4. PROVAS DEDUTIVAS
4.1. INTRODUÇÃO (Definição de Prova (ou Demonstração) Matemática)
4.3. PROVANDO/ DISPROVANDO AFIRMAÇÕES UNIVERSAIS "SE-ENTÃO" (“Se P, então Q”) 4.3.1. Provas Diretas; Divisão em Casos; Exaustão; Generalização de um Elemento Específico, mas Escolhido Arbitrariamente
4.3.2. Provas Indiretas; Contra-Exemplo; Contradição e Redução ao Absurdo; Contrapositivo 4.4. PROVAS “SE- E- SOMENTE- SE”
4.5. PROVANDO PROPOSIÇÕES EXISTENCIAIS
4.5.1. Achando Exemplo ("Adivinhando" o Elemento) 4.5.2. Prova Construtiva de Existência
4.5.3. Prova Não- Construtiva de Existência 4.6. QUE SIGNIFICA "BEM DEFINIDO"?
4.7. O PRINCÍPIO DAS CASAS DE POMBOS 4.8. ERROS COMUNS NAS [pseudo] “PROVAS”
Se você quiser ver o assunto mais explicada e profundamente, não precisará de mais que os livros textos da ementa da disciplina. Se quiser ainda mais, veja, em português: http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_3MetodosDeProva.pdf (Antonio Alfredo Ferreira Loureiro); http://www.ic.unicamp.br/~anamaria/cursos/MC348/2010-2/livro- apost-03.pdf e http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SU-2.08.pdf (mais completo, é um livro com 106 páginas). Em inglês, são considerados clássicos e devem poder ser
encontrados nas bibliotecas dos cursos de Matemática: Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs; Franklin, James; Daoud, Albert. Proof in Mathematics: An Introduction ; Pólya, George. Mathematics and Plausible Reasoning: Patterns of Plausible Inference; Solow, Daniel. How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes (muitos dos seus exercícios estão resolvidos, na internet); Velleman, Daniel. How to Prove It: A Structured Approach. Para treinamento, recomendamos ver algumas das dezenas das mais elegantes provas da História, em http://www.cut-the-
knot.org/proofs/, começando pelas dezenas classificadas como simples. Leia, estude, e aprenda; depois de dois dias tente fazer as provas sozinhos, depois compare com as provas dos grandes mestres. Ao escrever esta unidade, além dos livros textos e dos acima citados, também nos baseamos, parcialmente, em How To Write Proofs,
http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html (Larry W. Cusick), curto mas instrutivo.
4.1. INTRODUÇÃO (Definição de Prova (ou Demonstração) Matemática)
As provas são o coração da Matemática. Você deve ser capaz de bem ler, entender, checar-avaliar, e escrever provas matemáticas.
• Dados um conjunto A de sentenças tidas como verdades (axiomáticas ou já provadas) e dada uma nova assertiva, S, então uma prova (ou demonstração) matemática de S é um argumento (possível de ser inspecionado sequencialmente, e isso em tempo finito, portanto um argumento de comprimento finito) que você apresenta de que S é consequência lógica de A, sendo o argumento por você apresentado tão preciso e rigoroso que qualquer outro matemático, depois de escrutiná-lo com rigor, possa ficar completamente convencido da sua corretude. Isto é, a estrutura básica de uma prova é uma sequência de
declarações, cada um sendo:
A) uma verdade axiomática ou uma verdade já provada (um teorema), ou algo assumido como hipótese; OU
B) uma consequência (clara e precisamente justificada por regras de inferência da Lógica e da Matemática) de declarações já estabelecidas como verdade.
• As provas podem ser informais (sem formalismo específico, mas com toda precisão matemática e lógica, o que geralmente nos basta) ou formais (com um formalismo específico e um sistema formal de raciocínio através de manipulação de símbolos, mostrando-se todas as minúcias da aplicação desse sistema na prova, o que pode ficar pesado).
