Nessa seção, iremos aplicar o conceito de EFT no capítulo 3, CTP na seção 4.3.1
e Ostrogradski no apêndice B na formulação da Lagrangeana de IS.
Através de argumentos da EFT a sua expansão só está completa quando a teoria do vácuo é conhecida e expandida (BURCH; TORRIERI, 2015), a falta de causalidade geralmente implica na ausência de um “vácuo” (quântico ou térmico), (ENDLICH et al., 2011; BURCH; TORRIERI, 2015). A forma, amplamente, mais aceita para resolver essa questão é promover Π𝜇𝜈 a graus de liberdade de segunda ordem independentes,
(LOGANAYAGAM, 2008), oriundos de um tensor dissipativo que não é expressado por nenhuma corrente de conservação de Noether. Essa questão será abordada no momento que discutirmos a Lagrangeana de IS na EFT e estudar as perturbações sobre um regime de equilíbrio quase estacionário. As novas variáveis físicas 𝜋𝜇𝜈 e Π devem ser invariantes
de calibre. Logo, o nosso formalismo é independente das coordenadas de fundo 𝑥𝐼, ou seja,
a interpretação física não será inequívoca.
Como o fluxo de correntes dissipativas 𝜋𝜇𝜈 é elegível a 5 graus de liberdade inde- pendentes, um bom candidato na EFT a satisfazer essas mesmas simetrias é 𝐴𝐼𝐽
𝜇𝜈, pois
𝑢𝜇𝐴𝐼𝐽
𝜇𝜈 = 0 pela propriedade da Eq. 3.17 e 𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 = 𝐴𝐼𝐽𝜈𝜇. Note que qualquer tensor de se-
gunda ordem pode ser decomposto em uma soma de Tensor + Vetor + Escalar (TeVeS -Tensor-Vector-Scalar ) (SURHONE; TENNOE; HENSSONOW, ), e ao aplicar em 𝐴𝐼𝐽
𝜇𝜈, 𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 = 1 3𝛿𝜇𝜈𝐴 𝐼𝐽 𝜆 𝜆 ⏟ ⏞ 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 + (𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 − 𝜕𝜈𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽) ⏟ ⏞ 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 + 1 2(𝜕𝜇𝜑 𝐼𝜕 𝜈𝜑𝐽 + 𝜕𝜈𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽− 2 3𝛿𝜇𝜈𝜕𝜆𝜑 𝐼𝜕𝜆𝜑𝐽) ⏟ ⏞ 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 , (6.3)
desse modo obtemos uma decomposição irredutível que mantém seus subespaços intactos e o primeiro termo da equação acima com dimensão 1 é um escalar formado pelo traço do tensor 𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈, o segundo termo com dimensão 3 é um vetor antissimétrico e o último termo é um tensor sem traço e simétrico com dimensão 5. Assim, a decomposição se dá em subespaços irredutíveis e a atuação de qualquer operador de rotação em algum deles se manterá no próprio subespaço, ou seja, não misturará os termos com os demais.
