Se al-Khwarizmi nasceu em Khwarizm, de fato ele não era árabe, e provavelmente sua língua materna não era árabe, já que em Khwarizm, segundo Puig (2008a), havia uma língua própria na época. No entanto, seus trabalhos acadêmicos desenvolvidos em Bagdá foram todos escritos em árabe, a língua científica da época. As principais contribuições de AI-Khwarizmi para as ciências residem em quatro áreas de conhecimento, a saber: aritmética, álgebra, geografia e astronomia. Em aritmética e astronomia, ele introduziu métodos hindus ao mundo islâmico, enquanto sua exposição de álgebra foi de primordial importância no desenvolvimento dessa ciência no islã medieval. Finalmente, suas conquistas em geografia ganham um lugar entre os antigos mestres daquela disciplina.
Al-Khwarizmi desempenhou um papel importante na expansão do conhecimento do mundo islâmico medieval. Ele recebeu a responsabilidade de chefiar o Departamento de Pesquisa de Astronomia na Casa da Sabedoria. Segundo Sidek e Bakar (2012), ele passou muito tempo em suas funções na Casa da Sabedoria como pesquisador e tradutor de livros em várias línguas, de vários países para o árabe. Além disso, ele foi chefe de uma delegação no Afeganistão para fins de pesquisa. Ele conheceu e conviveu várias comunidades europeias, enquanto desempenhava suas funções relacionadas à pesquisa.
Como uma figura de renome, al-Khawarizmi contribuiu para o avanço da ciência e da tecnologia na civilização islâmica, particularmente relacionada à redistribuição da antiga herança científica e à produção de trabalhos originais em suas áreas de especialização. Sidek e Bakar (2012, p. 325, tradução nossa), atenta que
[...] sua contribuição, quando examinada, mostra que ele era uma figura importante no processo de indigenização da ciência na civilização islâmica. Entre os elementos da indigenização da ciência estavam o redigir do antigo tesouro científico e a produção de obras originais, que era o ápice desse processo.
A palavra indigenização supracitada corresponde ao fenômeno de adaptação e descobertas do povo islâmico, dos conhecimentos já existentes naquela época, desenvolvidos pelas civilizações antigas como as civilizações do Egito, Mesopotâmia, Grécia, China e Índia, por exemplo.
Quanto à matemática, al-Khwarizmi ofereceu contribuições ao sistema numérico, à aritmética, à álgebra, à trigonometria e à geometria. Contribuições as quais falaremos a seguir.
Kitab al-hisab al-cadad al-hindi, o Livro de cálculo com o Números hindus, é o
primeiro livro em que al-Khwarizmi explica o sistema de numeração hindu e o cálculo aritmético. Esse livro foi escrito depois de 813 e não há nenhum manuscrito árabe deste livro preservado. Segundo Oaks (2012), nesse livro al-Khwarizmi explica algoritmos para realizar operações aritméticas usando um painel de poeira, também conhecido como takht. Esse painel era uma superfície plana coberta com uma areia fina ou poeira na qual as figuras são desenhadas com uma caneta.
Além disso, conforme Berggren (2003, p. 7, tradução nossa) aponta, essa obra teve “um efeito importante sobre a matemática islâmica, pois forneceu aos matemáticos islâmicos uma ferramenta que estava em uso constante - embora não universal - desde o início do século IX em diante”.
Devido à grande divulgação desse trabalho aritmético, atribuíram a esse autor árabe a paternidade da numeração utilizada. É por esse e outros motivos que, em alguns livros, encontramos este sistema de numeração sendo chamado de indo- arábicos ou o sistema de numeração de al-Khwarizmi.
Kitāb al-jamc wa't-tafrīq, o Livro da reunião e separação, está perdido. Sabe-se
apenas que se trata de um livro de aritmética. Segundo Djebbar (2005) e Rashed (2007) esse livro deve conter um cálculo aritmético antes da introdução do cálculo hindu.
A aritmética foi apenas uma área na qual al-Khwarizmi fez contribuições importantes para a matemática islâmica. Sua obra mais famosa é no campo da álgebra e se chama Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala, ou seja, o
Livro de Restauração e Balanceamento. Essa obra data entre os anos de 813 e 830
e muitos autores a chamam de, simplesmente, Álgebra de al-Khwarizmi ou Tratado
algébrico de al-Khwarizmi.
