Prof. Hélio de Menezes Silva. 1ª. edição (mar.2013) Livro do aluno desta disciplina no Curso de Licenciatura em Computação

Matemática

Elementar

Prof. Hélio de Menezes Silva

1ª. edição (mar.2013)

Livro do aluno desta disciplina no

Curso de

Licenciatura em Computação

Unidade de Educação a Distância

Universidade Federal da Paraíba

UFPB Virtual

Dedico este livro a Raquel, Sandra, Mauro, Airton e Sérgio,

os cinco maravilhosos filhos que Deus deu de presente a mim e a Nira. Vocês são o maior tesouro e a maior causa de júbilo e alegria que recebemos sobre esta terra! Bem, sinto muita falta e saudades de Mauro, mas sei que qualquer dia desses vamos nos encontrar de novo, no céu, e, enquanto isso, eu e Nira queremos aproveitar mais e melhor nossos dias com nossos outros filhos, e netos.

Agradeço à minha esposa, Valdenira Nunes de Menezes Silva, por ter assumido muitas das minhas tarefas, a fim de me dar tempo para escrever este livro em curto prazo de tempo.

Agradeço aos professores Rivanildo Garcia da Silva e José Miguel Aroztegui por suas contribuições e revisões do cap. 1; Joseluce de Farias Cunha, cap. 2; Lucídio dos Anjos Formiga Cabral, cap. 6.

Agradeço ao alunos Túlio Albuquerque Pascoal, cap. 3. Os exemplos das falácias citadas no cap. 2 são adaptações de respostas por meus alunos de Linguagens Formais, em trabalho para casa, no período 2012.2.

Hélio de Menezes Silva, março 2013.

Salmo 8:3 ¶ Quando vejo os teus céus, obra dos teus dedos, a lua e as estrelas que preparaste; 4 Que é o homem mortal para que te lembres dele? e o filho do homem, para que o visites? 5 Contudo, pouco menor o fizeste do que os anjos, e de glória e de honra o coroaste.

6 Fazes com que ele tenha domínio sobre as obras das tuas mãos; tudo puseste debaixo de seus

pés:

7 Todas as ovelhas e bois, assim como os animais do campo.

8 As aves dos céus, e os peixes do mar, e tudo o que passa pelas veredas dos mares. 9 Ó SENHOR, Senhor nosso, quão admirável é o teu nome sobre toda a terra! (LTT)

Apresentação da Disciplina

Parabéns, meu aluno e amigo, pela sua decisão de estudar e fazer um curso superior, particularmente Licenciatura em Computação na UFPB, enquanto muitos se abandonam ao não fazer nada da vida. Parabéns. Sei que alguns de vocês trabalham, muitos moram onde não há muitos meios e oportunidades, por isso lhe dou pessoalmente parabéns pela garra e determinação em fazer este curso através do EAD. Tenho a firme convicção que, com sua disciplina e determinação amigo (isto será a chave!), a EAD pode formar profissionais de grande competência, EAD pode ser o futuro da educação, inclusive revertendo paradigmas seculares, http://usatoday30.usatoday.com/life/people/story/2012-05-30/sal-khan-profile-khan-academy/55270348/1. Sou um entusiasta da EAD, mas deixe-me avisá-lo, ela precisa de duas coisas básicas: autodisciplina e esforço. Se você não tiver essas qualidades e de modo nenhum as quiser desenvolver, deixe-me ser franco, dificilmente conseguirá muito na vida, em quase nada. Na EAD, você precisa ter a autodisciplina de diariamente dedicar várias horas ao estudo. Sozinho ou em grupo, você precisa fazer por si mesmo todos os exemplos e pelo menos 1/3 dos exercícios, saltando de três em três. Vou bater nessa mesma tecla em todas as unidades.

Quanto ao curso, minha aspiração é que ele lhe faça ainda mais um vencedor, em DUAS vertentes: a) tendo capacidade técnica para, se imposto pela vida, disputar corrida com os bacharéis em Ciência da Computação e cursos similares (por que não?); e b) sendo o profissional por excelência na nobre profissão de professor na educação básica e na técnico- profissionalizante, talvez fazendo pós-graduação e ensinando em

universidades. Almejo e antevejo duas vertentes à sua disposição, para seu futuro.

Quanto à disciplina em si (Matemática Elementar) de que tomo como privilégio poder escrever este livro e lhe ensinar, é uma das primeiras e mais básicas para tudo o mais. Não é uma disciplina fácil, pois é muito densa, tem muito conteúdo em pouco tempo e espaço, mas tem que ser assim. Se, ao final dela, você não dominar seu assunto muito bem, provavelmente terá muita dificuldade para acompanhar as 3 outras disciplinas de Matemática, mais as 3 disciplinas Estrutura de Dados (que avançará em grafos), Teoria da Computação (que avançará em lógica e outros formalismos) e Agentes Inteligentes (idem).

O objetivo específico da disciplina é lhe capacitar plenamente nos assuntos da sua ementa: 1) Teoria dos Conjuntos: axiomas, operações elementares, relações, funções, ordenação, números naturais, conjuntos contáveis e incontáveis. 2) Introdução à Lógica Matemática. 3) Recorrência e Indução. 4) Noções básicas: proposições, provas/demonstrações. 5) Métodos de Enumeração: permutação, combinação e o teorema de Ramsey. 6) Grafos: terminologia básica, classes de grafos, grafos ponderados e orientados, ciclos e circuitos, árvores. Adicionei como um 7º tópico Teoria dos Números, ao invés de abordá-lo distribuído nos tópicos anteriores. Fica melhor assim.

Os livros-texto da disciplina, se você tiver acesso a eles em papel ou computador, são

- GERSTRING, J. L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. Rio de Janeiro: LTC, 3 ed., 1995.

- ROSEN, K. H. Discrete Mathematics and its Applications. 4. ed. McGraw-Hill, 1999.

- IEZZI, G. et al. Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções. 6 ed. São Paulo: Atual, Vol. 1, 1993..

- DAGHLIAN, J. Lógica e Álgebra de Boole. São Paulo: Editora Ática, 1990.

mas creio que este presente livro deverá ser suficiente para a maior parte da disciplina, você só precisando consultar os livros-texto se se interessar por maior aprofundamento em certos tópicos que despertem seu interesse. Também, espalhados por este livro, colocarei links para vários outros livros, notas de aula e artigos disponibilizados na internet, particularmente quando eu tiver extraído exemplos e problemas deles, ou quando eu quiser sugerir que você faça tais exercícios.

O fórum de alunos, os tutores, e eu (o professor) queremos e vamos ajudá-lo (nessa ordem). Mas, repito, o início de tudo, a chave, é você mesmo ser determinado e disciplinado, cada semana dedicando 4 a 8 horas para estudar este livro com todo afinco.

Sucesso, meu amigo. Comecemos nossa jornada na Matemática Elementar. Que, ao final do seu esforço, mesmo duro, você a avalie como lhe tendo dado a satisfação de ter dominado o assunto, e eu a satisfação de lhe ter ajudado nisso.

Prof. Hélio de Menezes Silva, mar.2013.

