Técnicas de controle não linear para o problema de rastreamento de trajetória aplicadas a quadricópteros

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Ricardo de Souza Bonna

T´ecnicas de controle n˜ao linear para o

problema de rastreamento de trajet´oria

aplicadas a quadric´opteros

CAMPINAS

2016

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T´ecnicas de controle n˜ao linear para o

problema de rastreamento de trajet´oria

aplicadas a quadric´opteros

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Pro-jeto Mecânico.

Orientador: Prof. Dr. Juan Francisco Camino dos Santos

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERS ÃO FINAL DA DISSERTAÇ ÃO DEFENDIDA PELO ALUNO RICARDO DE SOUZA BONNA, E ORI-ENTADA PELO PROF. DR. JUAN FRANCISCO CAMINO DOS SANTOS.

... ASSINATURA DO ORIENTADOR

CAMPINAS

2016

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Bonna, Ricardo de Souza,

1990-B642t BonTécnicas de controle não linear para o problema de rastreamento de trajetória aplicadas a quadricópteros / Ricardo de Souza Bonna. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

BonOrientador: Juan Francisco Camino.

BonDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Bon1. Sistemas não lineares. 2. Teoria de controle. 3. Robótica. 4. Controle automático. I. Camino, Juan Francisco,1970-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Nonlinear control techniques for the trajectory tracking problem applied to quadrotors Palavras-chave em inglês: Nonlinear systems Control theory Robotics Automatic control

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica

Banca examinadora:

Juan Francisco Camino [Orientador] Ely Carneiro de Paiva

Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira Data de defesa: 23-02-2016

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FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

COMISS ˜

AO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INTEGRADOS

DISSERTAÇ ÃO DE MESTRADO ACAD ÊMICO

T´ecnicas de controle n˜ao linear para o

problema de rastreamento de trajet´oria

aplicadas a quadric´opteros

Autor: Ricardo de Souza Bonna

Orientador: Prof. Dr. Juan Francisco Camino dos Santos

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertac¸˜ao:

Prof. Dr. Juan Francisco Camino dos Santos, Presidente DSI/FEM/UNICAMP

Prof. Dr. Ely Carneiro de Paiva DSI/FEM/UNICAMP

Prof. Dr. Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira DT/FEEC/UNICAMP

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Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais Marcus e Kathia, por todo o apoio durante a minha graduac¸˜ao e posteriormente o mestrado.

Gostaria de agradecer ao meu irmão André e à minha cunhada Andréa, por divi-direm um espacinho da casa deles para que eu pudesse passar as noites enquanto estava em Campinas finalizando as correções desta dissertação.

Gostaria de agradecer aos meus colegas e amigos de laboratório Luis, Guilherme, Thiago, Marcos e Lukas, pela ajuda em algumas etapas deste projeto. Também gostaria de agradecer aos demais amigos e colegas de faculdade que aqui não citarei por serem tantos nomes e por receio de esquecer alguêm.

Gostaria de mandar um agradecimento especial para minha querida Let´ıcia, por me aturar por tanto tempo e me ajudar em muitos momentos de stress.

No âmbito acadêmico, gostaria de agradecer ao meu orientador, professor Camino, pelas orientações e pelo aprendizado adquirido durante esses 2 anos de mestrado. Também gostaria de agradecer aos membros da banca de defesa professor Ely e professor Ricardo, pelas sugestões dadas.

Por último, gostaria de agradecer a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pelo financiamento dessa pesquisa através de uma bolsa de mestrado.

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O projeto de controladores voltado ao problema de rastreamento de trajetórias para quadricópteros é uma tarefa complexa pois requer a aplicação de técnicas avançadas de controle, já que o modelo dinâmico do quadricóptero é não linear e subatuado. Em situações reais, um quadricóptero está sujeito a vários tipos de perturbações que podem prejudicar o desempenho dos controladores projetados.

Este trabalho apresenta projetos de controladores de rastreamento de trajetórias para um quadricóptero sujeito a perturbações em sua dinâmica de voo. A arquitetura do sistema de controle é constitu´ıda de uma malha interna de controle contendo um controlador por feedback

linearization, que será responsável por neutralizar as não linearidades presentes no modelo dinâmico e lidar com a subatuação inerente do sistema, e uma malha externa de controle. Para a malha externa, que é responsável pela estabilidade e rejeição às perturbações, são apresentados três projetos de controladores: um controlador LQR, um controlador _H∞ e um controlador por sliding mode. Simulações numéricas são apresentadas para demonstrar a capacidade de rastreamento de trajetórias e a rejeição a perturbações de cada um dos três projetos propostos.

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Designing trajectory tracking controllers for quadrotors is not a trivial task. Since the quadrotor’s dynamic model is nonlinear and underactuated, the use of advanced control techniques is often required. In real applications, a quadrotor is subject to different kinds of disturbances that can affect the performance of the designed controllers.

This work presents different trajectory tracking controller designs for a quadrotor with disturbances in its flight dynamics. The control system architecture is composed of an inner and an outer control loop. The inner loop, created through feedback linearization, counte-racts nonlinearities of the dynamic model while dealing with the underactuation of the system. For the outer loop, responsible for stability and disturbance rejection, three different control designs are presented: one LQR controller, one_H∞ controller and one sliding mode control-ler. Numerical simulations show the trajectory tracking performance and disturbance rejection capabilities of the proposed controllers.

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1.1 General Atomics MQ-9 Reaper. . . 17

1.2 Hexac´optero. . . 17

1.3 Quadric´optero AscTec Hummingbird. . . 18

1.4 Giroplano n´umero 1. . . 18

1.5 Oehmichen n´umero 2. . . 19

1.6 Helic´optero de Bothezat. . . 19

2.1 Quadric´optero. . . 34

2.2 Diagrama de corpo livre. . . 35

2.3 Diagrama de corpo livre modificado. . . 36

4.1 Diagrama de blocos do controlador dinˆamico. . . 72

4.2 Malha de controle proposta. . . 73

4.3 Planta generalizada. . . 76

5.1 Trajet´orias de referˆenciapr(t) e ψr(t). . . 86

5.2 Perturbações utilizadas nas simulações. . . 87

5.3 Sa´ıdas obtidas (linha cont´ınua azul) e trajetórias desejadas (linha tracejada ver-melha) para o controlador auxiliar LQR sem perturbações. . . 90

5.4 Erros de rastreamento para o controlador auxiliar LQR sem perturbac¸˜oes. . . . 90

5.5 Sinais de controle para o controlador auxiliar LQR sem perturbac¸˜oes. . . 91

5.6 Sa´ıdas obtidas (linha cont´ınua azul) e trajetórias desejadas (linha tracejada ver-melha) para o controlador auxiliar LQR com o sistema sujeito a perturbações. . 92

5.7 Erros de trajetória para o controlador auxiliar LQR com o sistema sujeito a perturbações. . . 92

5.8 Sinais de controle para o controlador auxiliar LQR com o sistema sujeito a perturbac¸˜oes. . . 93

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5.10 Sa´ıdas obtidas (linha cont´ınua azul) e trajet´orias desejadas (linha tracejada ver-melha) para o controlador auxiliar_H∞. . . 96 5.11 Erros de trajet´oria para o controlador auxiliar_H∞. . . 96 5.12 Sinais de controle para o controlador auxiliar_H∞. . . 97 5.13 Sinais de controle para o controlador auxiliar _H∞ no intervalo de tempo t ∈

[0, 0.1]. . . 98 5.14 Sa´ıdas desejadas (linha cont´ınua azul) e trajet´orias desejadas (linha tracejada

vermelha) para o controlador auxiliar por sliding mode. . . . 101 5.15 Erros de trajet´oria para o controlador auxiliar por sliding mode. . . . 101 5.16 Sinais de controle para o controlador auxiliar por sliding mode. . . . 102

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R Conjunto dos n´umeros reais. Z Conjunto dos n´umeros inteiros.

l Meia envergadura do quadricóptero [m]. g Aceleração da gravidade [m/s2].

m Massa do quadric´optero [kg].

I Momento de inércia do quadricóptero [kg m2]. Ixx Momento de inércia no eixox [kg m2].

Iyy Momento de in´ercia no eixoy [kg m2]. Izz Momento de in´ercia no eixoz [kg m2].

p Vetor de posição do centro de massa do quadricóptero [m]. α Vetor de orientação (ou atitude) do quadricóptero [rad]. φ Angulo de roll [rad].ˆ

θ Angulo de pitch [rad].ˆ ψ Angulo de yaw [rad].ˆ

R Matriz de rotac¸˜ao entre dois referenciais. J Matriz Jacobiana de velocidades angulares. ω Velocidade angular [rad/s].

