Medidas de Posição
3.1.1 Média Aritmética
Considere um conjunto de dados numéricos X = {xi; i = 1, 2, . . . , n}. Se a característica a ser mantida
é a soma dos elementos de X , obtemos a média aritmética simples ou média aritmética. A média aritmética ¯x é um valor tal que
x1+ x2+ . . . + xn = ¯x + ¯x + . . . + ¯x ¯x + ¯x + . . . + ¯x
nparcelas
⇓ x1+ x2+ . . . + xn = n· ¯x
¯x= x1+ x2+ . . . + xn n = n i=1 xi n ( 3.2)
A média aritmética é a principal medida de tendência central. Algumas das razões que fazem com que seja a medida de posição mais recomendada são:
— É definida rigorosamente e pode ser interpretada sem ambigüidades; — Leva em consideração todas as observações efetuadas;
— Calcula-se com facilidade.
ER 3.23. Um estudante obteve, durante o ano letivo, as seguintes médias para os quatro bimestres: 4.5, 6.5, 7, 6. Sabendo que a média final nessa instituição de ensino é 6, determine se ele foi aprovado.
Entretanto, esta medida apresenta alguns inconvenientes como o fato de ser muito sensível a valores extremos, isto é, a valores excessivamente pequenos ou excessivamente grandes, em relação às demais observações do conjunto de dados.
ER 3.24. Se estivermos interessados em conhecer o salário médio de certa empresa com cinco fun- cionários e obtivermos o seguinte conjunto de dados, em reais:
123− 145 − 210 − 225 − 2.500;
podemos observar que quatro dos cinco salários apresentam valores entre 123 e 225 reais, porém a média salarial de 640, 6 reais é bastante distinta desse conjunto pela influência do salário de 2.500 que puxou o valor médio para cima.
Outras Propriedades da Média Aritmética
1. Somando-se um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica adicionada dessa constante.
2. Multiplicando-se um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica multiplicada por essa constante.
3. A soma dos desvios é zero, ou seja,
n
i=0
(xi− ¯x) = 0.
Média Aritmética Ponderada
Em certas situações, os dados numéricos que queremos sintetizar possuem diferentes graus de im- portância. Utiliza-se, portanto, a média chamada média aritmética ponderada que é calculada ao atribuirmos “pesos” (ou ponderações) aos valores possíveis da variável. Quando os dados aparecem na forma de uma distribuição de freqüências, os ponderadores são as freqüências absolutas.
Seja fi o peso atribuído ao respectivo valor que a variável xi ∈ X assume. A média aritmética ¯x é um
valor tal que
x1+ . . . + x1+ x2+ . . . + x2+ . . . + xn+ . . . + xn = ¯x + . . . + ¯x x1+ . . . + x1 ×f1 + x2+ . . . + x2 ×f2 + . . . + xn+ . . . + xn ×fn = ¯x+ . . . + ¯x ×(f1+f2+...+fn) , ou seja, f1· x1+ f2· x2+ . . . + fn· xn= (f1+ f2+ . . . + fn)· ¯x. Segue que ¯x= f1· x1+ f2· x2+ . . . + fn· xn f1+ f2+ . . . + fn = n i=1 xi· fi n i=1 fi . ( 3.3)
3.5 Observação. Esta média aritmética é também chamada aritmética ponderada. As freqüências com que aparecem determinados elementos de um conjunto (pesos ou ponderações) assumem um grau de “importância” para cada valor.
Podemos observar que a relação da equação ( 3.3) é válida para dados tabulados não agrupados em classes.
ER 3.25. Um estudante obteve médias 8, 0, 7, 0 e 6, 0 nos três primeiros bimestres do ano letivo. Sabendo- se que em seu colégio é adotado o sistema de pesos 1, 2, 3 e 4 para os quatro bimestres, respectivamente, calcule a média que ele deve obter no quarto bimestre para que ele consiga a média anual 7, 0, necessária para passar direto na disciplina.
EP 3.35. Calcule a média aritmética para a seguinte tabela da dados tabulados.
xi fi xi· fi 4 1 5 5 6 6 7 5 8 3 Total
Tabela 3.11: Fonte: Dados Fictícios
EP 3.36. Um aluno da turma de estatística da Faculdade XY obteve notas 5, 0 e 7, 0 em duas provas
realizadas. Se adicionarmos a cada nota o valor 10 a média aritmética fica adicionada do mesmo valor. Se multiplicamos cada nota pelo valor 10 a média aritmética fica multiplicada do mesmo valor.
EP 3.37. Compare os pesos médios das crianças ao nascer para os dois grupos de dieta e, a seguir, com os pesos após dez dias do uso da dieta alimentar. Pode-se afirmar que uma dieta foi mais eficiente que a outra?
EP 3.38. Apenas a média aritmética é suficiente para chegarmos a uma conclusão quanto à eficiência
3.1.2 Atividade
EP 3.39. Dados os conjuntos de números: A = {100, 101, 102, 103, 104, 105} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
podemos afirmar que:
(a) a média de A é igual à de B multiplicada por 100; (b) a média de A é igual à média de B;
(c) a média de A é igual à média de B dividida por 100; (d) a média de A é igual à média de B mais a constante 100; (e) n.r.a.
