Identificação da Dinâmica dos Atuadores

Atuadores piezoelétricos são baseados nas propriedades piezoelétricas de cerâ- micas em estado sólido obtidas a partir de pós de titanato de zirconato de chumbo (PZT). Este material quando dopado artificialmente tem a propriedade de converter energia elétrica diretamente em um movimento de extensão (energia mecânica) (PI,

2006). As propriedades do material permitem o alcance de resoluções tão altas que, em geral, são limitadas pelos circuitos de condicionamento de sinal e amplificação de potência. Daí a larga utilização destes atuadores para aplicações de nanoposi- cionamento. Tais atuadores são também utilizados para o controle ativo de vibrações por possuírem tempos de resposta bastante altos, o que significa uma largura banda suficiente para controlar modos até 500Hz (HANSEN; SNYDER, 1997).

A capacidade inerente ao material garante a capacidade de extensão e, portanto, de realização de forças de compressão na estrutura onde ele é montado. A fabricação usualmente inclui a aplicação de uma pré-carga que permite que os atuadores também sejam capazes de realizar forças de tensão.

Atuador A B

Modelo P-247.30 P-239.90

Extensão máxima [µm] 40 180

Capacidade de força (compressão/tensão) [N] 30000/3500 4500/500 Tensão elétrica de alimentação [0 , 1000V] [0 , 1000V]

Rigidez [N/µm] (±20%) 680 35

Capacitância [nF] (±20%) 2300 2100

Freq. de Ressonância (sem carga) [kHz] (±20%) 4,5 2,0 Tabela 6: Dados técnicos dos Atuadores (PI, 2006)

uma capacidade de carga mais alta já que suporta todo o eixo-árvore. Por outro lado, o atuador B é escolhido com uma extensão máxima mais alta pois o tipo de carga à qual ele é submetido acaba por restringir sua extensão máxima, como é descrito abaixo.

As vibrações obtidas durante o processo são de alguns µm. As maiores ampli- tudes são de 6 µm (no flange) e ocorrem no segundo modo de vibração. Assim, a capacidade de extensão dos atuadores é suficiente para controlar os modos de in- teresse. Entretanto, uma característica importante deste tipo de atuador é sua baixa rigidez. Como apresentado na Fig. 43 o atuador A tem a rigidez alta o suficiente para que não diminua consideravelmente a rigidez do conjunto formado com a base e o fuso de esferas recirculantes abaixo dele. Por outro lado, o atuador B possui uma rigidez muito baixa e que restringe sua funcionalidade. A isto se somam caracterís- ticas não lineares apresentadas abaixo. A baixa rigidez deste atuador faz com que sejam necessários grandes deslocamentos para a aplicação de forças consideráveis sobre o eixo, entretanto isto é preferencialmente limitado para evitar comportamentos não lineares do módulo B.

Atuador A

O atuador A suporta todo o eixo-árvore, que constitui uma carga importante. A Fig. 51 apresenta o efeito da carga no comportamento do atuador. O seu desloca- mento total permanece o mesmo mas seu zero é deslocado devido ao peso da massa suportada por ele. Tal deslocamento é obtido por ∆LN = F/kT, onde F é a força

estática F = M g aplicada sobre o atuador e kt a sua rigidez. A massa do eixo é de

aproximadamente 500Kg e a rigidez é kT = 680 N/µm, que leva a um deslocamento

∆LN = 500 · 9, 81/680µ ≈ 7, 21µm.

A Fig. 52 comprova o resultado obtido através da aplicação de um movimento senóide lento e a medição de xa, o sinal do extensômetro colado à cerâmica. O

Figura 51: O deslocamento do zero devido a uma carga(PI, 2006).

atuador A tem uma tensão de controle uano intervalo [−2V, 8V ]. A translação de −2V

é aplicada em decorrência de ruídos nos potenciômetros de ajuste do amplificador de potência. O zero deste atuador é então definido como ua0 = 3V, de maneira que o

sinal de fato aplicado ao atuador é de uae = ua0+ ua. Os sinais para a identificação

deste atuador também são somados à componente estática ua0 = 3V.

