11. Circuitos de corrente alternada
11.8. Ressonância
esses sinais transitórios deveriam ter um tempo de decaimento muito curto.
11.8. Ressonância
A reatância equivalente num circuito varia com a frequência. Se o circuito inclui conden- sadores e indutores, a reatância será uma função da frequência. Quando a retância for elevada, o módulo da impedância será elevado e o fator de potência baixo. Isso implica corrente máxima e potência média muito baixas. Nas frequências em que a reatância for menor, o módulo da impedância será menor e a potência dissipada maior.
Em alguns casos (indutores em série com condensadores) poderá existir uma frequência intermédia, para a qual a reatância equivalente é nula. Nesse caso o módulo da impedância será mínimo, o fator de potência será máximo (cos ϕ = 1) e as fases da tensão e da corrente serão iguais (fasores na mesma direção e sentido). Quando isso acontece, diz-se que a tensão de entrada está em ressonância com o circuito. A frequência para a qual a reatância é nula é um valor caraterístico do circuito, designado de frequência de ressonância.
Exemplo 11.3
Calcule a frequência de ressonância do circuito e a potência média máxima que pode fornecer uma fonte com tensão máxima Vmáx.
2 pF
3 MΩ
8 H
Ve
Resolução. Com a resistência em MΩ e a capacidade em pF, convém usar µs para a unidade de tempo e, portanto, MHz para a frequência e H para a indutância.
A impedância total do circuito será a soma das 3 impedâncias: Z= 3 + i 8 ω − i 2 ω = 3 + i 8 ω − 1 2 ω 8 ω − 1 2 ω = 0 =⇒ ω = 1 4 =⇒ f = ω 2 π = 0.0398
No sistema de unidades que estamos a usar, a frequência de ressonância é f = 0.0398 MHz = 39.8 kHz.
Se a fonte tivesse essa frequência, teríamos Z = 3 MΩ, corrente máxima Imáx= Vmáx/3 µA e potência média máxima ¯P= VmáxImáx/2 = Vmáx2 /6 (µW, se Vmáx estiver em volts).
No circuito do exemplo anterior, a tensão de entrada carrega e descarrega o condensador. Inicialmente, a carga no condensador oscila com a frequência de oscilação da tensão na fonte; mas quando a carga no condensador for elevada, a diferença de potencial do condensador poderá contrariar a tensão da fonte, impedindo a entrada de mais carga. A situação é semelhante a uma massa pendurada de uma mola elástica, na qual atua outra força externa que tenta manter a massa oscilando para cima e para baixo. Se a força externa não oscilar com a mesma frequência própria de oscilação da mola elástica, haveria momentos em que a força externa está a tentar fazer subir a massa, enquanto a mola elástica empurra em sentido oposto.
No caso do circuito, se a fonte não existisse mas o condensador tivesse uma carga inicial, começaria a descarregar, produzindo uma corrente. No momento em que o condensador descarrega completamente, o indutor faz com que a corrente persista por alguns instantes, recarregando o condensador com cargas de sinais opostos à carga inicial. O ciclo repete-se, com uma frequência própria do circuito. No entanto, a resistência faz com que em cada ciclo a carga do condensador seja menor, até acabar por desaparecer (equilíbrio estável). Existe ressonância quando a fonte oscilar com a mesma frequência própria do circuito. Se quando a frequência da fonte fosse a frequência de ressonância a resistência fosse nula, Z seria nula, e aparentemente Imáx= Vmáx/Z seria infinita. No entanto, a corrente não aumenta instantaneamente até esse valor, mas aumenta gradualmente com as oscilações da carga no condensador. Quando essa carga máxima se tornar muito elevada, ocorrerá a ruptura do dielétrico no condensador ou a corrente elevada acabará por queimar o indutor.
