Um grafo ´e outerplanar se possui uma representa¸c˜ao planar na qual todo v´ertice incide na face externa [50]. As arestas da face externa (ou seja, incidentes na face externa) s˜ao denominadas arestas externas, enquanto as demais arestas s˜ao chama- das arestas internas. Se um grafo outerplanar ´e biconexo, ent˜ao a fronteira da face externa ´e um ciclo Hamiltoniano chamado ciclo externo. Uma caracteriza¸c˜ao alter- nativa pode ser dada usando o conceito de homeomorfismo. Dado um grafo G, uma subdivis˜ao de uma aresta uv∈ E(G) gera um grafo G0 tal que V (G0) = V (G)∪ {x} e E0(G) = (E(G)\ {uv}) ∪ {ux, xv}, onde x ´e um novo v´ertice. Se grafos G e H podem ser obtidos do mesmo grafo, a partir de uma seq¨uˆencias de subdivis˜oes, ent˜ao dizemos que G e H s˜ao homeom´orficos. Um grafo ´e outerplanar se e somente se [50] n˜ao possui subgrafo homeom´orfico ao K4 ou ao K3,2.
Uma generaliza¸c˜ao natural do problema de colora¸c˜ao total ´e o problema de co- lora¸c˜ao total por listas. Uma instˆancia do problema de colora¸c˜ao total por listas consiste em um grafo G e uma cole¸c˜ao{Lx}x∈S(G) que associa um conjunto de cores — chamada lista — a cada elemento de G. Deseja-se saber se existe uma colora¸c˜ao total π de G tal que π(x)∈ Lxpara todo elemento x de G. Se tal colora¸c˜ao existe, di- zemos que G ´e total-color´ıvel a partir das listas{Lx}x∈S(G). O problema de colora¸c˜ao total por listas ´e NP-completo, mesmo quando a entrada ´e restrita a grafos outer- planares biconexos [55] de grau m´aximo 3. Entretanto, existem algumas condi¸c˜oes suficientes conhecidas para que um grafo outerplanar biconexo G com ∆(G)≥ 3 seja
total-color´ıvel a partir das listas {Lx}x∈S(G). Se todas as listas possuem ∆(G) + 1 cores, ent˜ao G ´e total-color´ıvel a partir das listas{Lx}x∈S(G) [22, 52, 54] (de fato, o resultado vale para a superclasse de grafos s´erie-paralelo). Um resultado mais forte ´e obtido por [55]: basta que |Luw| = max{deg(uw) + 1, 5} para cada aresta uw e |Lv| = min{5, ∆ + 1} para cada v´ertice v.
Nesta se¸c˜ao, mostramos o poder da decomposi¸c˜ao por clique 2-cutsets obtendo um resultado em colora¸c˜ao total por listas restrito a grafos outerplanares bicone- xos. Lembramos que o problema de colora¸c˜ao total por listas ´e NP-completo mesmo quando restrito a grafos outerplanares biconexos [55]. Ainda assim, alguns resultados “positivos” s˜ao conhecidos quando as listas satisfazem determinadas condi¸c˜oes [55]: dado um grafo G biconexo outerplanar e uma cole¸c˜ao{Lx}x∈S(G) associada aos ele- mentos S(G) = V (G)∪ E(G) de G tal que |Luw| = max{deg(uw) + 1, 5} para cada aresta uw e|Lv| = min{5, ∆+1} para cada v´ertice v, o grafo G ´e total-color´ıvel a par- tir das listas{Lx}x∈S(G). Provamos um resultado ligeiramente diferente: um grafo G biconexo outerplanar ´e ainda total-color´ıvel a partir das listas se|Luw| = deg(uw)+1 para cada aresta uw e |Lv| = 7 − δdeg(v),3− 2δdeg(v),2 para cada v´ertice v, ou seja, |Lv| = 5 se deg(v) = 2, |Lv| = 6 se deg(v) = 3, se |Lv| = 7 caso contr´ario. Compara- mos as condi¸c˜oes suficientes propostas com aquelas de [55]: nestas novas condi¸c˜oes, as listas associadas a arestas possuem, possivelmente, menos cores, enquanto as lis- tas associadas a v´ertices possuem, possivelmente, mais cores. A t´ecnica utilizada para demonstrar este resultado ´e similar `aquela utilizada na Se¸c˜ao 3.2, uma vez que determinamos uma colora¸c˜ao total de um grafo biconexo outerplanar decom- pondo este grafo por cliques 2-cutsets e obtendo colora¸c˜oes totais de cada um dos blocos b´asicos. A Observa¸c˜ao 2 estuda os blocos b´asicos de decomposi¸c˜ao de grafos outerplanares por clique 2-cutsets.
Observa¸c˜ao 2 (Machado and Figueiredo — Observa¸c˜ao 2 de [31]) Seja G um grafo biconexo outerplanar. Ou G possui um clique 2-cutset ou G ´e um ciclo.
