11. Circuitos de corrente alternada
11.5. Impedância complexa
325 V, 50 Hz 325 ∠ 0 − +
325 ∠ 0
Figura 11.6.: Diagrama de circuito para uma fonte ideal de tensão alternada (esquerda) e representação da tensão da rede elétrica pública na Europa (direita).
sinal + menos o potencial do terminal com o sinal −. Os sinais indicados nos terminais da fonte indicam que o terminal positivo está a maior potencial que o negativo, no instante t = 0, mas meio período mais tarde o terminal positivo estará a menor potencial que o terminal negativo.
Se usarmos uma ligação a terra no circuito, como no lado direito da figura11.6, o fasor da tensão representará a diferença de potencial entre o terminal que não está ligado à terra e a terra. Nesse caso não será necessário indicar sinais nos terminais da fonte.
11.5. Impedância complexa
Se todas as fontes de tensão num circuito forem fontes de tensão alternada com a mesma frequência, em qualquer parte do circuito a tensão também será alternada, com a mesma frequência, já que a regra das malhas garante que a tensão será igual à soma das outras tensões na mesma malha, som sinal oposto. Vimos também que a soma/subtração de funções sinusoidais com a mesma frequência é também uma função sinusoidal com a mesma frequência.
No capítulo anterior obtivemos a lei de Ohm generalizada para para as transformadas de Laplace da tensão e da corrente (equação10.29):
˜
V(s) = Z(s) ˜I(s) (11.15) Como V é uma função sinusoidal, a sua transformada de Laplace é (ver apêndiceA):
˜ V(s) = V s− iω (11.16) e, portanto, ˜ I(s) = V (s − iω) Z(s) (11.17)
Admitindo que Z( iω) não seja igual a zero, a expansão em frações parciais da expressão no lado direito deverá ter um termo com denominador (s − iω)
˜
I(s) = I
onde o termo ˜Itransé a corrente transitória, que não terá nenhum fator (s − iω) no denomi- nador.
Substituindo essa expressão e a transformada da tensão na lei de Ohm generalizada, temos: V s− iω = Z(s) I s− iω+ ˜Itransit. (11.19)
Multiplicando os dois lados da equação por (s − iω) e substituindo s por iω obtemos o seguinte resultado:
V = Z( i ω ) I (11.20)
Isto é, os fasores da tensão e da corrente também verificam a lei de Ohm, mas a frequência real s foi substituída por uma frequência imaginária iω, que conduzirá a uma impedância complexa Z( iω).2
A impedância complexa Z( iω) é uma função complexa que pode ser dividida na sua parte real e parte imaginária:
Z( i ω) = R(ω) + i X (ω) (11.21) onde a função real R(ω), e designada de resistência e a função real X (ω) é designada de reatância. A função da resistência é sempre positiva, enquanto que a reatância pode ter valores positivos, denominados reatância indutiva ou negativos, denominados reatância capacitiva. Re(Z) Im(Z) R X |Z| ϕΖ
Figura 11.7.: Triângulo de impedância, com a resistência R e a reatância X nos catetos. Para um determinado valor de ω, o módulo |Z| e o argumento ϕZ da impedância complexa Z( iω) podem ser calculados usando a representação gráfica de R + i X no plano complexo, obtendo o triângulo de impedância apresentado na figura11.7. Como R não pode ser negativa, o ângulo ϕZ estará sempre entre −π/2 e π/2 radianos.
Repare que a impedância complexa Z( iω) não é um fasor. Podemos multiplicar e somar impedâncias complexas como números complexos ordinários. Também podemos mul- tiplicar ou dividir um fasor por várias impedâncias e o resultado será outro fasor com a mesma frequência.
2Em muitos livros não é introduzida a impedância generalizada Z(s) e a impedância complexa Z( iω) é
designada simplesmente por impedância Z(ω). Estamos a falar da mesma função complexa, quer seja designada por Z(ω) ou Z( iω).
11.5 Impedância complexa 167 Se os fasores da tensão e da corrente fossem Vmáx∠ϕV e Imáx∠ϕI, a lei de Ohm para os fasores (equação11.20) dá:
Vmáx∠ϕV = (|Z| Imáx) ∠(ϕZ+ ϕI) (11.22) e, portanto, podemos separar a equação complexa11.20em duas equações reais:
Vmáx= |Z| Imáx ϕV = ϕZ+ ϕI (11.23)
Resistências
Numa resistência, a impedância é independente da frequência e igual a R. Consequente- mente |Z| = R e ϕZ = 0. As equações11.23indicam que as fases de V e I são iguais, e os seus valores máximos verificam a relação:
Vmáx= R Imáx (11.24) Re Im I I VV t Vmáx −Vmáx Imáx −Imáx V I
Figura 11.8.: Fasores da tensão e da corrente numa resistência.
A figura11.8mostra os fasores es as respetivas funções sinusoidais na resistência. Diz-se que a tensão e a corrente estão em fase: os dois fasores têm a mesma direção e sentido, de forma que as duas funções atingem os seus valores máximos e mínimos nos mesmos instantes. Podemos imaginar os dois fasores a rodarem, no sentido anti-horário, com velocidade angular ω e o valor das funções serão as projeções dos fasores no eixo real.
