Independência de eventos

4.22 Definição. Um evento A é considerado independente de outro B, ambos do mesmo espaço amostral S, se a ocorrência de B não afeta a probabilidade do evento A, ou seja, A independe de B se P(A|B) = P(A).

4.23 Proposição. Considere os eventos A e B de um espaço amostral finito. Se A independe de B, então B independe de A. Desta forma, diremos que A e B são independentes.

Prova. Suponha que A independe de B, ou seja, P(A) = P(A|B). Utilizando-se do teorema do produto,

temos que: P(B_{|A) =}P(A∩ B) P(A) = P(B)_{· P(A|B)} P(A) = P(B)_{· P(A)} P(A) = P(B). ✷ 4.24 Definição. Dois eventos são ditos dependentes quando não são independentes.

4.25 Proposição. Se dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral finito são independentes, então P(A_{∩ B) = P(A) · P(B).}

Prova.

P(A∩ B) =



P(A)_{· P(B|A) = P(A) · P(B)} P(B)_{· P(A|B) = P(B) · P(A) ✷}

ER 4.64. Uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos A: Ocorrer pelo menos duas caras; B: Ocorrer resultados iguais nos 3 lançamentos. Os eventos são independentes?

Solução: P(A ∩B) = 1₈, P(A) = 4

8 e P(B) = 2

8. P(A) ·P(B) = 1

8. Logo, os eventos são independentes. Podemos generalizar a definição independência para mais de dois eventos. Os n eventos A1, A2, . . . , An

são independentes se

P(Ai∩ Aj) = P(Ai)· P(Aj);∀ i, j, i = j;

P(Ai∩ Aj∩ Ak) = P(Ai)· P(Aj)· P(Ak);∀ i, j, k i = j = k;

.. .

P(A1∩ A2∩ · · · ∩ An) = P(A1)· P(A2)· . . . · P(An).

ER 4.65. Um dado é lançado 8 vezes. Qual a probabilidade de observarmos a face 2 em todos os lançamentos?

Solução: Considere os eventos

A1 : ocorrer 2 no primeiro lançamento;

A2 : ocorrer 2 no segundo lançamento;

.. .

A8 : ocorrer 2 no oitavo lançamento.

Como o resultado de um lançamento não influencia os de outros, os eventos Ai, i = {1, 2, . . . , 8}, são

independentes. Logo:

P(A1∩ A2∩ · · · ∩ A8) = P(A1)· P(A2)· . . . · P(A8) =

1 6 · 1 6 · . . . · 1 6   ×8 =  1 6 8 .

ER 4.66. Qual a probabilidade de que a face 5 seja observada pelo menos uma vez em 8 lançamentos de uma dado?

Solução: Considere os eventos

A1 : ocorre um número diferente de 5 no primeiro lançamento;

A2 : ocorre um número diferente de 5 no segundo lançamento;

.. .

A8 : ocorre um número diferente de 5 no oitavo lançamento.

Como o resultado de um lançamento não influencia os de outros, os eventos Ai, i = {1, 2, . . . , 8} são

independentes, então a probabilidade de não observamos a face 5 nestes lançamentos é dado por: P(A1∩ A2∩ · · · ∩ A8) = P(A1)· P(A2)· . . . · P(A8) =

5 6 · 5 6 · . . . · 5 6   ×8 =  5 6 8 .

Como o evento A: observar a face 5 pelo menos uma vez em 8 lançamentos é o evento complementar do evento B: não observar a face 5 em 8 lançamentos, temos:

P(A) = P(¯B) = 1_{− P(B) = 1 −}  5 6  8 .

4.26 Proposição. Se A e B são dois eventos independentes, então A e ¯B, ¯A e B, ¯A e ¯B são também independentes.

Prova. Mostremos o caso A e ¯Bindependentes, pois a prova dos demais casos é análoga. Por hipótese P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B).

P(A|¯B) = P(A∩ ¯B) P(¯B) = P(A)_{· P(¯B|A)} 1− P(B|A) = P(A)_{· P(¯B|A)} P(¯B_|A) = P(A). ✷

4.27 Proposição. Se A e B são dois eventos não vazios e mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes.

Prova. Suponha A e B dois eventos independentes. Logo, pela definição, P(A) = P(B|A). Pela

proposição 4.25, P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Por hipótese, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Segue que P(A) + P(B) − P(A_{∩ B) = P(A) + P(B) e, portanto, P(A ∩ B) = 0, o que significa que A ou B é vazio, contrariando a hipótese.}

Atividade

EP 4.87. Numa sala existem 5 homens e 12 mulheres. Um aluno é sorteado ao acaso para ir a lousa.

(a) Qual a probabilidade que seja homem? (b) Qual a probabilidade que seja mulher? (c) Estes eventos são independentes?

EP 4.88. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Considere os eventos:

A: a carta é de espadas; B: a carta é um valete;

C: a carta é um valete ou uma dama.

Qual par de eventos é independente?

EP 4.89. A probabilidade de que um aluno A resolva uma questão de Física é 0, 6 e de que um aluno B resolva esta mesma questão é 0, 2. Qual a probabilidade de que:

(a) ambos a resolvam? (b) ao menos um a resolva? (c) nenhum deles a resolva?

(d) A a resolva, mas B não a resolva? (e) B a resolva, mas A não a resolva?