Conteúdo

(da disciplina Matemática Elementar [e Discreta])

Conteúdo

1. CONJUNTOS, RELAÇÕES, FUNÇÕES ... 7

1.1. Axiomas e Definições sobre Conjuntos. Relações entre Conjuntos ... 8

1.2. Operações com Conjuntos ... 9

1.3. Relações ... 11

1.4. Funções ... 12

1.5. Ordenação ... 14

1.6. Números Naturais, Inteiros, Racionais, Reais ... 16

1.7. Conjuntos Contáveis e Não-Contáveis ... 16

Problemas sobre toda a Unidade: ... 18

Recapitulando a unidade ... 20

2. Introdução à LÓGICA MATEMÁTICA ... 21

2.1. Motivação. Lógica. Porque só Veremos a Lógica Proposicional ... 21

2.2. A Linguagem £ da Lógica Proposicional ... 22

2.2.1. A Sintaxe de £ ... 23

2.2.2. A Semântica de £ ... 25

2.3. Regras de Inferência sobre £. Sistemas Formais. Sistema Natural de Inferência ... 27

2.4. Sanidade, Completude, Consistência. Os Problemas da Satisfatibilidade e da Tautologia (são Decidíveis, mas NP-Completos). Modelo e Teoria ... 31

Problemas sobre toda a Unidade: ... 32

Recapitulando a Unidade ... 32

Apêndice à Unidade II: Falácias Lógicas ... 33

3. EQUAÇÕES DE RECORRÊNCIA e PROVAS POR INDUÇÃO MATEMÁTICA... 39

3.1. Equações de Recorrência. Determinação Delas. Fórmulas Fechadas (Conjecturas) ... 39

3.2. Provas pelo Princípio da Indução Matemática Simples (ou Fraca) ... 42

3.3. Provas pelo Princípio de Indução Matemática Completa (ou Forte) ... 47

Problemas sobre toda a Unidade: ... 49

Recapitulando a unidade ... 50

4. PROVAS DEDUTIVAS ... 51

4.1. INTRODUÇÃO (Definição de Prova (ou Demonstração) Matemática) ... 52

4.2. DESEMARANHANDO AS DEFINIÇÕES (Começando a Prova) ... 53

4.3. PROVANDO/ DISPROVANDO AFIRMAÇÕES UNIVERSAIS "SE-ENTÃO" (“Se P, então Q”) ... 54

4.3.1. Provas Diretas ... 54

4.3.2. Provas Indiretas ... 58

4.4. PROVAS “SE- E- SOMENTE- SE” (baseadas em Larry W. Cusick) ... 62

4.5. PROVANDO PROPOSIÇÕES EXISTENCIAIS ... 63

4.5.1. Achando Exemplo ("Adivinhando" o Elemento) ... 63

4.5.2. Prova Construtiva de Existência ... 63

4.5.3. Prova Não- Construtiva de Existência ... 64

4.6. QUE SIGNIFICA "BEM DEFINIDO"? ... 65

4.7. O PRINCÍPIO DAS CASAS DE POMBOS [ou Princípio das Gavetas de Dirichlet] ... 66

4.8. ERROS COMUNS NAS [pseudo] “PROVAS” ... 67

Recapitulando a unidade ... 68

5. Introdução à ANÁLISE COMBINATÓRIA ... 69

5.1. Técnicas Básicas de Contagem. Permutações, Arranjos, Combinações ... 69

5.2. Relações de Recorrência ... 74

5.3. Coeficientes Binomiais ... 75

5.4. Outras Sequências de Contagem ... 76

5.5. Teorema de Ramsey ... 78

PROBLEMAS PROPOSTOS (com respostas) ... 79

Recapitulando a unidade ... 81

6. Introdução a GRAFOS E ÁRVORES... 83

6.1. Motivação e Introdução ... 83

6.2. Conceitos Básicos de Grafos e Digrafos ... 84

6.3. Percursos em Grafos em Geral e em Cliques ... 89

6.4. Árvores e Árvores Geradoras... 91

Recapitulando a Unidade ... 94

7. Introdução à TEORIA DOS NÚMEROS ... 97

7.1. NÚMEROS PRIMOS... 98

7.1.1. Testando Primalidade de n: ... 99

7.1.2. Contando os Primos ... 101

7.1.3. Mais Algumas Poucas Coisas Sobre os Primos ... 101

7.2. DIVISIBILIDADE ... 104

7.2.1. Máximo Divisor Comum (mdc) ... 104

7.2.2. Mínimo Múltiplo Comum (mmc) ... 109

7.3. ARITMÉTICA MODULAR ... 110

7.3.1. – Problema 374 do ACM Programming Contest (BigMod) ... 111

7.4. CONGRUÊNCIAS ... 113

7.4.1. Operações Sobre Congruências ... 113

7.4.2. Resolvendo Congruências Lineares ... 114

7.4.3. Equações Diofantinas ... 115

7.5. TRIPLAS PITAGÓRICAS: ... 115

UNIDADE I

1. CONJUNTOS, RELAÇÕES, FUNÇÕES

(Como você, com suficiente carga horária e profundidade, já estudou este assunto no ensino médio e para o recente vestibular, e como estaremos apenas fazendo uma revisão dele, então vamos andar algo sumária e rapidamente, sem provas de fórmulas e teoremas, para que sobre tempo de estudo e espaço no livro para explicarmos melhor os assuntos realmente novos para você.)

Nosso objetivo, nesta unidade, é, ao final dela, você (voltar a) _{dominar as mais básicas noções e}

propriedades dos conjuntos, das relações e operações entre eles; da ordenação entre os seus elementos; dos conjuntos de números naturais, de inteiros, de racionais e de reais; dos conjuntos contáveis e não contáveis.

Lembre-se: estamos torcendo por você. O fórum de alunos, os tutores, e eu (o professor) queremos e vamos ajudá-lo (nessa ordem), mas você tem que ser determinado e disciplinado, cada semana dedicando 4 a 8 horas para estudar este livro, entender e reter os exemplos, resolver sozinho pelo menos 1/3 dos exercícios propostos, sumariar em sua mente os principais pontos desta unidade. Sem determinação de firme propósito, sem disciplina e esforço honesto, então talento e boa vontade não bastam para nenhuma vitória na nossa vida, não é?

Conteúdo desta unidade:

1.1. Axiomas e Definições sobre Conjuntos. Relações entre Conjuntos 1.2. Operações com Conjuntos

1.3. Relações entre Conjuntos 1.4. Funções

1.5. Ordenação

1.6. Conjuntos dos Números Naturais, e dos Inteiros, e dos Racionais, e dos Reais 1.7. Conjuntos Contáveis e Não Contáveis

Se você quiser ver o assunto mais explicada e profundamente, não precisará de mais que os livros textos da ementa da disciplina.

Mas, para escrever esta unidade, além deles também usamos (mais como esqueleto mestre e plano geral e ordem de apresentação) partes do livro Matemática Elementar que se encontra disponível em http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar. Não o copiamos de cabo a rabo, somente “pegamos mais o jeitão" dele. Assim fizemos por causa de sua concisão e objetividade, mas acrescentamos "carne" baseada nos livros-texto e em outros, omitimos algumas partes, modificamos muitas outras, acrescentamos

exemplos, etc. Os exemplos e problemas propostos foram-nos gentilmente sugeridos pelo Prof. Rivanildo Garcia da Silva, e o Prof. José Miguel Aroztegui revisou todo o texto

Símbolos para esta unidade:

: pertence : não pertence : implica

logicamente que; se então

: equivale logicamente a; se, e somente se

: está contido (podendo ser

: está contido propriamente (não podendo ser igual)

: não está contido

propriamente (nem é igual) _{qualquer que seja)} : para todo (ou

: contém (podendo ser igual) _{N: conjunto dos}

números naturais Z: conjunto dos números inteiros

: contém propriamente

(não podendo ser igual) ⊅: não contém

propriamente

Q: conjunto dos

números racionais R: conjunto dos números reais

: conjunto vazio |: tal que

1.1. Axiomas e Definições sobre Conjuntos. Relações entre

Conjuntos

Em Matemática, conjunto, elemento e relação de pertinência são conceitos primitivos, isto é, que não podem ser formalmente definidos em função de conceitos mais simples, portanto são aceitos sem definição formal. Mas, informalmente, podemos dizer que um conjunto é uma coleção de objetos (chamados de

elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa (até mesmo outros conjuntos). Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém, portanto dois conjuntos que têm os mesmos elementos são conjuntos iguais. A relação básica entre um elemento e um conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x  A (leia “x pertence a A”), senão dizemos que x  A (leia “x não pertence a A”).