Condensadores
Nos condensadores, a impedância generalizada é 1/(C s) e, portanto, a impedância com- plexa será: Z( i ω) = 1 i ω C = 1 ω C∠ − π 2 (11.25)
nomeadamente, a reatância de um condensador é negativa e inversamente proporcional à frequência angular:
XC= − 1
e a sua resistência é nula.
Aplicando as equações11.23 obtemos I = Vmáxω C∠(ϕV + π/2). a fase da corrente é π /2 maior que o da tensão. Na representação gráfica dos fasores (figura11.9) o fasor da corrente é perpendicular ao da tensão e está adiantado; no gráfico das funções sinusoidais (figura 11.9) esse adiantamento de π/2 manifesta-se de forma a que cada vez que I(t) atinge o seu valor máximo, V (t) só atinge o seu valor máximo um quarto do período mais tarde. Re Im I I VV t Vmáx −ςmáx Imáx −Imáx V I
Figura 11.9.: Fasores da tensão e da corrente num condensador.
Indutores
Nos indutores, a impedância generalizada é L s e, portanto, a impedância complexa será: Z( i ω) = i ω L = ω L ∠ π/2 (11.27) Re Im I I VV t Vmáx −Vmáx Imáx −Imáx V I
Figura 11.10.: Fasores da tensão e da corrente num indutor.
A reatância de um indutor é positiva e diretamente proporcional à frequência angular:
XL= ω L (11.28)
11.5 Impedância complexa 169 Aplicando as equações11.23obtemos I = Vmáx/(ω L) ∠(ϕV− π/2). a fase da corrente é π /2 menor que a da tensão. Na representação gráfica dos fasores (figura11.10) o fasor da corrente é perpendicular ao da tensão e está atrasado. No gráfico das funções sinusoidais (figura11.10) esse atraso de π/2 manifesta-se de forma a que I(t) atinge os seus valores máximos sempre um quarto do período mais tarde do que o instante em que V (t) foi máxima.
Exemplo 11.2
Cacule a tensão e corrente instantâneas em todos os elementos do circuito representado no diagrama.
325 V, 50 Hz 3.6 µF
2.5 kΩ 7.2 H
Resolução. Este é o mesmo circuito analisado no exemplo 10.3 do capítulo anterior. Usaremos o mesmo sistema de unidades escolhido nesse exemplo: impedância em kΩ, capacidade em µF, indutância em H, tempo em ms, frequência em kHz, tensão em V e corrente em mA. A frequência angular da fonte é: ω = 2 × π × 50 Hz, mas como deve ser escrita em kHz, terá o valor = π/10.
A impedância da resistência é 2.5, a do condensador 10/(3.6 π)∠ − π/2 = 0.884 ∠ − π/2 e a do indutor é 7.2 π/10∠ π/2 = 2.26 ∠ π/2. Como a resistência está em série com o indutor, podemos substituí-los por um único elemento com impedância igual à soma das impedâncias:
0.884 ∠ −π/2
2.5 ∠ 0 2.26 ∠ π/2
0.884 ∠ −π/2
3.37 ∠ 0.735
Como os dois elementos no circuito simplificado estão em paralelo, o fasor da tensão será o mesmo nos dois, igual ao fasor da fonte: 325∠ 0. Dividindo esse fasor pelas impedâncias dos dois elementos calculam-se as correntes neles. A seguir, multiplicando o fasor da segunda corrente pelas impedâncias da resistência e do indutor, calculam-se os fasores das suas tensões:
+ − 368 ∠ π/2 96.4 ∠ −0.735 + − 241 ∠ −0.735 218 ∠ 0.835 + − + −
A partir dos fasores podemos escrever as tensões e correntes instantâneas:
condensador: V = 325 cos(0.1 π t) I= 368 cos(0.1 π t + π/2) resistência: V = 241 cos(0.1 π t − 0.735) I= 96.4 cos(0.1 π t − 0.735) indutor: V = 218 cos(0.1 π t + 0.835) I= 96.4 cos(0.1 π t − 0.735) Vamos também mostrar a resolução deste exemplo usando o Maxima. As impedâncias do condensador, resistencia e indutor serão designadas por z1, z2e z3, e z4será a impedância da associação da resistência e o indutor em série. Para obter maior precisão numérica, escreveremos os valores dados no enunciado na forma de números racionais:
(%i1) s: %i*%pi/10$ (%i2) z1: 10/36/s$
(%i3) z2: 5/2$
(%i4) z3: 72*s/10$ (%i5) z4: z2 + z3$
Os fasores da tensão e a corrente no condensador são: (%i6) V1: 325$
(%i7) I1: V1/z1$
A corrente máxima e a fase são o módulo e o argumento do número complexo I1, que no Maxima são obtidos com as funções cabs e carg:
(%i8) float(cabs(I1)); (%o8) 367.5663404700058 (%i9) carg(I1); %pi (%o9) --- 2
Os fasores da corrente e as tensões na resistência e no indutor são: (%i10) I4: V1/z4$ (%i11) float(cabs(I4)); (%o11) 96.39884655483593 (%i12) float(carg(I4)); (%o12) - .7354489942158552 (%i13) V2: I4*z2$ (%i14) float(cabs(V2));
11.6 Potência dissipada nos circuitos 171