Escrito durante o reinado de Al-Mamum, al-Khwarizmi dedicou a escrita de seu tratado algébrico a esse Califa Abássida. Segundo Berggren (2003, p. 7, tradução nossa), essa obra
[...] tornou-se o ponto de partida do tema da álgebra para matemáticos islâmicos, e também deu seu título para servir como o nome ocidental para o assunto, pois a álgebra vem do árabe al-jabr. Neste livro, uma variedade de influências é evidente, incluindo métodos babilônicos e hindus que levam a soluções do que poderíamos chamar de equações quadráticas e preocupações gregas com a classificação de problemas em diferentes tipos e provas geométricas da validade dos métodos envolvidos.
Na figura 3, temos a fotografia de uma das páginas do Tratado algébrico de Al-
Khwarizmi. Algo que pudemos detectar ao longo da leitura desse tratado é que al-
Khwarizmi utilizava a cor vermelha em seu texto sempre que objetivava chamar a atenção de seu leitor.
Figura 3 - Página do Livro de Restauração e Balanceamento
Fonte: Al-Khwarizmi (830)
Al-Khwarizmi teve seu ápice intelectual no início do século IX e talvez um dos avanços mais significativos feitos pela matemática islâmica tenha começado nessa época com a escrita da Álgebra de al-Khwarizmi. É importante entender o quão significativo é essa nova ideia. O'Connor e Robertson (1999a) apontam que al- Khwarizmi, com essa nova ideia, o conhecimento sobre álgebra, promoveu um afastamento revolucionário do conceito grego de matemática que era essencialmente geométrico.
Esse campo de estudo da matemática era, conforme O'Connor e Robertson (1999a), uma teoria unificadora que permitia que números racionais, números irracionais, magnitudes geométricas, entre outros, fossem tratadas como objetos algébricos. Esse fato deu à matemática um caminho de desenvolvimento totalmente novo, muito mais amplo em conceito do que existia antes, e forneceu um veículo para o desenvolvimento futuro do assunto. Outro aspecto importante da introdução de ideias algébricas foi que permitiu que a matemática fosse aplicada a si mesma de uma maneira que não havia acontecido antes.
O Ocidente merece crédito pelas extraordinárias conquistas e avanços que ocorreram na Europa e na América, mas, de acordo com Kliksberg (2010), a concepção ocidental imaculada é puramente fantasia da imaginação. De fato, al- Khwarizmi é um dos contribuintes, não ocidentais, cujas obras influenciaram o Renascimento europeu e, mais tarde, o Iluminismo e a Revolução Industrial (KLIKSBERG, 2010).
No Tratado algébrico de al-Khwarizmi, também existem contribuições à geometria, visto que há um capítulo destinado a esse ramo da matemática. Nesse capítulo, esse autor fala sobre cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas, teorema de Pitágoras, entre outros.
Considerando o que dizem Sidek e Bakar (2012, p. 327),
O trabalho de al-Khawarizmi sobre a álgebra não pode ser considerado como uma pequena descoberta, pois sem ela a teoria dos conjuntos, a geometria avançada, o cálculo e assim por diante não seriam facilmente descobertos ou desenvolvidos. Na álgebra, o pensamento matemático de al-Khawarizmi mudou da busca da ordem natural para a harmonia e a justiça, sem negligenciar a ordem natural e da matemática ideal à matemática real. Significa uma mudança de um símbolo que está cada vez mais afastado de sua representação para a realidade, o que significa determinação (herança islâmica), zakat (imposto religioso) e assim por diante.
Conforme Sidek e Bakar (2012) propõem, al-Khawarizmi foi a primeira pessoa a introduzir a teoria do jib (seno), tajjib (cosseno), dhill (cotangente) e tadhill (tangente). Ele também fez, conforme Zain (1985), as tabelas para essas funções trigonométricas. Durante seu governo, o califa al-Mamun construiu um observatório para observar as estrelas em Bagdá e outra na planície de Tadmor. Devido ao seu patrocínio e apoio, al-Khwarizmi realizou diversos tipos de observações astronômicas. Sidek e Bakar (2012) expõem que al-Khwarizmi foi um dos primeiros estudiosos a calcular tabelas
astronômicas e de trigonometria. Dentre esses trabalhos, estavam centenas de tabelas para valores de seno e cosseno.
Além dos conhecimentos em aritmética, álgebra e geometria, al-Khwarizmi deu grandes contribuições à geografia. Esse estudioso fazia parte da equipe de astrônomos empregados por al-Mamun, que tinham como objetivo medir o comprimento de um grau ao longo de um meridiano.