S(ω) Matriz anti-sim´etrica de velocidades angulares. Ωi Velocidade angular da h´elicei [rad/s].

b Coeficiente de empuxo das h´elices [N s2]. d Coeficiente de arrasto das h´elices [N m/s2]. ρ Empuxo total produzido pelos rotores [N]. τ Vetor de torque efetivo [N m].

ˆi Vetor[1, 0, 0]⊤_. ˆj Vetor[0, 1, 0]⊤_.

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t Vari´avel de tempo [s].

y(i) _{Derivada temporal de ordem}_{i de y.} I Referencial inercial.

B Referencial local.

J Func¸˜ao de custo do problema LQR.

Q Matriz que penaliza os estados na func¸˜ao_{J .}

R Matriz que penaliza a entrada de controle na função_{J .} 1i×i Matriz identidade de dimensãoi.

0i×j Matriz nula de dimensõesi × j. kx(t)k1 Norma 1 do vetorx(t) em função de t.

kx(t)k2 Norma 2 do vetorx(t) em função de t (Norma Euclidiana). kx(t)k∞ Norma infinito do vetorx(t) em função de t.

kx(t)kL2 NormaL2 do sinalx(t).

kx(t)kL∞ NormaL∞do sinalx(t).

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1 Introduc¸ ˜ao 16

1.1 Revis˜ao da literatura . . . 20

1.2 Objetivo da dissertac¸˜ao . . . 22

1.2.1 Metodologia . . . 23

2 Modelo dinâmico 25 2.1 Conceitos básicos de dinâmica . . . 25

2.1.1 Restrições cinemáticas ao movimento . . . 25

2.1.2 Sistemas subatuados . . . 28

2.1.3 Cinem´atica de corpos r´ıgidos . . . 29

2.1.4 Equac¸˜oes de Newton-Euler . . . 33

2.2 Modelo dinˆamico de um quadric´optero . . . 33

2.2.1 Quadricóptero sem perturbações . . . 33

2.2.2 Quadricóptero sujeito a perturbações . . . 40

3 T´ecnicas de controle n˜ao linear 44 3.1 Feedback Linearization . . . 44

3.1.1 Linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda para sistemas SISO . . . 45

3.1.2 Linearizac¸˜ao entrada-estado para sistemas SISO . . . 48

3.1.3 Generalizac¸˜ao para sistemas MIMO . . . 50

3.2 Sliding Mode . . . 55

3.2.1 Sliding modeem sistemas SISO . . . 55

3.2.2 Generalizac¸˜ao para sistemas MIMO . . . 59

4 Projeto de controladores para quadricópteros 63 4.1 Definição do problema de controle . . . 63

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4.3 Projeto da lei de controle auxiliarv . . . 73

4.3.1 Controlador auxiliar LQR . . . 73

4.3.2 Controlador auxiliar_H∞ . . . 75

4.3.3 Controlador auxiliar por sliding mode . . . . 79

5 Simulações numéricas 84 5.1 Parâmetros do quadricóptero . . . 84

5.2 Condições iniciais, trajetória desejada e perturbações . . . 85

5.3 Simulações numéricas utilizando o controlador auxiliar LQR . . . 88

5.3.1 Parˆametros do controlador auxiliar LQR . . . 88

5.3.2 Resultados num´ericos utilizando o controlador auxiliar LQR . . . 89

5.4 Simulações numéricas utilizando o controlador auxiliar_H∞ . . . 94

5.4.1 Parˆametros do controlador auxiliar_H∞ . . . 94

5.4.2 Resultados num´ericos utilizando o controlador auxiliar_H∞ . . . 95

5.5 Simulações numéricas utilizando o controlador auxiliar por sliding mode . . . . 98

5.5.1 Parˆametros do controlador auxiliar por sliding mode . . . . 99

5.5.2 Resultados num´ericos utilizando o controlador auxiliar por sliding mode 100 6 Conclus˜ao 103 6.1 Temas para trabalhos futuros . . . 105

A Ferramentas matem´aticas 109 A.1 Gradiente e Jacobiano . . . 109

A.2 Lie derivative e Lie bracket . . . 109

A.3 Difeomorfismo . . . 110

A.4 Involutividade . . . 111

B Linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda 112 B.1 Procedimento . . . 112

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1 INTRODUC

¸ ˜

AO

Ve´ıculos aéreos não tripulados (VANTs), popularmente conhecidos como drones, estão ganhando cada vez mais notoriedade nas últimas décadas. Atualmente, é muito comum encontrar not´ıcias envolvendo drones ou até mesmo presenciar um drone em ação realizando filmagens aéreas, transporte de pequenas cargas ou sendo utilizados para inspeção.

Qualquer ve´ıculo aéreo que não possua piloto abordo é um ve´ıculo aéreo não tripu-lado. Os drones podem ser divididos em duas classes: autônomos ou controlados remotamente. Os drones autônomos são controlados por um computador abordo do ve´ıculo e são capazes de realizar manobras sem a interferência humana, enquanto que os drones controlados remota-mente são operados com o aux´ılio de um sistema de controle remoto, através de um humano.

Embora existam relatos de drones sendo utilizados desde antes da Primeira Guerra Mundial, o seu desenvolvimento passou a ser significativo após o término da Segunda Guerra Mundial. Durante a Guerra Fria, a necessidade de se obter informações sobre o inimigo fez os Estados Unidos e a União Soviética investirem em satélites e aviões espiões não tripulados. Ainda no per´ıodo de Guerra Fria, com a corrida espacial, surgiu a necessidade de se testar os ve´ıculos espaciais e seus lançadores, os foguetes, sem colocar vidas em risco, exigindo assim que os foguetes fossem controlados remotamente. Drones com capacidade de bombardeiro, como por exemplo o MQ-9 Reaper (Figura 1.1), são utilizados nos dias de hoje pelas forças armadas dos Estados Unidos.

Devido ao grande avanço na área de microeletrônica embarcada, os drones deixaram de ser um equipamento exclusivamente de uso militar ou de órgãos governamentais e passaram a ser uma ferramenta para fotografias aéreas, um brinquedo para hobbystas ou um meio de transporte de pequenas cargas. Dentre os tipos de drones mais populares entre a população civil estão os multicópteros, que são pequenos helicópteros possuindo 4 ou mais rotores, todos eles paralelos entre si. A Figura 1.2 mostra um tipo de multicóptero de 6 rotores, conhecido como hexacóptero.

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Figura 1.1: General Atomics MQ-9 Reaper.

Figura 1.2: Hexac´optero.

O número de rotores de um multicóptero é determinado, em geral, pela massa total do ve´ıculo carregado. O número de rotores é sempre um número par, em que metade deles giram no sentido horário e a outra metade no anti-horário. Dentre as vantagens dos multicópteros em relação aos helicópteros convencionais, podem ser citadas a contribuição de todos os rotores na propulsão total do ve´ıculo e o fato de não ser necessário o uso de um mecanismo de swashplate (Castillo et al., 2005) nos rotores para efetuar manobras. Helicópteros convencionais, além de necessitarem de mecanismo de swashplate no rotor principal, possuem um rotor traseiro apenas para contra-balancear o torque do rotor principal, não contribuindo para a propulsão total do ve´ıculo.

Dentre os multicópteros, o que mais se destaca é o quadricóptero. Ele possui o número m´ınimo de rotores necessários para gerar as quatro atuações básicas requeridas por qualquer ve´ıculo aéreo: propulção, rolagem, arfagem e guinada (do inglês, thrust, roll, pitch

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e yaw respectivamente), sem necessitar de mecanismo de swashplate. A dinâmica de voo de qualquer multicóptero de rotores paralelos pode ser simplificada como a dinâmica de um qua-dricóptero, isso explica o grande destaque que é dado a quadricópteros. A Figura 1.3 mostra um quadricóptero AscTec Hummingbird (AscTec, 2015).

Figura 1.3: Quadric´optero AscTec Hummingbird.

O conceito de multicópteros de rotores paralelos remete às primeiras décadas do século XX. Nessa época, alguns inventores tentaram levantar voo com o que seriam os primeiros multicópteros da história. Por volta do ano 1907, os irmãos franceses Jacques e Louis Breguet constru´ıram e testaram o Giroplano número 1, um quadricóptero primitivo que demonstrou ser muito instável durante os testes. A Figura 1.4 mostra uma réplica em pequena escala do Giroplano número 1.

