

Sabemos que o juro simples é dado por ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊. A taxa de 12% ao ano, para efeito de cálculo deverá ser escrita na forma unitária. O símbolo p% significa p/100. Assim 12% = 12/100 = 0,12.

ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ 270 = 750 ∙ 0,12 ∙ ݊

270 = 90 ∙ ݊ ݊ = 3 ܽ݊݋ݏ

Como o número de períodos nas alternativas está em meses, sabemos que um ano são 12 meses e, consequentemente, 3 anos são 36 meses.

Letra C

EC 11. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?

a) R$ 20 000,00. b) R$ 20 100,00. c) R$ 20 420,00. d) R$ 22 000,00. e) R$ 21 400,00. Resolução

Questão clássica de juros simples!

O enunciado forneceu a taxa, o juro e o tempo. Está faltando apenas o capital que foi aplicado.

Para começar, a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma unidade! Já que a taxa é de 2,4% = 0,024 ao mês, devemos dividir a taxa mensal por 30 para calcular a taxa diária (isso porque o mês comercial é composto por 30 dias). Logo,

0, 024

. .

30

i

=

a d

O rendimento (juro) é igual a R$1.608,00 e o tempo é igual a 100 dias. Lembremos a fórmula do juro simples.

J

= ⋅ ⋅

C i n

De acordo com o enunciado: J = 1.608, i = 0,024/30 e n = 100. Logo,

0, 024

1.608

100

30

C

2, 4

1.608

30

C

= ⋅

1.608

= ⋅

C

0, 08

1.608

0, 08

C =

20.100

C =

EC 12. (Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.420,00 Resolução

A taxa de juros e o período não estão na mesma unidade. Adotaremos o mês comercial que possui 30 dias. Portanto se queremos saber a taxa diária equivalente a 3,6% ao mês, temos que dividir 3,6% por 30. Dessa forma, obtém-se

3, 6%

0,12%

30

=

Aplicando os dados do enunciado na fórmula de juro simples:

J

= ⋅ ⋅

C i n

0,12

96

40

100

C

= ⋅

⋅

0, 048

96

96

0, 048

C

C

⋅ =

=

Já que 0,048 possui 3 casas decimais, para efetuar essa divisão devemos igualar a quantidade de casas decimais e então “apagar as vírgulas”.

96, 000

96.000

0, 048

48

2.000

C

C

=

=

=

EC 13. (UnB – CESPE – TRT 6º Região 2002) Julgue o item seguinte. Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$ 3.250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2.600,00.

Resolução

A primeira preocupação que devemos ter em uma questão de juros simples é quanto à conformidade da unidade de tempo com a unidade de taxa de juros. Nesse item tanto a taxa de juros quanto a quantidade de períodos estão expressos em meses. Ok!

Queremos saber o capital que aplicado durante 6 meses a uma taxa de juros simples de 5% = 0,05 ao mês gera um montante de R$ 3.250,00. Devemos aplicar a fórmula do montante na capitalização simples.

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

3.250

= ⋅ +

C

(1 0, 05 6)

⋅

3.250

= ⋅

C

1, 3

3.250

1, 3

C =

Para dividir, devemos igualar a quantidade de casas decimais e depois “apagar as vírgulas”.

3.250, 0

32.500

2.500

1, 3

13

C =

=

=

Realmente o capital aplicado é menor do que R$ 2.600,00 e o item está

CERTO.

EC 14. (Administrador - Prefeitura Municipal de Florianópolis – 2007 – FEPESE) Um banco concedeu a um cliente um empréstimo a juros simples por 18 meses. Se o montante (capital inicial + juro) é igual a 190% do capital emprestado, então a taxa mensal do empréstimo é:

a. 2% b. 5% c. 7% d. 10,5% e. 20% Resolução

Ora, sabemos

M

= ⋅ + ⋅

C

(1

i n

)

Montante

=

190% do capital inicial

Ou seja,

190

100

M

=

⋅

C

O que faremos com essas duas equações?? Ora, sabemos que M é igual a C(1+in) e M também é igual a 190

100⋅C. Portanto podemos afirmar que C(1+in) e 190

100⋅C são iguais. 190

(1 )

100

C⋅ +in = ⋅C

Neste ponto, podemos cancelar os dois C’s e simplificar a fração. 19

1

10 in

+ =

O enunciado nos disse que o empréstimo será saldado em 18 meses, logo n=18.

