APÊNDICE A – Sistemas LIT
A.6 Propriedades Estruturais de Sistemas LIT
Esta seção contém uma apresentação sucinta da investigação de propriedades estruturais de sistemas LIT. Entende-se propriedades estruturais como propriedades inerentes à estrutura matemática destes sistemas, no que diz respeito à utilização deles para o projeto de controladores. Além disto, a avaliação da controlabilidade e observabilidade destes sistemas pode levar a critérios para a definição do posiciona- mento de sensores e atuadores em estruturas mecânicas para às quais pretende-se
desenvolver controle ativo de vibrações. A estabilidade constitui uma propriedade estrutural fundamental no projeto de sistemas para o controle ativo de vibrações e representa um dos pontos de maior fragilidade a críticas deste tipo de abordagem em comparação com o controle passivo de vibrações.
A.6.1 Controlabilidade
A controlabilidade constitui a capacidade do sistema em ter sua dinâmica interna governada através da aplicação de um determinado sinal de entrada finito. Matemati- camente isto significa que tal sinal de entrada é capaz de deslocar o vetor de estados de um estado para outro dentro de um intervalo de tempo finito. Esta propriedade, em um LTI, é um conceito que diz respeito à relação entre os estados de um sistema e suas entradas. Assim, a segunda equação de saída em (A.4) não desempenha nenhum papel. Portanto, é possível referir-se à controlabilidade do par (A, B), já que estas duas matrizes definem a controlabilidade do sistema como um todo. Pela defi- nição matemática um sistema é dito controlável se é possível levar o vetor de estados de uma configuração para outra em um tempo finito através da aplicação de um sinal de entrada finito durante este intervalo de tempo(CHEN, 1970). Sistemas que não atendem a esta definição são ditos não controláveis.
Do ponto de vista prático o teste mais comum para a definição da controlabilidade de sistemas LIT baseia-se na matriz de controlabilidade(CHEN, 1999;OGATA, 2000):
C=h B AB A2B · · · An−1B i n×nu
(A.29)
onde n e nu são o número de estados e sinais de entrada, respectivamente.
Se a matriz de controlabilidade C possui posto completo em linhas, ou seja, posto n, então o sistema é controlável.
Embora o posto de C dê a informação completa sobre a controlabilidade do sis- tema de um ponto de vista matemático, ela não dá informação sobre a magnitude do sinal de entrada necessário para governar os estados do sistema a partir de uma condição inicial até uma configuração desejada. O sinal de entrada necessário para deslocar os estados de um estado x0(t0) para outro x1(t1) é(HANSEN; SNYDER, 1997;
CHEN, 1970)
u(t) = −BTeATtWc−1(t0, t1)x0− eAtx1
(A.30)
Wc(t0, t1) =
Z t1
t0
eAτBBTeATτdτ (A.31)
A partir da Eq.(A.30) pode-se concluir que se Wc(t0, t1) não tem posto completo
em todo o intervalo [t0, t1]pelo menos um termo do vetor de entrada u(t) deverá pos-
suir magnitude infinita pelo menos em algum instante de tempo, o que contradiz a definição de controlabilidade. Assim, o posto completo de Wc(0, ∞) também constitui
um teste para a controlabilidade do sistema. O graminiano de controlabilidade em regime permanente Wc = Wc(0, ∞) pode ser calculado através da equação de Lya-
punov (CHEN, 1970):
AWc + WcAT + BBT = 0 (A.32)
De um ponto de vista prático, os atuadores têm limitações que podem trazer dificuldades mesmo quando os testes acima descritos indicarem que um dado sistema é controlável.
A.6.2 Observabilidade
O conceito de observabilidade é matematicamente dual ao da controlabilidade. Neste caso a propriedade resulta da relação entre as saídas do sistema e seus esta- dos. Isto significa que a matriz de entrada do sistema não interfere em sua observa- bilidade de maneira que é possível referir-se à observabilidade do par (A, C) quando se trata da observabilidade do sistema como um todo. A observabilidade pode ser definida como a capacidade do sistema em ter sua dinâmica interna (seus estados) observada através da medição das suas entradas e saídas. Pela definição matemática um sistema LIT é dito observável se é possível definir o vetor de estados em um ins- tante de tempo anterior através do conhecimento dos sinais de entrada e saída du- rante o intervalo entre este instante e o atual. Ou seja, um sistema é observável se o conhecimento da condição inicial e dos sinais de entrada e saída são suficientes para observar o vetor de estados10.
Analogamente ao caso da controlabilidade, é definida a matriz de observabilidade 0:
0= C CA CA2 .. . CAn−1 ny×n (A.33)
que possui posto completo em colunas (n) quando o sistema é observável(OGATA, 2000;CHEN, 1970), caso contrário diz-se que o sistema é não observável.
