Gap espectral - CleidianeAra´ujoBrito Linearresponseformulaparadinˆamicasexpansorassuaves Unive

Nosso objetivo nesta se¸cão é mostrar que dada f ∈ D^r e φ ∈ C^r, o operador de transferência L_f,φ tem gap espectral sobre C^r(M,C) e tal propriedade é uniforme. Este resultado foi provado, originalmente em [Bom14] e em [BC17]. Para isso, utilizaremos a técnica de cones.

Estamos interessados em aplicar os resultados de cones e métricas projetivas apresentados na se¸cão 1.2. Para isso, precisaremos de um cone completo com diâmetro finito. Já vimos que o cone das fun¸cões positivasC₊ com a pseudo-metricaθ₊é completo, mas note que a sua imagem pelo operador de transferência não tem diâmetro finito. De fato, considere a aplica¸cão expansora no c´ırculo dada porf(x) = 2x( mod 1) e o potencial φ ≡ 0. Seja ϕ_n : M → IR uma sequência de fun¸cões C^∞ tais que 1 ≤ ϕ_n ≤ n, ϕ_n(0) = ϕ_n(¹₂) = 1 e ϕ_n(³₈) = ϕ_n(⁷₈) = n. Dessa forma, L_f,φϕ_n(x) = ϕ_n(^x₂) +ϕ_n(^x+1₂ ). Como já vimos que dadasϕ, ψ ∈C₊, θ₊(ϕ, ψ) = log^sup

ψ ϕ

inf^ψ_ϕ , segue ent˜ao que

θ+(1,Lf,φϕn) = log sup

x∈M

L_f,φϕ_n(x)

x∈Minf L_f,φϕ_n(x)

= log sup

x∈M

ϕn(x

2) +ϕn(x+ 1 2 )

x∈Minf

ϕ_n(x

2) +ϕ_n(x+ 1 2 )

= logϕn(³₈) +ϕn(⁷₈)

ϕn(0) +ϕn(¹₂) = log2n

2 = logn−−−−→

n→+∞ ∞

Assim, estamos interessados em definir um cone menor contido em C₊, cuja imagem pelo operador L_f,φ tenha diâmetro finito com respeito a sua respectiva pseudo-métrica. são constantes suficientemente pequenas para que ocorra a invariância dos cones. Quando r= 1, temos

A partir de agora iremos provar que L_f,φ tem gap espectral em C^r. Para isso, mostraremos que o cone definido acima é invariante pelo operador de transferência e sua imagem por L_f,φ possui diâmetro finito.

Para provarmos a invariˆancia do cone, utilizaremos o seguinte lema:

Lema 3.2.1. Suponha que para todo κ ≥ κ₁ e max{i,1} < r temos L_f,φ(Λⁱ_κ) ⊂ Λⁱ_ˆ

Além disso, temos também por hipótese que sup

x∈M

Al´em disso, temos por hip´otese que sup

x∈M

Demonstra¸c˜ao. Sejaϕ∈Λ^r_κ, isto implica que L_f,φϕ >0.

Resta mostrar que sup

x∈M

Agora, note que para que tenhamos ||φ||₁σ⁻¹+σ⁻¹κ≤ ρκ com ρ∈ (0,1), basta tomarmos ||φ||₁σ⁻¹ = ^1−σ₂⁻¹κ, pois como σ⁻¹ <1 segue que ^1−σ₂⁻¹ +σ⁻¹ <1 e portanto

sup

x∈M

DL_f,φϕ(x) L_f,φϕ(x)

≤

1−σ⁻¹

2 +σ⁻¹

κ ∀ κ≥κ₀

Assim, tomando ρ = ^1−σ₂⁻¹ +σ⁻¹ e κ₀ = ^2||φ||_1−σ¹−1^σ⁻¹, conclu´ımos o resultado para r= 1.

