3 D IMENSIONAMENTO E S EQÜENCIAMENTO D E L OTES
3.4 Métodos de Solução
3.4.3 Heurísticas Baseadas em Programação Matemática
A maioria dos métodos de solução para os modelos integrados de dimensionamento e seqüenciamento da produção utilizam métodos híbridos que combinam heurísticas, decomposições e relaxações (Meyr, 2000), (Fleishmann e Meyr, 1997), (Drexl e Haase, 1995). Entre estes métodos híbridos destacam-se algumas heurísticas baseadas em programação matemática, que podem ser: construtivas, por exemplo, a heurística relax-and-
fix; ou, heurísticas de melhoria, como Local Branching (Fischetti e Lodi, 2003; Pochet e
Neighborhood Search) (Danna et al., 2005; Pochet e Wolsey, 2006) e VNS (Variable
Neighborhood Search) (Mladenovic e Hansen, 1997; Hansen e Mladenovic, 2001; Hansen et
al., 2006).
Conforme Pochet e Wolsey (2006), estes métodos heurísticos consistem basicamente na modificação do MIP original por meio da: fixação de algumas variáveis; adição de restrições; ou, relaxação de algumas restrições de integralidade. Ainda de acordo com os autores, existem muitas possibilidades de variações e combinações destas heurísticas, por exemplo, é possível considerar apenas um subconjunto das variáveis; priorizar as variáveis nulas ou as não-nulas; etc.
A heurística Local Branching foi proposta por Fischetti e Lodi (2003), para tratar problemas grandes que são comuns em aplicações práticas. Pochet e Wolsey (2006) classificam esta técnica como uma heurística de melhoria, pois seu objetivo é melhorar uma dada solução factível. A idéia básica da heurística Local Branching é explorar uma vizinhança a partir de uma solução inteira inicial. Segundo Hansen et al. (2006), o Local Branching é uma técnica MIP projetada para ser um método exato, mas se um limite de tempo é alocado para resolver o problema, antes que a solução ótima seja encontrada e sua otimalidade provada, o LB comporta-se como uma heurística.
Mendes (2006) aplica a heurística local branching para resolver um problema de roteirização e programação de veículos com requisição simultânea de mais de um veículo para atendimento da demanda, restrições de janela de tempo e de precedência entre tarefas.
Outro método recente que vem sendo aplicado para resolver MIP’s é a metaheurística de busca em vizinhança variável VNS, originalmente proposta por Mladenovi e Hansen (1997). Em Hansen e Mladenovi (2001) e Hansen et al. (2006), esta técnica é redefinida de forma a combinar a busca local com mudanças sistemáticas da estrutura da vizinhança, para escapar de regiões de ótimo local. A busca em vizinhança variável ocorre por meio da geração de soluções aleatórias em diversas vizinhanças de uma solução, seguidas de busca local. Alguns exemplos de aplicações desta técnica podem ser encontrados em Hansen e Mladenovi (2001) e Rocha et al. (2007).
Pochet e Wolsey (2006) ressaltam que existem muitas possibilidades de variação, bem como diferentes maneiras de combinação destas heurísticas. Uma heurística particularmente interessante para este trabalho é a heurística relax-and-fix que é mais bem detalhada a seguir.
Heurística Relax-and-Fix
Considere um MIP: min
{
cx+ fy:Ax+By≥b,x∈ℜn, y∈{ }
0,1 p}
+ . Seja
{
p}
Q= 1, , o conjunto de índices das variáveis y. Na heurística Relax-and-Fix pressupõe-se que as variáveis binárias ou inteiras podem ser particionadas em R subconjuntos disjuntos
R
Q
Q1, , de importância decrescente. Então, resolve-se uma seqüência de problemas
parcialmente relaxados MIPr (Pochet e Wolsey, 2006):
{ }
h R r h j r j h r h j j r Q j y Q j y Q j y y x b By Ax fy cx MIP , , 1 1 , , 1 todo para 1 0 todo para 1 , 0 todo para ˆ 0 : { min : + = − = ∈ ≤ ≤ ∈ ∈ ∈ = ≥ ≥ + +onde yˆj é o valor obtido para a variável yjno MIP r-1
.