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Na década de 1920, o engenheiro francês Étienne Oehmichen testou alguns con-ceitos de multicópteros, entre eles o Oehmichen número 2 (Figura 1.5), que apresentou uma estabilidade consideravelmente maior que os outros modelos testados na época. Em 1927, Oehmichen bateu o recorde mundial de distância percorrida, voando 360m com o Oehmichen número 2. Ainda no mesmo ano, ele bateu outro recorde voando 1km em uma trajetória circular, sendo o primeiro homem a completar tal feito com um helicóptero.

Figura 1.5: Oehmichen n´umero 2.

Em 1922, George de Bothezat e Ivan Jerome desenvolveram um quadricóptero que viria a ser conhecido como Helicóptero de Bothezat (Figura 1.6), com 4 rotores possuindo hélices de 6 lâminas. O quadricóptero foi construido para as forças armadas dos Estados Uni-dos e voou aproximadamente 100 vezes até o final de 1923, atingindo uma altura máxima de 5m. No entanto, esse ve´ıculo requeria um esforço significante por parte do piloto para realizar movimentos laterais. Assim, alguns meses depois o projeto foi abandonado.

Figura 1.6: Helic´optero de Bothezat.

Em meados do século XX, algumas tentativas de se produzir um multicóptero de rotores paralelos para as forças armadas dos Estados Unidos, apesar de bem sucedidas, foram abandonadas por não atingirem os padrões de qualidade do exército, como, por exemplo, a do quadricóptero Curtiss-Wright VZ-7.

Foi apenas no in´ıcio do século XXI, com o desenvolvimento da microeletrônica em-barcada, das baterias e dos motores elétricos, que os multicópteros atingiram o seu verdadeiro

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potencial. Atualmente já existem pequenos quadricópteros fazendo filmagens aéreas, vigilância e até mesmo ajudando a pol´ıcia a capturar criminosos. É poss´ıvel que, futuramente, existam drones multicópteros entregando produtos em nossas casas, como promete o projeto Prime Air da loja virtual Amazon.

1.1 Revis˜ao da literatura

Uma das partes mais importantes de um quadricóptero (e consequentemente qual-quer outro multicóptero) é o sistema de controle. Nas últimas décadas, o projeto de controlado-res para esse tipo de ve´ıculo vem sendo objeto de estudo de muitos pesquisadocontrolado-res ao redor do mundo. Alguns centros de pesquisas possuem instalações espec´ıficas para o teste experimental de leis de controle para quadricópteros (How et al., 2008; Michael et al., 2010; Lupashin et al., 2014).

Quadricópteros são naturalmente dif´ıceis de controlar pois seu modelo dinâmico é não linear e subatuado (Castillo et al., 2005). Sistemas subatuados são caracterizados por possu´ırem menos atuadores do que graus de liberdade (Fantoni e Lozano, 2002; Spong, 1998). Dentre os problemas de controle para quadricópteros, pode-se definir duas grandes classes de problemas: controle de atitude e rastreamento de trajetórias.

O controle de atitude consiste em controlar a orientação do ve´ıculo sem levar em conta o comportamento dinâmico de translação. Como a dinâmica de rotação de um quadrirotor não depende da dinâmica de translação (embora o contrário não seja verdadeiro), pode-se des-considerar a dinâmica de translação em problemas de controle de atitude. Um fato curioso é que a dinâmica de rotação é completamente atuada e a sua linearização na origem através da série de Taylor é completamente controlável, permitindo a aplicação de técnicas de controle lineares baseadas em realimentação de estados. Controladores de atitude costumam estar presentes em todos os quadricópteros, seja como controlador principal ou como um controlador secundário para o problema de rastreamento de trajetórias. De fato, é comum controlar primeiramente a atitude antes de se realizar o rastreamento de trajetórias, o que justifica a grande importância dada por muitos pesquisadores a essa classe de problemas de controle.

Alguns trabalhos focam principalmente na resolução de problemas de controle de atitude, como é o caso de Bouabdallah (2007), que apresenta diversas técnicas de controle dife-rentes, lineares e não lineares, todas verificadas experimentalmente, para o controle de atitude.

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Uma comparação direta entre a utilização de controladores PID e LQR em um problema de controle de estabilização de atitude é apresentado em Bouabdallah et al. (2004). O controlador PID se mostrou superior ao controlador LQR no quesito robustez a pequenas perturbações.

Algumas abordagens para o controle de atitude envolvem a utilização de quaterni-ons unitários para descrever a atitude de um quadricóptero. O artigo Tayebi e McGilvray (2006) apresenta um controlador PD, com implementação baseada em quaternions, para o controle de atitude. O trabalho mostra que é poss´ıvel atingir estabilidade exponencial global da origem dos ângulos de orientação (row, pitch e yaw) e que o controlador proposto é robusto a pequenas perturbações que afetam a dinâmica de rotação do quadricóptero.

A outra classe de problemas de controle, o rastreamento de trajetórias, é significati-vamente mais complexa que o controle de atitude. A ideia por trás do rastreamento de trajetórias é projetar leis de controle que, a partir de uma dada trajetória parametrizada pela variável de tempo, a diferença entre a posição atual do ve´ıculo e a posição atual da referência convirja para zero. Para que tais leis de controle possam ser projetadas, é necessário considerar tanto a dinâmica de rotação quanto a dinâmica de translação do quadricóptero, fornecendo um sistema não linear e subatuado. Nesse caso, é necessário a utilização de técnicas de controle não lineares como por exemplo o backstepping, o feedback linearization ou o sliding mode.

Em Madani e Benallegue (2006a), o modelo dinâmico do quadricóptero é escrito em uma forma apropriada para aplicação do backstepping. O modelo é dividido em 3 subsistemas: um subatuado, um completamente atuado e um subsistema representando a dinâmica do con-junto rotor/hélice. A estabilidade do sistema em malha fechada e o rastreamento de trajetórias são garantidos utilizando a teoria de Lyapunov. Devido a natureza recursiva do backstepping, a lei de controle resultante é composta por um conjunto de leis de controle auxiliares e suas derivadas, dificultando a implementação prática do controlador projetado.

Em Mistler et al. (2001), é mostrado que não é poss´ıvel encontrar uma lei de con-trole estática que linearize, utilizando feedback linearization, a relação entrada-sa´ıda de um quadricóptero em problemas de rastreamento de trajetórias, pois o modelo do quadricóptero, escolhendo como sa´ıdas a posição cartesiana do centro de massa e o ângulo de yaw, não pos-sui grau relativo. A solução adotada foi propor um controlador dinâmico que, adicionando a dinâmica do controlador ao sistema, resulta em um sistema estendido com grau relativo com-pleto. Isso possibilitou a s´ıntese de um controlador baseado em linearização entrada-estado que, em malha fechada com o sistema estendido, resultou em um sistema em malha fechada

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n˜ao interativo.

Em Lee et al. (2009), dois projetos de controladores distintos para rastreamento de trajet´orias s˜ao comparados, um utilizando feedback linearization e outro utilizando sliding

mode adaptativo. O controlador por feedback linearization é projetado utilizando um mo-delo dinâmico simplificado de um quadricóptero para reduzir a complexidade das derivadas de grande ordem envolvidas no processo. É mostrado, através de simulações numéricas, que o controlador sliding mode adaptativo apresenta uma maior robustez à incertezas e ru´ıdos de medição.

A estratégia adotada por Das et al. (2008) para a solução do problema de controle de rastreamento de trajetórias consiste em projetar uma malha de controle interna que estabilize a dinâmica de rotação e a altitude do quadricóptero através de um controlador de atitude e altitude por inversão dinâmica. Uma segunda malha de controle é responsável por gerar a atitude desejada a partir dos erros de rastreamento. Uma estratégia similar é adotada por Raffo

et al.(2010), porém a malha de controle interna é composta por um controlador não linear_H∞, e a malha externa, responsável por fornecer a atitude desejada, é composta por um controlador preditivo baseado nos erros de rastreamento.

A utilização do sliding mode se mostrou muito promissora no quesito rejeição a perturbações quando utilizado como lei de controle auxiliar por controladores não lineares pro-jetados para rastreamento de trajetórias. Em Madani e Benallegue (2006b), é apresentado um controlador por backstepping, similar ao apresentado em Madani e Benallegue (2006a), porém incluindo termos contendo leis de controle auxiliares por sliding mode. O sistema em malha fechada mostrou, tanto em simulações quanto em experimentos, um aumento significativo na rejeição a perturbações e incertezas.

1.2 Objetivo da dissertac¸˜ao

O objetivo principal deste trabalho é projetar leis de controle tendo como meta a resolução do problema de controle de rastreamento de trajetórias, considerando a presença de perturbações na dinâmica de quadricópteros.