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é

relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto [Knuth, Donald E. (1998). The Art of Computer Programming – Vol. 2:

Seminumerical Algorithms Addison Wesley. p. 694]. Exemplos: conjunto {1,5,2,4,3}; multiconjunto {1,1,1,5,2,4,3,3}.

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma: - lista dos seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);

- definição de uma propriedade de seus elementos;

- representação gráfica (recorde-se dos diagramas de Venn, nos livros do ensino médio).

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves. Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como: A = {1,2,3}

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo, A = {1,2,2,1,3,2} Um conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não é um elemento de B. O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

A = {x | x é um número inteiro maior que 0 e menor que 4} ou ainda:

A = {x : x é um número natural tal que 1  x  3}

Se A e B são conjuntos e todo o elemento x pertencente a A também pertence a B, então o conjunto A é dito um subconjunto do conjunto B, o que é denotado por A  B. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, ou seja, A = B. Se A  B e ao menos um elemento pertencente a B não pertence a A, então A é chamado de subconjunto próprio de B, o que é denotado por A  B.

Todo conjunto é subconjunto dele mesmo (A  A), entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, portanto (A  A) e é chamado de subconjunto impróprio.

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio [o conjunto que não tem nenhum elemento] representado por {} ou  (a letra “phi”, leia “fi”). Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Ao conjunto da totalidade de elementos que consideramos possíveis [para o assunto de que estivermos tratando]

chamamos de conjunto universo, usualmente representado pelo símbolo U. Por exemplo, se estivermos tratando das siglas dos estados do Brasil, U = {AC, AL, AP, ..., TO}

EXERCÍCIO: Você mesmo reveja seus livros, dê o nome exato, e defina formalmente as relações entre elemento e conjunto  , . E as relações entre dois conjuntos: , , , , ⊅, =,  . Dê um exemplo para cada relação usando diagramas de Venn, outro usando a notação {}, outro definindo os conjuntos por suas propriedades.

Se um conjunto A tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n, [e denotamos isto como |A| = n, que você deve ler como “a cardinalidade de A é n”)] Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Mais sobre isso na seção 1.7 (Conjuntos Contáveis e Não Contáveis)

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por P(A). O conjunto potência é uma álgebra booleana (ver Unidade II) sobre as operações de união e interseção. Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos (ou seja, o número de elementos do conjunto potência, ou seja, o conjunto das partes de A) é 2n_{, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2}n_{. Exemplo: o}

conjunto A = {1,2} tem 4 subconjuntos, são eles: o próprio A , {1}, {2} e . Veja que n = |A| = 2 e há 22

= 4 subconjuntos. Exercício: Entenda e explique porque P() é {} e não é .

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados (relembre isso, por você mesmo):

A x B = {(a,b): a  A e b  B }

O produto cartesiano é não-comutativo: A x B  B x A

EXEMPLO 1: Sejam A = {0,2,5} e B = {2,3}. Temos: A x B = {(0,2),(0,3),(2,2),(2,3), (5,2),(5,3)} e B x A = (2,0),(3,0),(2,2),(3,2),(2,5),(3,5)}. Note que A x B ≠ B x A, pois (x,y) ≠ (y,x), para todo x e para todo y.

EXEMPLO 2: Dados conjuntos A = { x | x é número par primo } e B = { x | x é divisor positivo de 6}, temos A x B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,6)} e B x A = {(1,2),(2,2),(3,2),(6,2)}. Note que A x B ≠ B x A EXEMPLO 3: Considere os conjuntos C = {1}, D ={1,2,3}, E = { 1, 3, 5, 7, ...} e F = {x | x é número primo }. Classifique as sentenças a seguir em verdadeira ou falsa.

a) C d) D E g) E = F b) C e) F E h) C F c) D f)  C i) E C Resposta: f v f v f v f v v (respectivamente)

1.2. Operações com Conjuntos

União

A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto A  B composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A ou B. A união de N conjuntos

é o conjunto formado pelos os elementos que

pertencem ao menos a um dos conjuntos A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por A U B = {x|xA ou xB}

Interseção

A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e

Diferença _ou A diferença _{conjuntos e é o conjunto dos elementos que} (ou ) entre dois pertencem a e que não pertencem a

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto (denotado por Ac_{) que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A.}

Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo . Leia AB como “o conjunto complementar de B em

relação a A, que é seu superconjunto”. Matematicamente: AB = A - B = {x  A | x  B}

EXEMPLO 4: Seja A = {1,2,3,4}, B = {x | x é número natural primo menor que 6} e C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Determine: a) A B b) A c) A – C d) B – A e) C – A Respostas: a) {1,2,3,4,5} b) {1,2,3,4} c)  d) {5} e) {5,6,7,8,9}

EXEMPLO 5: Dados os conjuntos A = {0,2,4}, B = {0,1,2,3,4,5} e C = {0,1,2,4,8}., determine:

a) BA a’) B \ A

b) BC b’) B \ C

Respostas:

a) BA = B – A = {1,3,5}; a’) B \ A = B – A = {1,3,5};

1.3. Relações

Uma relação R do conjunto A para o conjunto B (representada por R: A  B) é um qualquer

subconjunto do produto cartesiano A × B. Ou seja, é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.

Relações podem ser especificadas/ representadas: por figuras dos dois conjuntos A, B, com setas indicando os pares ordenados; por listagem de todos os pares; ou por equação, inequação, ou qualquer forma matemática que possa representar a condição que os pares devem satisfazer. Por exemplo:

R = {(1,2), (2,4), (3,6)} A = {1,2,3} B = {1,2,3,4,5,6}

R = {(x,y)  A x B | y = 2x = dobro de x}

Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio). Como consequência natural da correspondência de todo e cada elemento do domínio para exatamente um elemento do contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio). Funções serão estudadas com maiores detalhes na próxima seção (1.4).

Relações de equivalência: Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades:

∀a  A: aRa (propriedade

reflexiva), ∀a,b (propriedade simétrica),  A: aRb  bRa ∀a,b,c (propriedade transitiva),  A: aRb  bRc  aRc ela é dita relação de equivalência.

Classes de equivalência: Seja ā = {x  A | xRa}. ā é denominada classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são (demonstrações nos livros-texto da disciplina):

Teorema: Se a ē ⇒ ā=ē. Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅

Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x  P ⇒ x⊆X

x,y  P ⇒ x∩y=∅

x  X ⇒ ∃a  P tal que x  a.

Alguns resultados importantes desta definição são (demonstrações nos livros-texto da disciplina): Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a  A} é uma partição de A.

Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a  ē é de equivalência.

Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição.

EXEMPLO 6: Seja E = {a,b,c}. A relação R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)} é uma relação de equivalência? Resposta: Sim, pois satisfaz as três propriedades definidas acima.

EXEMPLO 7: A relação S = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(a,c)} é uma relação de equivalência? Resposta: Não, pois aRc mas (cRa) (c não está relacionado com a )

EXEMPLO 8: Seja a relação de equivalência R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)}. Determine as classes de equivalência ā, , .

Resposta: ā = {a,b}; = {a,b}; = {c}

EXEMPLO 9: Seja A = {1,2,3,4}. Determine uma partição desse conjunto. Resposta: P ={{1},{2,3},{4}} ou P ={{1,2},{3,4}}, entre outras.