• [Raramente, pode-se incluir notas de rodapé de esclarecimento nos pontos mais difíceis da prova; ainda mais raramente, pode-se inserir algum exemplo; mas ambas essas coisas devem ser usadas com muita frugalidade e com muito cuidado para não confundir mais que clarificar. Não fazem parte da prova, que, sem essas ajudas, deve poder ser entendida com precisão por alguém mais experiente.]
Regras gerais para escrever uma prova
Escreva a palavra “TEOREMA:” e o preciso enunciado da assertiva a ser provada. Marque o início da prova com a palavra “PROVA:”.
Escreva a prova de tal forma que ela seja auto-contida.
Isto inclui identificar cada variável usada na prova juntamente com o seu tipo. Exemplos: “Seja x um número real maior que 2”; “Suponha que m e n são inteiros.” Isto é similar a declarar cada variável e seu tipo, numa linguagem de programação.
Escreva a provas em linguagem natural (mas precisa), usando sentenças completas, anotando ao lado a mais curta possível justificativa clara de cada passo não trivial que foi tomado. Como estamos apenas sendo precisos, mas informais, repetimos: você não precisa anotar nada nos passos mais triviais, e, nos demais, não precisa escrever coisas longas e superdetalhadas, como fez na unidade II, seção 3, nas provas formais usando o sistema de dedução natural. Por exemplo, você deve pensar em sua cabeça, mas não precisa escrever assim “isto decorre das linhas 10 e 20, usando a regra de inferência natural chamada de modus ponens, instanciando-se a variável1 com a variável101, e ... e a varíavel10 com a
variável110, depois usando a lei de De Morgan aplicada sobre a sub-expressão fulana”. Você deve ter feito
isso em sua cabeça, com todo rigor, para não cometer enganos fatais, mas, na apresentação da prova precisa mas informal, basta anotar algo bem mais curto, tal como “consequência das linhas 10 e 20”, ou “por transformações algébricas”, ou “contradiz a hipótese”. Isto é suficiente.
EXEMPLO 1: (Por enquanto, basta você entender perfeitamente e checar com rigor se cada declaração na sequência da prova abaixo é do tipo (A) ou (B), acima. Daqui a uma semana, tente fazer esta prova, sozinho, mais 2 provas do mesmo tipo)
TEOREMA: A raiz quadrada de 2 é um número irracional { Um número real é chamado racional se ele pode ser expressa como a razão de dois inteiros, p / q, e de irracional caso contrário}
PROVA: Vamos representar a raiz quadrada de 2 por s. Então, por definição, s satisfaz a equação s2 = 2
Suponhamos que s é um número racional. Então, poderemos escrever s = p / q,
onde p e q são um par de números inteiros. De fato, dividindo-se pelo maior múltiplo comum se for necessário, podemos até mesmo assumir p e q são primos entre si {não possuem nenhum múltiplo em comum, exceto 1}.
Se agora substituirmos isto na primeira equação então, após usarmos um pouco de algebrismo, obtemos a equação
p2 = 2q2
Mas agora, pelo teorema fundamental da aritmética {“todo inteiro positivo tem uma representação única como um produto de números
primos”}, 2 tem que aparecer na fatoração em primos do número p2 (uma vez que aparece no mesmo
Desde que 2 é um número primo, 2 também tem que aparecer na fatoração em primos do número p
{entendeu? exemplo: o inteiro 36 = 218 e 36 = 23}.
Mas, então, 22 apareceria na fatoração em primos de p2, e, portanto, em 2q2.
Ao dividir tudo por 2, vemos que 2 está na fatoração em primos de q2.
Como antes (com p2), podemos agora concluir que 2 é um fator primo de q.
Mas agora temos que p e q compartilham um fator primo, ou seja 2.
Isso viola o nosso pressuposto acima (veja se você pode encontrá-lo) de que p e q são primos entre si (não têm em comum outro múltiplo além de 1). Portanto, a hipótese inicial “Suponhamos que s é um número racional”, levando a uma contradição, o teorema está provado.