Figura 44 – Johannes Widmann - Os sinais “+” e “-” aparecem impressos pela primeira vez num texto em 1489.
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nova (Nova Geometria dos Indivis´ıveis Cont´ınuos), em que desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Seu m´etodo sobre os indivis´ıveis foi muito criticado na ´epoca, pois n˜ao apresentava o rigor matem´atico desejado. Cavalieri ent˜ao, em 1647, publicou a obra Exercitationes geometricae sex (Seis Exerc´ıcios Geom´etricos), onde usava +, -, =, como se fossem familiares ao leitor, e na qual apresentou de maneira mais clara sua teoria. Mas ´e considerado um dos precursores do c´alculo integral. Tal livro transformou-se em fonte importante para os matem´aticos do s´eculo XVII.
6.8
Hist´oria Resumida do Teorema Fundamental da ´Algebra
Peter Rothe, no seu livro Arithmetica Philosophica publicado em 1608, escreveu que uma equa¸c˜ao polinomial de grau n, com coeficientes reais, podia ter solu¸c˜oes. Albert Girard no seu livro L’invention nouvelle en l’Alg`ebre publicado em 1629, afirmou que uma equa¸c˜ao polinomial de grau n tem solu¸c˜oes, mas n˜ao disse que tais solu¸c˜oes eram necessariamente n´umeros complexos. Thomas Harriot (1560-1621) foi um matem´atico algebrista, fundador da escola inglesa de ´algebra (1602) e introdutor de v´arios s´ımbolos e nota¸c˜oes empregados em ´algebra ainda hoje, como os sinais > (maior que) e < (menor que). Harriot, por volta de 1602, havia descoberto que: se a ´e raiz de um polinˆomio, ent˜ao (x − a)
Figura 45 – Boaventura Cavalieri - Utilizava na ´epoca, os sinais “+” e “-”, depois de Johannes Widman.
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divide o polinˆomio.
Em 1637 (s´eculo XVII), Descartes escreve em La G´eom´etrie, o que anos antes Harriot havia descoberto - se a ´e raiz de um polinˆomio, ent˜ao (x − a) divide o po- linˆomio. Descartes afirmou tamb´em que para todas as equa¸c˜oes de grau n, podemos imaginar n ra´ızes, mas estas podem n˜ao corresponder a quantidades nos n´umeros reais. No in´ıcio, os n´umeros complexos n˜ao eram vistos como n´umeros, mas sim, como um artif´ıcio alg´ebrico ´util para se resolver equa¸c˜oes. Descartes, no s´eculo XVII (anos 1600), os chamou de n´umeros imagin´arios.
Abraham de Moivre e Leonard Euler, no s´eculo XVIII (anos 1700), come¸caram a estabelecer uma estrutura alg´ebrica para os n´umeros complexos. Em particular, Euler denotou a raiz quadrada de -1 (√−1) por i . Em matem´atica, no escopo dos n´umeros complexos, o Teorema Fundamental da ´Algebra afirma que qualquer polin´omio p(z ) com coeficientes complexos de uma vari´avel x e de grau n ≥ 1 tem alguma raiz complexa. Ou em outros termos: ”Um polinˆomio p(z ) de grau n tem sempre n ra´ızes complexas”.
Uma consequˆencia do Teorema Fundamental da ´Algebra ´e que qualquer po- linˆomio com coeficientes reais e grau superior a 0, pode ser escrito como produto de polinˆomios com coeficientes reais, de primeiro ou segundo grau. No entanto, em 1702, Leibniz afirmou que nenhum polinˆomio do tipo x4+ a4
(com a sendo real e n˜ao nulo) poderia ser obtido sob aquela forma.
Poucos anos mais tarde, Nicolaus Bernoulli II (1695-1726) afirmou o mesmo, relativamente ao polinˆomio x4− 4x3+ 2x2+ 4x + 4, mas recebeu uma carta de Euler
6.8. Hist´oria Resumida do Teorema Fundamental da ´Algebra 121
em 1742, na qual lhe foi explicado que o seu polinˆomio era, de fato, outro.
Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) foi um matem´atico francˆes. Uma pri- meira tentativa de demonstrar o teorema foi levada a cabo por D’Alembert em 1746, mas a demonstra¸c˜ao foi considerada incorrecta.
Outras tentativas foram levadas a cabo por Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) e Laplace (1795). Estas ´ultimas quatro tentativas recorreram `
a tese de Argand; mais precisamente, a existˆencias de ra´ızes eram dadas como certa e o que faltava provar era que eram da forma a + b.i para n´umeros reais a e b. Em terminologia moderna, Euler, Foncenex, Lagrange e Laplace estavam a supor a existˆencia de um corpo alg´ebrico (uma estrutura alg´ebrica) construindo a decomposi¸c˜ao de polinˆomios, ou seja, qualquer polinˆomio com coeficientes reais e grau superior a 0, pode ser escrito como produto de polinˆomios com coeficientes reais, de primeiro ou segundo grau.
No fim do s´eculo XVIII foram publicadas duas novas demonstra¸c˜oes. Uma delas, alg´ebrica, da autoria de James Wood, foi publicada em 1798, mas logo completa- mente ignorada. A demonstra¸c˜ao de Wood tinha uma falha de natureza alg´ebrica. A outra demonstra¸c˜ao foi publicada por Gauss em 1799, que era sobretudo geom´etrica, mas tinha tamb´em uma falha, mas de natureza topol´ogica.
J´a no s´eculo XIX, uma demonstra¸c˜ao rigorosa foi publicada por Argand em 1806. Jean-Robert Argand (1768-1822) foi um matem´atico francˆes, nascido na Su´ı¸ca. Foi com ele que, pela primeira vez, o Teorema Fundamental da ´Algebra foi enunciado para polinˆomios com coeficientes complexos e n˜ao apenas para polin´omios com coeficientes reais.
Figura 46 – Argand - O Teorema Fundamental da ´Algebra com coeficientes complexos em 1806.
Fonte: www.routledgetextbooks.com.
e publicou mais duas demonstra¸c˜oes em 1816 e uma nova vers˜ao da primeira de- monstra¸c˜ao em 1849.
Entretanto, a primeira publica¸c˜ao a conter uma demonstra¸c˜ao do teorema foi ”Cours d’analyse de l’ ´Ecole Royale Polytechnique”, em 1821, atrav´es de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). A demonstra¸c˜ao em quest˜ao ´e a de Argand, embora este n˜ao seja mencionado por Cauchy.
Outro detalhe sobre o teorema: nenhuma das demonstra¸c˜oes mencionadas era cons- trutiva. Karl Weierstrass (1815-1897) foi um matem´atico alem˜ao, professor na Universidade de Berlim, quem levantou pela primeira vez, em 1891, o problema de encontrar uma demonstra¸c˜ao construtiva do teorema. Tal demonstra¸c˜ao foi obtida por Hellmuth Kneser em 1940 e simplificada por Martin Kneser em 1981.
Figura 47 – Weierstrass - A demonstra¸c˜ao construtiva do Teorema Fundamental da ´
Algebra.
Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Karl Weierstrass.
O trabalho de Weierstrass forneceu as bases da teoria das fun¸c˜oes anal´ıticas, aquelas que s˜ao definidas usando-se s´eries de n´umeros reais, e programadas para formarem as bibliotecas de fun¸c˜oes embutidas nas linguagens de programa¸c˜ao.