Teorema de Ramsey

(isto é difícil demais para seu primeiro período na universidade e para cobrarmos pesadamente em exame, foi incluído apenas para você tomar conhecimento da existência e das definições desses conceitos e, se precisar no futuro, ter por onde começar.)

Primeiro, informalmente:

“

dado um par de naturais s e t, existe um n

suficientemente grande tal que, numa festa com n pessoas, s

delas se_conhecem ou t delas não se_conhecem

uma relação reflexiva: se_conhecem(x,y)  se_conhecem(y,x)).

EXEMPLO: se exigirmos que sejam s = 3 pessoas que se conhecem uma à outra e são t= 3 pessoas tais que nenhuma conheça a outra, então basta a festa ter n = 6 pessoas e estarão satisfeitas as exigências, isto é, sempre se pode encontrar 3 dessas 6 pessoas que se conhecem entre si, ou 3 dessas 6 pessoas onde nenhuma conhece as doutras duas,.

Este exemplo equivale ao seguinte: se tomamos 6 pontos, e pintamos de preto ou vermelho cada segmento que une dois desses pontos, então necessariamente existe um triângulo cujos vértices são três desses pontos e cujos 3 lados são da mesma cor.

Como os números são muito pequenos, você quer rabiscar num papel uns diagramas e se convencer e talvez fazer uma prova (que tal por

Uma vez que sempre existe n, uma pergunta natural é “Qual o menor inteiro n?”. A prova da existência de n, por Ramsey, foi não construtiva, por isso achar n é difícil mesmo para casos específicos. Como assim é, muito mais difícil e desafiador tem sido achar fórmulas e algoritmos gerais (e de complexidade tolerável). Agora, mais formalmente (em boa parte, baseamo-nos em

http://mathworld.wolfram.com/RamseysTheorem.html):

• Primeiro enunciado: Para cada par de números inteiros positivos k e l existe um número inteiro R(k,l) (conhecido como o número Ramsey) de tal forma que qualquer grafo [ver unidade VI] com R(k,l) vértices contém um clique [um grafo completo, isto é, onde cada vértice se liga por uma aresta a cada dos outros vértices] com pelo menos k vértices, ou um conjunto independente com pelo menos l vértices.

• Segundo enunciado: para inteiros k, l >= 2, existe pelo menos um número inteiro positivo R(k,l) de tal modo que não importa como o grafo é colorido com duas cores, irá conter um subgrafo (clique) verde Kk ou um subgrafo (clique) vermelho Kl.

• Terceiro enunciado: para todos k pertencente a N, existe um l pertencente a N tal que

qualquer digrafo completo sobre os l vértices do grafos contém um subgrafo completo transitivo dos k vértices do gráfico.

• Quarto enunciado: para qualquer c dado inteiro, dados os inteiros n1 ,..., nc, há um número R(n1 ,..., nc) de tal forma que se arestas de um grafo completo de ordem R(n1 ,..., nc) são tingidos com c cores

diferentes. Então, para algum i entre 1 e c, deve conter um subgrafo completo de ordem R(n1 ,..., nc) e cujas arestas são todas coloridas com a cor i.

EXEMPLO da dificuldade de se determinar qual é o valor de n (ou R(k,l)), ao invés de apenas se saber que existe, sem se saber seu valor: Sabe-se que R(3,3) = 6 e que R(4,4) = 18. Mas, quanto a R(5,5), só se conseguiu provar que está na faixa 43 ≤ R(5,5) ≤ 49. E, quanto a R(6,6), só se conseguiu provar que está na faixa 102 ≤ R(6,6) ≤ 165. Quanto k e l crescem, R(k,l) cresce astronomicamente, os limites dos

intervalos em que devem estar podendo ter representações decimais com centenas ou milhares de dígitos.

Foi provado que 2k/2 _{≤ R(k,k)}

• Teoria de Ramsey: A ideia de achar uma certa ordem em configurações aleatórias dá origem à Teoria de Ramsey. Essencialmente, esta teoria diz que qualquer configuração suficientemente grande [usualmente números enormes, com centenas ou milhares de dígitos] conterá pelo menos um caso de qualquer outro tipo de configuração.

Os problemas da teoria de Ramsey são geralmente da forma: “Quantos itens deve conter uma estrutura para garantir a existência de uma propriedade particular?”

Um resultado típico da teoria de Ramsey começa com uma estrutura matemática que é depois dividida em partes. Qual o tamanho da estrutura original, a fim de assegurar que pelo menos uma das partes têm uma propriedade interessante dada? Por exemplo, considere um grafo completo (isto é, um clique) de ordem n, ou seja, existem n vértices e cada vértice é ligado a todos os outros n-1 vértices através de uma aresta. (por exemplo, um grafo completo de ordem 3 é chamado um triângulo). Agora, cada aresta pode ter cor

vermelha ou azul. Qual o tamanho de n fim de assegurar que há um triângulo azul ou um triângulo vermelho? A resposta é 6.

PROBLEMAS PROPOSTOS

Retirados de

http://www.rumoaoita.com/site/attachments/292_Exerc%C3%ADcios%20de%20An%C3%A1lise%20Combi nat%C3%B3ria.pdf, agradecemos ao autor, Prof. Paulo Roberto Rezende. Entendemos que são questões de passados vestibulares ao ITA e ao IME.