Como o modelo dinâmico de um quadricóptero é não linear e subatuado, os con-troladores projetados deverão ser capazes de lidar com as não linearidades e a subatuação do modelo dinâmico e, ao mesmo tempo, apresentarem robustez perante perturbações. A

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metodo-logia adotada para atingir o objetivo ´e descrita a seguir.

1.2.1 Metodologia

Deve-se primeiramente levantar o modelo dinâmico de um quadricóptero sujeito a perturbações. Esse modelo dinâmico deve ser capaz de representar a dinâmica de voo de um quadricóptero sujeito a perturbações na dinâmica de translação e na dinâmica de rotação, podendo tratar casos em que essas perturbações são isoladas, simultâneas ou inexistentes. O modelo será levantado utilizando as equações de Newton-Euler, sem utilizar nenhum tipo de aproximações ou linearizações, podendo representar fielmente a dinâmica de um quadricóptero real mesmo durante as manobras mais agressivas. O Cap´ıtulo 2 apresenta todo o procedimento de modelagem utilizado.

Para o projeto dos controladores, apresentado no Cap´ıtulo 4, será utilizada a técnica de controle não linear feedback linearization (cuja teoria é apresentada no Cap´ıtulo 3), utili-zando o controlador dinâmico proposto por Mistler et al. (2001), com o objetivo de neutralizar as não linearidades presentes no modelo dinâmico do quadricóptero e de lidar com a subatuação inerente do sistema. Controladores por feedback linearization necessitam de uma lei de controle auxiliar, normalmente uma lei de controle linear, que é responsável pela estabilidade e desem-penho do sistema em malha fechada. Serão projetadas 3 leis de controle auxiliares distintas utilizando-se 3 técnicas de controle diferentes: regulador linear quadrático (LQR), controle_H∞ e sliding mode.

O controlador auxiliar LQR será projetado para o caso em que as perturbações são inexistentes, conforme apresentado em Bonna e Camino (2015). Ele será utilizado para a validação do controlador por feedback linearization e como base de comparações para os demais controladores auxiliares.

O controlador auxiliar_H∞ será projetado com o objetivo de se minimizar a ação das perturbações nos erros de rastreamento. Através de algumas manipulações algébricas, é poss´ıvel representar a malha fechada contendo a dinâmica do quadricóptero e o controlador por

feedback linearizationem uma planta generalizada apropriada para a utilizac¸˜ao de algoritmos de s´ıntese de controladores_H∞.

Sabendo que a técnica de sliding mode se mostrou muito robusta a incertezas e perturbações (Lee et al., 2009; Madani e Benallegue, 2006b), será projetado uma terceira lei de controle auxiliar baseada em sliding mode (cuja teoria é apresentada no Cap´ıtulo 3), que é

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capaz de anular completamente a ação das perturbações nos erros de rastreamento, contanto que as perturbações sejam limitadas por funções conhecidas. Será apresentada também uma maneira de projetar leis de controle cont´ınuas por sliding mode, evitando assim fenômenos indesejados como por exemplo o chaveamento em altas frequências conhecido como chattering. A utilização de uma malha interna por feedback linearization e uma malha externa por sliding

modepara rastreamento de trajetórias aplicadas a um quadricóptero sujeito a perturbações é a grande inovação deste trabalho.

Por fim, serão realizadas simulações numéricas no Cap´ıtulo 5 para se demonstrar a capacidade de rastreamento de trajetórias e desempenho do sistema em malha fechada contendo o controlador por feedback linearization e cada um dos três controladores auxiliares propos-tos. Os resultados obtidos com cada controlador auxiliar são comparados entre si nos quesitos rejeição a perturbações e viabilidade de implementação.

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2 MODELO DIN ˆ

AMICO

Este cap´ıtulo apresenta o levantamento do modelo dinâmico de um quadricóptero sujeito a perturbações. A Seção 2.1 apresenta alguns conceitos básicos de cinemática e dinâmica necessários para o desenvolvimento das equações de movimento de um quadricóptero. A Seção 2.2 apresenta o procedimento para levantar as equações de movimento de um qua-dricóptero. Esta seção é dividida em duas partes, sendo que a primeira parte é referente a um quadricóptero sem perturbações e a segunda parte é referente a um quadricóptero sujeito a perturbações. Esta seção também apresentará o modelo de estados do sistema e análise de pontos de equil´ıbrio.

2.1 Conceitos b´asicos de dinˆamica

Esta seção apresenta alguns conceitos básicos de cinemática e dinâmica que serão importantes para o levantamento das equações de movimento de um quadricóptero.

2.1.1 Restrições cinemáticas ao movimento

Considere um sistema deN part´ıculas. A configuração desse sistema é dada pela posição individualri ∈ R3 de cada uma dasN part´ıculas, necessitando assim 3N coordenadas para descrever a configuração do sistema. No caso usual, as part´ıculas não podem se mover livremente no espaço pois podem existir restrições cinemáticas ao movimento. Um exemplo clássico de restrição é o caso de um corpo r´ıgido, onde as distâncias entre as part´ıculas se mantém constantes, ou seja

kri− rjk − cij = 0

em quecij ´e uma constante que indica a distˆancia entre as part´ıculas.

Desta forma, é poss´ıvel obter a configuração de um sistema com uma quantidade de coordenadas _{n inferior a 3N. Essas n ≤ 3N coordenadas são chamadas de coordenadas}

(26)

generalizadas. O número de coordenadas generalizadas em um sistema nem sempre é o mesmo, pois depende da escolha de coordenadas. Um sistema de_{N part´ıculas e l restrições possui 3N −l} graus de liberdade. No entanto, o número de graus de liberdade é propriedade do sistema e não da escolha de coordenadas.

As restrições cinemáticas podem ser divididas em duas grandes classes: restrições holonômicas e restrições não holonômicas.

Definição 2.1 (Greenwood (2003)). Considere que a configuração de um sistema é dada por n coordenadas generalizadas q = [q1, . . . , qn]⊤ e que existem m equações independentes de

restric¸˜oes com a forma

hi(q, t) = 0, i = 1, . . . , m (2.1)

Uma restrição que pode ser escrita dessa forma é chamada de restrição holonômica.

Como pode-se observar, uma restrição holonômica não depende das derivadas das coordenadas generalizadas ˙q, também conhecidas como velocidades generalizadas.

Exemplo 2.1 (Greenwood (2003)). Uma part´ıcula de posic¸˜ao p = [x, y, z], que se move na

superf´ıcie de uma esfera de raioR e centrada na origem do espac¸o cartesiano possui uma

restrição holonômica descrita pela equação

h(x, y, z) = x2 _{+ y}2_{+ z}2_{− R}2 _{= 0}

A partir da definição de restrições holonômicas, pode-se definir o conceito de siste-mas holonômicos:

Definição 2.2 (Greenwood (2003)). Se o sistema possuir apenas restrições holonômicas, então

o sistema ´e holonˆomico.

Uma propriedade muito importante de sistemas holonômicos é que eles podem ser sempre descritos utilizando um número m´ınimo de coordenadas generalizadas igual ao número de graus de liberdade.

Exemplo 2.2. Um corpo r´ıgido livre no espaço tri-dimensional é um sistema holonômico que

pode ser descrito utilizando no m´ınimo 6 coordenadas generalizadas.

Restrições não holonômicas diferem das restrições holonômicas pela presença das velocidades generalizadas ˙q nas equações das restrições.

(27)

Definição 2.3 (Greenwood (2003)). Em um sistema dinâmico, uma restrição não integrável na

forma

h(q, ˙q, t) = 0

é chamada de restrição não holonômica.

Restrições não holonômicas podem ser descritas, na maioria dos casos, por uma relação linear nas velocidades generalizadas dada por

h = h1(q, t)⊤˙q + h2(q, t) = 0

em queh1 : Rn× [0, ∞) → Rneh2 : Rn× [0, ∞) → R, com n = dim(q). ´

E importante enfatizar que a restrição não holonômica não pode ser integrável, caso contrário seria poss´ıvel reescrever a equação da restrição na forma (2.1), o que a tornaria uma restrição holonômica.

A partir da definição de restrições não holonômicas, pode-se definir o conceito de sistemas não holonômicos:

Definição 2.4 (Greenwood (2003)). Se o sistema possuir pelo menos uma restrição não

ho-lonômica, então o sistema é não holonômico.

Sistemas não holonômicos podem ser descritos por uma quantidade m´ınima de co-ordenadas generalizadas igual ao número de graus de liberdade mais o número de restrições não holonômicas presentes.

