Para introduzir de maneira didática a interação Rashba consideremos um sistema bidimensional infinito de elétrons não interagentes. Portanto, os elétrons se comportarão como partículas livres cujo Hamiltoniano será 𝐻 = 𝑝2
2𝑚∗, tendo como autofunção uma onda plana 𝜓𝑘(𝑟) =
1 √𝛺𝑒
𝑖𝑘⃗⃗∙𝑟⃗ e a auto-
energia será a energia cinética ε(k)= ℏ
2
2𝑚∗𝑘
2. Claramente os autovalores de elétrons com spins up e
spin down serão degenerados, ε↑(𝑘⃗⃗) = ε↓(𝑘⃗⃗)
A ideia introduzida por E. Rashba e coautores foi a de que a degenerescência em spin pode ser removida (mesmo na ausência de um campo magnético externo) quando o potencial através do qual o elétron se move for assimétrico por inversão espacial. Portanto, em superfícies e interfaces, que possuem uma quebra natural de simetria por translação, pode ocorrer o spin splitting (com 𝐵 = 0).
Expandindo o potencial 𝑈(𝑟⃗) em série de Taylor:
𝑈(𝑟⃗) = 𝑈0+ 𝑒𝐸⃗⃗ ∙ 𝑟⃗ + ⋯. [a 23]
Em mais baixa ordem, a assimetria de inversão do potencial é caracterizada por um campo elétrico 𝐸⃗⃗. Este campo 𝐸⃗⃗ (que estabelece o sistema de referência) dá origem a um campo magnético 𝐵⃗⃗ = (𝑣⃗ × 𝐸⃗⃗) 𝑐⁄ , no sistema de referência do elétron (devido às transformações de Lorentz). No caso 2
de uma superfície (ou interface), o campo elétrico perpendicular à superfície surge naturalmente devido à reconstrução atômica provocada pela ausência de átomos da mesma espécie na direção perpendicular. Uma pré-condição para o efeito Rashba é a assimetria por inversão estrutural, que existe naturalmente em qualquer interface ou superfície cristalina.
O chamado Hamiltoniano de Rashba vem da interação deste campo B com o momento de dipolo magnético de spin do elétron,
𝐻𝑅 = −𝜇⃗𝑠∙ 𝐵⃗⃗ =𝑔𝜇𝐵
2𝑐2 (𝑣⃗ × 𝐸⃗⃗) ∙ 𝜎⃗. [a 24]
onde 𝐸⃗⃗ = 𝐸0𝑧̂ e 𝑝⃗ = 𝑚∗𝑣⃗. O Hamiltoniano de Rashba, como escrito nos livros textos, se torna [58],
[129], [226], [227]:
𝐻𝑅 =𝛼𝑅
ℏ (𝜎⃗ × 𝑝⃗) ∙ 𝑧̂ = 𝛼𝑅(𝜎⃗ × 𝑘⃗⃗) ∙ 𝑧̂. [a 25] Onde 𝑝⃗ é o operador momento linear, 𝜎⃗ são as matrizes de Pauli, 𝑧̂ é a direção perpendicular à superfície e 𝛼𝑅 é a constante de Rashba, que mede a intensidade da interação e depende do campo elétrico, da interação spin-órbita e de outras propriedades dependentes do material.
Adicionamos 𝐻𝑅 ao Hamiltoniano da partícula livre, ficamos com
𝐻 = 𝐻𝐾 + 𝐻𝑅 = 𝑘
2
2𝑚∗+ 𝛼𝑅(𝜎⃗ × 𝑘⃗⃗∕∕)𝑧 =
𝑘2
2𝑚∗+ 𝛼𝑅(𝜎𝑥𝑘𝑦− 𝜎𝑦𝑘𝑥). [a 26]
Os autovalores do Hamiltoniano acima são:
𝐻 = ( 𝑘2 2𝑚∗ 𝛼𝑅(𝑘𝑦+ 𝑖𝑘𝑥) 𝛼𝑅(𝑘𝑦− 𝑖𝑘𝑥) 𝑘 2 2𝑚∗ ) ⇒ 𝜀±(𝑘⃗⃗) = ℏ 2 2𝑚∗(𝑘 ± 𝑘𝑆𝑂)2− Δ𝑆𝑂, [a 27]
onde 𝑘 = √𝑘𝑥2+ 𝑘𝑦2 e 𝑘𝑆𝑂 e Δ𝑆𝑂 são constantes que dependem da constante Rashba. Os autovetores
são: 𝜓+(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑖(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦) 1 √2( 1 𝑖𝑒−𝑖𝜃) 𝜓−(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑖(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦) 1 √2( 1 −𝑖𝑒−𝑖𝜃), [a 28]
A 5: Relação de espectros de energia para: a) elétron livre, b) elétron livre na presença de campo magnético (deslocamento Zeeman) c) elétron livre na interação Rashba, d) visão 3D da relação. Adaptado
de [129], [130].
Os estados de spin são sempre perpendiculares à direção do movimento se o elétron se move ao longo da direção x, os spins apontam nos sentidos ±𝑦̂; se o elétron se move ao longo da direção y, os spins apontam nos sentidos ±𝑥̂, ver figura A 5. Na literatura é comum se referir ao acoplamento induzido pela assimetria em interfaces magnéticas como Rashba-like spin-orbit coupling.