11.8 Ressonância 177
Perguntas
1. No circuito representado no diagrama, I1(t) = cos(ω t + 2 π/3) I2(t) =√3 cos(ω t + π/6) Calcule I(t). I1 I2 I A. 3 cos(ω t − π/2) B. 2 cos(ω t − π/3) C. 3 cos(ω t + π/2) D. √3 cos(ω t + π/2) E. 2 cos(ω t + π/3)
2. Um condensador de 2.73 µF e uma re- sistência de 1166 Ω estão ligados em série a uma fonte de tensão alternada com frequência de 50 Hz e tensão máxima de 325 V. Calcule a corrente eficaz na re- sistência. A. 247 mA B. 150 mA C. 99 mA D. 212 mA E. 170 mA
3. Um condensador de 2.73 µF e uma re- sistência de 1166 Ω estão ligados em série a uma fonte de tensão alternada de
50 Hz. Podemos concluir que a tensão da fonte estará:
A. Adiantada 90◦em relação à corrente. B. Adiantada 45◦em relação à corrente. C. Atrasada 90◦em relação à corrente. D. Atrasada 45◦em relação à corrente.
E. Em fase com a corrente.
4. Qual das afirmações seguintes é ver- dadeira, em relação a uma bobina de 2 mH e um condensador de 5 pF? A. A reatância da bobina é menor. B. A reatância do condensador é menor. C. Se a corrente for contínua, a reatância
da bobina é menor.
D. Se a corrente for contínua, a reatância do condensador é menor.
E. Se a corrente for contínua, a reatância dos dois dispositivos é nula.
5. Num circuito RLC de corrente alternada, em série, quando a reatância equivalente for nula, qual das seguintes afirmações é verdadeira:
A. A impedância é nula. B. O fator de potência é nulo.
C. O ângulo de desfasamento é nulo. D. A corrente é nula.
E. A tensão é nula.
Problemas
1. A resistência de uma bobina é 150 Ω e a sua indutância é 1.4 H. A bobina é ligada à rede elétrica com tensão máxima 325 V e frequência de 50 Hz. Encontre a expressão para a corrente na bobina em função do tempo t.
2. Uma bobina, com indutância de 36 mH e resistência de 40 Ω, liga-se em paralelo com um condensador de 32 nF e com uma fonte de tensão alternada V (t) = 345 cos(150π t) (em volts, e o tempo t em segundos). Calcule: (a) A corrente máxima na bobina. (b) A corrente eficaz no condensador. (c) A potência média dissipada na bobina.
3. Demonstre que a transformada inversa da equação11.3conduz à corrente alternada11.5 4. No problema9do capítulo9, calcule a frequência do circuito e os valores máximos da
corrente e da carga.
5. Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tensão em todos os elementos do circuito. 3 kΩ 3 kΩ 2 H 2 H 1 µF 1 µF (a) (b) 170 V 60 Hz 325 V 50 Hz
6. A figura mostra um filtro rejeita- banda que atenua as frequências angulares próximas de 1 kHz. (a) Calcule a função de resposta R(ω) do circuito. (b) Mostre que para ω = 1 kHz, R(ω ) é igual a zero. (c) Calcule o módulo de R(ω) e desenhe o seu gráfico para ω entre 0 e 2 kHz. + − Ve 1 kΩ V 10 µF 100 mH + −
7. Num segmento de um circuito de corrente alternada a tensão é 24 cos(π t/10 + 1.5) (em volt, se t estiver em milissegundos) e a corrente é 8 cos(π t/10 + 2.0) (µA, com t em ms). (a) Calcule a resistência e reatância desse segmento. (b) O segmento do circuito avariou e pretende substituí-lo com resistências, condensadores ou indutores, mas o seu orçamento só lhe permite comprar dois dispositivos. Quais dispositivos devia comprar, com que valores, e como deviam ser ligados no circuito?
8. A figura mostra a tensão e a corrente num condensador. A corrente é produzida pela tensão: se não houvesse tensão elétrica, não existia corrente. Como se explica então que no instante t = 0 a corrente seja diferente de zero se a tensão é nula?
t Vmáx −Vmáx Imáx −Imáx V I
9. A figura mostra o ecrã de um osciloscó- pio onde aparecem a tensão e a corrente num elemento de um circuito. As distâncias L e d foram medidas diretamente no ecrã, obtendo-se os valores L = 6 cm, d = 1 cm. O osciloscópio também permite determinar que a tensão máxima é Vmáx= 36 V e a cor- rente máxima é Imáx= 12 mA. Com esses dados, calcule a parte real e a parte imag- inária da impedância do elemento do cir- cuito. x y L d VmáxI máx