Exemplo 2.3. Um robô móvel de tração diferencial pode ser descrito pelas seguintes equações

cinem´aticas:

˙x = v cos θ ˙y = v sin θ ˙θ = ω

em quex, y e θ s˜ao as coordenadas generalizadas e v e ω s˜ao, respectivamente, as velocidades

de translação e de rotação do robô. Esse sistema possui uma restrição não holonômica dada por

˙x sin θ − ˙y cos θ = 0

e pode ser descrito usando, no m´ınimo, trˆes coordenadas generalizadas. No entanto, esse sistema possui apenas dois graus de liberdade.

(28)

2.1.2 Sistemas subatuados

Uma classe de sistemas que gera problemas de controle interessantes, especialmente para o caso de rastreamento de trajetórias, é a classe dos sistemas subatuados. Submarinos, robôs móveis e ve´ıculos aéreos como aviões, helicópteros e foguetes são exemplos de sistemas subatuados. O que todos esses sistemas têm em comum é o fato de possu´ırem menos atuadores do que graus de liberdade.

Definição 2.5 (Spong (1998)). Um sistema que possui um número inferior de entradas de

con-trole independentes do que graus de liberdade ´e um sistema subatuado.

Exemplo 2.4 (Spong (1998)). Um sistema carro-pˆendulo pode ser descrito pelas seguintes

equac¸˜oes:

¨

q1+ cos(q1)¨q2− sin(q1) = 0 cos(q1)¨q1 + 2¨q2− ˙q21sin(q1) = τ

em queq1 eq2 s˜ao as coordenadas generalizadas eτ ´e uma entrada de controle. Sabendo que,

neste caso, o número de graus de liberdade é igual ao número de coordenadas generalizadas, este sistema possui dois graus de liberdade, porém possui apenas uma entrada de controle. Portanto esse sistema é subatuado.

Apesar de a maioria dos sistemas subatuados se enquadrarem na Definição 2.5, existem sistemas que possuem o mesmo número de graus de liberdade e entradas de controle e ainda assim são subatuados. Um exemplo disso seria substituir a entradaτ do exemplo 2.4 por τ1 + τ2. Dessa forma o sistema passaria a ter duas entradas de controle e dois graus de liberdade, no entanto, continuaria sendo subatuado. Uma definição mais espec´ıfica de sistemas subatuados é dada a seguir.

Definic¸˜ao 2.6 (Fantoni e Lozano (2002)). Considere os sistemas que podem ser escritos como ¨

q = f (q, ˙q) + G(q)u (2.2)

em que_{q ∈ R}n é o vetor de coordenadas generalizadas,_{f : R}2n _{→ R}n é o campo vetorial representando a dinâmica do sistema,_{G : R}n _{→ R}n×m _{é a matriz de coeficientes que}

multi-plicam as entradas e_{u ∈ R}m é o vetor de entradas de forças generalizadas. Considere que o número de graus de liberdade é igual an. O sistema (2.2) é dito subatuado se as forças

gene-ralizadas não conseguem produzir acelerações instantâneas em todas as direções do espaço de configuração, ou seja, se rank(G(q)) < n.

(29)

2.1.3 Cinem´atica de corpos r´ıgidos

Sejam_{I e B dois sistemas de coordenadas que se relacionam através de uma matriz} de rotação I_BR , que é função de um ângulo de orientação γ.

A notaçãoB_{u será utilizada para enfatizar que o vetor u está representado no sistema} de coordenadas_{B, desta forma, uma matriz de rotação} I_BR é aquela que ao multiplicar B_{u altera} a representação do vetor B_{u do sistema de coordenadas B para o sistema I, ou seja:}

I

u = IBR B

u.

Analogamente B

IR altera a representac¸˜ao do vetor Iu do sistema de coordenadas I para o sistema_B.

As matrizes de rotação pertencem a um conjunto denominado SO(3), do inglês,

Special Orthogonal Matrices. Os elementos do conjuntoSO(3) possuem as seguintes proprie-dades: 1. Ortogonalidade: I BR ⊤ ₌ I BR −1 ₌ B IR 2. Determinante unit´ario: det(I BR ) = 1 ´

E poss´ıvel determinar as matrizes de rotação em torno dos eixos ortogonaisx, y e z do espaço Euclidiano. Essas matrizes de rotação são chamadas matrizes de rotação elementares e serão denotadas como _{R(·, ·), onde o primeiro argumento denota o ângulo de rotação e o} segundo denota o eixo de rotação. Por exemplo, quandoγ representar um ângulo de rotação em torno do eixox, a matriz de rotação elementar será dada por

R(γ, x) =      1 0 0 0 cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ     

Analogamente, para os eixosy e z tem-se:

R(γ, y) =      cos γ 0 sin γ 0 1 0 − sin γ 0 cos γ      e R(γ, z) =      cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1     

(30)

´

E poss´ıvel representar qualquer rotação em um espaço tri-dimensional utilizando três matrizes de rotação elementares. Sejaα = [φ, θ, ψ]⊤ _{um vetor de ângulos de rotação, a} matriz de rotação I_B_{R , entre um par de referenciais B e I no espaço tri-dimensional, pode ser} escrita como a multiplicação entre três matrizes de rotação elementares, ou seja

I BR(α) = I iR(φ) i jR(θ) j BR(ψ) (2.3)

ondei e j são referenciais intermediários. A única regra para a escolha dos eixos de rotação para as matrizes I_iR(φ) , i

jR(θ) e j

BR(ψ) é que o eixo de rotação da matriz de rotação elementar intermediária, neste caso i

jR(θ) , deve ser diferente dos eixos das demais matrizes.

Embora possam existir diversas combinações para os eixos de rotação das matrizes de rotação elementares, algumas são mais utilizadas que as outras. Os exemplos a seguir mos-tram duas matrizes de rotação muito utilizadas, resultantes de diferentes escolhas de eixos de rotação.

Exemplo 2.5 ( ˆAngulos de Euler). A seguinte sequência de rotações elementares é utilizada

para definir a matriz de rotação por ângulos de Euler:

1. Uma rotação_{φ em torno do eixo z do referencial I, resultando no referencial i;} 2. Uma rotaçãoθ em torno do eixo x do referencial i, resultando no referencial j;

3. Uma rotação_{ψ em torno do eixo z do referencial j, resultando no referencial B.} Desta forma, a matriz resultante é dada por

I BR = IiR(φ, z)ijR(θ, x) j BR(ψ, z) I BR =     

cos φ cos ψ − sin φ cos θ sin ψ − cos φ sin ψ − sin φ cos θ cos ψ sin φ sin θ sin φ cos ψ + cos φ cos θ sin ψ − sin φ sin ψ + cos φ cos θ cos ψ − cos φ sin θ

sin θ sin ψ sin θ cos ψ cos θ

    

Exemplo 2.6 ( ˆAngulos de Cardan). A seguinte sequência de rotações elementares é utilizada

para definir a matriz de rotação por ângulos de Cardan:

1. Uma rotação_{φ em torno do eixo x do referencial I, resultando no referencial i;} 2. Uma rotaçãoθ em torno do eixo y do referencial i, resultando no referencial j;

(31)

Desta forma, a matriz resultante ´e dada por I BR = I iR(φ, x) i jR(θ, y) j BR(ψ, z) I BR =     

cos ψ cos θ _{− sin ψ cos θ} sin θ

sin ψ cos φ + cos ψ sin θ sin φ cos ψ cos φ − sin ψ sin θ sin φ − cos θ sin φ sin ψ sin φ − cos ψ sin θ cos φ sin φ cos ψ + sin ψ sin θ cos φ cos θ cos φ

    

Dois referenciais não necessariamente precisam estar parados um em relação ao outro. Eles podem possuir um movimento de rotação relativo entre si fazendo com que a matriz de rotaçãoR entre dois referenciais não seja constante.

Em cinemática de corpos r´ıgidos, é comum a utilização de um par de referenciais, sendo um referencial inercial e um referencial fixo no corpo r´ıgido, para descrever o movimento do corpo. Seja_{B um referencial fixo em um corpo r´ıgido, I um referencial inercial e R =} I_BR a matriz de rotação que transforma um vetor representado em_{B para I. A matriz anti-simétrica} S(I_{ω) do vetor de velocidade angular} I_{ω = [}I_ω

x,Iωy,Iωz]⊤do corpo r´ıgido, representado no referencial_{I, ´e definida como}

S(Iω) :=      0 ₋I_ω z Iωy I_ω z 0 −Iωx −I_ω y Iωx 0     

Pode-se mostrar queS(I_{ω) = ˙}_RR⊤_{. ´}_{E poss´ıvel definir a matriz anti-sim´etrica}_S(B_{ω) do vetor} de velocidade angular Bω = [B_ω

x,Bωy,Bωz]⊤ de maneira an´aloga, sendo poss´ıvel mostrar tamb´em que

S(B_{ω) = R}⊤_R_˙ _(2.4)

O vetor de velocidade angular de rotação de um corpo r´ıgido ω = [ωx, ωy, ωz]⊤ pode ser relacionado com as derivadas dos ângulos de orientação ˙α através da matriz jacobiana de rotaçãoJ, função dos ângulos de orientação α. A matriz jacobiana é definida como

J(α) := ∂ω ∂ ˙α Ent˜ao pode-se mostrar queω = J(α) ˙α.

