Generalizac¸˜ao para sistemas MIMO

Seguindo as mesmas ideias propostas para sistemas SISO, ´e poss´ıvel fazer uma generalizac¸˜ao para sistemas MIMO com o mesmo n´umero de entradas e sa´ıdas, tamb´em co- nhecidos como sistemas quadrados (Isidori, 1995). Uma vers˜ao detalhada do procedimento para realizar a linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda est´a descrita no Apˆendice B. Considere o sistema representado pela equac¸˜ao de estados

˙x = f (x) + G(x)u (3.9a)

y = h(x) (3.9b)

em que_{x ∈ R}n_{, u, y ∈ R}m_{ef : R}n _{→ R}n _{´e um campo vetorial suave em um conjunto aberto} D ⊂ Rn_{. Considere que}

G(x) = [g1(x), . . . , gm(x)] h(x) = [h1(x), . . . , hm(x)]⊤

em quegi : Rn→ Rns˜ao campos vetoriais suaves ehi : Rn→ R s˜ao func¸˜oes suaves em D. Da mesma forma que os sistemas SISO, o processo de linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda consiste em derivar cada sa´ıdayiat´e que pelo menos uma entradauj aparec¸a na equac¸˜ao resul- tante. Ap´os derivarri vezes em relac¸˜ao ao tempo, a equac¸˜ao resultante ´e dada por

y(ri) i = L ri f hi(x) + m X j=1 LgjL ri−1 f hi(x)uj, i = 1, . . . , m (3.10)

O valorri ´e o menor inteiro tal queLgjL

ri−1

Nota 3.1. A utilizac¸˜ao de Lie derivatives ´e apenas uma forma enxuta de expressar a equac¸˜ao

resultante(3.10). Ela ´e o resultado deriderivadas sucessivas deyi.

Similarmente aos sistemas SISO, o conceito de grau relativo em sistemas MIMO tamb´em est´a relacionado com o n´umero de derivadasridas sa´ıdasyi. Como os sistemas MIMO possuem mais de uma sa´ıda, seu grau relativo ´e um vetor dado porr = [r1, . . . , rm]. A definic¸˜ao a seguir estende a Definic¸˜ao 3.1 para sistemas MIMO.

Definic¸˜ao 3.3 (Isidori (1995)). O sistema (3.9) possui um vetor de grau relativor dado por

r = [r1, . . . , rm] em um pontox0se 1. LgjL k fhi(x) = 0

para todo_{1 ≤ j ≤ m, k < r}i− 1, 1 ≤ i ≤ m e para todo x em uma vizinhanc¸a de x0;

2. A matriz_{m × m} ¯ G(x) =         Lg1L r1−1 f h1(x) . . . LgmL r1−1 f h1(x) Lg1L r2−1 f h2(x) . . . LgmL r2−1 f h2(x) .. . . .. ... Lg1L rm−1 f hm(x) . . . LgmL rm−1 f hm(x)         (3.11)

for n˜ao singular emx0.

Nota 3.2. Os elementos¯gij da matriz ¯G, dada por (3.11), s˜ao os coeficientes que multiplicam

cada entrada de controleuj na equac¸˜ao (3.10).

A maneira mais f´acil de obter ¯G ´e derivando cada sa´ıda yi,ri vezes, at´e que pelo menos uma

entrada de controleuj aparec¸a na equac¸˜ao resultante. Uma vez feito isso, basta construir a

matriz ¯G com os coeficientes que multiplicam as entradas de controle uj.

Se o sistema MIMO (3.9) possuir vetor de grau relativo_{r em uma regi˜ao D ⊂ R}n, a equac¸˜ao diferencial que relaciona diretamente as entradas com as sa´ıdas ´e, ent˜ao, dada por

¯

com y = [y¯ (r1)

1 , . . . , y

(rm)

m ]⊤, ¯f (x) = [Lr_f1h1(x), . . . , Lrfmhm(x)]⊤ e ¯G(x) dado por (3.11). Ent˜ao, a lei de controle que lineariza, emD, a equac¸˜ao diferencial (3.12) ´e dada por

u = ¯G(x)−1_{(v − ¯}f (x))

em que_{v ∈ R}m ´e um novo vetor de entradas a ser projetado.