1.4. Funções

Uma função é uma relação especial, assim definida: sejam dois conjuntos A e B (não vazios), tais que para todo elemento x pertencente a A (chamado de domínio), haja uma correspondência de um e somente um elemento y (chamado imagem) pertencente a B (chamado de contradomínio ). Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto. O subconjunto B’ de B compreendendo todos os elementos que são realmente imagens de elementos de A também é chamado de imagem.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). x é chamada de variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é assim definida:

f: A  B: x  f(x),

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: {1,4,9,16,... }.

Note duas características de função, na definição:

- há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: para cada valor assumido pela variável independente (x) há um único valor da variável dependente (y) associado pela função: Se t = f(x) e w = f(x), então t = w.

- a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do

contradomínio Y (c,d).

Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Duas funções f(x) e g(x) são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

 x  D: (f(x) = g(x))  (g = f).

elementos no contradomínio . x1 x2 f(x1)  f(x2)

• Função Sobrejetora (f: A  B) é aquela na qual o contradomínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio. Imagem(f) = B.

• Função Bijetora (ou um- a- um) (f: A  B) é aquela que é tanto injetora como sobrejetora: (x1 x2

f(x1)  f(x2)) e (Imagem(f) = B)

Uma função f(x) é chamada de contínua em um ponto quando, intuitivamente, a pequenas variações no valor de x correspondem pequenas variações no valor de f(x). Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que aquele é um ponto de descontinuidade. Formalmente, em termos de limites [rever nos seus livros do ensino médio], uma função f(x) é chamada de contínua em um ponto a de seu domínio se, quando x tende para a quer pela esquerda quer pela direita, lim f(x) = f(a). Uma função f(x) é chamada de contínua em um intervalo contínuo se for contínua em todos seus pontos.

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), f(x) < f(x+ ε). ... É dita não-decrescente, ...f(x) ≤ f(x+ ε)

Composição de funções: Sejam f: X  Y e g: Z  W duas funções. Se a imagem de f está contida no domínio de g podemos definir a função composta

g  f: X  W como sendo

g  f(x) = g(f(x)) x  X

EXEMPLO 10 (função sobrejetora e não injetora): Analise o diagrama de flechas que está à esquerda.

Relembre que o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio; o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio.

Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio. Resposta:

Nesta função do exemplo temos: Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }

Portanto, nesta função, contradomínio é igual ao conjunto imagem. Esta função é definida por:

Substituindo a variável independente x, de 3x2_{, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B}

ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x).

Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma função injetora, pois ambos -1 e 1 têm 3 como imagem (eles têm a mesma imagem).

EXEMPLO 11 (função injetora e não sobrejetora): Analise o diagrama de flechas que está à esquerda.

Resposta:

Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados a algum elemento de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora.

Além disso, podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função anterior. Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras, não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.

Nesta função temos: Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }

Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 } Definimos esta função por:

Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f).

EXEMPLO 12 (função bijetora):

Analise o diagrama de flechas que está à esquerda.

Resposta:

Podemos ver que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados. Vemos, também, que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada. Portanto, concluímos que a função é bijetora.

Esta função tem:

Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }

Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 } Esta função é definida por:

Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f). EXEMPLO 12: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, determine gf(x) e fg(x).

Resposta:

gf(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15

fg(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3. Observe que fg ≠ gf .

EXEMPLO 13: Dados três conjuntos A = {-2, -1, 0, 3}, B = {-3,-2,-1,2} e C = {9,4,1,4}. Entre eles existem as seguintes funções: f: A B definida por f(x) = x – 1 e g: B C definida por g(x) = x2_{. Para cada}

elemento de A existe um elemento em B tal que f(x) = x – 1 e para cada elemento de B existe um elemento de C tal que g(x) = x2_{. Assim, pode-se concluir que existe uma função h: A C definida por}

h(x) = g(f(x)), isto é, h(x) = g(x-1) = (x-1)2 _{= x}2 _{– 2x + 1.}

1.5. Ordenação

Pela sua concisão, vamos usar, como esqueleto mestre e ordem de apresentação, partes de http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_ordem, que resume capítulo de Davey, B.A.; Priestley, H.A. Introduction to Lattices and Order 2nd. ed. Cambridge, Cambridge University Press, 2002. Mas omitiremos algumas partes, inseriremos muitas outras, acrescentaremos exemplos, muitas vezes refrasearemos em nossas próprias palavras. As referências principais sempre são os livros-texto da disciplina, sempre busque melhor entendimento neles.

Dado um conjunto A e uma relação binária R sobre A: R  A x A, dizemos que R é uma relação de ordem parcial- ampla (ou não estrita) sobre A se satisfaz as seguintes condições:

• Reflexividade: ∀a  A: aRa (ou seja, todo elemento está relacionado consigo mesmo. Exemplo, a relação Tem_o_mesmo_peso_de);

• Anti-simetria: ∀a,b  A: (R(a,b)  R(b,a)  a = b) (a relação só existe bidirecionalmente se for entre uma coisa e ela mesma. Exemplo, a relação Número_não_maior_que); e

• Transitividade: ∀a,b,c  A: aRb  bRc  aRc

Quando uma relação R satisfaz as condições acima, R(x,y) é escrita como x  y.

EXERCÍCIOS: Para 2 dos conjuntos numéricos N, Z, Q, R, verifique que a operação usual  satisfaz as condições acima. Idem para a operação  sobre conjuntos. Idem para a operação “|” (divide) definida na

unidade VII (Teoria dos Números).

Dado um conjunto A e uma relação binária R sobre A: R  A X A, dizemos que R é uma relação de ordem

parcial- estrita sobre A se satisfaz transitividade e:

• Irreflexividade: ∀a  A: R(a,a) (ou seja, nenhum elemento está relacionado consigo mesmo. Exemplo, a relação É_pai_de). Se uma relação satisfaz transitividade e irreflexividade, pode ser demonstrado que também satisfaz:

• Assimetria: ∀a,b  A: (R(a,b) R(b,a)) (isto proíbe R(x,x))

(Se uma relação R satisfaz transitividade e assimetria, então também satisfaz irreflexividade). Quando uma relação R é uma relação de ordem parcial- estrita, R(x,y) é escrito como x < y. Um conjunto que possui uma relação de ordem é chamado de conjunto parcialmente ordenado. Exemplo: a relação “é antepassado de”

Sendo R uma relação sobre A, a totalidade (ou linearidade) está dada por: • para ordens amplas:  x,y  A, (x  y  y  x)

• para ordens estritas:  x,y  A, (x  y  x < y  y < x)

• Dada um relação R, dizemos que x,y  A (onde x  y) são incomparáveis, se e somente se R(x,y)  R(y,x). Uma relação de ordem linear ou total não têm elementos incomparáveis.

• As ordens dos conjuntos numéricos, N, Z, Q, R são lineares.

• Dado um conjunto A com dois ou mais elementos, P(A), o conjunto das partes de A não está linearmente ordenado por inclusão ().

• Uma relação de ordem estrita, quer seja parcial ou total, é denominada densa se entre dois elementos sempre existe um outro:  x,y  A (x < y  z  S (x < z < y))

• Inversa (“>”) de uma relação de ordem estrita (“<”): Se uma relação R é uma ordem estrita, então a relação inversa de R:

R-1 _{= {(y,x): (x,y)  R}}

também é uma relação de ordem estrita.

• Inversa (“≥”) de uma relação de ordem ampla (“”) pode ser definida similarmente.

• Dada uma relação de ordem ampla  sobre um conjunto A, um elemento a  A é denominado elemento mínimo ou primeiro elemento se e somente se:

bA (a  b).

• De maneira simétrica, é denominado elemento máximo ou último elemento se e somente se:

• O conjunto N tem mínimo, mas não tem máximo. Os conjuntos Z, Q, R não têm nem máximo, nem mínimo. O intervalo [0,1] = {x  R: 0  x  1} tem mínimo 0 e máximo 1. Dado um conjunto A e considerando a ordem inclusão, , o conjunto P(A), das partes de A, tem mínimo  e máximo A. Se um conjunto tem mínimo, então tem um único mínimo. O mesmo vale para o máximo.

