Resultados num´ericos utilizando o controlador auxiliar por sliding mode

A Figura 5.14 mostra, em azul, a evoluc¸˜ao no tempo das sa´ıdas desejadas, ou seja, a posic¸˜ao do centro de massap(t) = [px(t), py(t), pz(t)]⊤e o ˆangulo de yawψ(t), e, em tracejado vermelho, mostra a trajet´oria desejada. Observe que o quadric´optero convergiu para pr´oximo da trajet´oria desejada. Na teoria, foi visto que a utilizac¸˜ao das leis de controle auxiliares (4.31) e (4.32) faz com que os erros de rastreamentoep(t) e eψ(t) convirjam para regi˜oes delimitadas por bolas centradas na origem e de raiosεpeεψ respectivamente. Pode-se observar, na Figura 5.15, os erros de rastreamento convergem para uma regi˜ao pr´oxima `a origem estando de acordo com os valoresεp = 0.1 e εψ = 0.05, calculados a partir dos parˆametros do controlador.

0 10 20 -2 -1 0 1 0 10 20 -3 -2 -1 0 1 0 10 20 -2 0 2 4 6 0 10 20 -0.5 0 0.5 1 px (t ) [m ] py (t ) [m ] pz (t ) [m ] ψ (t ) [r ad ] Tempo [s] Tempo [s] Tempo [s] Tempo [s]

Figura 5.14: Sa´ıdas desejadas (linha cont´ınua azul) e trajet´orias desejadas (linha tracejada ver- melha) para o controlador auxiliar por sliding mode.

0 5 10 15 20 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 epx epy epz eψ A m p li tu d e [m ] o u [r ad ] Tempo [s]

Figura 5.15: Erros de trajet´oria para o controlador auxiliar por sliding mode.

trolador auxiliar por sliding mode. As curvas de evoluc¸˜ao dos empuxos com o tempo, para o controlador auxiliar por sliding mode, s˜ao muito parecidas com as curvas obtidas para o controlador_H∞, apresentadas na Figura 5.13, com a excec¸˜ao de que nos instantes iniciais, o controlador auxiliar por sliding mode n˜ao possui uma variac¸˜ao t˜ao grande na amplitude.

0 10 20 -10 0 10 20 0 10 20 -10 0 10 20 0 10 20 -10 0 10 20 0 10 20 -10 0 10 20 f1 [N ] f2 [N ] f3 [N ] f4 [N ] Tempo [s] Tempo [s] Tempo [s] Tempo [s]

Figura 5.16: Sinais de controle para o controlador auxiliar por sliding mode.

Apesar do bom desempenho obtido pelo controlador auxiliar por sliding mode, a necessidade de conhecer a acelerac¸˜ao e a derivada da acelerac¸˜ao nas leis de controle (4.31) e (4.32) ´e a grande desvantagem da t´ecnica proposta em relac¸˜ao ao controlador auxiliar_H∞.

6 CONCLUS ˜AO

Este trabalho apresentou leis de controle para quadric´opteros com o objetivo de se rastrear uma trajet´oria de referˆencia e rejeitar perturbac¸˜oes que podem afetar a dinˆamica de voo do ve´ıculo. Sabe-se que um quadric´optero ´e naturalmente dif´ıcil de se controlar devido `a presenc¸a de n˜ao linearidades no modelo dinˆamico e subatuac¸˜ao. A estrat´egia adotada foi utilizar a t´ecnica de controle n˜ao linear feedback linearization, como uma malha de controle interna, com o objetivo de simplificar o sistema, neutralizando as n˜ao linearidades e lidando com a subatuac¸˜ao, para que uma segunda lei de controle, respons´avel pela estabilidade, desempenho e rejeic¸˜ao a dist´urbios, possa ser aplicada.

Primeiramente, foi necess´ario levantar um modelo dinˆamico de um quadric´optero sujeito a perturbac¸˜oes, que podem ser provenientes de efeitos dinˆamicos n˜ao modelados ou dist´urbios ex´ogenos. N˜ao foram consideradas simplificac¸˜oes de pequenos ˆangulos na dinˆamica de rotac¸˜ao durante o levantamento das equac¸˜oes de movimento, o que torna o modelo apre- sentado diferente dos encontrados na literatura, podendo representar um modelo real de qua- dric´optero mesmo durante manobras mais agressivas.

Durante o projeto do controlador por feedback linearization, foi mostrado que n˜ao ´e poss´ıvel projetar uma lei de controle est´atica utilizando linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda, que ´e um dos m´etodos que comp˜oe a t´ecnica feedback linearization, quando a posic¸˜ao do centro de massa e o ˆangulo de yaw do quadric´optero s˜ao escolhidos como sa´ıdas, uma vez que essa escolha de sa´ıdas faz com que o sistema n˜ao possua um vetor de grau relativo. Utilizando a extens˜ao dinˆamica proposta por Mistler et al. (2001), foi poss´ıvel projetar uma lei de controle dinˆamica utilizando a linearizac¸˜ao entrada-sa´ıda. Essa lei de controle foi crucial para lidar com a subatuac¸˜ao inerente do sistema, bem como neutralizar as n˜ao linearidades do modelo dinˆamico do quadric´optero. Assim como toda lei de controle por feedback linearization, ´e necess´ario projetar uma segunda lei de controle, denominada lei de controle auxiliar, que ´e respons´avel pela estabilidade e de- sempenho do sistema em malha fechada. Neste trabalho foram apresentadas trˆes leis de controle

auxiliares distintas, cada uma projetada utilizando t´ecnicas de controle diferentes. S˜ao elas o controle LQR, controle_H∞e controle por sliding mode.