Algumas observac¸˜oes devem ser feitas a respeito da linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda para sistemas MIMO:

• Se o sistema (3.9) n˜ao possuir vetor de grau relativo r, ent˜ao ele n˜ao ´e lineariz´avel no sentido entrada-sa´ıda;

• Se o sistema (3.9) possuir vetor de grau relativo, ele pode ser sempre escrito na sua forma normal associada utilizando um difeomorfismoz = Φ(x) dado por

Φ(x) =hy1 . . . y(r 1−1) 1 . . . ym . . . y (rm−1) m γ1 . . . γn−(r1+···+rm) i⊤

em que os elementos γi, com i ∈ {1, . . . , n − (r1 + · · · + rm)}, s˜ao transformac¸˜oes linearmente independentes cuja existˆencia ´e garantida pelo Lema 3.1. Note que o difeo- morfismoΦ(x) acima ´e uma extens˜ao de (3.6) para sistemas MIMO;

• A soma dos elementos do vetor de grau relativo de um sistema ´e sempre menor ou igual `a ordem do sistema, ou seja,r1+ · · · + rm ≤ n;

• Se a soma dos elementos do vetor de grau relativo de um sistema for estritamente menor que a ordem do sistema, ou seja, r1 + · · · + rm < n, ent˜ao o sistema possuir´a uma dinˆamica interna de ordem_{n − (r}1+ · · · + rm), sendo necess´ario verificar a estabilidade dessa dinˆamica interna (ver Slotine e Li (1991); Isidori (1995)).

Similarmente ao caso SISO, se r1 + · · · + rm = n, ent˜ao o sistema n˜ao possui dinˆamica interna, o que torna o resultado da linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda equivalente ao resultado da linearizac¸˜ao entrada-estado. O lema a seguir, extens˜ao do Lema 3.1 para sistemas MIMO, mostra uma condic¸˜ao necess´aria e suficiente para que a linearizac¸˜ao entrada-estado possa ser realizada.

Lema 3.3 (Isidori (1995)). O sistema n˜ao linear (3.9), supondo que G(x0) possui posto m,

´e lineariz´avel no sentido entrada-estado se, e somente se, existe uma vizinhanc¸a D de x0

[h1(x), . . . , hm(x)]⊤ como sa´ıda, possui um vetor de grau relativo r = [r1, . . . , rm] em que r1+ · · · + rm = n.

Assim como para os sistemas SISO, o Lema 3.3 necessita que as func¸˜oeshi(x), com i ∈ {1, . . . , m}, sejam conhecidas. O teorema a seguir, que generaliza o Teorema 3.1 para sis- temas MIMO, apresenta condic¸˜oes necess´arias e suficientes para que um sistema descrito pela equac¸˜ao dinˆamica (3.9a) seja lineariz´avel no sentido entrada-estado, sem conhecer as func¸˜oes hi(x) necess´arias para atender ao Lema 3.3

Teorema 3.2 (Isidori (1995)). Considere um sistema descrito pela equac¸˜ao dinˆamica (3.9a),

com rank_{(G(x)) = m em um dom´ınio D ⊂ R}n_{. Considere tamb´em as seguintes distribuic¸˜oes:} D0 = span{g1, . . . , gm}

D1 = span{g1, . . . , gm, adfg1, . . . , adfgm}

.. .