Frequentemente os estados não são encontrados diretamente no vetor de saídas, o que leva à necessidade do desenvolvimento de um observador de estados, o que é possível somente se o sistema é observável. Entretanto, o projeto de um observador lida com um compromisso entre a velocidade na estimação dos estados e amplificação de ruído(OGATA, 2000). Assim, se a relação sinal/ruído é muito pequena a realização de um observador de estados pode tornar-se impraticável. Com o intuito de analisar este problema, seja a energia total da saída durante o intervalo de t0 até t1 definida
como(HANSEN; SNYDER, 1997)
J = Z t1
t0
yT(τ )y(τ )dτ (A.34)
Agora é assumido que o sinal de saída é contaminado com um ruído de medição, i.e. y = ¯y + ν. A Eq.(A.34) pode ser reescrita como
J = Z t1 t0 (¯y(τ ) + ν(τ ))T(¯y(τ ) + ν(τ ))dτ = Z t1 t0
(¯yT(τ )¯y(τ ) + νT(τ )¯y(τ ) + ¯yT(τ )ν(τ ) + νT(τ )ν(τ ))dτ (A.35)
Uma vez que o ruído não é correlacionado com o sinal é possível assumir
νT(τ )¯y(τ ) = ¯yT(τ )ν(τ ) = 0
Além disto, a resposta livre11(u = 0) do sistema a partir da condição inicial x
0(t0) é ¯ y(τ ) = CeAτx0 J = Z t1 t0 (¯yT(τ )¯y(τ ) + νTν)dτ = x0TWo(t0, t1)x0+ Z t1 t0 (νTν)dτ (A.36)
11A limitação para u = 0 apenas facilita o equacionamento, mas não é necessária para que seja feita a interpre- tação do graminiano de observabilidade em uma situação onde existe ruído de medição.
onde Wo(t0, t1)é o graminiano de observabilidade, definido como
Wo(t0, t1) =
Z t1
t0
eATτCTCeAτdτ (A.37)
Assim, o graminiano de observabilidade pode ser interpretado como uma amplifi- cação (em termos de matrizes e vetores) aplicada no vetor de estados e que determina a quantidade total da energia do sistema. A partir da Eq.(A.37) pode ser visto que se Wo(t0, t1)não possui posto completo em todo o intervalo [t0, t1]pelo menos um dos es-
tados não trará contribuição alguma na energia total da resposta, o que faz com que este não seja observável. Além disto, se o graminiano é “muito pequeno”, o que pode ser medido através de algum tipo de norma, alguns dos estados observados poderiam estar contaminados demais com o ruído, o que está relacionado com a amplificação de ruído referida acima.
O graminiano de observabilidade em regime permanente Wo = Wo(0, ∞) pode
ser calculado através da equação de Lyapunov(CHEN, 1970):
ATWo+ WoA + CTC = 0 (A.38)
A.6.3 Estabilidade
Existem duas categorias de estabilidade para sistemas dinâmicos. Uma constitui a habilidade do sistema de retornar a um estado de equilíbrio após alguma pertur- bação. A outra equivale à restrição do sistema em gerar sinais limitados de saída quando sujeito a sinais de entrada também limitados. Para sistemas LIT estes dois critérios são praticamente equivalentes (HANSEN; SNYDER, 1997). Um sistema LIT é dito ELSL(Entrada limitada saída limitada) estável (ou simplesmente estável) se para qualquer entrada limitada:
|ui(t)| < b1para todo t e i (A.39)
a saída é limitada:
|yj(t)| < b2para todo t e j (A.40)
assumindo condições iniciais nulas(BURL, 1999).
A estabilidade de um sistema LIT pode ser verificada pela sua resposta ao im- pulso, uma vez que sua resposta forçada consiste na convolução entre o sinal de
entrada e a função resposta ao impulso gji, relativa à entrada ui e à saída yj. Assim,
para a ELSL estabilidade, é necessário e suficiente que a resposta ao impulso seja absolutamente integrável:
Z ∞
0
|gji(τ )| dτ < ∞ (A.41)
Já que a resposta ao impulso é uma combinação linear dos modos do sistema e os modos de um sistema LIT têm a forma
epit, tepit, · · · , tk−1epit ou
eλitcos(w
i), eλitsen(wi), teλitcos(wi), teλitsen(wi), · · · , tk−1eλitcos(wi), tk−1eλitsen(wi)
para pólos reais pi ou pares complexos conjugados pi, p∗i = λi± jωi com multiplicidade
k. Estes modos são absolutamente integráveis se e somente se as partes reais dos pólos são negativas. Assim, um sistema LIT é estável se e somente se todos os pólos têm parte real negativa.