A aritm´etica babilˆonica (2100 a. C) baseava-se no n´umero 60, e nos costumes e linguagem dos povos que falam inglˆes, est˜ao submersos os remanescentes de um sistema de base 12, que em certa ´epoca imperou nas ilhas britˆanicas: 12 meses num ano, 12 polegadas num p´e, dois per´ıodos de 12 horas num dia, medidas em grupos de d´uzias, entre outros exemplos. Inspirado no n´umero de dedos no par das m˜aos humanas, o sistema decimal terminou por ofuscar todos os outros meios de numera¸c˜ao, pelo menos no ocidente.
Pingala foi um antigo matem´atico indiano, famoso por sua obra, o Chandas Shas- tra, um tratado sˆanscrito (ou l´ıngua sˆanscrita ´e uma l´ıngua da ´India, com uso lit´urgico no hindu´ısmo, budismo e jainismo. O sˆanscrito faz parte do conjunto das 23 l´ınguas oficiais da ´India.) sobre pros´odia (´e a parte da lingu´ıstica que estuda a entona¸c˜ao, o ritmo, o acento - a intensidade, altura, dura¸c˜ao - da linguagem falada e demais atributos correlatos na fala. A pros´odia descreve todas as propriedades
2.11. Representando N´umeros na Base 2 41
ac´usticas da fala que n˜ao podem ser preditas pela transcri¸c˜ao ortogr´afica) considerado parte do Vedanga (Os Vedanga s˜ao seis disciplinas auxiliares para a compreens˜ao e tradi¸c˜ao dos Vedas, textos sagrados do Hindu´ısmo). Na tradi¸c˜ao liter´aria Indiana, Pingala ´e identificado como o irm˜ao mais novo do Panini, o grande gram´atico do s´eculo V a.C. Outras tradi¸c˜oes o identificam com Patanjali, o autor do Mahabhashya. Mylius (1983:68) considera o Chandas-shastra ”muito posterior”no corpo Vedanga. Isso o colocaria pr´oximo `a Era Comum, provavelmente p´os-datando os tempos do Imp´erio M´auria (R. Hall, Mathematics of Poetry, tem ”c. 200 a.C.”).
O Chandas Shastra ´e dividido em oito cap´ıtulos. Foi editado por Weber (1863). Est´a na transi¸c˜ao entre a m´etrica v´edica e a m´etrica cl´assica dos ´epicos sˆanscritos. O matem´atico do s´eculo X, Halayudha, o comentou e expandiu. Neste contexto, Pingala apresenta a primeira descri¸c˜ao conhecido de um sistema num´erico bin´ario. Ele descreveu o sistema num´erico bin´ario em conex˜ao `a listagem das m´etricas v´edicas com s´ılabas longas e curtas. A sua discuss˜ao sobre a combina¸c˜ao de m´etrica corres- ponde ao teorema binomial. O coment´ario de Halayudha inclui uma apresenta¸c˜ao do triˆangulo de Pascal (chamado de meru-prastaara). A obra de Pingala tamb´em cont´em as id´eias b´asicas de n´umeros de Fibonacci (chamados de maatraameru). O uso do zero ´e `as vezes erroneamente designado a Pingala devido `a sua dis- cuss˜ao sobre n´umeros bin´arios, geralmente representados usando 0 e 1 na discuss˜ao moderna, mas Pingala usou s´ılabas longas e curtas. Quatro s´ılabas curtas (em bin´ario, ”0000”) no sistema de Pingala, contudo, representam o n´umero um, e n˜ao o zero. Uso posicional do zero data de s´eculos posteriores e teria sido familiar a Halayudha, mas n˜ao ao Pingala.
Da ideia de Pingala no s´eculo III a.C., o sistema bin´ario foi refinado por Leibniz, no s´eculo XVII.
