O Teorema da Probabilidade Total - Cálculos Probabilísticos

Teoria das Probabilidades

4.2 Cálculos Probabilísticos

4.2.5 O Teorema da Probabilidade Total

4.28 Definição. [Partição de um Espaço Amostral] Um conjunto {A1, A2, . . . , An} de eventos forma uma

partição para espaço amostral S se os seus elementos são não vazios, mutuamente exclusivos e exaustivos (a união é S), ou seja:

1. Ai= ∅, ∀ i;

2. Ai∩ Aj =∅, para i = j;

3. ∪n

4.29 Teorema. [da Probabilidade Total] Sejam A um evento e {A1, A2, . . . , An} uma partição de um espaço amostral S. Então P(A) = n i=1 P(Ai)· P(A|Ai).

Prova. Podemos escrever A = (A1∩A)∪(A2∩A)∪· · · ∪(An∩A) = ∪ni=1(Ai∩A). Sendo {A1, A2, . . . , An}

uma partição para S, os n eventos (Ai∩ A) são mutuamente exclusivos. Portanto,

P(A) = P((A1∩ A) ∪ (A2∩ A) ∪ · · · ∪ (An∩ A))

= P(A1∩ A) + P(A2∩ A) + . . . + P(An∩ A)

= P(A1)· P(A|A1) + P(A2)· P(A|A2) + . . . + P(An)· P(A|An). ✷

Uma probabilidade total é sempre calculada como uma soma de probabilidades parciais correspon- dentes à intersecção do acontecimento de interesse com outros mutuamente exclusivos e exaustivos. Este resultado é utilizado quando é difícil de se obter diretamente a probabilidade de um evento P(A).

ER 4.67. Em três urnas numeradas são distribuídas uma determinada quantidade de bolas coloridas conforme tabela abaixo:

Brancas Pretas

U1 3 4

U2 5 2

U3 4 5

Uma urna é selecionada ao acaso e dela é retirada uma bola também ao acaso. Qual a probabilidade dela ser

(a) preta? (b) branca?

Atividade

EP 4.106. Em duas urnas numeradas são distribuídas uma determinada quantidade de bolas coloridas conforme tabela abaixo:

Brancas Pretas

U1 3 9

U2 7 8

Uma urna é selecionada ao acaso e dela é retirada ao acaso um bola. Qual a probabilidade dela (a) ser de U1e branca?

(b) ser de U1e preta?

(d) ser de U2e preta?

EP 4.107. Uma urna tem 10 bolas brancas 6 azuis e 8 pretas. Uma bola é selecionada ao acaso e sem

reposição desta é retirada ao acaso outra bola. Qual a probabilidade de

(a) a primeira ser branca e a segunda azul? (b) a primeira ser azul e a segunda preta?

EP 4.108. Em Salvador, no mês de Outubro, costuma chover 5 dias. Qual a probabilidade de não chover nos três primeiros dias de Outubro?

EP 4.109. Em três urnas numeradas são distribuídas uma determinada quantidade de bolas coloridas conforme tabela abaixo:

Brancas Azuis Pretas

U1 3 4 5

U2 5 2 6

U3 2 4 3

Uma urna é selecionada ao acaso e dela é retirada ao acaso um bola. Qual a probabilidade dela ser:

(a) azul? (b) preta? (c) branca?

EP 4.110. Numa fábrica de automóveis, em um lote A existem 295 peças boas e 5 peças defeituosas. Em outro lote B desta fábrica, existem 224 peças boas e 16 peças defeituosas e, em outro lote C , existem 471 peças boas e 9 peças defeituosas. Um dos lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade da peça ser:

(a) boa? (b) defeituosa?

EP 4.111. _{Seja A e B dois eventos tais que: P(A ∩ B) = 0.6 e P(A ∩ ¯B) = 0.2. Calcule P(A).}

EP 4.112. Em três urnas numeradas são distribuídas uma determinada quantidade de bolas coloridas conforme tabela abaixo:

Brancas Azuis Pretas

U1 2 5 3

U2 4 7 9

U3 5 3 2

Uma urna é selecionada ao acaso e dela é retirada ao acaso um bola.

(a) Qual a probabilidade dela ser de U1e ser azul?

(b) Qual a probabilidade dela ser branca?

