Nesta sec¸c˜ao, pretendemos identificar grupos de simetria de figuras planas. Utiliza- remos, para isso, alguns exemplos resultantes do levantamento efetuado nas cal¸cadas da Ilha de S˜ao Miguel, nos A¸cores. A recolha completa ser´a objeto da nossa aten¸c˜ao na Parte II deste trabalho.
Encontramos padr˜oes matem´aticos sempre que observamos um motivo que se re- pete sucessivamente. Para a classifica¸c˜ao matem´atica desses padr˜oes, n˜ao interessa propriamente se o motivo ´e uma estrela, uma cobra, um desenho abstrato ou outra coisa qualquer, mas sim o modo como se processa essa repeti¸c˜ao. Por outras pala- vras, interessa-nos estudar as isometrias do plano que deixam uma determinada figura invariante, caracterizando, por conseguinte, o grupo de simetria dessa figura.
Para facilitar esta an´alise matem´atica, devemos considerar os padr˜oes da arte decorativa que nos interessam estudar como figuras do plano. Al´em disso, devemo-nos abstrair de pequenas imperfei¸c˜oes ou irregularidades que possam existir e trabalhar com apenas duas cores. Em cada uma das figuras estudadas, uma das cores ´e o fundo (a cor do plano) e a outra cor ´e a que ´e utilizada para desenhar a figura, ou seja, ´e a que corresponde aos pontos que est˜ao assinalados no plano. Seguimos as conven¸c˜oes adotadas por Eduardo Veloso em [30]. Tamb´em ´e poss´ıvel trabalhar com uma maior variedade de cores. Para um maior desenvolvimento, aconselha-se a leitura de [31, 32].
Procuraremos as simetrias de uma dada figura seguindo sempre a mesma ordem, por uma quest˜ao de uniformiza¸c˜ao de procedimento. Assim, investigaremos as sime- trias pela seguinte ordem:
1. simetrias de transla¸c˜ao; 2. simetrias de rota¸c˜ao; 3. simetrias de reflex˜ao;
4. simetrias de reflex˜ao deslizante.
Em seguida, analisam-se alguns exemplos.
Exemplo A
No exemplo da Figura 2.6, o grupo de simetria:
1. n˜ao tem simetrias de transla¸c˜ao;
2. tem uma simetria de rota¸c˜ao, a identidade (ˆangulo de 0o);
3. tem uma simetria de reflex˜ao, de eixo a; 4. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao deslizante.
Exemplo B
No exemplo da Figura 2.7, o grupo de simetria:
1. n˜ao tem simetrias de transla¸c˜ao;
2. tem 5 simetrias de rota¸c˜ao. As 5 rota¸c˜oes tˆem ˆangulos de 72o e dos seus
m´ultiplos: 72o, 144o, 216o, 288o e 360o (a identidade);
3. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao (os X’s s˜ao curvos); 4. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao deslizante.
Figura 2.6: Exemplo A.
Figura 2.7: Exemplo B.
Exemplo C
No exemplo da Figura 2.8, podemos concluir que o grupo de simetria:
1. n˜ao tem simetrias de transla¸c˜ao;
2. tem 8 simetrias de rota¸c˜ao, de centro O. As 8 rota¸c˜oes tˆem ˆangulos de 45o e dos
seus m´ultiplos: 45o, 90o, 135o, 180o, 225o, 270o, 315o e 360o (a identidade);
3. tem 8 simetrias de reflex˜ao, de eixos a, b, c, d, e, f, g e h; 4. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao deslizante.
Exemplo D
No caso da Figura 2.9, o grupo de simetria ´e constitu´ıdo por:
1. simetrias de transla¸c˜ao (em n´umero infinito); o vetor −→P Q ´e o vetor de menor comprimento que permite definir uma simetria de transla¸c˜ao; dizemos que a transla¸c˜ao T = T−−→
P Qtem m´odulo m´ınimo; todas as potˆencias de expoente inteiro
de T , Tn, s˜ao simetrias de transla¸c˜ao da figura (note-se que T0 = ι e T−1 ~
u = T−~u);
2. simetrias de meia-volta (em n´umero infinito), estando indicados no esbo¸co 5 pontos de simetria;
3. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao;
4. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao deslizante.
Exemplo E
Em rela¸c˜ao `a Figura 2.10, o grupo de simetria ´e constitu´ıdo por:
1. simetrias de transla¸c˜ao (em n´umero infinito); o vetor −→P Q define a transla¸c˜ao T = T−−→
P Q de m´odulo m´ınimo; as simetrias de transla¸c˜ao s˜ao todas as potˆencias
Figura 2.9: Exemplo D.
