Com primeira presen¸ca atestada no s´eculo III a.C., havia o sistema de numerais brahmi, o qual n˜ao seguia o conceito de posi¸c˜oes fixas para os s´ımbolos. Os numerais brahmi eram um sistema de numera¸c˜ao origin´ario da ´India, S˜ao ancestrais gr´aficos diretos dos atuais numerais Hindus e ainda dos algarismos ar´abicos (ou indo-ar´abicos). Por´em eram conceitualmente diferentes do sistema posterior, pelo fato de n˜ao usarem sistema posicional com zero, algo recente, se comparado com outros sistemas decimais n˜ao posicionais.
A ideia do sistema de nota¸c˜ao posicional de base 10 se originou na ´India, onde os primeiros conceitos de numera¸c˜ao posicional foram desenvolvidos. Os prim´ordios de um sistema de numera¸c˜ao decimal posicional teriam ocorrido por volta de 500 a.C. Havia, por´em, como na numera¸c˜ao romana (n˜ao verdadeiramente posicional), s´ımbolos adicionais para as dezenas centenas e milhares. Esse sistema posicional, da ´India se disseminou pela vizinha P´ersia, de onde foi tomado pelos ´arabes. O sistema dos numerais indianos ´e comumente conhecido no Ocidente como hindu-ar´abico ou simplesmente algarismos ar´abicos, uma vez que chegaram `a Europa trazidos pelos ´
Como contado em Ifrah (2005), numa escurid˜ao cultural quase total, os ociden- tais tinham perdido at´e a mem´oria das artes e das ciˆencias. Os pr´ıncipes europeus desta ´epoca se preocupavam muito pouco com a cultura. A c´elebre biblioteca de Alexandria, a mais rica da antiguidade grega, foi destru´ıda duas vezes: uma primeira no s´eculo IV, por vˆandalos crist˜aos e outra vez, paradoxalmente, por mu¸culmanos fan´aticos do s´eculo VII. V´arios manuscritos originais vieram a desaparecer e v´arias obras-primas da literatura e da ciˆencia gregas teriam sido perdidas para a poste- ridade, se j´a n˜ao tivessem sido recolhidas e traduzidas em l´ıngua ´arabe. Isso foi poss´ıvel, gra¸cas `as obras do ´arabe Ibn Roshd (Averro`es) (1126-1198). Os ´arabes se interessavam tamb´em pelas culturas orientais. Com rela¸c˜ao aos n´umeros, primeiro eles se dedicaram `as numera¸c˜oes alfab´eticas grega e judia, cujo uso foi adaptado `as 28 letras de seu pr´oprio alfabeto.
O sistema de numera¸c˜ao hindu-ar´abico foi trazido da India, em torno de 825 d.C. (s´eculo IX d.C.) pelo matem´atico ´arabe, Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa
al-Khwarizmi (com acentua¸c˜ao ´arabe modificada dada a dificuldade no nosso sis- tema de impress˜ao) foi um matem´atico, astrˆonomo, astr´ologo, ge´ografo e autor persa. Conhecem-se poucos detalhes de sua vida. Era um erudito na Casa da Sabedoria em Bagdade.
Figura 12 – Al-Khwarazmi - O difusor do sistema indu-arabic na Europa.
Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Al-Khwarizmi .
Quando eles (´arabes) tiveram acesso `as descobertas Hindus, foi como ter encontrado uma luz na escurid˜ao. Como proclamava com entusiasmo o autor de uma obra ´arabe da ´epoca, este sistema ”´e o m´etodo mais resumido e pr´atico, mais f´acil de entender e mais cˆomodo de aprender. Ele comprova, sem d´uvida, um esp´ırito penetrante, um belo talento criador e a superioridade de discernimento e de gˆenio inventivo dos Hindus”.
2.10. O Sistema de Numera¸c˜ao Hindu-Ar´abico 37
desses povos, ganhou tamb´em rapidamente o ocidente. Quando se viram diante da numera¸c˜ao e dos m´etodos de c´alculo vindos da ´India, os ´arabes tiveram suficiente presen¸ca de esp´ırito para apreciar suas vantagens, reconhecer sua superioridade e adot´a-los. Ao contr´ario, os crist˜aos da Europa que ficaram agarrados a seus sistemas arcaicos e foram t˜ao reticentes diante da novidade, que foi preciso esperar durante s´eculos, at´e que o triunfo do ”algoritmo”, como era ent˜ao denominado o c´alculo escrito, fosse finalmente total e definitivoIfrah (2005). A evolu¸c˜ao do sistema hindu- ar´abico ´e motrada na Figura 13, desde o s´eculo VI na ´India, at´e o s´eculo XV, j´a introduzido na Europa.