1 18+ i=1, 9 18i =0, 9

0, 9 9 1

18 180 20

i = = =

Para transformarmos essa taxa em porcentagem basta que multipliquemos por 100%. 1 100% 20 5% a.m. i i = ⋅ = Letra B

EC 15. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00 Resolução Primeira aplicação:

Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro do período é de R$ 2.500,00.

Sabemos a relação de juro simples:

ࡶ૚ = ࡯૚ ∙ ࢏ ∙ ࢔૚ ૛. ૞૙૙ = ૚૛. ૞૙૙ ∙ ࢏ ∙ ૚૛ ૛. ૞૙૙ = ૚૞૙. ૙૙૙ ∙ ࢏ ૛. ૞૙૙ = ૚૞૙. ૙૙૙ ∙ ࢏ ࢏ = ૛. ૞૙૙ ૚૞૙. ૙૙૙ = ૛૞ ૚. ૞૙૙ = ૚ ૟૙ Segunda aplicação:

ࡶ૛ = ࡯૛ ∙ ࢏ ∙ ࢔૛

૞. ૛૞૙ = ࡯૛ ∙ _૟૙ ૚ ∙ ૚૞

૞. ૛૞૙ = ࡯૛ ∙ ૚_૝

࡯૛ = ૛૚. ૙૙૙

O segundo capital supera o primeiro em 21.000 – 12.500 = 8.500

Letra B

EC 16. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um Capital de $ 1.000,00 ficou aplicado durante 135 dias, alcançando no final deste período o montante de $ 1.450,00. Calcule a taxa mensal de juros simples que esse capital rendeu e assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) 10,00%. b) 12,00%. c) 15,00%. d) 17,00%. e) 21,00%. Resolução

Se o capital aplicado é de $ 1.000,00 e o montante é de $ 1.450,00, então o juro obtido na aplicação é de $ 450,00, pois, por definição, o montante é o capital aplicado mais o juro.

Considerando o mês comercial, 135 dias equivalem a 4,5 meses. A fórmula para o cálculo do juro simples é a seguinte:

ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ 450 = 1.000 ∙ ݅ ∙ 4,5

450 = 4.500 ∙ ݅

Letra A

(UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês.

Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes.

EC 17. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00.

EC 18. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD.

EC 19. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00.

Resolução

Deixe-nos analisar a situação do enunciado e depois avaliar cada item. Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00 para aplicar em dois bancos: BD e BM. Chamemos o capital aplicado no banco BD de “D” e o capital aplicado no banco BM de “M”. É importante que você utilize letras que façam referência aos nomes que foram usados no enunciado da questão. Seria ruim utilizar, por exemplo, utilizar as letras x e y, pois, no final, teríamos que procurar quem é x e quem é y!

Pois bem, se o capital total é R$ 10.000, então a nossa primeira equação é D + M = 10.000.

Aplicação no Banco BD

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BD é de 3% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrito como 12 meses.

Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BD: D

Taxa de juros: 3% ao mês = 0,03 ao mês. Tempo de aplicação: 12 meses.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

J

= ⋅ ⋅

C i n

Já que nessa questão temos aplicações em dois bancos, para não confundir colocarei índices nos dados das fórmulas.

BD BD BD BD

J

=

C

⋅

i

⋅

n

0, 03 12

J

=

D

⋅

⋅

0, 36

J

=

⋅

D

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BM é de 5% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrita como 12 meses.

Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BM: M

Taxa de juros: 5% ao mês = 0,05 ao mês. Tempo de aplicação: 12 meses.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

J

= ⋅ ⋅

C i n

J

=

C

⋅

i

⋅

n

0, 05 12

J

=

M

⋅

⋅

0, 60

J

=

⋅

M

O enunciado também informa que ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações.

Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam R$ 4.500,00.

4.500

BD BM

J

+

J

=

0, 36

⋅ +

D

0, 60

⋅

M

=

4.500

Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 100!

36

⋅ +

D

60

⋅

M

=

450.000

Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nos dois bancos (BD e BM) é igual a R$ 10.000,00.

10.000

D

+

M

=

36

60

450.000

10.000

D

M

D

M

⋅ +

⋅

=





₊

₌



Existem diversos métodos para resolver esse sistema linear. Farei de duas maneiras.

Método I – Substituição

Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “D”.

10.000

D

+

M

=

10.000

D

=

−

M

Devemos substituir essa expressão na primeira equação!