Verifiquemos agora o caso r= 2. Seja κ >0 e ϕ∈Λ²_κ. Pelas regras de deriva¸c˜ao da cadeia e do produto, obtemos

D²L_f,φϕ(x) =

deg(f)

j=1

e^φ(f^j^(x))ϕ(f_j(x))D²φ(f_j(x))[Df_j(x)]²+ e^φ(f^j^(x))ϕ(f_j(x))[Dφ(f_j(x))Df_j(x)]²+

e^φ(f^j^(x))Dϕ(f_j(x))Dφ(f_j(x))[Df_j(x)]²+ e^φ(f^j^(x))ϕ(f_j(x))Dφ(f_j(x))D²f_j(x)+

e^φ(f^j^(x))D²ϕ(f_j(x))[Df_j(x)]²+ e^φ(f^j^(x))Dϕ(f_j(x))D²f_j(x)+

e^φ(f^j^(x))Dϕ(f_j(x))Dφ(f_j(x))[Df_j(x)]²

Assim, para x ∈M e H ∈ TxM, com ||H||= 1, de forma an´aloga ao caso r = 1 temos que

D²L_f,φϕ(x)·H L_f,φϕ(x)

≤||D²φ||₀σ⁻²+||Dφ||²₀σ⁻²+||Dφ||₀σ⁻²c¹_2,1κ+

||Dφ||₀||D²f_j||₀+σ⁻²κ+||D²f_j||₀c¹_2,1κ+||Dφ||₀σ⁻²c¹_2,1κ Agora note que como (f◦f_j)(x) = Id(x) =x, temos ent˜ao que

D(f◦f_j)(x) = 1 ⇐⇒ Df(f_j(x))Df_j(x) = 1

=⇒D²(f ◦f_j)(x) = 0 ⇐⇒ D²f(f_j(x))Df_j(x)Df_j(x) +Df(f_j(x))D²f_j(x) = 0

⇐⇒ D²f_j(x) =−D²f(f_j(x))Df_j(x)Df_j(x)[Df(f_j(x))]⁻¹

=⇒ ||D²f_j(x)||₀ ≤||D²f(f_j(x))||||Df_j(x)||²||[Df(f_j(x))]⁻¹|| utilizando as regras de deriva¸c˜ao da cadeia e do produto

DⁿL_f,φϕ(x) =

Utilizando a mesma estratégia para r = 2, verificamos que as parcelas da soma acima dependem apenas das derivadas de ϕ, φ e dos ramos inversos locais de f, que são acotados por cima por c^r−s_r,s κ,||φ||_r e σ⁻¹. Dessa forma, tomamdo κ₀ e as constantes c^r−s_r,s segue então que

sup Conclu´ımos ent˜ao o resultado para r =n.

Como consequência desta proposi¸cão, o seguinte corolário nos diz que o cone invariante depende continuamente da dinâmica e do potencial.

Corolário 3.2.2. Dadas f ∈ D^r e φ∈C^r(M,IR), existem vizinhan¸cas F^r de f e W^r de φ, além de constantes κ > 0, c_r,s > 0 e ρ ∈ (0,1) tais que: se ( ˆf ,φ)ˆ ∈ F^r× W^r então Lf ,ˆφˆ(Λ^r_κ)⊂Λ^r_ρκ.

Demonstra¸cão. De fato, comof é difeo local se ˆf ∈ F^r, ondeF^r é vizinhan¸ca def temos que os ramos inversos de f e ˆf também estão próximos e dessa forma, o σ da expansão pode ser tomado uniforme em F^r. Logo, pelas estimativas encontradas na proposi¸cão anterior, para o casor= 2,

logo ρpode ser tomado uniforme em vizinhan¸cas de f e φ. Analogamente segue o caso r qualquer.

A próxima proposi¸cão garante que a imagem do cone invariante tem diâmetro finito.

Proposi¸cão 3.4. Dado 0< ρ <1, o cone Λ^r_ρκ tem diâmetro finito em rela¸cão à métrica

Agora, observe que, para que ocorra

De forma an´aloga ao caso anterior, para que ocorra

Dessa forma, sup

x∈M

D^s(1−t₁ϕ)(x) (1−t₁ϕ)(x)

≤κc^r−s_r,s para todo 1≤s≤r. Isto conclui a afirma¸c˜ao.

Assim, das Afirma¸c˜oes 1 e 2 temos que

θ_κ(ϕ,1) = logβκ(ϕ,1) α_κ(ϕ,1)

≤log supϕ(1 +ρ) infϕ(1−ρ)

= logsupϕ

infϕ + log 1 +ρ 1−ρ

Como ϕ ´e cont´ınua e M ´e compacto, temos que existem x, y ∈ M tais que supϕ=ϕ(x) e infϕ=ϕ(y). Da´ı,

logsupϕ

infϕ = logϕ(x)

ϕ(y) = log(ϕ(x))−log(ϕ(y))

Como logϕé diferenciável, temos pela desigualdade do valor médio que log(ϕ(x))−log(ϕ(y))≤ sup

z∈M

{||Dϕ(z)||

ϕ(z) }d(x, y) Logo,

log supϕ

infϕ + log 1 +ρ

1−ρ ≤ sup

z∈M

{||Dϕ(z)||

ϕ(z) }d(x, y) + log1 +ρ 1−ρ

≤ρκdiam(M) + log1 +ρ

1−ρ pois ϕ∈Λ^r_ρκ Portanto, Λ^r_ρκ tem diˆametro finito.