Figura 13 – A evolu¸c˜ao no tempo, do sistema hindu-ar´abico.
Fonte: invivo.fiocruz.br.
Nosso sistema de numera¸c˜ao Hindu-Ar´abico ´e um sistema de numera¸c˜ao posicional de base 10. Ele ´e preciso e n˜ao apresenta ambiguidades, justamente porque temos o s´ımbolo 0 (zero) para representar ausˆencia de uma casa. O nome Al Khawarismi deu surgimento a palavra ”algarismo”.
Qualquer sistema de n´umeros, por mais elementar que seja, sup˜oe a ado¸c˜ao de alguns s´ımbolos, estruturados em dois princ´ıpios: o princ´ıpio de ordenamento , que permite distinguir o primeiro s´ımbolo (um), do segundo (dois), e eventualmente do terceiro (trˆes), e assim por diante; e o princ´ıpio de agrupamento , que interrompe a produ¸c˜ao de s´ımbolos individuais diferentes, estabelecendo um s´ımbolo de ordem superior, cuja combina¸c˜ao com os precedentes permite reiniciar o sistema. Assim,
”um, dois, trˆes, ..., dez, dez-um, dez-dois, ..., dez-dez ou cem, cento-um, cento-dois, ...”deu origem ao sistema baseado em 10, ou seja, um sistema decimal, como o hindus entenderam como numerar.
A partir do final do s´eculo XI, a atividade dos tradutores e dos compiladores de obras ´arabes, gregas ou hindus floresceu na Europa. Os contatos culturais entre os dois mundos passaram a ser ali cada vez mais frequentes, com o desembarque consider´avel de europeus desejosos de se instruir em matem´atica, astronomia, ciˆencias naturais e filosofia. Paulatinamente, este per´ıodo (s´eculos XII-XIII) trouxe ao conhecimento da Europa as obras de Arist´oteles (384 a.C-322 a.C), Euclides (365 a.C-300 a.C), Ptolomeu (90 d.C-168 d.C), AlKhowarizmi (780 d.C-850 d.C), Al-Biruni (973 d.C-1048 d.C) e de tantos outros. Foi a vez dos crist˜aos traduzirem em latim tudo o que lhes chegava `as m˜aos, e assinaram, deste modo, num prazo mais ou menos curto, o fim do abacismo (o c´alculo com ´abaco). A partir de ent˜ao, o c´alculo e a ciˆencia moderna puderam se desenvolver sem entraves.
2.10.1
Depois do S´eculo XI - O Sistema Decimal - Base 10
Leonard Fibonacci (1170-1250) ficou conhecido pela introdu¸c˜ao dos algarismos Hindu-Ar´abicos na Europa. Com outros matem´aticos do seu tempo, contribuiu para o renascimento das ciˆencias exatas, ap´os a decadˆencia do ´ultimo per´ıodo da antiguidade cl´assica e do in´ıcio da Idade M´edia. Fibonacci destacou-se ao escrever o Liber Abaci, o Livro do ´Abaco, em 1202, sendo obra importante sobre matem´atica. Liber Abaci introduziu os numerais Hindu-Ar´abicos na Europa, al´em de discutir muitos problemas matem´aticos.
Figura 14 – Fibonacci: o primeiro grande matem´atico europeu da Idade M´edia.
Fonte: en.wikipedia.org/wiki/Leonardo Fibonacci.
2.10. O Sistema de Numera¸c˜ao Hindu-Ar´abico 39
dos Hindus), hoje conhecido como algarismos ar´abicos (Sigler 2003; Grimm 1973). O livro defendia a numera¸c˜ao com os d´ıgitos 0-9 e a nota¸c˜ao posicional, esclarecendo o sistema de posi¸c˜ao ´arabe dos n´umeros, incluindo o n´umero zero. O livro mostrou a importˆancia pr´atica do novo sistema numeral, aplicando-o `a contabilidade comercial, convers˜ao de pesos e medidas, o c´alculo de juros, taxas de cˆambio e outras aplica¸c˜oes. O livro foi bem recebido em toda Europa e teve um impacto profundo no pensamento europeu. Esse elegante sistema de sinais num´ericos, em breve, substituiria o n˜ao mais oportuno sistema de algarismos romanos.