EP 4.113. Suponha que temos duas urnas (1 e 2), cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto que a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir, uma de suas gavetas é aberta ao acaso e verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2?

EP 4.114. Suponhamos um teste de aptidão colegial destinado a separar estudantes colegiais em grupos que “prometem” e grupos que “não prometem”, ao entrarem para a faculdade. Entre os estudantes que tiveram notas satisfatórias em seu primeiro ano, 80% passou no teste de aptidão. Entre os estudantes que tiveram um trabalho insatisfatório, 40% passou no teste. Supõe-se que não se use o teste de admissão nessa faculdade. Sabe-se que somente 70% dos alunos do primeiro ano obtiveram notas satisfatórias, qual a probabilidade de que um estudante que tenha passado no teste seja um estudante satisfatório?

Respostas Questão 4.106. (a)1 8, (b) 3 8, (c) 7 30, (d) 4 15. Questão 4.107. (a) 5 46, (b) 2 23, (c) 15 92. Questão 4.108. 520 899. Questão 4.109. (a) 109 351, (b) 21 52 Questão 4.110. (a)1391 1440, (b) 49 1440 Questão 4.111. 0, 8 Questão 4.112. (a) 1 6, (b) 3 10, (c) 2 9 Questão 4.113. 2/3 Questão 4.114. 14/17

4.2.6 O Teorema de Bayes

4.30 Teorema. [Bayes] Sejam B um evento e {A1, A2, . . . , An} uma partição de um espaço amostral S.

Então P(Ai|B) = P(Ai)· P(B|Ai) n i=1 P(Ai)· P(B|Ai) .

Prova. Como P(B) · P(Ai|B) = P(Ai)· P(B|Ai),∀ i, podemos escrever:

P(Ai|B) =

P(Ai)· P(B|Ai)

P(B) ,∀ i.

Como B é um evento qualquer de S e {A1, A2, . . . , An} é uma partição de S, pelo teorema da probabili-

dade total, temos que P(B) =

i=1

P(Ai)· P(B|Ai). Conseqüentemente,

P(Ai|B) =

P(Ai)· P(B|Ai)

P(A) ,∀ i. ✷

Observe que a regra de Bayes é obtida de uma expressão que caracteriza a probabilidade condicional e é muito utilizada pois relaciona as probabilidades a priori P(Ai), com a posteriori P(Ai|B).

ER 4.68. Em três urnas numeradas são distribuídas uma determinada quantidade de bolas coloridas conforme tabela abaixo:

Brancas Azuis Pretas

U1 3 1 5

U2 4 3 2

U3 5 2 3

Uma urna é selecionada ao acaso e dela é retirada ao acaso uma bola e verificada que ela é branca. Qual a probabilidade dela ter vindo:

(a) da urna U1? (b) da urna U2? (c) da urna U1ou U3?

Atividade

EP 4.115. Uma urna I possui 4 bolas vermelhas e 5 brancas, a urna I I possui 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é extraída ao acaso uma bola.

(a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola branca? (b) Qual a probabilidade de observarmos urna bola branca?

EP 4.116. Uma caixa contém 3 moedas M1, M2 e M3. A primeira moeda é honesta, a segunda tem

duas caras e a terceira é viciada de tal modo que caras são quatro vezes mais prováveis que coroas. uma moeda é escolhida ao acaso e lançada.

(a) Qual a probabilidade de observarmos moeda M2e coroa?

(b) Qual a probabilidade de observarmos coroa?

EP 4.117. Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a produção da máquina A é o triplo da produção da máquina B. A máquina A produz 80% de peças boas e a máquina B produz 90%. Uma peça do estoque é selecionada ao acaso e verifica-se que é boa. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada pela máquina A?

EP 4.118. Uma clínica especializada trata de três tipos de doenças: X , Y e Z . 50% dos que procuram

a clínica são portadores de X e 30% de Y . As probabilidades de cura, nessa clínica, são: P(X ) = 0, 8, P(Y ) = 0, 9 e P(Z ) = 0, 95. Um enfermo saiu curado dessa clínica. Qual a probabilidade de que ele sofria da doença X ? E das doenças Y e Z ?

EP 4.119. Em uma população 55% são de mulheres. 5% dos homens são cegos e 2% das mulheres são cegas. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica-se que ela é cega. Qual a probabilidade de que seja homem?

No documento Notas de aula completo (páginas 85-89)