Assim, como já vimos a invariância do cone Λ^r_κ pelo operador de transferênciaL_f,φ e vimos também que a imagem deste cone por Lf,φ tem diâmetro finito, podemos provar o Gap espectral emC^r. Para isso, lembremos também, que existe uma probabilidadeν_f,φ tal que L^∗_f,φν_f,φ = λ_f,φν_f,φ, onde λ_f,φ é o raio espectral de L_f,φ agindo sobre o espa¸co das funcões cont´ınuas. Fixemos então ν_f,φ uma probabilidade com essa propriedade e denotemos ^L_λ^f,φ

f,φ := ˜L_f,φ.

Teorema 3.3. (Gap espectral). Dada f ∈ D^r e φ ∈C^r(M,IR) existe um 0 < λ₀ < λ_f,φ tal que Lf,φ|_Cr : C^r(M,C) → C^r(M,C) admite uma decomposi¸c˜ao do seu espectro dada por: spec(Lf,φ|_Cr) = {λ_f,φ} tΣ₀, onde Σ₀ ⊂ B(0, λ₀) e λ_f,φ ´e autovalor com autoespa¸co unidimensional.

Demonstra¸cão. Faremos a prova em três etapas. Inicialmente mostraremos que λ_f,φ é autovalor deL_f,φ com autoespa¸co unidimensional.

Considere κ₀ > 0, c_r,s > 0 e ρ ∈ (0,1) dados pela proposi¸cão (3.3). Sejam ϕ, ψ∈Λ^r_κ₀ e θ+ a métrica projetiva associada ao cone das fun¸cões positivas.

Temos pela proposi¸cão anterior que o cone Λ^r_ρκ₀ tem diâmetro finito em rela¸cão à métrica projetiva induzida em Λ^r_κ₀. Assim, pelo Teorema (1.5) e pelo fato que C₊ ⊃Λ^r_κ₀ temos que paran, l≥1

θ₊( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φψ)≤θ_ρκ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φψ)

≤(1−e^−D)ⁿ⁻¹θ_κ₀( ˜L^l+1_f,φϕ,L˜_f,φψ) ∀ ϕ, ψ ∈Λ^r_κ₀

≤(1−e^−D)ⁿ⁻¹D (3.1)

onde D é o diâmetro do cone Λ^r_ρκ₀ na métrica projetiva de Λ^r_κ₀.

Isto implica que ( ˜Lⁿ_f,φϕ)n≥1 é uma sequência de Cauchy com rela¸cão a θ₊. Como θ₊ é completa, temos que existe h_ϕ ∈ C₊ tal que ˜Lⁿ_f,φϕ −→^θ⁺ h_ϕ e como θ₊ não distingue múltiplos, existe t >0 tal que ˜Lⁿ_f,φϕ−→^θ⁺ th_ϕ. Dessa forma, podemos tomar t =

Rϕdνf,φ

Rhϕdνf,φ. Logo, R

h_ϕdν_f,φ =R

ϕdν_f,φ.

Assim, como R L˜ⁿ_f,φϕdν_f,φ=R

ϕdν_f,φ =R

h_ϕdν_f,φ, tomando, no Corol´ario (1.5.1),

|| · ||1 = semi-norma da integral e || · ||2 = norma do sup, temos que ˜Lⁿ_f,φϕ ^C

−→ hϕ. Logo, L_f,φh_ϕ =λ_f,φh_ϕ, pois

L˜_f,φh_ϕ = ˜L_f,φ lim

n→∞

L˜ⁿ_f,φϕ= lim

n→∞

L˜ⁿ⁺¹_f,φ ϕ=h_ϕ Conclus˜ao: λ_f,φ ´e autovalor de L_f,φ.

Agora mostraremos que a convergˆencia de ˜Lⁿ_f,φϕ a h_ϕ tamb´em ocorre na norma C^r.