Figura 52: Uma senóide lenta aplicada em uae o correspondente deslocamento xa

O amplificador de potência utilizado para este atuador apresenta uma freqüência de corte dentro da faixa de freqüência onde estão os modos de vibração de interesse. A Fig. 53 apresenta a função resposta em freqüência entre a tensão de controle ua e

o sinal do extensômetro xa. Na verdade, este é o comportamento dinâmico que existe

entre uae Vae é decorrente da característica equivalente ao circuito RC formado entre

o amplificador de potência e o atuador. Como este atuador é projetado para altas cargas o amplificador de potência precisa prover uma potência muito alta, o que limita sua resposta em freqüência. Percebe-se um decaimento típico de um sistema de

primeira ordem a partir de aproximadamente 50 Hz. Assim, este atuador é capaz de realizar movimentos utilizando toda sua capacidade de extensão somente até 50Hz.

Figura 53: A estimativa H1de xa/ua

Foram testados diversos tipos de sinais e não foram identificados comportamen- tos não lineares importantes de maneira que não existe justificativa para poupar a utilização deste atuador durante o controle das vibrações. Por fim, para a identificação foi utilizado um ruído branco de energia 1.2V2 _{com a limitação de banda em 1 kHz. A}

Fig. 54 apresenta a resposta em freqüência entre uae fae o modelo de terceira ordem

obtido através do método do subespaço (LJUNG; PIERSOL, 1999). Para a identificação a estimativa é filtrada a partir de 500Hz de maneira a que se obtenha um modelo cuja resposta em freqüência se aproxima daquela experimental na faixa de freqüência onde o atuador é projetado para trabalhar (até 300 Hz). A Eq. (6.2) apresenta o modelo obtido.              xa(k + 1) =     0, 9868 −0, 6983 0, 5133 4, 724 · 10−4 0, 9881 −1, 625 2, 548 · 10−5 6, 122 · 10−4 0, 9336     xa(k) +     8, 442 −1, 799 −9, 288 · 10−2     ua(k) fa(k) = h 0, 4588 0, 6316 0, 5352 i xa(k) (6.2)

Figura 54: A estimativa H1 de fa/uae a FRF do modelo identificado

Atuador B

O atuador piezoelétrico modelo P-239.90, da companhia Physik Instrumente, foi escolhido para compor o módulo B por já estar disponível para pesquisa e justifica- se por motivos econômicos. No entanto, este atuador apresenta uma capacidade de extensão de 180 µm, que mostra-se muito acima do necessário para a compensação de vibrações no flange (em torno de no máximo 6 µm no flange) e para projetos futuros de compensação de deformações estáticas (abaixo de 10µm de deformação no flange para forças da ordem das que ocorrem no processo (SIMNOFSKE; HESSELBACH, 2006)). Além disto a rigidez deste atuador (35 N/µm) é muito baixa. Uma rigidez baixa implica que para extensões da ordem das obtidas nas vibrações este atuador aplica forças relativamente baixas. Projetos futuros envolvem a otimização do módulo B, de maneira que a alavanca de desvio (v. Fig. 42) transforme a relação entre extensão e força transmitida para o eixo. Como utilizada neste projeto esta alavanca consiste em um triângulo equilátero que apenas desvia a direção da força.

A carga à qual o atuador B é submetido é de natureza diferente daquela do atu- ador A. De fato, a força que age contra este atuador não é constante e, sim, está relacionada com a extensão do atuador. De modo geral é equivalente a atuar contra uma mola de rigidez ks, como indicado na Fig. 55. Neste caso existe uma perda na

capacidade de extensão que está relacionada os valores da rigidez do atuador e da mola contra a qual ele se estende.

Figura 55: A diminuição da amplitude do atuador que age contra uma carga do tipo mola(PI, 2006).

A perda pode ser calculada pela expressão(PI, 2006)

∆LR≈ ∆L0  1 − kT kT + ks  (6.3)

A aplicação exata da equação acima para o caso do módulo B não se justifica já que este módulo não é montado exatamente sobre um elemento de rigidez ks. En-

tretanto ela mostra que um atuador de baixa rigidez tende a perder muito de sua capacidade de extensão quando aplicado contra um elemento rígido. No caso do mó- dulo B foi medido uma capacidade de extensão de aproximadamente 60 µm, ou seja, dois terços da capacidade total são perdidos.