36

⋅ +

D

60

⋅

M

=

450.000

360.000 36

−

⋅

M

+

60

⋅

M

=

450.000

360.000

+

24

⋅

M

=

450.000

24

⋅

M

=

90.000

3.750

M =

E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250.

6.250

D =

Método II – Adição

Voltemos ao sistema linear.

36

60

450.000

10.000 ( 36)

D

M

D

M

⋅ +

⋅

=





₊

₌

_{⋅ −}



Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja cancelada.

Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 36, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita D será cancelada.

36

60

450.000

36

36

360.000

D

M

D

M

⋅ +

⋅

=





_{− ⋅ −}

_⋅

_{= −}



Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:

36

⋅ −

D

36

⋅

D

=

0

60

⋅

M

−

36

⋅

M

=

24

⋅

M

Ou seja,

36

60

450.000

36

36

360.000

24

90.000

D

M

D

M

M

⋅ +

⋅

=





−

⋅ −

⋅

= −



⋅

=

M =

3.750

E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250. BD BD BD

J

=

C

⋅

i

⋅

n

6.250 0, 03 12

2.250

J

=

⋅

⋅

=

J

=

C

⋅

i

⋅

n

3750 0, 05 12

2.250

J

=

⋅

⋅

=

Como os juros obtidos nos dois bancos são iguais, o item está ERRADO. 19. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00.

Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido.

6.250

2.250

M =

+

8.500

M =

Assim, o item está CERTO.

EC 20. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é

A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. Resolução

Se o capital total é R$ 6.000,00, então a nossa primeira equação é X + Y = 6.000.

Aplicação na ação X

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação X é de 7% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados.

Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ação X: X

Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano. Tempo de aplicação: 1 ano.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

J

=

C i n

X X X

J

=

C

⋅ ⋅

i

n

0, 07 1

J

=

X

⋅

⋅

0, 07

J

=

⋅

X

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação Y é de 9% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados.

Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ação Y : Y

Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano. Tempo de aplicação: 1 ano.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

J

= ⋅ ⋅

C i n

J

=

C

⋅ ⋅

i

n

0, 09 1

J

= ⋅

Y

⋅

0, 09

J

=

⋅

Y

O enunciado também informa que ao final do período, a pessoa obteve R$ 500,00 de juros das duas aplicações.

Ou seja, o juro obtido na ação X mais o juro obtido na ação Y totalizam R$ 500,00.

500

X Y

J

+

J

=

membros da equação por 100!

7

⋅

X

+ ⋅ =

9

Y

50.000

Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nas duas ações (X e Y) é igual a R$ 6.000,00.

6.000

X

+ =

Y

7

9

50.000

6.000

X

Y

X

Y

⋅

+ ⋅ =





_{+ =}



Novamente os dois métodos descritos na questão anterior.

Método I – Substituição

Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “Y”, já que estamos querendo calcular o valor de “X”.

6.000

X

+ =

Y

6.000

Y

=

−

X

Devemos substituir essa expressão na primeira equação!

7

⋅

X

+ ⋅ =

9

Y

50.000

7

⋅

X

+ ⋅

9 (6.000

−

X

)

=

50.000

7

⋅

X

+

54.000 9

− ⋅

X

=

50.000

2

X

4.000

− ⋅

= −

2

⋅

X

=

4.000

2.000

X =

Letra C Método II – Adição

Voltemos ao sistema linear.

7

9

50.000

6.000 ( 9)

X

Y

X

Y

⋅

+ ⋅ =





_{+ =}

_{⋅ −}



Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja cancelada.

Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 9, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita Y será cancelada (cancelamos o “Y” pois queremos calcular o valor de “X”).

7

9

50.000

9

9

54.000

X

Y

X

Y

⋅

+ ⋅ =





_{− ⋅}

_{− ⋅ = −}



Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:

7

⋅

X

− ⋅

9

X

= − ⋅

2

X

9

⋅ − ⋅ =

Y

9

Y

0

50.000 54.000

−

= −

4.000

7

9

50.000

9

9

54.000

2

4.000

2.000

X

Y

X

Y

X

X

⋅

+ ⋅ =





_{− ⋅}

_{− ⋅ = −}



− ⋅

= −

=

EC 21. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. Resolução

Sabemos que o juro simples é dado por

J

= ⋅ ⋅

C i n

Assim, o juro simples de 21 meses é

J

= ⋅ ⋅

C i

21

⇒ =

J

21

⋅

Ci

J

= ⋅ ⋅

C i

13

⇒ =

J

13

⋅

Ci

“Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00” pode ser escrito algebricamente

C

+

21

⋅

Ci

=

7.050

“O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00” pode ser escrito algebricamente

C

−

13

⋅

Ci

=

5.350

Temos o seguinte sistema de equações:

21

7.050

13

5.350

C

Ci

C

Ci

+

⋅

=





₋

_⋅

₌



Podemos novamente resolver pelo método da adição ou pelo método da substituição.