Afirma¸c˜ao: Se ϕ∈Λ^r_κ

0 ent˜ao, para todo n∈IN, temos que:

||L˜ⁿ_f,φϕ−h_ϕ||_r ≤D(1−e^−D)ⁿ⁻¹[κ₀(e^D + 2) +e^D]||h_ϕ||_∞

De fato, pela Proposi¸c˜ao (1.3) com a norma do sup e em νf,φ, e por (3.1) temos que

||L˜ⁿ_f,φϕ−L˜^n+l_f,φϕ||∞ ≤(e^θ⁺^{( ˜}^Lⁿ^f,φ^ϕ,^L^˜^n+l^f,φ^ϕ)−1)||L˜^n+l_f,φϕ||∞

≤θ₊( ˜Lⁿ_f,φϕ,L˜^n+l_f,φϕ)e^D||L˜^n+l_f,φϕ||_∞

≤(1−e^−D)ⁿ⁻¹De^D||L˜^n+l_f,φϕ||∞ (3.2) Agora, observe que como β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) = inf{t >0; tL˜^n+l_f,φϕ−L˜ⁿ_f,φϕ∈Λ^r_κ₀} e ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕs˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas estritamente positivas, segue que

tL˜^n+l_f,φϕ−L˜ⁿ_f,φϕ >0 ⇐⇒ tL˜^n+l_f,φϕ >L˜ⁿ_f,φϕ

E como R L˜^n+l_f,φϕdν_f,φ=R

ϕdν_f,φ =R L˜ⁿ_f,φϕdν_f,φ, temos ent˜ao que t

L˜^n+l_f,φϕdν_f,φ≥ Z

L˜ⁿ_f,φϕdν_f,φ Isto implica que t ≥1.

De forma an´aloga, comoα_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) = sup{t >0; L˜ⁿ_f,φϕ−tL˜^n+l_f,φϕ∈Λ^r_κ₀}, segue quet≤1.

Logo,

βκ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)≥1≥ακ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) Da´ı,

θ_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) = log β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)

α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) ≤D(1−e^−D)ⁿ⁻¹ Mas, note que log ^β^κ⁰^{( ˜}^L

n+l f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)

ακ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) = log(β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ))−log(α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)).

Assim, pelo teorema do valor m´edio na reta, temos que existe x∈(α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ), β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)) tal que

log βκ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) = 1

x|β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)−α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)|

≥ 1

β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)|β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)−α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)|

1−α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ) β_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)

≥ |1−ακ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)|

Dessa forma,

|1−ακ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)| ≤D(1−e^−D)ⁿ⁻¹ (3.3) Logo, usando as estimativas (3.2) e (3.3), segue que

||D^s( ˜Lⁿ_f,φϕ−L˜^n+l_f,φϕ)||∞ =||D^s[ ˜Lⁿ_f,φϕ−ακ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)·L˜^n+l_f,φϕ+

α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)·L˜^n+l_f,φϕ−L˜^n+l_f,φϕ]||∞

≤||D^s[ ˜Lⁿ_f,φϕ−α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)·L˜^n+l_f,φϕ]||∞+

||D^s( ˜L^n+l_f,φϕ)||∞|ακ0( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)−1|

≤c^r−s_r,s κ₀||L˜ⁿ_f,φϕ−α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)·L˜^n+l_f,φϕ||∞+

||D^s( ˜L^n+l_f,φϕ)||∞|α_κ₀( ˜L^n+l_f,φϕ,L˜ⁿ_f,φϕ)−1|

≤c^r−s_r,s κ₀ Como ˜Lⁿ_f,φϕ converge uniformemente, utilizando as estimativas (3.2) e (3.4) e fazendol →+∞, segue que ( ˜Lⁿ_f,φ)_n ´e Cauchy em C^r e

g = lim Assim, pelo item (ii), temos que

g =

Assim, da teoria espectral sabemos quespec(L_f,φ|_Cr) = spec(L_f,φ|_E

1)∪spec(L_f,φ|_E

Dotemos E₀ da norma C^r. Dada ϕ ∈ E₀∩C^r(M,IR) com ||ϕ||_r = 1. Note que

Assim pela afirma¸c˜ao e pelo que foi discutido anteriormente, temos que ˜Lⁿ_f,φ

E0 ´e uma contra¸c˜ao na norma C^r para n suficientemente grande.

Portanto, spec( ˜Lf,φ|_E

0) ⊂ B(0, λ₁), com 0 < λ₁ < 1. E assim, finalizamos a prova do teorema.