Figura 2.10: Exemplo E.
2. simetrias de meia-volta (em n´umero infinito), com os pontos de simetria per- tencentes `a reta m representada na Figura 2.10; est˜ao assinalados 5 pontos de simetria; dois centros de rota¸c˜ao consecutivos distam entre si metade do com- primento do vetor −→P Q;
3. uma simetria de reflex˜ao de eixo m e simetrias de reflex˜ao de eixos perpendi- culares a m (em n´umero infinito); est˜ao assinalados 5 eixos: a, b, c, d, e e; as intersec¸c˜oes destes eixos com a reta m coincidem com os pontos de simetria; 4. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao deslizante que n˜ao sejam triviais (isto ´e, produtos da simetria de reflex˜ao de eixo m com uma qualquer das simetrias de transla¸c˜ao).
Exemplo F
No caso da Figura 2.11, o grupo de simetria ´e constitu´ıdo por:
1. simetrias de transla¸c˜ao (em n´umero infinito); os vetores −→P Q e−→RS definem duas transla¸c˜oes, T e S, com dire¸c˜oes diferentes e de m´odulo m´ınimo; as simetrias de transla¸c˜ao s˜ao da forma SnTm, com m, n ∈ Z;
2. n˜ao tem simetrias de rota¸c˜ao;
3. simetrias de reflex˜ao (em n´umero infinito), de eixos paralelos; est˜ao assinalados 7 eixos: a, b, c, d, e, f e g;
4. n˜ao tem simetrias de reflex˜ao deslizante que n˜ao sejam triviais.
Exemplo G
Em rela¸c˜ao `a Figura 2.12, o grupo de simetria ´e constitu´ıdo por:
1. simetrias de transla¸c˜ao (em n´umero infinito); os vetores−→AB e−−→CD definem duas transla¸c˜oes, T e S, com dire¸c˜oes diferentes e de m´odulo m´ınimo; as simetrias de transla¸c˜ao s˜ao da forma SnTm, com m, n ∈ Z;
2. simetrias de rota¸c˜ao (em n´umero infinito), com centros de ordem 2 (ˆangulos de 180o e 360o) e de ordem 4 (ˆangulos de 90o, 180o, 270o e 360o); os pontos A, B,
Figura 2.12: Exemplo G.
C e D s˜ao centros de rota¸c˜ao de ordem 2, enquanto que O, P , Q, R e S s˜ao centros de rota¸c˜ao de ordem 4;
3. simetrias de reflex˜ao (em n´umero infinito), com eixos segundo quatro dire¸c˜oes distintas (est˜ao representados no esbo¸co os eixos a, b, c e d); os centros de rota¸c˜ao de ordem 4 s˜ao pontos de intersec¸c˜ao de 4 eixos de simetria, que formam entre si ˆangulos de 45o; pelos centros de rota¸c˜ao de ordem 2 tamb´em passam dois eixos
de simetria perpendiculares;
4. simetrias de reflex˜ao deslizante n˜ao triviais (em n´umero infinito), segundo duas dire¸c˜oes distintas (os eixos de deslocamento est˜ao representados a tracejado na figura); os eixos de deslocamento s˜ao perpendiculares e intersectam-se nos centros de rota¸c˜ao de ordem 2; entre dois eixos de deslocamento consecutivos existe um eixo de reflex˜ao paralelo a ambos; a distˆancia do eixo de reflex˜ao a qualquer um dos eixos de deslocamento ´e metade da distˆancia entre os eixos de deslocamento.
Breves considera¸c˜oes sobre os exemplos apresentados
Distinguimos claramente trˆes tipos de figuras:
• figuras limitadas, que n˜ao tˆem simetrias de transla¸c˜ao ou de reflex˜ao deslizante; estas figuras apresentam sempre simetrias de rota¸c˜ao (no m´ınimo, a identidade),
podendo ter ou n˜ao simetrias de reflex˜ao (exemplos A, B e C); chamam-se ros´aceas;
• figuras formadas pela repeti¸c˜ao de um motivo ao longo de uma faixa, estendendo- -se indefinidamente para a esquerda e para a direita (exemplos D e E); s˜ao os frisos;
• figuras formadas pela repeti¸c˜ao de um motivo no plano, indefinidamente e em todas as dire¸c˜oes (exemplos F e G); s˜ao os chamados padr˜oes bidimensionais ou pap´eis de parede2.