Este atuador apresenta características não-lineares mais nítidas que o atuador A, como é apresentado a seguir. Entretanto, em uma primeira abordagem, espera-se obter um modelo linear para o projeto de controladores lineares e para tanto faz-se necessário definir uma faixa de operação para este atuador. A Fig. 56 apresenta à esquerda o sinal de força fb obtido quando da aplicação do ruído branco ub apresen-

tado. Um comportamento assimétrico é percebido e é tão mais nítido quanto maiores são as amplitudes aplicadas. As forças de tração mostram-se mais intensas que as de compressão. De fato, quanto maior a extensão do atuador, maiores as forças sobre os pontos de giro da alavanca de desvio e, portanto, maiores as forças de atrito.

O problema pode ser solucionado aplicando um ruído branco com menor ener- gia. Entretanto, tal sinal não seria adequado para a identificação do comportamento vibratório do eixo pois o sinal dos acelerômetros é muito baixo. A aplicação de uma onda quadrada no atuador não apresenta o comportamento assimétrico, como apre- sentado na Fig. 56 à direita, e excita os modos da estrutura. As FRFs obtidas atra-

Figura 56: Tensão de entrada e força obtida no atuador B

vés da aplicação de ruído branco e onda quadrada são apresentadas na Fig. 57, o comportamento não linear pode ser verificado pelo valor da coerência. No caso da utilização da FRF a partir da onda quadrada percebe-se uma queda na coerência a partir de aproximadamente 600 Hz. Isto acontece porque a onda quadrada tem sua energia mais concentrada em baixas freqüências, enquanto que o ruído branco tem aproximadamente uma distribuição constante até 1 kHz, freqüência a partir da qual é aplicado um filtro para a limitação da excitação. A distribuição da energia do sinal ub é

comparada através da densidades espectral de potência na Fig. 58.

Figura 57: A estimativa H1de fb/ub através da aplicação de sinais diferentes

É preciso definir um zero para o atuador B, de maneira que o sinal de controle efetivamente aplicado é aquele somado a esta componente estática. Diferentemente do atuador A, o comportamento do atuador B é sensível à sua extensão. A extensão

Figura 58: A densidade espectral de potência de ub através da aplicação de sinais diferentes

deste atuador tensiona a estrutura e pode ser prejudicial aos rolamentos da torre e do eixo-árvore. A tensão de controle varia de 0 a -10 V, que corresponde ao atuador recolhido e totalmente estendido, respectivamente. O comportamento apresenta-se nitidamente diferente a partir de uma extensão de -4 V, que equivale a aproximada- mente 24 µm. A Fig. 59 apresenta à direita a FRF v1/fb para a aplicação de ondas

quadradas centradas em -0,5 V, -2,0 V e -4,0 V (linha mais grossa). Em geral, quanto mais se estende o atuador, menos força é convertida em movimento no eixo. Assim define-se o zero deste atuador como ub0 = −2 V, de maneira que o sinal de fato apli-

cado ao atuador é de ube = ub0 + ub. Os sinais para a identificação deste atuador

também são somados à componente estática ua0 = −2 V.

Figura 59: O efeito do atrito de Coulomb quando o atuador B decorrente da extensão do atuador B

A Fig. 60 apresenta as FRFs obtidas com ondas quadradas de amplitude 0,5 V e 1,2 V e o modelo identificado (a partir dos dados obtidos através do primeiro sinal). O modelo foi obtido através de uma busca iterativa que minimiza o erro quadrático médio da saída para um sistema parametrizado como um modelo de processo que possui um ganho, um pólo, um zero e um atraso.

Fb(s) Ub(s) = 148, 29 · 1 − 0, 011671s 1 + 0, 0080023se −4,6627·10−5_s (6.4)

O zero localiza-se na freqüência física 13,6 Hz e o pólo 19,9 Hz. O atraso é de praticamente um intervalo amostral. Este modelo é discretizado através do método do sustentador de ordem zero (BURL, 1999), apresentado na Seção A.7.1 do Apêndice A,

Figura 60: FRFs experimentais e do modelo Gb(z)