Veremos também que as aplica¸cões (f, φ)7→λ_f,φ ∈IR e (f, φ)7→h_f,φ∈C⁰(M,IR) são cont´ınuas. Para isso, definamos norma Holder local e provemos inicialmente que o cone das fun¸cões Holder definido a seguir, também é deixado invariante pelo operador de transferência.

Dado um δ > 0, α ∈ (0,1), definimos a norma Holder local de ϕ ∈ C^α(M,IR) por |ϕ|_α,δ := sup

0<d(x,y)<δ

|ϕ(x)−ϕ(y)|

d(x, y)^α . Como M ´e compacto e conexo, a norma Holder global pode ser estimada a partir da norma Holder local, ou seja, existe um m ≥ 1 que s´o depende de δ tal que | · |α≤m| · |α,δ.

Proposi¸c˜ao 3.5. Para α ∈(0,1), κ >0 e δ > 0, defina Λ^α_κ,δ :={ϕ∈ C^α(M,IR); ϕ >

0 e |logϕ|α,δ ≤κ}. Dadosf ∈ D^r e φ ∈C^α(M,IR) existemκ0 >0, δ0 >0e ρ∈(0,1) tais que L_f,φ(Λ^α_κ,δ)⊂Λ^α_κ,δ, para todo κ≥κ₀ e 0< δ ≤δ₀.

Demonstra¸cão. Sejaδ >0 tal que os ramos inversos locais de f estão definidos em bolas de raio ^δ₂. Seja ϕ∈Λ^α_κ,δ. Assim, ϕ >0, com isso, Lf,φϕ >0. Além disso, dados x, y ∈M com 0< d(x, y)< δ temos que

logL_f,φϕ(x)−logL_f,φϕ(y) = logLf,φϕ(x) L_f,φϕ(y)

= log

deg(f)

j=1

e^φ(f^j^(x))ϕ(fj(x))

deg(f)

j=1

e^φ(f^j^(y))ϕ(f_j(y))

Agora observe que como ϕ∈Λ^α_κ,δ, temos que para todo x, y ∈M comd(x, y)< δ logϕ(x)−logϕ(y)≤κd(x, y)^α ⇐⇒ logϕ(x)

ϕ(y) ≤κd(x, y)^α ⇐⇒ ϕ(x)

ϕ(y) ≤e^κd(x,y)^α Sendo assim,

e^φ(f^j^(x))ϕ(f_j(x))

e^φ(f^j^(y))ϕ(f_j(y)) ≤e^φ(f^j^(x))−φ(f^j^(y))e^κd(f^j^(x),f^j^(y))^α

≤e^|φ|^α,δ^d(f^j^(x),f^j^(y))^αe^κσ^−α^d(x,y)^α

≤e^|φ|^α,δ^σ^−α^d(x,y)^α^+κσ^−α^d(x,y)^α

Segue ent˜ao da an´alise que

deg(f)

j=1

e^φ(f^j^(x))ϕ(f_j(x))

deg(f)

j=1

e^φ(f^j^(y))ϕ(f_j(y))

≤ e^|φ|^α,δ^σ^−α^d(x,y)^α^+κσ^−α^d(x,y)^α.

Dessa forma,

log

deg(f)

j=1

e^φ(f^j^(x))ϕ(fj(x))

deg(f)

j=1

e^φ(f^j^(y))ϕ(f_j(y))

≤ |φ|_α,δσ^−α+κσ^−α

d(x, y)^α

Logo, |logLf,φϕ|α,δ ≤ |φ|α,δσ^−α +κσ^−α. Tomando κ0 := ^2|φ|_σα−1^α,δ teremos que

|logL_f,φϕ|_α,δ ≤

1−σ^−α 2

κpara todo κ≥κ₀. Portanto, L_f,φϕ∈Λ^α_ρκ.

Como 1 ∈ Λ^α_κ,δ, temos pela proposi¸c˜ao anterior que ˜L_f,φ(1) ∈ Λ^α_ρκ,δ. Assim, L˜ⁿ_f,φ(1) ∈Λ^α_ρκ,δ. Isto implica que dados x, y ∈M

log ˜Lⁿ_f,φ(1)(x)−log ˜Lⁿ_f,φ(1)(y)≤κd(x, y)^α

Dessa forma, existe y ∈ M tal que ˜Lⁿ_f,φ(1)(y) = 1. Assim, substituindo na desigualdade acima, temos que

log ˜Lⁿ_f,φ(1)(x)−log 1≤κd(x, y)^α ⇒L˜ⁿ_f,φ(1)(x)≤e^κdiam(M⁾^α

De forma an´aloga, obtemos log 1−log ˜Lⁿ_f,φ(1)(x)≤κd(x, y)^α. E assim,e^−κdiam(M)^α ≤ L˜ⁿ_f,φ(1)(x).