EP 4.90. A probabilidade de que um homem sobreviva mais 10 anos, a partir de uma determinada data, é 0, 5 e de que sua esposa sobreviva a este mesmo tempo, a partir da mesma data, é 0, 6. Qual a probabilidade de:

(a) ambos sobrevivam mais 10 anos, a partir daquela data? (b) ao menos um sobreviver mais 10 anos, a partir daquela data?

EP 4.91. A probabilidade de que um aluno A resolva uma questão de Matemática é 0, 4, de que um aluno B a resolva é 0, 3 e a de que o aluno C a resolva é de 0, 2. Qual a probabilidade de que:

(a) os três a resolvam? (b) ao menos um a resolva? (c) nenhum deles a resolva?

EP 4.92. A probabilidade de que os pais de Anita, de 15 anos de idade, a deixem sair acompanhada é

inversamente proporcional à idade do garoto, com mesma idade ou superior à dela. Sabendo que as idades de Alberto, Gabriel e Matheus são, respectivamente, 16, 18 e 20 anos, determine qual a probabilidade de que:

(b) ao menos um saia com Anita; (c) nenhum deles saia com Anita?

EP 4.93. Em um circuito elétrico, 4 componentes são ligados em série e trabalham independentemente um do outro. As probabilidades de falharem são, respectivamente, 0.1, 0.2, 0.3 e 0.4. Qual a probabilidade de que não passe corrente elétrica pelo circuito.

EP 4.94. Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos:

(a) 10 coroas? (b) 10 caras? (c) 4 coroas e 6 caras?

EP 4.95. Com os dados do exercício 4.82, calcular as seguintes probabilidades:

(a) o segurado escolhido ser homem, sabendo-se que utilizou o hospital;

(b) o segurado escolhido ter utilizado o hospital, dado que era do sexo masculino; c) o segurado ser mulher, dado que não utilizou o hospital.

EP 4.96. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento tais que P(A) = 0, 4, P(A ∪ B) = 0, 7

e P(B) = p.

(a) Para que valor de p, os eventos A e B são mutuamente exclusivos? (b) Para que valor de p, os eventos A e B são independentes?

EP 4.97. Certo aparelho eletrônico tem duas lâmpadas que podem estar acesas ou apagadas, tendo sido observadas as probabilidades de acordo com a tabela que mostra, por exemplo, ambas as lâmpadas estavam simultaneamente apagadas 30% do tempo.

Pergunta-se:

(a) O fato “lâmpada 1 acesa” é independente de “lâmpada 2 acesa”?

(b) O fato “lâmpada 1 apagada” é independente de “lâmpada 2 acesa”?

Lâmpada 2 Lâmpada 1 Acesa Apagada

Acesa 0, 15 0, 45 Apagada 0, 10 0, 30

EP 4.98. Em certa indústria a manutenção de um equipamento utilizado no processo produtivo é feita por dois técnicos diariamente. Caso haja qualquer falha no equipamento, o produto apresenta defeito e é descartado, mas o custo do descarte do produto é elevado. Se num dia a probabilidade do técnico 1 não perceber um problema no equipamento é de 1/5 e a probabilidade de que o técnico 2 não detecte problema no equipamento é de 1/8 e se os técnicos fazem a verificação diária no equipamento de forma independente, qual a probabilidade da indústria não descartar produto em certo dia se o equipamento apresentou defeito.

EP 4.99. Uma partida de certo produto consiste de 10 artigos perfeitos, 4 com pequenos defeitos e 2 com graves defeitos. Retirando-se ao acaso dois artigos, sem reposição, qual a probabilidade de que:

(a) ambos estejam perfeitos; (b) pelos menos um seja perfeito.

EP 4.100. Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de 1/2. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de 3/4; caso contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade dele:

(a) ganhar os dois contratos? (b) ganhar apenas um contrato?

EP 4.101. Suponha que numa escola 60% dos alunos sejam homens e 40% sejam mulheres. Sabe-se

que dentre os alunos do sexo masculino 3% são canhotos, enquanto que dentre as mulheres apenas 2% são canhotas. Escolhe-se um aluno ao acaso. Achar a probabilidade de que seja canhoto.

EP 4.102. A probabilidade de que um time de futebol vença seu oponente é estimada em 0, 7, se não

chover; mas só 0, 5, se chover. Se os registros meteorológicos mostrarem que choveu 40% das vezes na data do jogo, nos anos passados, qual a probabilidade de que o time vença seu próximo oponente?

EP 4.103. Um processo industrial produz 4% de ítens defeituosos. A experiência mostra que 25% dos ítens defeituosos produzidos não são percebidos pelo inspetor de qualidade. Os ítens bons sempre passam satisfatoriamente pela inspeção. Qual a probabilidade de que, se você comprar um desses ítens, seja um item defeituoso?

EP 4.104. Um artigo manufaturado, que não pode ser usado se for defeituoso, deve passar por duas inspeções antes de receber embalagem. A experiência mostra que um dos inspetores deixará passar 5% dos artigos defeituosos, ao passo que o segundo inspetor deixará passar 4% de tais artigos. Se os artigos sem defeito sempre passam pela inspeção e se 10% dos artigos processados são defeituosos, que percentagem dos artigos produzidos que passam pela duas inspeções são defeituosos?

EP 4.105. Marque verdadeiro ou falso. Justifique suas respostas.

(a) O espaço amostral de um experimento é o conjunto de resultados possíveis deste experimento; (b) O evento é um resultado possível do experimento;

(c) Se A e B são eventos independentes, então P(A|B) = P(A);

(d) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então eles são independentes.