Cada MIPr tem um grupo reduzido de variáveis inteiras, cujo número é pequeno o bastante para obter rapidamente soluções ótimas MIP (Clark e Clark, 2000). Conforme a série avança, cada grupo de variáveis inteiras é permanentemente fixado em seus valores da solução.
Algumas aplicações da heurística Relax-and-Fix para resolução de modelos de dimensionamento e seqüenciamento de lotes podem ser encontrados em Araújo et al. (2007), Ferreira (2006), Ferreira et al. (2008), Beraldi et al. (2007), Beraldi et al. (2006), Alonso- Ayuso et al. (2007), Alonso-Ayuso et al. (2006).
Araújo et al. (2007) aplicam a heurística Relax-and-Fix para resolver um modelo de dimensionamento e seqüenciamento de lotes com custos e tempos de preparação dependentes da seqüência. A partição do conjunto de variáveis inteiras é feita em relação aos períodos de programação, mantendo-se a integralidade das variáveis nos primeiros períodos e relaxando os demais. Os resultados mostram que o procedimento Relax-and-Fix utilizado gera, dentro do limite de tempo, melhores soluções que o CPLEX (versão 7.1) para os problemas médios e grandes, particularmente situações mais realistas onde os limites de capacidade são mais apertados.
Ferreira (2006) e Ferreira et al. (2008) propõem três modelos para o dimensionamento e seqüenciamento de lotes na indústria de bebidas. Os modelos são relativamente complexos, envolvendo dois estágios de produção e sincronia entre os estágios, com estruturas compostas por conjuntos de variáveis que podem ser fixados, resultando em modelos menores e mais tratáveis computacionalmente. Foram propostas 15 estratégias de
heurísticas Relax-and-Fix que estão divididas em três grupos. No primeiro grupo, a partição das variáveis é feita por períodos, e as estratégias variam de acordo com o critério de fixação das variáveis. No segundo grupo, a partição é feita usando diferentes combinações dos conjuntos de máquinas, períodos, e estágios. No terceiro grupo, o critério de partição do conjunto de variáveis é baseado nos subperíodos, o que resulta um número maior de subproblemas. As estratégias Relax-and-Fix tiveram um desempenho superior em relação às outras estratégias testadas para um dos modelos.
Uma proposta de heurística Relax-and-Fix com a estratégia de horizonte rolante é feita em Beraldi et al. (2007) para resolver um problema de dimensionamento e seqüenciamento de lotes em máquinas paralelas com custos de preparação dependentes da seqüência produtiva. Estes autores propõem 4 estratégias de partição do conjunto de variáveis inteiras: uma partição baseada nas variáveis de tempo; uma partição das variáveis associadas aos produtos; duas partições híbridas produto-tempo, em uma o período de tempo é dividido e aplica-se uma partição para os produtos em cada intervalo de tempo, e na outra os produtos são particionados primeiro, e depois é usado um procedimento para partição de tempo. Todos os subproblemas resultantes são factíveis.
Beraldi et al. (2006) aplicam a heurística Relax-and-Fix em um modelo de dimensionamento e seqüenciamento de lotes estocástico multi-estágio, onde as incertezas associadas aos tempos de processamento são representadas por uma estrutura de cenários (árvore de cenários). São exploradas estratégias de partição do conjunto de variáveis considerando a estrutura dos cenários. O algoritmo proposto neste trabalho também considera a possibilidade de surgirem subproblemas infactíveis, e apresenta uma alternativa para evitá- los por meio do reagrupamento dos conjuntos de variáveis. Uma abordagem semelhante é encontrada em Alonso-Ayuso et al. (2006).