2.11.1
Leibniz e o sistema bin´ario
Leibniz n˜ao inventou o c´odigo bin´ario, mas foi um dos precursores no uso no contexto de uma l´ogica. Certos pensadores ocidentais p´os-renascentistas, no entanto, fascinaram-se pela simplicidade dos dois estados da numera¸c˜ao bin´aria. Lentamente, o conceito infiltrou-se em disciplinas cient´ıficas isoladas, da l´ogica e da filosofia `a matem´atica e `a engenharia, ajudando a anunciar a aurora da era do computador digital. Leibniz foi um dos primeiros defensores do sistema bin´ario, que chegou a ele de uma maneira indireta. Em 1666, enquanto completava seus estudos universit´arios, e bem antes de inventar sua calculadora de rodas dentadas, Leibniz, ent˜ao com 20 anos, esbo¸cou um trabalho que, modestamente, dissertava sobre sistemas bin´arios, denominado ”De Arte Combinatoria”(Sobre a Arte das Combina¸c˜oes), esse pequeno trabalho delineava um m´etodo geral para reduzir todo pensamento - de qualquer tipo e sobre qualquer assunto - a enunciados de perfeita exatid˜ao. A l´ogica (ou, como ele a chamava, as leis do pensar ) seria ent˜ao transposta do dom´ınio verbal, que ´e
repleto de ambiguidades, ao dom´ınio da matem´atica, que pode definir com precis˜ao as rela¸c˜oes entre objetos ou enunciados. Al´em de propor que todo pensamento racional se tornasse matem´atico, Leibn´ız invocava ”uma esp´ecie de linguagem ou escrita universal ”, mas infinitamente diversa de todas as outras concebidas at´e aquele tempo, isso porque os s´ımbolos e at´e mesmo as palavras nela envolvidas dirigir-se-iam `a raz˜ao, e os erros, exceto os fatuais, seriam meros erros de c´alculo. Seria muito dif´ıcil formar ou inventar essa linguagem, mas tamb´em seria muito f´acil compreendˆe-la.
2.11.2
Refinamento do Sistema Bin´ario
Seus contemporˆaneos, talvez perplexos, talvez sentindo-se inferiorizados por suas id´eias, ignoraram esse ensaio, e o pr´oprio Leibniz, ao que parece, nunca voltou a retomar a id´eia da sua nova linguagem. Uma d´ecada mais tarde, por´em, ele come¸cou a explorar uma nova maneira as potencialidades da matem´atica, concentrando-se em aprimorar o sistema bin´ario. Enquanto trabalhava, transcrevendo laboriosamente n´umeros decimais transformados em bin´arios, era estimulado por um manuscrito se- cular que lhe chamara a aten¸c˜ao. Tratava-se de um coment´ario sobre o vener´avel livro chinˆes I Ching ou ”Livro das Muta¸c˜oes”, que procurava representar o universo e todas as suas complexidades por meio de uma s´erie de dualidades, contrastando luz e trevas, macho e fˆemea. Encorajado por essa aparente valida¸c˜ao de suas pr´oprias no¸c˜oes matem´aticas, Leibniz continuou aperfei¸coando e formalizando as intermin´aveis com- bina¸c˜oes de uns e zeros, que constitu´ıram o moderno sistema bin´ario. E hoje, qualquer computador digital atual, independente do tamanho ou da finalidade a que se destina, significa, ter em sua essˆencia, um sistema de tr´afego de informa¸c˜oes expresso em zeros e uns. Um c´odigo de dois s´ımbolos n˜ao era a ´unica alternativa ao sistema decimal. Neste sistema bin´ario, como ´e conhecido hoje, usa-se a base 2, portanto reque- rendo apenas dois s´ımbolos: ”0”e ”1”.
O uso do sistema bin´ario ´e inadequado para o nosso dia-a-dia, mas ´e ideal para a constru¸c˜ao dos computadores, pois s´o tem dois algarismos, e s˜ao ´otimos para repre- sentar dois estados, tais como ”ligado/desligado”, ”aberto/fechado”, ”sim/n˜ao”ou ”falso/verdadeiro”.
Neste caso:
N2 = an.2n + an−1.2n−1+ an−2.2n−2+ ... + a1.21 + a0.20
onde n ´e um inteiro positivo ou negativo (n ∈ Z). Portanto, qualquer n´umero bin´ario pode ser representado segundo esta f´ormula.