•Dada uma relação de ordem estrita < sobre um conjunto A, um elemento a  A é denominado minimal (ou ínfimo) quando não existe outro elemento que seja menor que ele:

x  A, x < a

e é denominado maximal (ou supremo) quando não existe outro elemento que seja maior que ele. No reticulado abaixo, 2 , 3 e 5 são minimals, e 10 , 15 e 24 são maximals.

• Um elemento a  A é uma cota inferior ou minorante de um subconjunto B  A se e somente se: b  B (a  b)

• Um elemento a  A é uma cota superior ou majorante de um subconjunto B  A se e somente se: b  B (a ≥ b)

• Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

• Uma relação de ordem estrita R sobre um conjunto A é denominada uma boa ordem se e somente se todo subconjunto não vazio de A tem primeiro elemento segundo R.

• Um conjunto com uma relação de boa ordem é denominado bem ordenado. Por exemplo, N é bem ordenado pela relação natural “<” desse conjunto, mas Z, Q e R não são, segundo as suas ordens naturais. Uma boa ordem é sempre uma ordem linear.

EXEMPLO 14: O intervalo fechado [0,1] = {x  R | 0 ≤ x ≤ 1} possui um elemento mínimo 0 e um elemento máximo 1.

EXEMPLO 15: O intervalo semi fechado [0,1) = [0,1[ = {x  R | 0 ≤ x < 1} possui um elemento mínimo 0, todo x ≥ 1 é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o 1 que não pertence ao conjunto e,

portanto, esse conjunto não tem elemento máximo.

EXEMPLO 16: {x  Q | x2 _{<=2}. Esse conjunto possui um supremo real 2, e infinitas cotas superiores}

racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.

EXEMPLO 17: P(A), para um conjunto qualquer A (onde |A| ≥ 2) considerando a ordem parcial ampla inclusão, : Esse conjunto tem elemento mínimo  e elemento máximo A, segundo a ordem . Todo B

 P(A) tem supremo e ínfimo em P(A), segundo a ordem .

1.6. Números Naturais, Inteiros, Racionais, Reais

• Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} (cardinalidade 0) (leia  como

“aleph”, a primeira letra do alfabeto hebraico, cuja pronúncia é “álef”) • Naturais positivos N+ _{= N – {0} (cardinalidade }

0)

• Inteiros Z = {...–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ....} = {0, -1, +1, -2, +2, -3, +3, ...} (cardinalidade 0)

• Racionais positivos Q+ _{= {p/q tais que p,q  N}+_{} = {1/1, ½, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, ¼, 2/4, 3/2, 4/1, ...}} (cardinalidade 0) (pela diagonalização de Georg Cantor}

• Racionais negativos Q- _{= {-x: x  Q}+_{} (cardinalidade }

0)

• Racionais: Q = Z  Q+_{ Q}- _{(cardinalidade }

0)

• Irracionais I = {√8; –√6; 2,36521452 ...} (cardinalidade 1)

• Reais: R = Q  I (cardinalidade: c (c. do contínuo) = 20 _{= } 1)

Relações entre os conjuntos de números:

N  Z  Q  R ( N está contido em Z, que está contido em Q e que está contido em R) I  R I está contido em R

Q U I = R Q união com I corresponde a R

Q ∩ I = Ø Q intersecção com I corresponde a vazio I = R – Q I corresponde a R subtraído de Q

N ∩ Z = Z+ _{inteiros positivos (inclui o 0)} Z – N = Z- _{inteiros negativos (inclui o 0)} (N ∩ Q) U Z = Z

(Q U I) ∩ N = N R ∩ N = N N U Z = Z

As referências principais sempre são os livros-texto da disciplina, sempre busque melhor entendimento neles. Se não puder, veja em outros bons livros na Internet ou, pelo menos, em http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_cont%C3%A1vel.

Um conjunto contável é um conjunto de mesma cardinalidade (número de elementos) de um subconjunto qualquer de N (inclusive o próprio N). Um conjunto é dito não-contável quando ele não é contável. Se o conjunto for infinito (em números de termos), então, se for contável, também é chamado de enumerável (ou infinito contável), senão, de não enumerável.

Formalmente, um conjunto S é contável se existe uma função injetora f: S  N

Dois conjuntos R,S são de mesmo tamanho se existe uma função bijetora f: S  R

Teorema (Georg Cantor): O conjunto Q+ _{dos racionais positivos tem o mesmo tamanho (cardinalidade) do} conjunto dos inteiros positivos [isto surpreendeu muitos]_.

Demonstração: façamos uma tabela onde as colunas representam p (o numerador do racional), e as linhas representam q (o denominador). Note como todas as células em uma diagonal têm mesma soma p+q em cada célula. Agora, percorramos a tabela pelas suas diagonais em um padrão zig-zag, onde zig é a direção ↙ e zag a ↗

Começamos caminhando assim ↙ , pela diagonal de soma p+q =2, façamos 1/1 mapear no inteiro 1

depois caminhemos assim ↗ , pela diagonal de soma p+q =3, façamos 2/1 mapear no inteiro 2

façamos 1/2 mapear no inteiro 3

depois caminhemos assim ↙ pela diagonal de soma p+q =4, façamos 1/3 mapear no inteiro 4

façamos 2/2 mapear no inteiro 5 façamos 3/1 mapear no inteiro 6

depois caminhemos assim ↗ pela diagonal de soma p+q =5 ...

e assim por diante

Teorema: O produto cartesiano de uma quantidade finita de conjuntos contáveis é contável.

Teorema: Todo subconjunto de um conjunto contável é contável. Em particular, todo subconjunto infinito de um conjunto infinito contável é infinito contável.

EXEMPLO: O conjunto dos números primos é contável, mapeando o n-ésimo primo para n. Teorema: A união de um sistema finito de conjuntos contáveis é contável.

Teorema: O conjunto de todos os subconjuntos finitos dos números naturais é contável. Teorema [Básico]: Seja S um conjunto. As seguintes declarações são equivalentes: 1) S é contável, ou seja, existe uma função injetora f: S  N

2) Ou S é vazio, ou existe uma função sobrejetora g: N  S 3) Ou S é finito ou existe uma bijeção h: N  S

Muitas propriedades padrões são concluídas facilmente a partir deste teorema. Observe que N no teorema pode ser substituído por qualquer conjunto infinito contável. Em particular temos o seguinte corolário. Corolário: Sejam S e T conjuntos.

1) Se a função f: S  T é injetora e T é contável então S é contável. 2) Se a função g: S  T é sobrejetora e S é contável então T é contável.

EXEMPLO 17: E = {2,4,6,...}, o conjunto dos números pares maiores que 0, tem cardinalidade menor que a dos naturais (0)? Prove.

Resposta: |E| = 0 , porque podemos mapear E para N pela função f(n) = 2n.

EXEMPLO 18: Entre dois quaisquer naturais vizinhos existem infinitos racionais (por exemplo, se os dois naturais vizinhos forem 0 e 1, temos os infinitos racionais 1/2, 1/3, 1/4, ... ,2/3, 2/4, 2/5, ... 3/4, 3/5, 3/6, ..., 4/5, 4/6,4/7, ... (basta que o numerador seja menor que o denominador). Portanto, pode-se dizer que a cardinalidade dos racionais é maior que 0, que é a dos naturais. Certo?

Resposta: Não. Veja o teorema da diagonalização de Georg Cantor, acima.

Uma das provas mais elegantes da Matemática é a que há infinitos reais entre 0 e 1. Também deve-se a Georg Cantor. Na Internet, onde a encontrei mais fácil de ser entendida foi em

http://www.seara.ufc.br/especiais/matematica/transfinitos/transfinitos3.htm. Não deixe de ver.