Capítulo 6. Israel-Stewart 69
A interpretação física a nível hidrodinâmico de cada um dos três termos decompostos na equação acima se dá: escalar (viscosidade bulk), vetor (vórtices) e o tensor (viscosidade shear). Assim ¯𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 = 12(𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 + 𝜕𝜈𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽 − 23𝛿𝐼𝐽𝛿𝐾𝐿𝜕𝜇𝜑𝐾𝜕𝜈𝜑𝐿) é o candidato em
potencial para o tensor shear 𝜋𝜇𝜈, pois é simétrico, transverso e sem traço, então 𝜋𝜇𝜈 ∼ ¯𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈
e seguindo esse mesmo raciocínio, na parte bulk, o melhor candidato é Π ∼ 13𝐴𝐼𝐽 𝜇𝜇 . Para entender a construção da viscosidade shear e bulk é importante lembrar que Π𝜇𝜈 não é derivado de nenhuma corrente de Noether e nem por 3.9, devido ao tensor
abarcar somente fontes dissipativas. Logo, não se pode afirmar 𝜋𝜇𝜈 = ¯𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 e nem Π =
1 3𝐴
𝐼𝐽 𝜇
𝜇 . Uma maneira de contornar essa questão utilizando as premissas da EFT do tipo
bottom-up é aplicar novos graus de liberdade
𝑋𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝑌𝐼𝜕𝜇𝑌𝐽. (6.4)
Uma vez que Π𝜇𝜈 é transverso, os graus de liberdade novos deverão ter o mesmo
número de elementos que 𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 e 𝐵𝐼𝐽. Caso 𝜋𝜇𝜈 e Π fossem escritos unicamente com os
graus de liberdade da Hidrodinâmicas Eulerianas (𝑢𝜇, 𝑇, 𝜇) ou da EFT (𝐾𝜇, 𝐵, 𝐵𝐼𝐽) e
fizéssemos uma correção sistemática através de uma expansão pelos números de Knudsen (DENICOL et al., 2011), estaríamos inevitavelmente atingindo as mesmas expansões de altas ordens de NS (DENICOL et al.,2012) e o primeiro termo dissipativo daria a equação
5.32, isso reforça, ainda mais, a necessidade de graus de liberdade novos com o intuito de expressar a hidrodinâmica fora do equilíbrio como proposto inicialmente por (GRAD, ) e outros trabalhos como (BAIER et al., 2008). Todas essas e futuras afirmações não referenciam a qualquer método microscópico a ser utilizado (TORRILHON, 2009).
A matriz escalar 𝑋𝐼𝐽 é relacionada a propriedade de homogeneidade e anisotropia
e apenas pode-se mencionar sobre suas simetrias e quebras de simetrias. 𝑌𝐼 é um campo
escalar novo pertinente com as condições iniciais de uma corrente de momento fora equi- líbrio e satisfaz, somente, a simetria de translação: 𝑌𝐼 → 𝑌𝐼+ 𝑏𝐼, sendo 𝑏𝐼 uma constante
pertencente ao conjunto dos reais. É fácil ver que 𝑌𝐼 não é compacto, mas por simplici-
dade, faremos menção apenas a sua notação matricial 𝑋𝐼𝐽. Expressamos o tensor shear
de IS como Π𝜇𝜈 = 𝑋𝐼𝐽𝐴¯𝐼𝐽𝜇𝜈, (6.5) e a parte bulk de IS Π = 𝑋𝐼𝐽1 3𝐴 𝐼𝐽 𝜇 𝜇 . (6.6)
Sendo 𝜑𝐼 um grau de liberdade utilizado na descrição do elemento de volume
Lagrangeana não pode depender em segunda ordem de 𝜑𝐼 ou 𝜓, por causa do Teorema
de Ostrogradski, no apêndice B, que nos previne de inserir termos de altas ordens 𝜑𝐼 na
Lagrangeana. A inserção de 𝑋𝐼𝐽 remete a discussão até que ponto graus de liberdade
novos são realmente necessários no estudo da influência microscópica na hidrodinâmica e relacioná-la com uma “expansão de gradiente” em termos das quantidades bulk. Contudo, a EFT se faz necessária, pois é uma teoria multi-escala do tipo bottom-up. A criação de variáveis é permitida para estudar escalas de alta energia (CONTINO et al., 2016), mesmo que não tenhamos uma correlação microscópica ↔ macroscópica bem definida.