Em bin´ario 100 (decimal) ser´a: 10102 = 1x 23+ 0x 22+ 1x 21+ 0x 20 = 1x 8 + 1x 2 = 102
2.11. Representando N´umeros na Base 2 43
(10111)2 = 1x 24+ 0x 23+ 1x 22+ 1x 21+ 1x 20
(10, 1)2 = 1x 21+ 0x 20+ 1x 2−1
2.11.3
Os Sistema Bin´ario e a Ideia dos Cart˜oes Perfurados
No s´eculo XIX, em 1801, apareceu o tear controlado por cart˜ao perfurado, inven¸c˜ao de Joseph Marie Jacquard (ver no Volume II, cap´ıtulo sobre Calculadoras Mecˆanicas, a Pr´e-Hist´oria dos Computadores), no qual as perfura¸c˜oes indicavam os 1’s e os locais n˜ao perfuradas, indicavam os 0’s. O sistema est´a longe de ser um computador, mas ilustrou que as m´aquinas poderiam ser controladas pelo sistema bin´ario. Cart˜oes perfurados perduraram at´e o s´eculo XX, meados dos anos 70. Atualmente, no processamento de todos computadores modernos, a ideia do cart˜ao perfurado tem sido substitu´ıda pelo sistema similar, mas de leitura ´otica sobre marcas no cart˜ao, indicadas pelo usu´ario, correspondendo a sequˆencias espec´ıficas de 0’s e 1’s, podendo representar qualquer informa¸c˜ao. Como por exemplo, empregado na Mega-Sena da CEF ou em grandes vestibulares ou exames nacionais da educa¸c˜ao brasileira.
2.11.4
As Aplica¸c˜oes dos N´umeros Bin´arios
Em Stein (2008), temos que o sistema bin´ario ´e o de uso natural para o armaze- namento de informa¸c˜oes em um computador digital. Originalmente, a informa¸c˜ao era exibida por meio de uma sequˆencia de luzes: acesa (1) e apagada (0). Com- putadores, no passado dos anos 50-70, aimda armazenavam informa¸c˜oes de forma magn´eticamente: magnetizado (1), n˜ao-magnetizado (0).
Em outro fato, considere uma moeda como em Stein (2008), em que o sistema bin´ario surge, diante dos lan¸camentos da moeda ao acaso. H´a uma correspondˆencia simples entre uma sequˆencia infinita de caras ou coroas e representa¸c˜oes bin´arias de n´umeros 0 e 1. Mais precisamente de representa¸c˜oes bin´arias entre 0 e 1. Dada uma sequˆencia de caras ou coroas, substitua cara por 0, coroa por 1, remova as v´ırgulas, e coloque uma v´ırgula decimal `a esquerda do primeiro d´ıgito. A sequˆencia infinita de caras ou coroas que alterna cara e coroa (Ca, Co, Ca, Co, ...) torna-se um n´umero bin´ario 0, 01010 . . .. Tamb´em ´e poss´ıvel fazer o procedimento reverso: a partir de um n´umero bin´ario entre 0 e 1, construir uma sequˆencia infinita de caras ou coroas. Neste caso, a procura por uma moeda aleat´oria ideal, se transforma na procura por um n´umero bin´ario. A exigˆencia de que cada sequˆencia espec´ıfica de n jogadas ocorra 1/(2n) das vezes, se torna a exig¨encia de que cada sequ¨encia espec´ıfica de n d´ıgitos
bin´arios (0s e 1s) ocorra 1/(2n) das vezes. Um n´umero que possui essa propriedade ´e chamado normal de base 2.
Outra aplica¸c˜ao de bin´arios em Stein(2008), ´e o de haver um dicion´ario que traduza blocos de n´umeros para os caracteres da linguagem na qual uma mensagem seja apre- sentada. Este ´e o caso, do c´odigo ASCII (American Standard Code for Information Interchange), o c´odigo que traduz blocos de oito d´ıgitos bin´arios armazenados em
um computador para caracteres imprim´ıveis ou tecl´aveis que se originam a partir do teclado de um computador. Um exemplo ´e o caso da do bloco bin´ario ”01000001”(cuja representa¸c˜ao decimal ´e 65, armazenado em 1 byte de 8 bits), corresponde ao caracter ”A”.