Problemas sobre toda a Unidade:

(sugeridos pelo Prof. Rivanildo Garcia da Silva, fico-lhe muito grato por isso) PROBLEMA 1) Represente os conjuntos a seguir na forma de extensão. a) {x | x é mês do ano formado por 9 letras}

b) {x | x é múltiplo de 3 e de 6 maior ou igual a 12 e menor que 24 } c) {x | x é planeta do sistema solar que começa com a letra P}

PROBLEMA 2) Dados os conjuntos A= {0,1,2,3}, B = {1,2,3} e C= {2,3,4,5}, determine: a) A – B

b) (A – C) (B – C) c) C – Ø

d) Ø – A e) C A (B C)

PROBLEMA 3) Usando os símbolos , indique a relação entre os conjuntos numéricos a seguir: a) N N *

b) Q R c) Z– _R d) N Z –

PROBLEMA 4) Observe os números: –4;0;0,888...; ; 4,86; Dentre esses números determine quais são: a) Números naturais

b) Números inteiros c) Números racionais d) Números irracionais e) Números reais

PROBLEMA 5) Identifique os números abaixo como racionais ou irracionais: a) √4 b) – 1 c) 2√3 d) 1/2 e) √4+√2 f) √(9 . 4) g) (√2)/2

PROBLEMA 6) Determine se a relação R sobre o conjunto A dado é de equivalência. a) A = {a; b; c; d} e R = {(a; a);(b; a);(b; b);(c; c);(d; d);(d; c)}

b) A = {1; 2; 3; 4} e R = {(1; 1);(1; 2);(2; 1);(2; 2);(3; 1);(3; 3);(1; 3);(4; 1);(4; 4)}

PROBLEMA 7) Temos que R é uma relação de equivalência, e como todo inteiro podemos expressar na forma x = 5q + r onde 0  r < 5 existem cinco classes , , , , e . Determine quais são estas classes: PROBLEMA 8) Verifique se as funções são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:

c) f: R R+ definida por f(x) = x² d) f: R R definida por f(x) = x + 2 e) f:{0;1;2;3;4} N definida por f(x) = 2x

PROBLEMA 9) Analise as afirmações abaixo classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas: a) ( ) Se uma função é bijetora, então ela também é sobrejetora.

b) ( ) Toda função injetora é bijetora.

c) ( ) Uma função afim do tipo f(x) = ax + b, com a≠0, com domínio e contradomínio nos reais é bijetora.

d) ( ) Qualquer função quadrática é bijetora.

e) ( ) Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora.

f) ( ) Se o contradomínio de uma função é igual ao conjunto imagem, então a função é sobrejetora. g) ( ) Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora.

h) ( ) Se uma função é bijetora, então ela é injetora.

PROBLEMA 10) Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f( x ) = x/3 - 2, então qual opção abaixo é verdadeira? a) g(x) = 9x - 15 b) g(x) = 9x + 15 c) g(x) = 15x - 9 d) g(x) = 15x + 9 e) g(x) = 9x – 5

PROBLEMA 11) O domínio da função real f(g(x)), sabendo-se que f(x) = x1/2 _{e g(x) = (x}2 _{+ x)(x + 2)}-1_{, é:}

a) D = {x ∊ R / x1/2 _{≠ -2} b) D = {x ∊ R/ x ≥ 0 e x ≠ -2} c) D = {x ∊ R / -2 < x ≤ -1 ou x ≥ 0}}

d) D = {x ∊ R / -2 ≤ x ≤ -1 ou x ≥ 0 } e) D = {x ∊ R / -2 < x < -1 ou x ≥ 0}

PROBLEMA 12) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 _{- 1. Então as raízes da equação f(g(x)) = 0}

são:

a) inteiras b) negativas c) racionais d) inversas e) opostas

PROBLEMA 13) Sejam f(x) = x2 _{+ 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais.}

Definimos a função composta de f e g como sendo gf(x) = g(f(x)). Então gf(y - 1) é igual a: a) y2 _{- 2y + 1 b) (y - 1)}2 _{+ 1 c) y}2 _{+ 2y - 2 d) y}2 _{- 2y + 3 e) y}2 _{– 1}

PROBLEMA 14) Identifique se as funções abaixo são contínuas nos intervalos mencionados e justifique sua resposta.

a) f(x) = 9x - 15 em (0,1) b) g(x) = em [0,1] c) em (–3,3)

Recapitulando a unidade

Parabéns! Você concluiu a unidade I e, se foi disciplinado e realmente "suou" estudando 4 a 8 h cada semana, deve ter relembrado (ou aprendido) muitas coisas da parte básica da "Teoria dos Conjuntos" que lhe serão indispensáveis ou muito úteis em todo o resto do curso e sua vida profissional: axiomas e definições sobre conjuntos e relações entre conjuntos; operações com conjuntos; relações; funções;

ordenação; conjuntos dos números naturais, e dos inteiros, e dos racionais, e dos reais; conjuntos contáveis e incontáveis. Para você treinar ainda melhor, recomendamos a Lista de Exercícios sobre Teoria dos

Conjuntos, Prof. Loureiro, http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE5.pdf, com soluções em http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE5_Solucao.pdf. E sobre Funções,

http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE6.pdf, com soluções em

http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE6_Solucao.pdf. E sobre Relações, http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE8.pdf, com soluções em

http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE8_Solucao.pdf.

Na próxima unidade, a II, você será introduzido à Lógica Matemática, a investigação formal da validade de argumentações dedutivas, que são conjuntos de enunciados dos quais um é a conclusão e os demais premissas. É um assunto fascinante e profundo, muito importante para sua profissão. Você vai gostar, mesmo que só dispomos de tempo de estudo e espaço no livro para uma introdução.

UNIDADE II

2. Introdução à LÓGICA MATEMÁTICA

Lógica é o estudo dos mecanismos de raciocínio (os que são válidos, e os que são falaciosos). Lógica Matemática é o estudo das inferências válidas dentro de uma linguagem formal (em oposição a linguagem informal). Uma linguagem formal é um conjunto de símbolos e um conjunto de regras para combiná-los. Nosso objetivo, nesta unidade, é que, ao final dela, você domine as mais básicas noções e propriedades da parte mais fácil e básica da Lógica Matemática, que é a Lógica Proposicional, podendo verificar se suas fórmulas são sintaticamente bem formadas, sabendo corretamente derivar fórmulas a partir de outras, decidir se fórmulas são semanticamente verdadeiras ou falsas, se são satisfatíveis ou não, se são tautologias ou não, se inferências são válidas ou não, etc. Só assim você será capaz de, ainda nesta atual disciplina, vencer duas futuras unidades (III e IV), sobre métodos de prova de teoremas; e, no futuro, será capaz de acompanhar a disciplina Agentes Inteligentes e, talvez, outras disciplinas complementares optativas. Lembre: Estamos torcendo por você. O fórum de alunos, os tutores, e eu (o professor) queremos e vamos ajudá-lo (nessa ordem), mas você tem que ser determinado e disciplinado, cada semana dedicando 4 a 8 horas para estudar este livro, entender e reter os exemplos, resolver sozinho pelo menos 1/3 dos

exercícios propostos, sumariar em sua mente os principais pontos desta unidade. Conteúdo desta unidade:

2.1. Motivação. Lógica. Porque só Veremos a Lógica Proposicional 2.2. A Linguagem £ da Lógica Proposicional

2.3. Regras de Inferência. Sistemas Formais. Sistema Natural de Inferência

2.4. Sanidade, Completude, Consistência. Os Problemas da Satisfatibilidade e da Tautologia. Modelo e Teoria

Se você quiser ver o assunto mais explicada e profundamente, não precisará de mais que os livros textos da ementa da disciplina. Outro bom livro é Introdução à Lógica para a Ciência da Computação (Abe, Scalzitti, Silva Filho).