01. Em um baile há seis rapazes e dez moças. Quantos pares podem ser formados para a dança: a) sem restrição;

b) se Lúcia e Célia se recusam a dançar tanto com Manoel como com Cláudio, e Haroldo não quer dançar com Célia nem com Ana?

Resp.: a) 60; b) 54

algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Resp.: 90360

03. Uma bandeira é formada de sete listras que devem ser pintadas de três cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes

nunca estejam pintadas da mesma cor? Resp.: 192

04. (IME) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Resp.: 300

05. Um carro de montanha russa é formado por dez bancos de dois lugares cada um. De quantos modos dez casais se podem sentar nesse carro?

Resp.: 3628800 x 210

06. De quantos modos podemos distribuir dez cartas de um baralho a dois parceiros, podendo eles receber quantidades desiguais de cartas, sendo que cada um deve receber ao menos uma carta?

Resp.: 1022

07. Quantos embrulhos é possível formar com cinco livros de Matemática, três de Física e dois de Química, não sendo diferentes os livros da mesma matéria?

Resp.: 71

09. Formam-se todos os números de seis algarismos, sem os repetir, com os algarismos do número 786.415. Colocando-se em ordem crescente, qual a posição do número dado?

Resp.: 597º

10. De quantos modos n pessoas podem sentar-se em n cadeiras enfileiradas: a) sem restrições;

b) ficando A e B sempre juntas? c) sem que A e B fiquem juntas? d) ficando A, B e C juntas?

e) ficando A, B e C juntas, e D e E separadas uma da outra?

Resp.: a) n!; b) 2(n – 1)!; c) (n – 2)(n – 1)! d) 6(n – 2)!; e) 6(n –4)(n – 3)!

11. Em uma urna há 2n bolas, numeradas de 1 a 2n. Sacam-se, uma a uma, todas as bolas da urna. a) de quantos modos se pode esvaziar a urna?

b) quantos são os casos em que os k últimos números (k < 2n) aparecem nas k últimas sacadas? c) quantos são os casos em que as bolas de números ímpar aparecem nas sacadas de ordem par?

Resp.: a) (2n)!; b) 2(n –k )!kk!; c) (n!)2

12. Determine o número de anagramas da palavra CAPÍTULO que não possuem vogais e nem consoantes juntas.

Resp.: 1152

13. De quantos modos se pode iluminar uma sala [a partir de um almoxarifado] com n lâmpadas [numeradas de 1 a n]?

Resp.: 2n _{- 1}

−

14. De quantos modos se pode dispor doze objetos distintos em três grupos de quatro objetos? Resp.: 5775

16. Em um congresso de professores há 30 professores de Física e 30 de Matemática. Quantos comissões de oito professores podem ser formadas:

a) sem restrições;

b) havendo pelo menos três professores de Física e pelo menos três de Matemática? Resp.: a) C(60,8); b) 2×C(30,3)×C(30,5) + (C(30,4))2_.

17. Dados n pontos distintos de uma circunferência, quantos são os polígonos que podemos formar, convexos, cujos vértices são escolhidos entre esses pontos?

18. Quantas diagonais possui o dodecaedro regular? Resp.: 100

19. Dados n pontos de um plano, não havendo 3 colineares, quantos são:

a) os segmentos de reta cujas extremidades são escolhidas entre esses pontos? b) os triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos?

c) os quadriláteros cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? d) os polígonos de n lados cujos vértices são esses pontos?

e) no máximo, os pontos de interseção das retas formadas por esses pontos, excluindo-se desse número os n pontos dados?

Resp.: a) C(n,2); b) C(n,3); c) 3×C(n,4); d) (n-1)!/2; e) 3×C(n,4)

20. Dados 7 pontos distintos de uma circunferência, quantos são os polígonos que podemos formar cujos vértices são escolhidos entre esses pontos?

Resp.: 1172

Recapitulando a unidade

Que bom, você concluiu a unidade V, só faltam mais duas! E, se você foi disciplinado e realmente "suou" estudando 4 a 8 h cada semana, deve ter relembrado (ou aprendido) muitas coisas da parte básica de Análise Combinatória que já tinha visto no ensino médio, e deve ter aprendido mais um pouco. Tudo isto lhe será indispensável ou muito útil em todo o resto do curso e sua vida profissional. Você deve estar

dominando: técnicas básicas de contagem (regras da multiplicação, da soma, e da inclusão- exclusão); permutações, arranjos, e combinações; relações de recorrência; coeficientes binomiais; e terá tido

conhecimento de outras sequências de contagem e do teorema de Ramsey. Para você treinar ainda melhor, recomendamos a Lista de Exercícios sobre Análise Combinatória, pelo Prof. Loureiro, em

http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE7.pdf, com soluções em http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE7_Solucao.pdf.

Na próxima unidade, a VI (a penúltima!), você será introduzido aos conceitos básicos sobre árvores e grafos, começando a desenvolver a capacidade de modelar e implementar problemas reais usando tais ferramentas e de estruturas de dados. Só assim você poderá acompanhar algumas disciplinas posteriores e resolver muitos dos problemas reais com que se deparará em sua futura profissão de programador e analista.

UNIDADE VI

6. Introdução a GRAFOS E ÁRVORES