Di = span{adkfgj : 0 ≤ k ≤ i, 1 ≤ j ≤ m}

O sistema ´e lineariz´avel no sentido entrada-estado se, e somente se

1. para cada_{0 ≤ i ≤ n − 1, a distribuic¸˜ao D}ipossui dimens˜ao constante emD;

2. a distribuic¸˜ao_Dn−1 possui dimens˜aon;

3. para cada_{0 ≤ i ≤ n − 2, a distribuic¸˜ao D}i ´e involutiva. Atingindo grau relativo via extens˜ao dinˆamica

O desenvolvimento de controladores baseados em linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda se ba- seia no fato de o sistema possuir um vetor de grau relativor = [r1, . . . , rm], com r1+· · ·+rm ≤ n. As condic¸˜oes de grau relativo apresentadas na Definic¸˜ao 3.3 s˜ao consideravelmente mais dif´ıceis de serem atingidas para o caso MIMO em relac¸˜ao ao SISO. Muitas vezes, ´e poss´ıvel encontrar casos em que um determinado sistema n˜ao linear, com o mesmo n´umero de entradas e sa´ıdas, n˜ao possui um vetor de grau relativo, impossibilitando a aplicac¸˜ao de um controlador baseado em linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda. Uma maneira de contornar esse problema ´e incorporar, na dinˆamica do sistema, um conjunto de novas vari´aveis de estado que, na realidade, pertencem a um controlador dinˆamico. Esse tipo de controlador ´e modelado por equac¸˜oes na forma

˙ζ = γ(x, ζ) + δ(x, ζ)vu u = α(x, ζ) + β(x, ζ)vu

em quevu ´e uma nova entrada de controle.

O sistema (3.9) em malha fechada com o controlador (3.13) resulta na dinˆamica estendida dada por

˙x = f (x) + G(x)α(x, ζ) + G(x)β(x, ζ)vu ˙ζ = γ(x, ζ) + δ(x, ζ)vu

y = h(x)

A adic¸˜ao das novas vari´aveis de estadoζ pode fazer com que a dinˆamica estendida de um sistema possua um vetor de grau relativo, mesmo se o sistema original n˜ao possuir. O exemplo a seguir mostra um sistema com duas entradas e duas sa´ıdas que n˜ao possui vetor de grau relativo, por´em adicionando estados de um controlador dinˆamico `a dinˆamica do sistema, a dinˆamica estendida do sistema possui um vetor de grau relativo possibilitando a aplicac¸˜ao da linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda.

Exemplo 3.1. Considere o sistema descrito pelas equac¸˜oes de estado ˙x1 = sin(x3)u1 ˙x2 = cos(x3)u1 ˙x3 = u2 y =   x1 x2  

Sua matriz ¯G, dada por

¯ G =   sin(x3) 0 cos(x3) 0  

n˜ao ´e invers´ıvel, portanto o sistema n˜ao possui um vetor de grau relativo. Considerando um controlador dinˆamico que corresponde a um integrador na entrada de controleu1, o sistema

expandido fica sendo

˙x1 = sin(x3)ζ ˙x2 = cos(x3)ζ ˙x3 = u2 ˙ζ = v1 y =   x1 x2  

em queζ = u1 ev1 ´e uma nova entrada de controle a ser projetada. Sua matriz ¯G, dada por ¯ G =   sin(x3) cos(x3)ζ cos(x3) − sin(x3)ζ  

´e invers´ıvel sempre que_{ζ 6= 0. Dessa forma o sistema passa a ter um vetor de grau relativo}

r = [2, 2] em uma regi˜ao D = {x ∈ R3_{, ζ ∈ R : ζ 6= 0}.}

O motivo pelo qual o sistema do exemplo anterior n˜ao possui grau relativo ´e o fato de que as derivadas de menor ordem das sa´ıdas, que s˜ao afetadas pelas entradas (neste caso ˙x1 e ˙x2), s˜ao afetadas por u1 mas n˜ao por u2. Sabendo que a segunda derivada das sa´ıdas seria uma func¸˜ao da entradau2, mas tamb´emu1 e ˙u1, uma maneira f´acil de atingir grau relativo via extens˜ao dinˆamica ´e consideraru1como um estado da dinˆamica estendida e fazer ˙u1 = v1, com v1 uma nova entrada. Assim, as duas entradas (v1 eu2) atuam nas duas sa´ıdas (neste caso em ¨

x1ex¨2) da dinˆamica estendida do sistema.

Embora existam algoritmos que fornec¸am o controlador dinˆamico na forma de (3.13), este trabalho n˜ao os apresentar´a. Para mais detalhes sobre esses algoritmos, ver Isi- dori (1995).