Esse estudioso escreveu um importante trabalho sobre cartografia que deu as latitudes e longitudes de 2402 localidades como base para seu mapa-múndi. O livro, conforme O'Connor e Robertson (2002), foi baseado na obra de Ptolomeu Geography (Geografia), e lista latitudes e longitudes, montanhas, mares, ilhas, cidades, regiões geográficas e rios.
No governo de al-Mamun, al-Khwarizmi participou também de um projeto de construção de um mapa do mundo conhecido. Podemos ver esse mapa na figura 6.
Figura 4 - Mapa atribuído aos geógrafos do califa al-Mamun
Esse projeto exigiu desse estudioso e de sua equipe de estudo, a solução de três problemas que combinavam teoria e prática. Conforme Berggren (2003, p. 9, tradução nossa),
O primeiro problema era principalmente teórico e exigia o domínio dos métodos, tais como aqueles explicados por Ptolomeu em meados do século II d.C., para mapear uma porção da superfície de uma esfera (a terra) em um plano. O segundo foi usar observações e cálculos astronômicos para encontrar a latitude e a longitude de lugares importantes na superfície da Terra. As dificuldades envolvidas aqui são teóricas e práticas. O terceiro problema era suplementar essas observações por meio de relatos de viajantes (sempre mais numerosos e geralmente menos confiáveis do que astrônomos) em tempos de viagem de um lugar para outro. Entre as realizações de al-Khwarizmi em sua obra geográfica The Image of the Earth estavam sua correção do comprimento exagerado de Ptolomeu do Mar Mediterrâneo e sua descrição muito melhor da geografia da Ásia e da África. Com tal mapa, o califa poderia pesquisar rapidamente a extensão e a forma do império que ele controlava.
Embora essa obra tenha incluído mapas que são mais precisos do que os de Ptolomeu, para a Europa, al-Khwarizmi parece, no geral, ter usado os dados de Ptolomeu, o que anula, assim, às contribuições desse autor árabe.
Além dessas contribuições, al-Khwarizmi foi o décimo primeiro estudioso a falar sobre o cálculo do 𝜋, em 800. Em sua álgebra, esse autor fala que o homem prático usa 22 7⁄ para 𝜋, o geômetra usa √10 para 𝜋, enquanto o astrônomo usa 3,1416.
De modo geral, Al-Khawarizmi esteve muito envolvido em vários campos do conhecimento que trouxeram o desenvolvimento intelectual durante seu tempo. Através de sua criatividade, ele produziu muitos trabalhos. De acordo com Sidek e Bakar (2012), existem, então, 11 trabalhos conhecidos, a saber: Kitab al-Zij al-Sind;
Kitab al-Rukhamah; Kitab al-'Amal bi a-Asturlab; al-Mujtasar fi hisab al-jabar wa-l- muqabala; Kitab al-Jam 'wa Ta'aqq; Kitab al-Jabar al-Muqabalah; Kitab Surat al-Ard; Kitab Rasm al-Rub' al-Mamur (min al-Ard); Kitab Taqwim al-Buldan; Kitab Tarikh bi al- falsafah; e Kitab 'Amal al-Asturlab.
Foi com essas e outras contribuições que, com sua morte, o legado de al- Khwarizmi à sociedade islâmica incluiu uma maneira de representar números que levaram a métodos fáceis de computação, mesmo com frações, uma ciência da álgebra que poderia ajudar a resolver problemas de herança e um mapa que mostrasse distribuição de cidades, mares e ilhas na superfície da Terra. Com isso, podemos dizer que al-Khwarizmi foi um dos principais eminentes estudiosos em várias
áreas do conhecimento, particularmente em matemática, astronomia e geografia, a contribuir para o crescimento e desenvolvimento da ciência islâmica medieval.
Assim, nesse capítulo, fizemos o alicerce para o que virá nos próximos capítulos, uma vez que precisamos conhecer o mundo islâmico e os conhecimentos desenvolvidos durante o islã medieval para podermos compreender melhor o nosso objeto de estudo. Desse modo, no capítulo seguinte, falaremos sobre a Álgebra de al- Khwarizmi e suas equações.
3 O LIVRO DA RESTAURAÇÃO E DO BALANCEAMENTO
O período de 750 a 1400 foi um momento importante para o desenvolvimento da matemática. Unidos por uma nova religião, o Islã, estudiosos islâmicos se apoderaram de obras clássicas do ocidente e de obras hindus do oriente, escreveram extensos comentários sobre tais e as desenvolveram. Vários termos matemáticos datam desta época. A palavra algoritmo é um exemplo disso, pois ela deriva do nome do estudioso islâmico al-Khwarizmi.