No que se segue, definimos o significado dos conceitos de cor livre, par fronteiri¸co e colora¸c˜ao fronteiri¸ca no contexto de colora¸c˜ao total por listas de grafos biconexos outerplanares.
Cor Livre. Seja G um grafo e (SL, SC) uma parti¸c˜ao dos elementos S(G) = V (G)∪ E(G) de um grafo G tal que cada elemento y em SC possui cor π(y) e a
cada elemento x em SL est´a associado um conjunto de cores Lx. O conjunto Fπ(z) de free colours em um elemento z∈ SL´e o conjunto de cores Lz que n˜ao s˜ao usados por π em qualquer dos elementos de SC incidentes ou adjacentes a z. Este conceito de free colour capta, no contexto de colora¸c˜ao total por listas, a id´eia de identificar as cores dispon´ıveis para se colorir um elemento.
Par fronteiri¸co e colora¸c˜ao fronteiri¸co de um grafo biconexo outerplanar. Seja H um grafo biconexo outerplanar e seja G um subgrafo biconexo de H. Dizemos que um par{vi, vj} de v´ertices adjacentes de G ´e um par fronteiri¸co se a aresta vivj ´e uma aresta externa de G, mas ´e uma aresta interna de H (veja a Figura 3.5). Denote por (v0, ..., vk, v0) o ciclo externo de G. Denote por v0i (resp. v00i) o vizinho de vi em V (H)\ V (G) que pertence `a mesma face F1 de H que vi−1 (resp. mesma face F2 de H que vi+1), como mostrado na Figura 3.5. Suponha que a cada elemento x ∈ S(H) \ S(G) ´e associado um conjunto Lx de cores. Dizemos que π ´e uma colora¸c˜ao fronteiri¸ca de G se, a cada v´ertice vi ∈ {v0, ..., vk} no ciclo externo de G, podemos associar cores lG(vi) e rG(vi) com as seguintes propriedades (lembre que os ´ındices s˜ao tomados m´odulo k + 1).
Figura 3.5: No exemplo,{vi−1, vi} e {vi, vi+1} s˜ao par fronteiri¸cos de G com rela¸c˜ao a H.
1. Se {vi, vi−1} ´e um par fronteiri¸co, ent˜ao lG(vi)∈ Fπ(vivi0) e dizemos que lG(vi) est´a definido (defined ); caso contr´ario, lG(vi) est´a indefinido (undefined ).
2. Se{vi, vi+1} ´e um par fronteiri¸co, ent˜ao rG(vi)∈ Fπ(vivi00) e dizemos que rG(vi) est´a definido (defined ); caso contr´ario, rG(vi) est´a indefinido (undefined ).
3. Se ambos lG(vi) e rG(vi) est˜ao definidos, ent˜ao lG(vi) 6= rG(vi). Se ambos rG(vi−1) e lG(vi) est˜ao definidos, ent˜ao rG(vi−1) 6= lG(vi). Se ambos rG(vi) e lG(vi+1) est˜ao definidos, ent˜ao rG(vi)6= lG(vi+1).
A defini¸c˜ao de colora¸c˜ao fronteiri¸ca capta a propriedade de ser poss´ıvel estender uma total-colora¸c˜ao de um grafo atrav´es da adi¸c˜ao de blocos b´asicos. As free colours na aresta vivi0 (resp. vivi00) s˜ao as cores Lviv0i (resp. Lviv00i) que n˜ao s˜ao usadas em vi
ou qualquer de suas arestas incidentes. Observe um exemplo na Figura 3.6.
Figura 3.6: No exemplo, suponha que Lvivi0 = {1, 2, 3, 6, 7, 8}, Lviv00i =
{2, 3, 5, 6, 7, 8}, Lvi+1v0i+1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, and Lvi+1v00i+1 = {1, 2, 3, 6, 7, 8}. Se de-
notamos por π a total-colora¸c˜ao mostrada na figura, ent˜ao Fπ(vivi0) = {3, 6, 7, 8}, Fπ(vivi00) ={3, 6, 7, 8}, Fπ(vi+1vi+10 ) ={2, 4, 5}, e Fπ(vi+1v00i+1) ={2, 7, 8}. Podemos escolher lG(vi) = 7, rG(vi) = 6, lG(vi+1) = 5, e rG(vi+1) = 7, de tal forma que π ´e uma colora¸c˜ao fronteiri¸ca.
Segue o principal resultado da presente se¸c˜ao (usamos o delta de Kronecker: δi,j = 1 if i = j e δi,j = 0 if i6= j).
Teorema 2 (Machado and Figueiredo — Teorema 2 de [31]) Seja G um grafo bico- nexo outerplanar e seja{Lx}x∈S(G)uma cole¸c˜ao de listas tal que|Luw| = deg(uw)+1 para cada aresta uw e |Lv| = 7 − δdeg(v),3− 2δdeg(v),2 para cada v´ertice v. O grafo G pode ser total-colorido a partir de {Lx}x∈S(G).