APÊNDICE B - Deslocamento Zeeman gigante nas transições ópticas do
YIG
Utilizando as amostras de GGG/YIG(50 nm) crescidas pelo a metodologia descrita na pagina 41, foi possível observar um deslocamento Zeeman gigante, nas das duas transições ópticas do ferro do filme de YIG. O deslocamento observado foi da ordem de 100 meV à temperatura ambiente pela aplicação de um campo de 0.6 kOe no plano do filme. O deslocamento excepcionalmente grande para baixos campos foi atribuído as mudanças nos níveis de energia devido aos altos campos de exchange para o orbita 3d-Fe durante o processo de magnetização [81].
A 6: Propriedades magnéticas do filme de YIG com 50 nm de espessura. a) magnetização vs campo magnético medido por magnometria SQUID. b) Derivada em campo da absorção ferromagnética (FMR) vs campo. Dependência do campo de FMR a), e largura de linha, b) pela frequência de micro-ondas aplicada,
a curva em vermelho ajustada corresponde à equação de Kittel 2-21.
Pelo ajuste da curva de Kittel, 𝑓0 = 𝛾[(𝐻𝑅+ 𝐻𝐴)(𝐻𝑅 + 𝐻𝐴+ 4𝜋𝑀𝑒𝑓𝑓)] 1 2⁄
, onde 𝐻𝐴,
corresponde ao campo de anisotropia, sendo 4𝜋𝑀𝑒𝑓𝑓 = 4𝜋𝑀𝑠− 𝐻𝑆𝐴, onde 𝐻𝑆𝐴 é o campo de
anisotropia superficial, e 4𝜋𝑀𝑠 a magnetização de saturação, foi possível obter através do ajuste um valor de 𝐻𝐴= 12.7 Oe, e 4𝜋𝑀𝑒𝑓𝑓 = 1140 G, obtendo portanto 𝐻𝑆𝐴= 0.61 kOe.
As propriedades ópticas foram estudadas através da espectroscopia de absorção magneto- óptica, a montagem é mostrada na figura A 7. A luz colimada produzida por uma lâmpada de arco DC (Newport modelo 66921) de Hg(Xe) com potência 450 − 1000 W passa através do filme de YIG sendo focalizado através de fibra óptica até o espectrômetro detector monocromador (Ocean Optics HR4000CG-UB-NIR). Um magneto de campo DC é colocado para produzir campo no plano do filme de YIG, podendo chegar até 1.2 kOe. Todas as medidas foram realizadas à temperatura ambiente.
A 7: a) Montagem experimental utilizada nas medidas ópticas. b) Absorção óptica em função do comprimento de onda para diversos valores de campo magnético, as setas vermelhas indicam a direção do aumento do campo. c) O inset mostra o coeficiente de absorção para campo nulo, para os demais valores de campo, o prolongamento das linhas nas curvas doo coeficiente de absorção indicam as energias de transição, vemos, portanto, um deslocamento claro em ambas transições pelo aumento do campo.
O sinal de saída do detector mostra a dependência da absorvância em função do comprimento de onda, definido por − log10(𝐼 𝐼⁄ ), onde 𝐼0 0 e 𝐼 denotam respectivamente as intensidades da luz
incidente sobre o YIG e da luz transmitida após o YIG. No inset figura A 7 b), vemos desvios no comportamento da absorção entre ~355 nm e ~450 nm. Estes desvios correspondem às transições dos dois estados permitidos de transição: o primeiro da camada de valência cheia O-2p para Fe-3d e o segundo da banda de valência O-2p. A figura A 7 c) mostra a dependência energética do coeficiente de absorção α, obtido através de:
𝐼
𝐼0 = exp(𝛼𝑑), [i]
onde 𝑑 é a espessura do filme, está mostrado 𝛼2 𝑣𝑠 𝐸(eV), pois, em vários isolantes de gap direto, o coeficiente de absorção próximo ao gap de energia 𝐸𝑔 varia com a temperatura, de acordo com 𝛼(𝐸) ∝ (𝐸 − 𝐸𝑔)
1 2⁄
. Portanto, os gaps direto do filme de YIG podem ser obtidos extrapolando a porção linear das curvas até tocar (𝛼2 = 0) [228].
Para obter mais detalhes do efeito observado, foi obtida a energia de transição de cada banda para cada valor de campo magnético, como mostrado na figura A 8 a) e b). Os dados mostram que para um aumento do campo magnético de 0 a 0.6 kOe o deslocamento para o vermelho das transições é observado com valor de 3.05 eV para 2.94 eV e 2.43 eV para 2.37 eV. Os valores do gap de energia saturam para valores maiores de 0.6 kOe. Portanto o deslocamento Zeeman corresponde à ~ 100 meV para a transição O-2p→Fe-3d e ~ 60 meV para O-2p→Fe-3d.
A 8: Dependências em relação ao campo magnético aplicado no plano das energias de transição das bandas a) O-2p→Fe-3d e b) O-2p→Fe-3d. É possível observar a saturação das transições.
Como mostrado nas medidas de FMR, para a amostra de 50 nm de YIG a anisotropia perpendicular corresponde a 𝐻𝑆𝐴= 0.62 kOe. Portanto, espera-se um comportamento de domínio similar à referência [229]. De fato, na figura A 6 a), vê-se que a saturação da magnetização ocorre para valores maiores que 0.75 kOe. Portanto, para campos magnéticos maiores que a coercividade, existe um alinhamento contínuo que muda a separação da energia de troca e produz a variação no gap de energia observado na figura A 8. Este controle observado sobre o deslocamento Zeeman das transições ópticas à temperatura ambiente podem ajudar na implementação de novos dispositivos magneto-óptico [81].