Para darmos continuidade ao nosso estudo, faremos, nesse capítulo, uma revisão bibliográfica a respeito da história da matemática e da álgebra desenvolvida no mundo islâmico. Para isso, utilizaremos como base os autores Djebbar (2017), Rogers (2008) e Oaks (2012). Em seguida, falaremos do livro Álgebra de al-
Khwarizmi, dando ênfase ao método algébrico e geométrico de resolução de
equações polinomiais do segundo grau. Para isso, utilizaremos, principalmente, os autores Castillo (2009) e Youschkevitch (1979).
3.1 A ÁLGEBRA DESENVOLVIDA NO MUNDO ISLÂMICO
Ao periodizar a fase da matemática islâmica, Djebbar (2017) a divide em quatro sequências, que são parcialmente justapostas. A primeira é denominada como la
phase des savoir-faire locaux (a fase do saber-fazer local), a segunda la phase des traductions (a fase das traduções), a terceira la phase de reactivation des savoirs (a
fase de reativação dos conhecimentos) e por fim, a fase la phase des transferts (a fase de transferência).
A primeira fase consiste nos saberes existentes antes mesmo do surgimento da religião monoteísta, o islã. Saberes esses que se resumem em práticas locais cuja existência é indiscutível diante de documento estudados, mas cujas origens ainda são incertas (DJEBBAR, 2017).
A segunda fase consiste no momento reservado às traduções, ou seja, foi a fase da apropriação de conhecimentos antigos, que teoricamente iniciou-se no século VIII e teve término no século IX. Durante esse período, tornou-se possível colocar à disposição dos primeiros estudiosos dos países islâmicos uma massa considerável de textos matemáticos produzidos em contextos culturais não árabes, em especial, indiano e grego. De acordo com Djebbar (2017), o instrumento dessa transferência foi
o árabe, cuja difusão até o advento do islã limitou-se à Arábia e sua extensão no Crescente Fértil. Após a constituição da primeira comunidade de matemáticos falando árabe, as traduções do final do século VIII foram julgadas insatisfatórias e novas traduções foram ordenadas.
A terceira fase consiste na reativação dos saberes, seguida de um longo processo de inovação. Essa fase aconteceu, aproximadamente, entre os séculos IX e XIV. Djebbar (2017) aponta que desde o início do século IX, os saberes islâmicos entraram em uma fase de enriquecimento e criatividade em diferentes níveis. Essa dinâmica continuou até o início do século XV. O autor expõe, ainda, que durante esse longo período, foi constituída e consolidada uma comunidade matemática cujos membros pertenciam aos diferentes grupos étnicos, confissões e culturas do império muçulmano e, por vezes, algumas contribuições externas, em particular da China e da Índia. Embora possuíssem especificidades divergentes, os matemáticos islâmicos faziam matemática da mesma forma, recorrendo às ferramentas da demonstração e/ou cálculos e resoluções de problemas (DJEBBAR, 2017).
Finalmente, a quarta fase teve duração entre os séculos XII e XV e consiste nas transferências, para outras áreas culturais, de uma parte do corpus matemático herdado de tradições anteriores e de novas contribuições produzidas. A matemática escrita em árabe, segundo Djebbar (2017), começou a se espalhar em outros espaços culturais no início do século X, mas foi essencialmente nos séculos XII-XIII que essa disseminação se intensificou e um processo de aclimatação nasceu nos dois extremos do império muçulmano na China e na Europa.
Mas, o que exatamente consistia em Matemática Islâmica? A matemática islâmica refere-se, de acordo com Rogers (2008), às teorias e práticas matemáticas que floresceram nas partes do mundo onde o islã era a influência religiosa e cultural dominante. Juntamente com as transmissões da matemática grega, os matemáticos muçulmanos do Império Medieval islâmico expandiram os conceitos gregos de geometria, astronomia, medicina e aritmética. Estudiosos muçulmanos, também consolidaram a matemática indiana e a grega, para formar o início do conhecimento algébrico moderno (ROGERS, 2008).
É importante notar que a origem da álgebra se estende aos antigos egípcios e babilônios, que tinham textos lidando com problemas aritméticos, algébricos e geométricos já em 2000 a.C. Conforme aponta Rogers (2008, p. 9, tradução nossa),
[...] na aritmética de Diofante, várias equações já haviam aparecido. No entanto, essas equações foram resolvidas como partes de soluções para outros problemas e não foram sistematicamente tratadas. Al-Khwarizmi foi o primeiro a estudar sistematicamente a álgebra. Embora as equações de Diofante existissem, al-Khwarizmi provavelmente não estava ciente delas na época em que escreveu seu tratado.