Nota-se que a introdução da3.33 provém da conservação da carga (outras dessas formas são 3.9 e 3.21), diferentemente das Eqs. 6.5 e 6.6 que indicam uma ausência de correntes conservadas do tipo 𝜕𝜇𝐽𝜇 = 𝑅, onde 𝐽𝜇 é oriunda de alguma configuração
simétrica de 𝑋, sendo 𝑅 a fonte. As equações de movimento são obtidas agora por
𝜕𝜇
𝜕ℒ 𝜕(𝜕𝜇𝑍)
= 𝜕ℒ
𝜕𝑍. (6.7)
Onde 𝑍 = Π𝜇𝜈(𝑋𝐼𝐽, 𝜑𝐼). As Lagrangeanas criadas utilizando o formalismo CTP
(GALLEY; TSANG; STEIN, 2014) da equação 6.1 é
ℒ𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 = 1 2𝜏 𝜂 𝜋 (︁ Π𝜇𝜈−𝑢𝛼+𝜕𝛼Π𝜇𝜈+− Π𝜇𝜈+𝑢𝛼−𝜕𝛼Π𝜇𝜈− )︁ + +1 2Π 𝜇𝜈 ±Π𝜇𝜈±+ 𝑋𝐼𝐽± 6 [︁ (𝐴∘)𝐼𝐽𝜇𝜈𝜕𝜇𝐾𝜈]︁ ± ⏟ ⏞ ∼𝜎𝜇𝜈𝜂 , (6.8) e da equação 6.2 é ℒ𝑏𝑢𝑙𝑘 = 1 2𝜏 𝜁 𝜋 (︁ Π−𝑢𝛼+𝜕𝛼Π+− Π+𝑢𝛼−𝜕𝛼Π− )︁ +1 2Π 2 ±+ 𝑋 𝐼 𝐼±[𝐾𝜇𝜕𝜇𝐵]± ⏟ ⏞ ∼𝜎𝜁 . (6.9)
Os gradientes de Π𝜇𝜈 das Lagrangeanas acima originam do termo responsável pelo amortecimento em um oscilador harmônico amortecido. 𝜎𝜂𝜇𝜈 e 𝜎𝜁 representam a fonte shear e bulk, respectivamente. Sendo 𝜏𝜋𝜂 e 𝜏𝜋𝜁 da mesma ordem de Π𝜇𝜈Π𝜇𝜈 e tão grande
o suficiente para garantir que a velocidade de dispersão seja subluminal e não superlu- minal como em 5.47. Nesses aspectos, estamos assumindo uma solução algébrica tal que Π𝜇𝜈Π
𝜇𝜈 ∼ 𝒪(𝛿2) ≫ 𝒪(𝛿3), por esse motivo a região de aplicabilidade da hidrodinâmica
viscosa será a mesma da expansão de gradientes (ROMATSCHKE, 2010), sendo Π𝜇𝜈Π 𝜇𝜈
definido positivo. Nossos resultados fornecem um dos objetivos principais buscados nesse trabalho o de encontrar um procedimento sistemático para escrever a hidrodinâmica como uma EFT (FOGAçA et al.,2014;PU; KOIDE; RISCHKE, 2010; DENICOL et al.,2011)
Capítulo 6. Israel-Stewart 71
do tipo bottom-up. A expansão feita em5.45não corresponde a realidade física. Pelo apre- sentado, até agora, o único jeito de estabilizar a Lagrangeana ℒ𝑁 𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟−𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 é a adição de
𝑋, assim a expansão Lagrangeana é escrita
ℒ𝑒𝑓 𝑡 = ℒ (0) 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝐵±) + ℒ (1) 𝐼𝑆−𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟(𝐵±, 𝑋𝐼𝐽 ±, 𝐵𝐼𝐽 ±)+ ℒ(1)𝐼𝑆−𝑏𝑢𝑙𝑘(𝐵±, 𝑋𝐼𝐽 ±, 𝐵𝐼𝐽 ±) + ℒ(2)(𝑋, (𝜕𝜑±)2). (6.10) O primeiro termo do lado direito corresponde ao fluido ideal 3.8, o segundo e o terceiro termo fornecem a dinâmica dissipativa em primeira ordem (sem modos instáveis) da viscosidade shear e bulk, respectivemente, e ℒ(2) possui termos de segunda ordem em 𝜑𝐼 e 𝑋