Liber Abaci tamb´em colocou e resolveu um problema que envolve o crescimento de uma popula¸c˜ao hipot´etica de coelhos com base em pressupostos idealizados. A solu¸c˜ao, de gera¸c˜ao em gera¸c˜ao, foi uma sequˆencia de n´umeros mais tarde conhecida como a sequˆencia de Fibonacci: h1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, ...i. A seq¨uˆencia num´erica era conhecida por matem´aticos indianos j´a no s´eculo VI, mas foi o Liber Abaci que a introduziu no Ocidente.
2.10.2
Representando N´umeros na Base 10
Seja qual for a raz˜ao, usamos o sistema decimal de numera¸c˜ao com os algarismos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Existe, ent˜ao, uma regra geral de representa¸c˜ao para qual- quer qualquer N inteiro ou fracion´ario :
N = an.10n + an−1.10n−1+ an−2.10n−2+ ... + a1.101 + a0.100
onde n ´e um inteiro positivo ou negativo (n ∈ Z). Portanto, qualquer n´umero decimal inteiro ou fracion´ario pode ser representado segundo esta f´ormula.
Exemplos (Decomposi¸c˜ao de n´umeros reais)
7236, 81 = 7 × 104 + 2 × 103 + 3 × 102 + 6 × 101 + 8 × 10−1+ 1 × 10−2 1537 = (1537)10 = 1 × 103+ 5 × 102+ 3 × 101+ 7 × 100
36, 189 = (36, 189)10 = 3 × 101 + 6 × 100 + 1 × 10 − 1 + 8 × 10 − 2 + 9 × 10 − 3
6, 032 × 1023= (6, 032 × 1023)
10 = 6 × 1023+ 0 × 1022+ 3 × 1021+ 2 × 1020
O sistema de numera¸c˜ao decimal Stein(2008), ´e semelhante a um dicion´ario. Em vez de letras, o sistema de numera¸c˜ao decimal usa os caracteres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Estes dez caracteres formam todas as palavras que podem ser usadas para descrever quantidades. ´E um dicion´ario simples: por exemplo o n´umero 384, 07 ´e na verdade definido por 3 × 102+ 8 × 101+ 4 × 100+ 0 × 10−1+ 7 × 10−2. O valor quantitativo da palavra 384, 07 ´e dedut´ıvel das letras (d´ıgitos) usadas e de suas posi¸c˜oes na palavra (n´umero decimal).
Uma maneira de definir os n´umeros reais ´e o conjunto de todas as representa¸c˜oes decimais da forma anterior, em que somente ´e permitida uma quantidade finita de n´umeros `a esquerda do ponto decimal, mas uma quantidade infinita para o outro lado. Com essa conven¸c˜ao, 384, 07 = 384, 7000000 . . ..
Os racionais s˜ao todos aqueles n´umeros, tal como, 25, 512121212 . . . que eventu- almente se acomodam em um padr´ao repetitivo `a direita do ponto decimal. Pode-se verificar que 0, 5121212 . . . = 507/990.
Um n´umero normal de base 10 ´e aquele no qual, em m´edia, cada d´ıgito deci- mal, tal como 5, aparece 1/10 das vezes. Cada par de d´ıgitos decimais sucessivos, digamos 57, aparece 1/100 das vezes, cada tripla de d´ıgitos decimais sucessivos, tal como 571,, aparece 1/1000 das vezes, e assim por diante. Esse ´e o equivalente matem´atico da moeda ”aleat´oria ideal”, no lugar de uma moeda aleat´oria ideal com dois lados, cujos arremessos gerariam um n´umero normal na base 2. O caso de base 10, pode ser imaginado a uma roleta perfeitamente equilibrada com 10 n´umeros, de 0 a 9. ´E possivel formular uma defini¸c˜ao equivalente de normalidade para qualquer base de um sistema de numera¸c˜ao. Em Stein (2008), cap´ıtulo 10, p.200-202, existe mais informa¸c˜ao sobre n´umeros normais conhecidos. Uma observa¸c˜ao interessante ´e que h´a muitos poucos exemplos de n´umerosnormais em todas as bases; todos os que s˜ao conhecidos s˜ao altamente artificiais, pois n˜ao s˜ao encontrados no mundo real. Tamb´em que, esses n´umeros normais, n˜ao aparecem quando estamos medindo coisas. Em de vez de 10, que usamos no sistema decimal, ´e poss´ıvel usarmos, como base de um sistema de numera¸c˜ao, qualquer inteiro positivo maior que 1. Quando ”2”assume o lugar de ”10”no sistemas decimal, temos como resultado o sistema de numera¸c˜ao bin´ario de base 2, com o alfabeto consistindo dos d´ıgitos {0, 1}.