Segue também, da estimativa da proposi¸cão, que se perturbarmos a dinâmica e o potencial o mesmo cone é preservado com a mesma taxa. Logo, existema, bque podem ser tomados uniforme em vizinhan¸cas de f e φ tais que 0 < a ≤ L˜ⁿ_f,φ(1)(x) ≤ b < +∞.

Isto implica que 0< a≤

L˜ⁿ_f,φ(1)dν_f₀_,φ₀ ≤b⇒λⁿ_f,φa≤ Z

Lⁿ_f,φ(1)dν_f₀_,φ₀ ≤λⁿ_f,φb

⇒nlogλ_f,φ+ loga≤log Z

Lⁿ_f,φ(1)dν_f₀_,φ₀ ≤nlogλ_f,φ+ logb

⇒logλ_f,φ+ 1

n loga ≤ 1 n log

Lⁿ_f,φ(1)dν_f₀_,φ₀ ≤logλ_f,φ+ 1 n logb Assim, _n¹logR

Lⁿ_f,φ(1)dν_f₀_,φ₀ converge uniformemente para λ_f,φ quando n tende ao infinito. Temos da análise que dadag_n sequência de fun¸cões cont´ınuas, seg_n converge uniformemente parag, entãogé cont´ınua. Portanto,λ_f,φé cont´ınua com respeito af e aφ.

Da mesma maneira, fazendon ir para o infinito em 0< a≤L˜ⁿ_f,φ(1)(x)≤b <+∞ temos que h_f,φ é uniformemente limitado numa vizinhan¸ca de f e φ. Assim, pela estimativa (3.5) do teorema do gap espectral segue que ˜Lⁿ_f,φ(1) converge uniformemente para h_f,φ. Logo, pelo mesmo argumento usado para λ_f,φ, conclu´ımos que h_f,φ também é cont´ınua com respeito af e a φ.

O pr´oximo resultado nos garante a uniformidade no gap espectral.

Corolário 3.3.1. Dadaf ∈ D^r eφ ∈C^r(M,IR), existem vizinhan¸cas F^r def e W^r deφ, além de constantes k ≥0 e τ ∈(0,1), onde τ := (1−e^−D), tal que: se ( ˆf ,φ)ˆ ∈ F^r× W^r então dado ϕ∈C^r(M,IR) temos

||L˜ⁿ_{f ,}_ˆ_φ_ˆϕ− Z

ϕdνf ,ˆφˆ·hf ,ˆφˆ||_r ≤kτⁿ||ϕ||_r. Demonstra¸c˜ao. Decorre da estimativa

||L˜ⁿ_f,φϕ−h_ϕ||_r≤D(1−e^−D)ⁿ⁻¹[κ₀(e^D+ 2) +e^D]||h_ϕ||∞,

dada pelo teorema do gap spectral e do fato queh_f,φ ´e cont´ınuo em rela¸c˜ao a f e φ.

Decorre tamb´em do gap espectral uniforme o seguinte resultado:

Corolário 3.3.2. A aplica¸cão D^r×C^r(M,IR)3(f, φ)7→h_f,φ ∈C^r−1(M,IR) é cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. De fato, fixe (f₀, φ₀)∈D^r×C^r(M,IR). Pelo gap espectral uniforme temos que

||L˜ⁿ_f,φ1−h_f,φ||_r≤kτⁿ ∀ (f, φ)∈ F^r× W^r Da´ı, dado ε >0, existe n₀ ∈IN tal que

||L˜ⁿ_f,φ⁰ 1−h_f,φ||_r < ε

3 ∀ (f, φ)∈ F^r× W^r

Assim, pela proposi¸c˜ao (3.2), e pelo fato que D^r ×C^r(M,IR) 3 (f, φ) 7→ λ_f,φ ´e cont´ınua temos que existe uma vizinhan¸caV ⊂ F^r× W^r de (f0, φ0) tal que se f ∈V

||L˜ⁿ_f,φ⁰ 1−L˜ⁿ_f⁰

0,φ1||r−1 < ε

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