Mas, para escrever esta unidade, além deles também usamos (mais como esqueleto mestre e plano geral e ordem de apresentação) partes do artigo A First Look at

Propositional Logic, por Andreas Klappenecker, http://faculty.cs.tamu.edu/klappi/cpsc289-f08/propositional_logic.pdf. Alguns exemplos e problemas devem-se aos livros-texto, outros à Professora Joseluce de Farias Cunha, em

http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?metodo=apresentar&id=K4776902 Y4; outros à Prof. Virgínia Maria Rodrigues, em

http://www.pucrs.br/famat/demat/facin/estrualg.htm; outros, à Prof. Maria Helena Santos Marques http://www.estig.ipbeja.pt/~mhsm/mat_dis_informacoes.htm; outros, ao aluno http://www.danielclemente.com/logica/dn.en.html; e outras fontes que serão indicadas.

2.1. Motivação. Lógica. Porque só Veremos a Lógica

Proposicional

• Lógica é o estudo dos mecanismos de raciocínio (os que são válidos, e os que são falaciosos).

• Lógica Matemática é o estudo das inferências válidas dentro de uma linguagem formal (em oposição a linguagem informal), onde uma linguagem formal é um conjunto de símbolos e um conjunto de regras para combiná-los. A Lógica Matemática pode ser dividida em lógicas clássicas e não clássicas.

• Lógicas Matemáticas Clássicas são aquelas que compartilham das seguintes características básicas: - Lei do terceiro excluído (cada proposição é verdadeira ou é falsa, não havendo nenhuma outra possibilidade entre ou além dessas duas) e eliminação da dupla negação (uma negação de uma negação equivale a uma afirmação);

- Lei da não contradição (declarações contraditórias não podem ambas ser verdadeiras no mesmo sentido e ao mesmo tempo), e o princípio da explosão (se aceitássemos uma contradição como uma verdade, tudo poderia ser deduzido);

- Monotonicidade de vinculação (uma proposição que teve um valor Verdade ou Falso a ela atribuído sempre o continuará a ter, e podemos livremente adicionar outras proposições como suposições suas companheiras, desde que não a contrariem) e idempotência de vinculação (de muitas maneiras deduzir um mesmo valor Verdade ou Falso para uma declaração não tem nenhum valor a mais que deduzi-lo uma só vez);

- Comutatividade da conjunção (a proposição “A e B” é o mesmo que a proposição “B e A”); - Dualidade de De Morgan: cada conectivo lógico é dual de outro (detalhes mais adiante).

Há muitas razões para você estudar Lógica Matemática (clássica), pois ela é a indispensável base para todas as provas de teoremas da Matemática, para você provar que um programa é correto, para você conceber e projetar circuitos lógicos, e muitas e importantes outras coisas. O estudo da Lógica Matemática é tão importante e fascinante que poderia ser uma disciplina em si. Seja como for, no curso de Licenciatura em Computação ela já é cerca de um quarto de uma das disciplinas complementares optativas do curso, a disciplina Agentes Inteligentes. Pela nossa exiguidade de tempo de estudo e de espaço nesta disciplina e livro, só poderemos estudar a primeira e mais fácil parte da Lógica Matemática, isto é, a Lógica

Proposicional, que não tem variáveis. Em Agentes Inteligentes você procederá para a Lógica de 1ª Ordem. Dominar a Lógica Proposicional agora será muito necessário para você fazer o resto desta disciplina, e do curso, e depois, para certos aspectos de sua vida profissional.

• Uma proposição (ou sentença) é uma declaração que é verdadeira ou é falsa. Dois exemplos: João é honesto; o sol é quadrado.

• Lógica Proposicional (ou sentencial) estuda como proposições verdadeiras podem ser combinadas por meio de conectivos para produzir outras afirmações verdadeiras. Um exemplo: Se supusermos que ambas as proposições ‘o cão é branco’ e ‘o cão é manso’ são verdadeiras, então podemos combiná-las na afirmação ‘o cão é branco e o cão é manso’ e podemos inferir que ela é verdadeira. No entanto, se constatarmos que a segunda afirmativa é falsa, então podemos concluir que a afirmativa combinada também é falsa. Lógica Proposicional nos permite formalizar tais declarações e raciocínios, com a vantagem colateral de que ficarão mais concisos [e frequentemente removerão a ambiguidade da linguagem natural e as fraquezas do

raciocínio natural]: Podemos chamar de A a primeira proposição (‘o cão é branco’) e de B a segunda (‘o cão é manso’), então a declaração combinada “A e B” se expressa na Lógica Proposicional na forma AB, onde 

é um conectivo que formaliza a palavra 'e'.

2.2. A Linguagem £ da Lógica Proposicional

A Lógica Proposicional tem uma linguagem artificial que chamaremos de £ (“£” é uma letra do alfabeto do latim antigo, usada como símbolo da unidade monetária romana, a libra. Os exigentes pronunciam “£” como “libra”, os não exigentes como nossa letra l “éle”)_{. Como toda}

linguagem, £ tem um sintaxe e uma semântica. A sintaxe de uma linguagem preocupa-se com sua forma: o vocabulário inicial e as regras de formação de “expressões" bem- formadas a partir dele. A semântica está preocupada com o significado destas expressões bem- formadas.

2.2.1. A Sintaxe de £

• O vocabulário (inicial) de £ é constituído dos seguintes símbolos: letras proposicionais (ou símbolos de

proposições) (em número infinito mas contável):

a, a0, a1, ..., b, b0, b1, ... , z, z0, z1 ...

conectivos

lógicos: ¬ // ler “não”), ∧ // ler “e”) ,

⊕ // ler “ou- excludente”), ∨ // ler “ou”),

→ // ler “implica”, ou “se”, ou “se- então”, ou “implicação material”, ou “condicional”),

↔ // ler “se- e- somente- se”, ou “equivale- a,” ou “implica- nos- dois- sentidos”, ou “equivalência material”, ou “bicondicional”)

Há quem acrescente outros conectivos: nor (⊽) é a negação do ; nand (⊼) é a negação do ; ab (“a é implicado por b”) é definido como equivalente a b→a; etc. Mas

podemos viver sem eles, por isso vamos deixá-los de fora. Também poderíamos viver sem o ⊕, o → e o ↔, mas os conservamos pela sua conveniência.

sinais de

pontuação: ( // ler “abre- parênteses” ) // ler “fecha-parênteses”

• Uma fórmula de £ é toda sequência finita contendo símbolos somente do seu vocabulário. EXEMPLO 1: São fórmulas:

)p1

∧ p20↔))p10000000

(p1p2∨¬p67)

EXEMPLO 2: não são fórmulas:

#1 // porque não previmos #1 no vocabulário

∼p2 // porque ∼ não pertence ao vocabulário

de £

q1&q2 // porque & não pertence ao

vocabulário de £

• Uma fórmula bem formada (fbf) de £ é toda fórmula que satisfaz as seguintes condições: V,F são fbf’s

Toda letra proposicional é uma fórmula que também é uma fbf, isto é, p1, p2, p3, p4,... são fbf’s. Se  for uma fbf, então ¬ será uma fbf.

//  é uma metavariável, isto é, não pertence à linguagem £, é apenas um nome genérico, a ser instanciado para ser qualquer nome realmente pertencente a £.

Se  e β forem fbf’s, então ∧ β será uma fbf. Se  e β forem fbf’s, então ⊕β será uma fbf. Se  e β forem fbf’s, então ∨β será uma fbf. Se  e β forem fbf’s, então (→β) será uma fbf. Se  e β forem fbf’s, então ↔β será uma fbf. Se  for uma fbf, então () será uma fbf. Nada mais é fbf.