Até o ponto que nossos estudos revelaram, al-Khwarizmi não sabia grego, e não havia tradução árabe da Aritmética de Diofante na época. Então, al-Khwarizmi foi provavelmente mais influenciado por fontes hindus ou locais siríaco-persa-hebraico. No entanto, nenhuma dessas fontes progrediu até al-Khwarizmi.
Depois do Tratado algébrico de al-Khwarizmi, o desenvolvimento da álgebra não chegou a um impasse. Vários matemáticos muçulmanos são conhecidos por seu trabalho sobre desenvolvimentos algébricos. Os mais conhecidos são Abu Kamil (850 – 930), al-Karaji (953 – 1029), al-Hasan, também conhecido como Alhazen (965 – 1040) e Al-Samawal (1130 – 1180).
A morte de al-Khwarizmi coincide, aproximadamente, com o nascimento no Egito de Abu Kamil Shuja ibn Aslam ibne Muhammad ibn Shuja, também conhecido como al-Hasib al-Misri, o Calculista Egípcio. Segundo O'Connor e Robertson (1999b), Abu Kamil, além de ser um sucessor, era um profundo admirador do legado deixado por al-Khwarizmi. Em seu tratado de álgebra, esse estudioso islâmico resolve geometricamente, assim como al-Khwarizmi, as equações do segundo grau, porém apoia-se mais diretamente em Euclides. O'Connor e Robertson (1999b, p.1, tradução nossa) assinalam, ainda, que o trabalho de Abu Kamil foi a base dos livros de Fibonacci e, portanto, Abu Kamil não é importante, apenas, “no desenvolvimento da álgebra árabe, mas, através de Fibonacci, ele também é de fundamental importância na introdução da álgebra na Europa”.
Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, ou simplesmente, al-Karaji, diferentemente de al-Khwarizmi e Abu Kamil, tendia a aplicar a aritmética à álgebra. Desse modo, esse estudioso escreveu um compêndio da ciência e da matemática, que, conforme Castillo (2009), divide-se em setenta capítulos, dos quais os dezessetes últimos estão dedicados à álgebra. A importância de al-Karaji, como sugerem O'Connor e Robertson (1999a), no desenvolvimento da matemática islâmica é vista de maneira divergente por diversos autores. A razão para isso depende do significado que se atribui ao estilo de sua matemática. Alguns consideram que sua obra é apenas uma reformulação das ideias de matemáticos anteriores, enquanto
outros a enxergam como a primeira pessoa a liberar completamente o conhecimento algébrico de operações geométricas e substituí-las pelo tipo aritmético de operações que estão no centro da álgebra moderna (O'CONNOR; ROBERTSON, 1999a).
No entanto, vale ressaltar que não foi apenas à álgebra que al-Karaji ofereceu contribuições, visto que esse estudioso escreveu um trabalho geométrico que trazem a definição de pontos, linhas, superfícies, sólidos e ângulos. Além disso, ele deixou regras para a medição de figuras planas e sólidas e ensinou métodos de pesagem de diferentes substâncias (O'CONNOR; ROBERTSON, 1999a).
Já Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, também conhecido como Alhazen, viveu aproximadamente entre os séculos X e XI e foi, como sustenta Castillo (2009), um dos primeiros matemáticos árabes que plantou e resolveu problemas que conduziam a equações de terceiro grau. No entanto, foi o persa Omar Caiam (1048 – 1131) quem inventou/descobriu todas as possíveis equações cúbicas e ensinou um procedimento para resolver cada uma delas.
Por fim, Ibn Yahya al-Maghribi Al-Samawal, que viveu, aproximadamente, entre 1130 e 1180, estudou medicina e matemática. Com o objetivo de levar seus estudos matemáticos adiante, al-Samawal teve que estudar por conta própria. Seu mais famoso tratado, conforme O'Connor e Robertson (1999c), é conhecido como al-Bahir
fi'l-jabr, ou O brilhante na álgebra e foi escrito quando esse estudioso possuía, apenas,
dezenove anos. Essa obra algébrica possui grande importância, tanto pelas ideias originais que apresenta, quanto pelas informações que registra sobre as obras de al- Karaji, que agora encontram-se perdidas. Além disso, esse tratado fornece regras