Método da Substituição

Da segunda equação, podemos concluir que

C

=

5.350 13

+

⋅

Ci

21

7.050

C

+

⋅

Ci

=

5.350 13

+

⋅

Ci

+

21

⋅

Ci

=

7.050

34

⋅

Ci

=

7.050 5.350

−

34

⋅

Ci

=

1.700

1.700

50

34

Ci

=

⇒

Ci

=

De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema.

Substituindo na primeira equação, obtemos:

21

7.050

C

+

⋅

Ci

=

21 50

7.050

C +

⋅

=

1.050

7.050

C +

=

6.000

C =

EC 22. (Contador de Recife 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial?

a) 3 meses e meio b) 4 meses c) 4 meses e 10 dias d) 4 meses e meio e) 4 meses e 20 dias Resolução

O capital aumentar 14% em relação ao valor inicial significa que o juro da aplicação é igual a 14% do capital inicial.

Dessa forma,

Temos também que

J

= ⋅ ⋅

C i n

14

100

C i n

⋅ ⋅ =

⋅

C

substituir a taxa por 3%= 0,03

14

100

J

=

⋅

C

0, 03

⋅ =

n

0,14

0,14

14

0, 03

3

n =

=

Como a taxa é mensal, o tempo será expresso em meses. Devemos dividir 14 meses por 3. 14 meses dividido por 3 é igual a 4 meses - resto 2 meses. Só

que o resto (2 meses) é igual a 60 dias, e 60 dias dividido por 3 é igual a 20 dias. Resposta: 4 meses e 20 dias.

Letra E

EC 23. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de

a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00 Resolução

Vamos analisar separadamente as duas aplicações. 1ª pessoa

Aplicou R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Lembremos a fórmula do montante:

1

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

Chamando de M1 o montante da primeira pessoa, ele será dado por:

1 1

10.000 (1 0, 02

)

10.000

200

M

n

M

n

=

⋅ +

⋅

=

+

Aplicou R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. O problema é quanto ao tempo de capitalização. A segunda pessoa começou a aplicar o

seu dinheiro 2 meses após a primeira pessoa. Se o tempo de aplicação da primeira pessoa é igual a n, o tempo de aplicação da segunda pessoa será n-2. Ou seja, nas fórmulas de juros simples, ao invés de colocarmos n para o tempo, colocaremos n-2.

Assim, chamando de M2 o montante da segunda pessoa, ele será dado por:

[

]

1

(

2)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

−

[

]

[

]

[

]

8.000 1 0, 04 (

2)

8.000 1 0, 04

0, 08)

8.000 0, 04

0, 92

320

7.360

M

n

M

n

M

n

M

n

=

⋅ +

⋅

−

=

⋅ +

⋅ −

=

⋅

⋅ +

=

⋅ +

“No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de...” Devemos, portanto, igualar os montantes calculados anteriormente.

2 1

M

=

M

120

⋅ =

n

2.640

22 meses

n =

Essa ainda não é a resposta do problema!!! A questão pediu “o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa”.

Lembremos que a primeira pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 22 meses (observe que se estivéssemos calculando o juro correspondente a segunda pessoa, deveríamos utilizar 20 meses!!).

Portanto, o juro será

10.000 0, 02 22

4.400

J

C i n

J

J

= ⋅ ⋅

=

⋅

⋅

=

320

7.360

10.000

200

320

200

10.000 7.360

n

n

n

n

⋅ +

=

+

⋅

⋅ −

⋅ =

−

4 Juro Exato e Juro Comercial

Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação.

Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.

Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias.

Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses.

Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo.

Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo:

Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo:

Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais “espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo:

Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias, conforme já falamos).

Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias).

Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos.

Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não.

Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares.

Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400.

Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4.

Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:

Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!

Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.

EC 24. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é

a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 Resolução Juros Comerciais

O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 30.

݅ = 9,3%

30 = 0,31% ܽ݋ ݀݅ܽ = 0,0031 ܽ݋ ݀݅ܽ O juro comercial é dado por:

ܬ஼ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ = 15.000 ∙ 0,0031 ∙ 5 = 232,50

Juros Exatos

O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 31.