Se a matriz jacobiana for invers´ıvel, é poss´ıvel obter a taxa de variação dos ângulos de orientação ˙α a partir do vetor velocidade de rotação ω, ou seja

(32)

Sabe-se que, para um conjunto de ângulos denominados ângulos cr´ıticosαcrit, o jacobiano não possui inversa. Quando a orientação de um corpo r´ıgido é igual a αcrit, é dito que ele está em configuração de travamento giroscópico (do inglês gimbal lock). Essa configuração ocorre sempre que o ângulo da segunda rotação da equação (2.3), neste caso o ânguloθ, é tal que alinha o eixo da primeira rotação com o da terceira.

A matriz jacobiana pode ser definida para representar o vetor_{ω no referencial I, ou} seja

I_{ω = J}

I ˙α

como tamb´em pode ser definida de tal forma a representar o vetor_{ω no referencial B, de tal} forma que

B

ω = JB ˙α (2.5)

ondeJI = RJB.

Os exemplos a seguir mostram os Jacobianos para os ˆangulos de Euler e Cardan e seus ˆangulos cr´ıticos.

Exemplo 2.7 (Jacobianos para ˆangulos de Euler).

JI =     

0 cos φ sin φ sin θ 0 sin φ − cos φ sin θ

1 0 cos θ      ; JB =     

sin ψ sin θ cos ψ 0 cos ψ sin θ − sin ψ 0

cos θ 0 1     

O determinante das matrizes jacobianas para os ˆangulos de Euler ´e dado por

det(JI) = det(JB) = − sin θ

Dessa forma, os ângulos cr´ıticos para os jacobianos dos ângulos de Euler são:

θcrit = kπ, ∀k ∈ Z Exemplo 2.8 (Jacobianos para ˆangulos de Cardan).

JI =      1 0 sin θ

0 cos φ − sin φ cos θ 0 sin φ cos φ cos θ

     ; JB =     

cos ψ cos θ sin ψ 0 − cos θ sin ψ cos ψ 0

sin θ 0 1     

O determinante das matrizes jacobianas para os ˆangulos de Cardan ´e dado por

det(JI) = det(JB) = cos θ

Dessa forma, os ângulos cr´ıticos para os jacobianos dos ângulos de Cardan são:

θcrit= π

(33)

2.1.4 Equac¸˜oes de Newton-Euler

Considere um corpo r´ıgido de massam cujo centro de massa está a uma distância p da origem de um sistema de coordenadas inercial I. Esse corpo está sujeito a um conjunto de forças externas cujo somatório é igual af . Pela segunda lei de Newton para corpos r´ıgidos, estando os vetores_{f e p representados no referencial I, tem-se:}

mI_{p =}_¨ I_f _(2.6)

A equação que descreve o movimento angular de um corpo r´ıgido sujeito a momen-tos angulares externos é conhecida como equação de Euler. Considere que_{B é um referencial} local, fixo no corpo r´ıgido, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo. Sejaω a ve-locidade angular de um corpo,_{I seu tensor de inércia, calculado em relação a B e considerado} constante, eτ o somatório dos momentos aplicados ao corpo. Pela equação de Euler, estando todos representados no referencial_{B, tem-se:}

IB˙ω + S(Bω)IBω = Bτ (2.7)

Equivalentemente, notando queS(B_ω)IB_{ω =} B

ω × (IB_{ω), a equação de Euler também pode} ser escrita como

IB_{˙ω +} B

ω × (IB_{ω) =} B_τ

As equações (2.6) e (2.7) são conhecidas como equações de Newton-Euler (Gre-enwood, 2003) e são utilizadas para descrever o movimento de um corpo r´ıgido.

2.2 Modelo dinˆamico de um quadric´optero

2.2.1 Quadricóptero sem perturbaç ões

Um quadricóptero é um ve´ıculo aéreo constitu´ıdo de quatro rotores paralelos fixados perpendicularmente a uma plataforma em forma de cruz. Rotores que se encontram em lados opostos da plataforma giram no mesmo sentido, sendo que um par gira no sentido horário e outro par gira no sentido anti-horário. A Figura 2.1 mostra um quadricóptero convencional.

(34)

Figura 2.1: Quadric´optero.

Antes de iniciar o processo de derivação das equações de movimento de um qua-dricóptero, é necessário fazer algumas considerações a respeito do modelo. O quadricóptero será considerado como sendo um corpo r´ıgido de estrutura simétrica, com atuadores idênticos, em que cada atuador produz uma força de empuxo e um torque associado na mesma direção. Efeitos de inércia dos rotores e das hélices são desprez´ıveis, assim como as perturbações exter-nas.

Para se derivar as equações de movimento, serão utilizados dois referenciais distin-tos, sendo um referencial inercial_{I e um referencial local fixo na estrutura do quadricóptero} B. Será utilizada a nomenclatura I = {O; x, y, z} para indicar que o referencial I, cuja origem é localizada emO, é composto pelos vetores unitários ortogonais x, y e z. Analogamente, o referencial local é definido por _{B = {O}1; x1, y1, z1}. A Figura 2.2 apresenta o diagrama de corpo livre de um quadricóptero e os referenciais_{I e B. O vetor p representa a distância entre} as origensO e O1,l é a distância de um rotor ao centro do quadricóptero O1, que será chamada de meia envergadura,m é a massa do quadricóptero e g é a aceleração da gravidade. A matriz de rotação I_B_{R transforma um vetor descrito no referencial B para o referencial I. Essa matriz} é função dos ângulos de orientaçãoα = [φ, θ, ψ]⊤_.

Como é poss´ıvel observar na Figura 2.2, cada rotor_{i ∈ {1, 2, 3, 4} produz uma força} de empuxo de magnitudefie um torque associado de magnitudeτina direçãoz1do referencial B. As magnitudes das forças de empuxo fi e dos torques associadosτi são proporcionais ao quadrado das velocidades de rotação de cada hélice (Mahony et al., 2012), como descrevem as equações a seguir:

(35)

O x y z I B x1 y1 z1 O₁ l τ₁ τ2 τ₃ τ₄ f1 f2 f3 f₄ mg p

Figura 2.2: Diagrama de corpo livre.

ondeb é o coeficiente de empuxo, d é o coeficiente de arrasto das hélices e Ωi é a velocidade angular de rotação da hélicei.

Como todas as forças de empuxo e todos os torques associados atuam na mesma direção, é poss´ıvel transformar as quatro forças de empuxofi em uma força de empuxo resul-tanteρ e os quatro torques τiem um torque resultanteτz onde:

ρ = f1+ f2+ f3+ f4 (2.9)

τz = −τ1 + τ2− τ3 + τ4 (2.10)

As forças de empuxo, por atuarem nas extremidades do quadricóptero, geram tor-quesτx eτy nas direções x1 ey1 respectivamente. Esses torques são representados pelas se-guintes equações:

τx = l(f4− f2) (2.11)

τy = l(f3− f1) (2.12)

Substituindo (2.8) em (2.9)-(2.12) e representando a equac¸˜ao resultante na forma matricial, tem-se         ρ τx τy τz         =         b b b b 0 _−bl 0 bl −bl 0 bl 0 −d d _{−d d}                 Ω2 1 Ω2 2 Ω2 3 Ω2 4        

A Figura 2.3 representa o diagrama de corpo livre modificado, sendo este o re-sultado das transformações dadas pelas equações (2.9)-(2.12), que transformam as forças de

(36)

O x y z I B x1 y1 z1 O₁ l τx τy τz ρ mg p

Figura 2.3: Diagrama de corpo livre modificado.

empuxofi e os momentos associadosτi no empuxo resultanteρ e nos trˆes torques ortogonais τx,τy eτz.

Utilizando a segunda lei de Newton, dada por (2.6), expressa no referencial inercial I, sabendo que a força de empuxo ρ atua na direção z1 e a força gravitacional mg atua na direçãoz, tem-se mI_¨ p = −mgI_k_ˆ I + IBR B_k_ˆ Bρ (2.13)

onde IˆkI = [0, 0, 1]⊤representa o vetor unitário na direçãoz descrito no referencial inercial I e BˆkB = [0, 0, 1]⊤representa o vetor unitário na direçãoz1 descrito no referencial localB.