EP 3.40. [TCDF] Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500, 00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520, 00 e R$420, 00, respectivamente. Então, nessa empresa,
(a) o número de homens é o dobro do número de mulheres; (b) o número de homens é o triplo do número de mulheres; (c) o número de homens é o quádruplo do número de mulheres; (d) o número de mulheres é o triplo do número de homens; (e) o número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
EP 3.41. [Fiscal de Tributos de Minas de Gerais] A estatura média dos sócios de um clube é 165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de mulheres no clube é de:
a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72%
EP 3.42. Um aluno recebeu as seguintes notas finais: 82 em Matemática, 90 em Estatística, 65 em História e 70 em Geografia. Atribuindo-se a essas matérias, respectivamente, os pesos 3, 3, 2, 1, calcular a média aritmética das notas recebidas pelo aluno.
EP 3.43. Se tornar-mos x0= 10 como a média arbitrária de um conjunto de números, chegaremos aos
seguintes desvios, calculados em relação a x0={−4, −1, 2, 0, 3, −3, 5, 1}. Calcular a média verdadeira do
conjunto.
EP 3.44. Os desvios tomados em relação à média arbitrária x0 = 9 de um conjunto de números são:
{−5, −2, 3, 0, 4, −3, 5, 2}. A média aritmética do conjunto será: a) 9, 0 b) 9, 5 c) 9, 3 d) 9, 8 e) 10, 2
EP 3.45. Calcular a média aritmética para as seguintes tabelas de dados:
Respostas
3.39 - d; 3.40 - c ; 3.41 - d ; 3.42 - 79,6; 3.43 - 10,375; 3.44 - b; 3.45: a - 5,65; b - 5,27. . . ; c - 8,9; d - 79,5.
(a) Valor fi 3 1 4 3 5 4 6 7 7 4 8 1 Total
Tabela 3.12: Fonte: Dados Fictícios
(b) Peso (kg) fi 2 ⊢ 4 9 4 ⊢ 6 12 6 ⊢ 8 6 8 ⊢ 10 2 10 ⊢ 12 1 Total
Tabela 3.13: Fonte: Dados Fictícios
(c) Diâmetro (cm) fi 4 ⊢ 6 6 6 ⊢ 8 8 8 ⊢ 10 12 10 ⊢ 12 10 12 ⊢ 14 4 Total
Tabela 3.14: Fonte: Dados Fictícios
(d) Classes fi 5 ⊢ 25 4 25 ⊢ 45 6 45 ⊢ 65 14 65 ⊢ 85 26 85 ⊢ 105 14 105 ⊢ 125 8 125 ⊢ 145 6 145 ⊢ 165 2 Total
Tabela 3.15: Fonte: Dados Fictícios
3.1.3
Média Geométrica
Se o produto dos elementos de X é a característica a ser mantida, obtemos a média geométrica. A média geométrica pode ser calculada de duas formas: a média geométrica simples e a média geométrica ponderada.
Média geométrica simples
A média geométrica simples dos n números positivos do conjunto X é um valor positivo ¯g tal que x1· x2· . . . · xn= ¯g · ¯g · . . . · ¯g = ¯gn. Logo, ¯ g =√nx 1· x2· . . . · xn= n n i=1 xi ( 3.4)
ER 3.26. A média geométrica dos números 3, 36 e 54 é ¯
g =√3
3· 36 · 54 = 18.
Média geométrica ponderada
Se quisermos sintetizar a média geométrica e cada elemento da série possuem diferentes graus de importância, utilizaremos a média geométrica ponderada que é calculada ao atribuirmos pesos (ou ponderações) aos valores
possíveis da variável. Quando os dados aparecem na forma de uma distribuição de freqüências, os ponderadores serão as freqüências absolutas.
Seja fi o peso atribuído ao respectivo valor que a variável xi ∈ X assume. A média geométrica ponderada
dos n números positivos do conjunto X é um valor positivo ¯gp tal que
xf1 1 · x f2 2 · . . . · x fk k = ¯gp· ¯gp· . . . · ¯gp= ¯gpn, onde n = k i fi. Logo, ¯ gp= n xf1 1 · x2f2· . . . · xkfk = n k i=1 xfi i ( 3.5) ER 3.27. Considere a tabela xi fi 1 2 3 4 5 3 7 1 Total 10
Tabela 3.16: FONTE: Dados fictícios Determine a média geométrica ponderada.
Solução: ¯gp=
10
√
12· 34· 53· 71≈ 3, 0553.
Propriedades da Média Geométrica
1. O produto dos quocientes de cada valor de um conjunto de números pela média geométrica do conjunto é igual a 1. Por exemplo,
X ={4, 9}, ¯g =√4· 9 = 6 e4 6 ·
9 6 = 1.
2. Séries que possuem o mesmo número de elementos com a mesma soma apresentam a mesma média aritmética e as séries que possuem o mesmo número de elementos com o mesmo produto têm a mesma média geométrica. Por exemplo,
X ={2, 5, 8}, ¯x = 5; X′= {2, 4, 9}, ¯x = 5; Y ={2, 4, 7}, ¯g =; Y′ = {1, 2, 28}, ¯g = 3, 8259.
3. Se houver, pelo menos, um zero entre os valores da distribuição, a média geométrica será nula. 4. A média geométrica é também influenciada pelos valores extremos da distribuição.