O controlador auxiliar LQR foi projetado considerando o sistema sem a presenc¸a de perturbac¸˜oes. O objetivo principal da utilizac¸˜ao desse controlador auxiliar foi para verificar, atrav´es de simulac¸˜oes, se a lei de controle por feedback linearization foi projetada corretamente. Foi tamb´em mostrado, atrav´es de simulac¸˜oes, que, quando a presenc¸a de perturbac¸˜oes ´e des- considerada na etapa de projeto das leis de controle, fica invi´avel encontrar uma lei de controle que consiga rejeitar as perturbac¸˜oes suficientemente bem.

O controlador _H∞ foi projetado com o objetivo de minimizar a influˆencia das perturbac¸˜oes nos erros de rastreamento. Esse controlador n˜ao necessita do conhecimento da acelerac¸˜ao e nem da derivada da acelerac¸˜ao do quadric´optero para a implementac¸˜ao, o que ´e uma vantagem significativa em relac¸˜ao ao controlador por sliding mode. Como uma desvanta- gem, ´e um controlador dinˆamico de 14 estados, o que dificulta o c´alculo da lei de controle em tempo real. As simulac¸˜oes com o controlador auxiliar_H∞se mostraram bastante satisfat´orias, sendo que a ´unica ressalva que pode ser feita ´e a grande variac¸˜ao dos sinais de controle no in´ıcio da simulac¸˜ao, fato esse que est´a relacionado com as condic¸˜oes iniciais dos estados do controlador.

O controlador sliding mode foi projetado para anular completamente a influˆencia das perturbac¸˜oes nos erros de rastreamento, sendo que o ´unico pr´e-requisito necess´ario para o projeto do controlador ´e que as perturbac¸˜oes devem ser limitadas por func¸˜oes limitantes conhe- cidas. A lei de controle obtida ´e uma lei de controle n˜ao linear descont´ınua, onde, na maior parte do tempo, ela opera pr´oximo `a descontinuidade. Isso acarreta um fenˆomeno indesejado deno- minado chattering, que ´e um chaveamento de alta frequˆencia que, al´em de causar uma alta ativi- dade de controle, pode excitar altas frequˆencias do sistema que foram negligenciadas durante a modelagem. Este trabalho apresenta uma maneira de eliminar a descontinuidade presente na lei de controle apenas trocando a func¸˜ao sinal por uma func¸˜ao de saturac¸˜ao. Essa mudanc¸a na lei de controle ´e crucial para eliminar o chattering, por´em os erros de rastreamento n˜ao convergem mais para zero. De fato, ´e mostrado, tanto teoricamente quanto em simulac¸˜oes que, utilizando a lei de controle cont´ınua, os erros convergem para o interior de bolas centradas na origem cu- jos raios pode ser alterados ajustando os parˆametros do controlador. A grande desvantagem do controlador auxiliar por sliding mode ´e a necessidade de se medir tanto a acelerac¸˜ao do qua- dric´optero quanto a derivada da acelerac¸˜ao, tornando necess´ario o desenvolvimento de algum

tipo de observador para estimar essas grandezas.

6.1

Temas para trabalhos futuros

Esse trabalho teve como objetivo o desenvolvimento de leis de controle para qua- dric´opteros robustas a perturbac¸˜oes que podem afetar a dinˆamica de voo do ve´ıculo. Como um poss´ıvel tema de pesquisa futura, os projetos e resultados aqui apresentados poderiam ser esten- didos para incluir ru´ıdos de medic¸˜ao. Um outro poss´ıvel tema compreende o desenvolvimento de um observador para estimar a acelerac¸˜ao e a derivada da acelerac¸˜ao do quadric´optero, que s˜ao informac¸˜oes cruciais para o controlador por sliding mode aqui apresentado.

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A FERRAMENTAS MATEM ´ATICAS

A.1

Gradiente e Jacobiano

Dada uma func¸˜ao escalar suave_{h(x) : R}n _{→ R, o gradiente de h, denotado por} ∇h, ´e o vetor coluna cujos elementos s˜ao dados por

(∇h)i = ∂h ∂xi

Similarmente, dado um campo vetorial_{f (x) : R}n _{→ R}n, o Jacobiano de_{f , denotado por ∇f,} ´e uma matriz cujos elementos s˜ao dados por

(∇f)ij = ∂fi ∂xj