Pela equac¸˜ao de Euler (2.7) expressa no referencial local_{B, tem-se}

IB_{˙ω + S(}B_ω)IB_{ω =} B_{τ .}

onde Bτ = [τx, τy, τz]⊤ eI = diag(Ixx, Iyy, Izz) é a matriz diagonal contendo os momentos de inérciaIxx,Iyy eIzz, que representam os momentos de inércia nos eixosx1,y1 ez1 respectiva-mente. Utilizando as equações (2.4) e (2.5), a equação acima pode ser reescrita como:

IJBBα = −(¨ IBR ⊤ I

BR IJ˙ B + I ˙JB)B˙α + Bτ (2.14) Para simplificar, os referenciais serão omitidos das equações (2.13) e (2.14), ou seja, R = I

BR , ˆk = IkÎ = BˆkB, p = Ip, α = Bα, J = JB eτ = Bτ , resultando nas equações de movimento dadas por

m¨_{p = −mgˆk + Rˆkρ} (2.15)

(37)

As equac¸˜oes de movimento (2.15) e (2.16) podem ser escritas na forma de estados. Sejax = [x⊤

1, x⊤2, x⊤3, x⊤4]⊤um vetor de estados onde

x1 = p ∈ R3, x2 = ˙p ∈ R3, x3 = α ∈ R3, x4 = ˙α ∈ R3 (2.17)

O modelo de estados de um quadricóptero, dividido em dinâmica de translação e dinâmica de rotação, é dado por

˙x1 = x2 ˙x2 = −gˆk + m−1Rˆkρ    Dinâmica de translação ˙x3 = x4

˙x4 = −(IJ)−1(R⊤RIJ + I ˙˙ J)x4 + (IJ)−1τ    Dinâmica de rotação ou na forma matricial ˙x = f (x) + G1(x)u (2.18) onde f (x) =         x2 −gˆk x4 −(IJ)−1_(R⊤_{RIJ + I ˙}˙ _J)x 4         , u =   ρ τ  , G1(x) =         03×1 03×3 m−1_Rˆ_k ₀ 3×3 03×1 03×3 03×1 (IJ)−1         ´

E importante enfatizar que as matrizesR, ˙R, J e ˙J são funções dos estados, ou seja

R = R(x3), R = ˙˙ R(x3, x4), J = J(x3), J = ˙˙ J(x3, x4)

Para entender um pouco sobre o comportamento dinâmico de um quadricóptero, é necessário que se faça uma análise de pontos de equil´ıbrio. Os pontos de equil´ıbrio da dinâmica de um quadricóptero são todos os pontosx∗ _e_u∗_{tais que} _{˙x = 0. Esses pontos de equil´ıbrio são} encontrados a partir da equação

f (x∗

) = −G1(x∗)u∗ (2.19)

(38)

Alguns componentes de x∗ _e _u∗ _{podem ser encontrados fazendo-se uma an´alise} r´apida de (2.19). Note que, pela estrutura da matrizG1 e do vetorf1, pode-se afirmar direta-mente quex∗

2 = 0 e x∗4 = 0. Note também que, se x∗4 = 0, então o último bloco de elementos do vetorf (x∗_{) é nulo. Com isso, pode-se afirmar que}

(IJ(x∗₃))−1τ∗ = 0

Como(IJ(x3))−1 6= 0, ∀x3 ∈ R3, então a única solução poss´ıvel éτ∗ = 0.

Sabendo que (2.19) é completamente independente dex1, isto é,f (x) e G1(x) não são funções dex1, entãox∗1 pode assumir qualquer valor no R3. Por fim, x∗3 eρ∗ são resultado da equação

mgˆk = R(x∗

3)ˆkρ∗ (2.20)

ComoR(x3)ˆk é a última coluna da matriz de rotação R, que é uma matriz ortogonal, entãoR(x3)ˆk é um vetor unitário para qualquer x3 ∈ R3. Portanto, o lado direito de (2.20) é constitu´ıdo por um vetor de magnitude ρ∗ _{e direção} _R(x∗

3)ˆk, enquanto o lado esquerdo da equação é constitu´ıdo por um vetor de magnitudemg e direção ˆk. Assim, as soluções de (2.20) são dadas por

   ρ∗ = mg R(x∗₃)ˆk = ˆk ou    ρ∗ _{= −mg} R(x∗₃)ˆ_{k = −ˆk} Portanto existem dois poss´ıveis conjuntos de soluc¸˜oes paraρ∗_e_x∗

3. Sendo assim, os pontos de equil´ıbriox∗_e_u∗_{podem ser divididos em duas configurac¸˜oes descritas a seguir:}

• Um quadric´optero operando no ponto de equil´ıbrio x = x∗ _e _{u = u}∗ _com _ρ∗ _{= mg} e R(x∗

3)ˆk = ˆk é dito que está pairando (do inglês, hovering). Essa é a configuração mais importante em um quadricóptero por dois motivos, primeiro porque é desejado que um quadricóptero inicie e termine qualquer manobra pairando, e segundo porque, com exceção de manobras muito agressivas, um quadricóptero vai operar a maior parte do tempo próximo a essa configuração.

• Um quadric´optero operando no ponto de equil´ıbrio x = x∗ _e_{u = u}∗ _com_ρ∗

= −mg e R(x∗

3)ˆk = −ˆk é dito que está pairando invertido (do inglês, hovering upside down). So-mente quadricópteros com hélices com ângulo de ataque variável conseguem permanecer nessa posição (Cutler e How, 2015).

Note que em momento algum a matriz de rotaçãoR (e consequentemente o jacobi-anoJ) foi efetivamente definida durante o levantamento das equações de movimento. Isso se

(39)

deve ao fato de que qualquer matriz de rotação_{R ∈ SO(3) pode ser utilizada para se definir as} equações de movimento de um quadricóptero. Contudo, para se poder encontrar efetivamente x∗

3, é necessário que a matriz de rotaçãoR seja definida. Como existem inúmeras possibilidades para a escolha deR, aqui serão utilizadas as matrizes de rotação apresentadas nos exemplos 2.5 e 2.6, que são os ângulos de Euler e os ângulos de Cardan. Dentre essas duas poss´ıveis matrizes de rotação, a mais apropriada para ser utilizada no modelo dinâmico de um quadricóptero é a matriz de rotação por ângulos de Cardan. Para explicar o porque da escolha da matriz por ângulos de Cardan, foram definidas duas condições para a escolha da matriz de rotação mais apropriada para o modelo dinâmico:

1. ProdutoR(x3)ˆk func¸˜ao apenas de φ e θ:

Essa condição consiste em selecionar matrizes de rotação cuja última coluna, represen-tada pelo produto R(x3)ˆk, seja função apenas dos ângulos φ (representando o ângulo de roll) eθ (representando o ângulo de pitch) do vetor de ângulos de orientação α. Essa condição permite escolher matrizes de rotaçãoR(x3), para o modelo dinâmico, que façam com que a dinâmica de translação não dependa deψ (ângulo de yaw). Como pode-se ob-servar, tanto a matriz por ângulos de Euler quanto por ângulos de Cardan obedecem a esse critério.

2. JacobianoJ(x3) n˜ao singular em x∗3:

Como tanto o campo vetorialf (x) quanto a matriz G1(x) do modelo de estados (2.18) possuem termos contendoJ(x3)−1, é necessário que o quadricóptero opere longe de pon-tos de singularidade do Jacobiano. Sabe-se que os ponpon-tos de equil´ıbrio definidos porx∗ 3 são pontos muito importantes de operação, uma vez que um quadricóptero operará fre-quentemente próximo a eles, logo, é conveniente queJ(x∗

3)−1exista. Escolher a matriz de rotaçãoR por ângulos de Euler faz com que x∗

3 = 0 seja um ponto de equil´ıbrio e, nesse ponto de equil´ıbrio, o jacobianoJ(x∗

3) não é invers´ıvel, como pode ser visto no exemplo 2.7. EscolherR por ângulos de Cardan também resulta em um ponto de equil´ıbrio em x∗

3 = 0, porém o jacobiano J(x∗3) é invers´ıvel, como pode ser visto no exemplo 2.8. Uma vez que a matrizR, por ângulos de Cardan, foi escolhida, o conjunto de pontos

(40)

de equil´ıbriox∗

3 ´e, ent˜ao, dado por

x∗₃ =      φ∗ _{= 0 + k} φπ θ∗ _{= 0 + k} θπ ψ∗ ∈ R      ´

E importante notar que um quadricóptero pode estar em sua posição de equil´ıbrio independentemente da posição de seu centro de massap = x1 ou da sua orientação em yawψ. Ou seja, como foi mostrado anteriormente, tem-se que

p∗ _{= x}∗

1 ∈ R3, ψ∗ ∈ R

2.2.2 Quadricóptero sujeito a perturbaç ões

Durante o desenvolvimento das equações de movimento (2.15) e (2.16), foi descon-siderada a presença de perturbações que podem afetar a dinâmica do sistema. Esta seção tratará de incluir o efeito de perturbações na dinâmica do quadricóptero. Para isso, será adicionado um termo extra a cada uma das equações de movimento, representando entradas de perturbação. Para a dinâmica de translação, esse termo adicional pode representar, por exemplo, forças pro-venientes de distúrbios exógenos ou efeitos dinâmicos não modelados, e para a dinâmica de rotação, esse termo pode representar torques provenientes de distúrbios exógenos ou também efeitos dinâmicos não modelados.