Ambiguidades (quando as regras acima lhe deixarem em dúvida sobre que operação fazer primeiro, porque mais de uma delas pode ser aplicada) são resolvidas através da ordem de precedência para os operadores (que, de maior para menor, é ¬ ∧ ⊕ ∨ → ↔) ou através de parênteses. Por exemplo,

¬P∨Q∧R⇒S

é equivalente a ((¬P)∨(Q∧R))⇒S // primeiro fizemos todos os ¬ de 1º nível da fbf, depois todos os ∧ , depois todos os ∨, finalmente todos os ⇒

EXEMPLO 3: São fbf’s:

p123 , (¬p1) , (p1∨p2) , (p2∨p1) , (p5→p6) , ((p1∨p2)↔(p3→p4))

EXEMPLO 4: São fórmulas não bem- formadas:

p1(8 // falta um fecha parênteses, e 8 não é uma letra proposicional

¬ p1 // o problema é o espaço em branco entre ¬ e p1

p1 p3 // o problema são os espaços em branco ao redor de 

(((¬p1)∨p1)→p3 // os abre-parênteses e fecha-parênteses não casam

(((¬p1)∨))→p3 // falta o 2º argumento do ∨

Somente quando você chegar à disciplina Teoria da Computação estudará o formalismo chamado de Forma de Backus- Naur (em inglês, BNF, abreviação de Backus Naur Form), usado para especificar a parte livre- de- contexto das linguagens de programação. Mas como ele é muito intuitivo, veja em BNF a mesma definição de fbf que foi escrita pouco acima:

<fbf> ::= <fbf> | <fbf><fbf> | <fbf>⊕<fbf> | <fbf><fbf> | <fbf><fbf> | <fbf><fbf> | (<fbf>) | <SímboloDeProposição> | V | F

<SímboloDeProposição> é qualquer outro símbolo terminal: qualquer letra minúscula,

possivelmente com subscrito que seja um inteiro sem sinal. Isto é, um elemento do conjunto S = {a, a0, a1, ..., b, b0, b1, ..., z, z0, z1,...}.

// A precedência de operadores ¬ ∧ ⊕ ∨ → ↔ será usada na escolha das regras BNF que puderem ser aplicadas a um mesmo estágio da avaliação da árvore sintática (ou de derivação ou de parsing). A associatividade, para cada conectivo binário, é escolhida ser da esquerda para a direita. Na disciplina Teoria da Computação (e na complementar optativa Introdução aos Compiladores) você verá os conceitos de árvore de derivação e entenderá melhor isto, bem como a detecção

automatizada se uma fórmula é bem formada ou não.

É preferível uma BNF que seja inambígua sem recorrer a definições extra gramática da precedência e associatividade (esquerda para direita) de operadores:

<FBF> ::= <ExprSe> | <FBF><ExprImplica>

<ExprImplica> ::= <ExprOu> | <ExprImplica><ExprOu> <ExprOu> ::= <ExprXor> | <ExprOu><ExprXor>

<ExprXor> ::= <ExprE> | <ExprXor>⊕<ExprE>

<ExprE> ::= <FormAtomica> | <ExprE><FormAtomica>

<FormAtomica> ::= V | F | < SímboloDeProposição > | <FormAtomica> | (<FBF>) < SímboloDeProposição > ::= qualquer outro símbolo terminal: qualquer letra minúscula,

possivelmente com subscrito que seja um inteiro sem sinal. Isto é, um elemento do conjunto S = {a, a0, a1, ..., b, b0, b1, ..., z, z0, z1,...}

EXEMPLO 5 (PUCRS, Virgínia Maria Rodrigues, em http://www.pucrs.br/famat/demat/facin/estrualg.htm ): Sejam as proposições: p: Gosto de viajar e q: Visitei o Chile. Escreva as sentenças verbais que estão representadas pelas proposições abaixo:

(a) pq (b) qp (c) (pq)p (d) qp

(e) (pq) (f) qp (g) pq (h) (pq)(pq) RESPOSTA:

(a) Gosto de viajar se e somente visitei o Chile. (b) Se não visitei o Chile, então não gosto de viajar.

(c) Se gosto de viajar e não visitei o Chile, então não gosto de viajar. (d) Visitei o Chile e não gosto de viajar.

(e) Não é verdade que: gosto de viajar e visitei o Chile. (f) Se visitei o Chile, então gosto de viajar.

(h) Se gosto de viajar ou não visitei o Chile; e, se não gosto de viajar, então visitei o Chile. EXEMPLO 6 (PUCRS, Prof. Virgínia Maria Rodrigues): Descreva as sentenças abaixo em termos de

proposições simples e operadores lógicos. Por exemplo, se a sentença for “Se 1>2 então qualquer coisa é possível”, faça o símbolo p valer por “1>2” e o símbolo q valer por “qualquer coisa é possível”, então a frase (a resposta) será: pq.

(a) Se elefantes podem subir em árvores, então 3 é um número irracional. (b) É proibido fumar cigarro ou charuto.

(c) Não é verdade que >0 se e somente se >1. // Pela ordem de prioridades dos conectivos, isso deve ser pensado como “(Não é verdade que >0) se e somente se >1”, não como “Não é verdade que (>0 se e somente se >1)”.

(d) Se as laranjas são amarelas, então os morangos são vermelhos.

(e) É falso que se Montreal é a capital do Canadá, então a próxima copa será realizada no Brasil. (f) Se é falso que Montreal é a capital do Canadá, então a próxima copa (2010) será realizada no Brasil. RESPOSTA:

(a) p: elefantes podem subir em árvores

q: 3 é um número irracional frase: pq (b) p: fumar cigarro

q: fumar charuto frase: (pq)

(c) p: >0

q: >1 frase: pq

(d) p: as laranjas são amarelas

q: os morangos são vermelhos frase: pq (e) p: Montreal é a capital do Canadá

q: a próxima copa será realizada no Brasil frase: (pq) (f) p: Montreal é a capital do Canadá

q: a próxima copa será realizada no Brasil frase: pq

2.2.2. A Semântica de £

• A semântica da Lógica Proposicional depende de uma interpretação (ou valoração) I, que é uma função que atribui a cada letra proposicional um dos dois valores de verdade: o Verdadeiro (V) ou o Falso (F).

• Os conectivos (seus nomes e símbolos) básicos da Lógica Proposicional são dados na 1ª linha da seguinte tabela: não (), e (), xor (⊕), ou (), implica (), ssse (). Depois explicaremos seus significados. Por enquanto, procure memorizar seus símbolos e nomes.

Conectivo: não

 e  xor ⊕ ou  implica  ssse 

a b b ab a⊕b ab ab ab

F F V F F F V V

F V F F V V V F

V F V F V V F F

V V F V F V V V

• Letras proposicionais são chamadas de fórmulas atômicas (atômicas no sentido de indecomponíveis em partes menores). As fbf’s constituídas pela combinação de fórmulas atômicas com elementos de {¬, ∧, ⊕, ∨, , →, ↔, (, )} são chamadas de fórmulas moleculares (molecular no sentido de decomponível em partes menores). Por exemplo, (¬p1∨(p2∧ (p3→p4)))↔p5 é uma fbf e fórmula molecular.

O valor semântico (isto é, o valor de verdade) de uma fórmula molecular depende do valor semântico (valor de verdade) das fórmulas atômicas e do significado semântico dos conectivos lógicos que as combinam, que está bem definido na tabela acima, mas você tem que tomar alguns 5 minutos para entender e memorizar como cada conectivo funciona. Faça isto AGORA. Pronto? Não tente enganar e roubar a si mesmo, pulando esta etapa, senão você se prejudicará muitíssimo, vai ter dificuldades em toda esta unidade e durante toda