݅ = 9,3%

31 = 0,3% ܽ݋ ݀݅ܽ = 0,003 ܽ݋ ݀݅ܽ O juro exato é dado por:

ܬா = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ = 15.000 ∙ 0,003 ∙ 5 = 225,00

A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros exatos.

ܬ஼ − ܬா = 232,50 − 225,00 = 7,50

Letra E

EC 25. (Auditor de Tributos Municipais – Fortaleza – 1998 – ESAF) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.

a) 4,70% b) 4,75% c) 4,80% d) 4,88% e) 4,93% Resolução

Para calcular o juro simples exato, precisamos saber o tempo total de aplicação. E já que o período de aplicação é do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, devemos nos perguntar se o ano de 1998 (ano de aplicação da prova) foi bissexto ou não.

Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400.

Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4.

Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:

Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!

Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. Vamos agora calcular o total de dias da aplicação.

O mês de fevereiro de 1998 teve 28 dias (pois 1998 não foi bissexto). Como a aplicação começou no dia 10, então contamos 18 dias de aplicação (28 – 10 = 18 dias).

O mês de março possui 31 dias e ainda temos 24 dias de aplicação no mês de abril.

O total de dias da aplicação será 18 + 31 + 24 = 73 dias.

A taxa é de 24% = 0,24 ao ano. Para calcularmos a correspondente taxa diária devemos dividir por 365 (já que o ano não é bissexto) A taxa diária é igual a 0,24/365.

Temos a seguinte expressão dos juros simples exatos. ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊

ܬ = ܥ ∙ 0,24 365 ∙ 73 ܬ = 0,048 ∙ ܥ

Para transformar 0,048 em porcentagem, devemos multiplicar por 100%. ܬ = 4,80% ∙ ܥ

EC 26. (AFTN 1998/ESAF) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de $ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos.

a) R$ 4.067,00 b) R$ 3.986,00 c) R$ 3.996,00 d) R$ 3.941,00 e) R$ 4.000,00 Resolução

Como falei anteriormente, o juro simples ordinário considera que os meses possuem 30 dias.

Portanto, para avançar do dia 5 de um mês para o dia 5 do mês seguinte consideramos um período de 30 dias.

5 de maio
5 de junho
5 de julho
5 de agosto
5 de setembro
5 de outubro
5 de novembro.

No período considerado acima temos 30 x 6 = 180 dias.

Temos ainda o período do dia 5 de novembro até o dia 25 de novembro (20 dias). Portanto, o total de dias da aplicação é igual a 200 dias.

Como consideramos o ano comercial com 360 dias, para o cálculo da taxa diária devemos dividir a taxa anual por 360. Assim, a taxa considerada é de

36%

360 = 0,1% ܽ݋ ݀݅ܽ = 0,001 ܽ݋ ݀݅ܽ Sabemos que na capitalização simples o montante é dado por:

ܯ = ܥ ∙ ሺ1 + ݅ ∙ ݊ሻ Portanto,

ܥ = ܯ 1 + ݅ ∙ ݊ Vamos substituir os correspondentes valores:

ܥ = 4.800

1 + 0,001 ∙ 200 =

4.800

1,2 = 4.000,00

simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.

a) R$ 705,00 b) R$ 725,00 c) R$ 715,00 d) R$ 720,00 e) R$ 735,00 Resolução

No cálculo dos juros exatos consideramos o calendário civil. Assim, devemos considerar a quantidade de dias de cada mês e o ano com 365 dias (ou com 366 dias se for bissexto). Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.

Vejamos a quantidade de dias em cada mês:

Abril: o mês de abril possui 30 dias. Como a aplicação começou no dia 12, contaremos apenas 30 – 12 = 18 dias.

Maio: 31 dias Junho: 30 dias Julho: 31 dias Agosto: 31 dias. Setembro: 5 dias. Total: 18 + 31 + 30 + 31 + 31 +5 = 146 dias.

A taxa é de 18% ao ano. Como o ano de 1998 (ano da questão) possui 365 dias, a taxa diária será:

݅ = 18% 365 =

0,18

365 ܽ݋ ݀݅ܽ Calculemos os juros obtidos:

ܬ = ܥ ∙ ݅ ∙ ݊ ܬ = 10.000 ∙ 0,18

365 ∙ 146 = 720,00

Letra D

EC 28. (AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do