Considerando que δp e δα são termos de perturbação na dinâmica de translação e rotação, respectivamente, o modelo dinâmico do quadricóptero passa a ser:

m¨_{p = −mgˆk + Rˆkρ + δ}p (2.21)

IJ ¨_{α = −(R}⊤RIJ + I ˙˙ J) ˙α + τ + δα (2.22)

em queδp eδα são perturbações na dinâmica de translação e rotação respectivamente. Essas perturbações podem ser funções tanto dos estados quanto de um sinal exógeno, como segue

δp = δp(p, ˙p, α, ˙α, dp(t)) δα = δα(p, ˙p, α, ˙α, dα(t))

Os sinais exógenosdp(t) e dα(t) são considerados funções cont´ınuas que dependem apenas do tempo.

(41)

Em geral, a maior fonte de distúrbio exógeno que atua em um quadricóptero é proveniente de rajadas de ventos, que atuam de maneira muito mais significativa na dinâmica de translação do que na dinâmica de rotação, ou seja, é de se esperar que os distúrbios exógenos de translaçãodp(t) sejam significativamente maiores do que os de rotação dα(t).

´

E poss´ıvel modelar algumas perturbações utilizando conceitos f´ısicos básicos. A seguir é apresentado, apenas como exemplo, a modelagem de dois fenômenos que podem causar perturbações na dinâmica de voo de um quadricóptero. São eles o efeito giroscópico da rotação do conjunto hélice-rotor e o arrasto aerodinâmico.

Exemplo 2.9 (Efeito girosc´opico do conjunto h´elice-rotor). Foi considerado, durante o

desen-volvimento das equações de movimento (2.15) e (2.16), que os efeitos de inércia dos rotores e hélices são desprez´ıveis. Essa consideração foi feita baseada na premissa de que a inércia do conjunto hélice-rotor é muito menor que a inércia de toda a estrutura do quadricóptero. Porém, por maior que seja a diferença de massa entre a estrutura do quadricóptero e o conjunto hélice-rotor, um quadricóptero real sempre estará sujeito a efeitos giroscópicos causados pela inércia de seu rotores e, dependendo da diferença de massa, esses efeitos giroscópicos poderão afetar de forma mais, ou menos, significativa a dinâmica de voo de um quadricóptero.

O efeito giroscópico causado pela rotação de uma das hélices pode ser modelado pela equação a seguir

B

Mi = (−1)iIrS(Bω)(Ωiˆk)

em que B_M

i ´e o momento gerado pelo rotori, representado no referencial B, Ir ´e o momento

de inércia do conjunto hélice-rotor em relação ao seu eixo de rotação eΩi é a velocidade de

rotação do rotori (Bouabdallah, 2007). Somando os momentos gerados pelo efeito giroscópico

de cada hélice e lembrando queS(B_{ω) = R}⊤_{R, a perturbação gerada pelo efeito giroscópico}˙

dos rotores ´e dada por

δα = 4 X i=1 B Mi = −IrΩR⊤Rˆ˙k em queΩ := Ω1− Ω2+ Ω3− Ω4.

Quando um quadricóptero está pairando, as velocidades de rotação de cada hélice

Ωisão iguais e, sabendo que na maior parte do tempo um quadricóptero opera próximo de estar

pairando, as velocidades angularesΩiadmitem valores aproximadamente iguais. Logo,Ω ≈ 0

na maior parte do tempo. Aliando isso ao fato de queIr ≪ I, ´e comum desconsiderar o efeito

(42)

Exemplo 2.10 (Arrasto aerodinâmico). Um dos fenômenos que mais afetam a dinâmica de voo

do quadricóptero, especialmente para voos outdoor, é o arrasto aerodinâmico, que é função da diferença de velocidade entre o quadricóptero e o ar. Considerando que a força de arrasto aerodinâmico é proveniente de um amortecimento viscoso, tem-se

B

F = −CBv

em queC é uma matriz diagonal de coeficientes de amortecimento viscoso e B_{v é a diferença}

de velocidade do corpo em relação ao ar representada no referencial_{B. É importante ressaltar} que esta fórmula é válida para o referencial local_{B fixo no corpo r´ıgido.}

Sabendo que, para o quadric´optero, Bv = R⊤

( ˙p − vair) onde vair ´e o vetor de

velocidade do ar representado no referencial inercial, é poss´ıvel descrever a força de arrasto aerodinâmico no referencial inercial como

δp = RBF = −RCR⊤( ˙p − vair) (2.23)

em queC = diag(cx, cy, cz) ´e a matriz de coeficientes de amortecimento.

´

E importante fazer algumas observações a respeito da equação do arrasto aero-dinâmico (2.23). Primeiro, essa fórmula considera que a diferença de velocidades v entre o

quadricóptero e o ar é pequena. Para diferenças de velocidade significantes, o arrasto aero-dinâmico se torna proporcional àv2_{. Segundo, a matriz de coeficientes de amortecimento}_C,

que depende da densidade e viscosidade do ar, varia com a altitude do quadricóptero, portanto não é constante a princ´ıpio.

As equações de movimento de um quadricóptero sujeito a perturbações (2.21) e (2.22) podem, também, ser escritas na forma de estados. Utilizando as variáveis de estados definidas por (2.17), o modelo de estados de um quadricóptero sujeito a perturbações, dividido em dinâmica de translação e dinâmica de rotação, é dado por

˙x1 = x2 ˙x2 = −gˆk + m−1Rˆkρ + m−1δp    Dinâmica de translação ˙x3 = x4

˙x4 = −(IJ)−1(R⊤RIJ + I ˙˙ J)x4+ (IJ)−1τ + (IJ)−1δα    Dinâmica de rotação (2.24) ´

E poss´ıvel tamb´em escrever o modelo de estados do sistema como

(43)

em quef (x) e G1(x) s˜ao os mesmos apresentados em (2.18) e G2(x) e δ(t) s˜ao dados por: G2(x) =         03×1 03×3 m−1₁ 3×1 03×3 03×1 03×3 03×1 (IJ)−1         , δ(t) =   δp δα  

(44)

3 T ´

ECNICAS DE CONTROLE N ˜

AO LINEAR

Este cap´ıtulo apresenta uma breve introdução teórica sobre as técnicas de controle não lineare feedback linearization, apresentado na Seção 3.1, e sliding mode, apresentado na Seção 3.2, que foram utilizadas neste trabalho.

3.1 Feedback Linearization

Feedback linearizationé uma técnica de controle cuja ideia principal é transformar a dinâmica de um sistema não linear em um sistema linear, para que técnicas de controle linear possam ser aplicadas. Diferentemente da linearização por série de Taylor, o feedback

lineari-zationse utiliza de dois artif´ıcios distintos, primeiro uma realimentação completa de estados e segundo uma transformação algébrica de estados, para gerar uma lei de controle não linear que neutralize as não linearidades da dinâmica de um sistema não linear fazendo com que o sistema em malha fechada seja linear.

Como exemplo, considere o sistema n˜ao linear de segunda ordem dado por

¨

q = f (q, ˙q) + G(q)u (3.1)

em que_{q ∈ R}n _e_{u ∈ R}n_{. Uma lei de controle que lineariza esse sistema, considerando que} G(q) possui inversa, ´e dada por

u = G(q)−1_{(v − f(q, ˙q))} (3.2)

em que_{v ∈ R}n ´e um novo vetor de entradas. Como pode-se observar, a lei de controle (3.2) neutraliza os termos n˜ao lineares do sistema (3.1), tornando-o linear. Dessa forma o sistema linearizado passa a ser

¨ q = v

Assim, basta projetar a nova lei de controle linearv de forma a garantir a estabilidade e desem-penho do sistema linear.