𝐼𝐽 em conjunto com suas respectivas derivadas (BHATTACHARYA; BHAT- TACHARYYA; RANGAMANI, 2013). Todos os termos na EFT devem ser compatíveis com simetrias de Lorentz (invariância relativística) e homogêneos, já que a instabilidade quebra a homogeneidade espacial. A Lagrangeana 6.8 é estável e como pode ser vista na figura abaixo sua ação possui um mínimo perto do limite hidrostático (𝜑𝐼 ≃ ⃗𝑥) tanto
em variações 𝛿𝐵 quanto em 𝛿𝐵𝐼𝐽 + 𝛿𝑋𝐼𝐽. Podemos concluir através de alguns resultados
expostos é que a descrição da Lagrangeana em potências ímpares de 𝐵𝐼𝐽 significa uma
equação de movimento instável do tipo encontrada em (PU; KOIDE; RISCHKE, 2010;
FOGAçA et al., 2014) enquanto as descrições alcançadas com potências pares de 𝐵𝐼𝐽 e
seus gradientes são estáveis.
É fácil ver que ao aplicar6.8 e6.9em6.7 as Eqs.6.1e6.2surgem de forma natural e o tensor energia-momento é
𝑇𝜇𝜈 = 𝑇0𝜇𝜈(𝐵, 𝑢𝜇) + Π𝜇𝜈(𝑋, 𝐴𝜇𝜈). (6.11) O primeiro termo do lado direito é o tensor energia-momento ideal3.10 e o último termo é o tensor energia-momento dissipativo de primeira ordem em um fluido hidrodi- nâmico. Não é mais possível fazer uma redefinição de variáveis de maneira a reescalar, por causa que 𝑋𝐼𝐽 não representa uma variável macroscópica. 𝜏𝜋𝜂,𝜁 através de 6.7 possui
uma dependência qualquer em função de 𝑋𝐼𝐽 (não é parametrizado por argumentos en-
trópicos) e a contribuição da fonte shear ou bulk é dado por 𝑧𝑖𝑗𝑘 e 𝜕𝑧𝑖𝑗𝑘. Esperamos que
as Lagrangeanas mais complicadas ℒ(𝑛), com 𝑛 ≥ 2, venham de uma mistura do conjunto
{︁ 𝑍𝜇1...𝜇𝑛 𝐴,𝑛 }︁ = {𝐵, 𝑢𝜇, 𝐵 𝐼𝐽, 𝐴𝜇𝜈, 𝑋𝐼𝐽}, 𝛼𝐴𝐵𝑍𝜇1...𝜇𝑛 𝐴,𝑛 𝑍(𝐵,𝑛)𝜇1...𝜇𝑛. (6.12)
Onde 𝑛 é a ordem do elemento, 𝐴 é o elemento do conjunto e 𝛼𝐴𝐵 são funções indeterminadas do tipo 𝑧(𝐾𝑙𝛾𝐾𝛾𝑚) como nas Eqs.5.15e5.33. Nessa associação, a positivi-
Figura 11: Comportamento qualitativo da ação 𝑆 em função dos graus de liberdade de IS: 𝐵, 𝐵𝐼𝐽 e 𝑋𝐼𝐽 no limite hidrostático 𝜑𝐼 ≃ 𝑥𝐼. A ação é definida positiva para
todos os graus de liberdade. Figura retirada da referência (MONTENEGRO; TORRIERI,2016).
dade está assegurada em uma conexão entre as variáveis e seus gradientes que conduzem juntamente com 4.5 a um conjunto não linear de equações diferenciais. O termo 𝑋𝐼𝐽 é
“uma ordem a mais” de gradiente em relação a 𝐵 e 𝐵𝐼𝐽 ao analisar essas variáveis por
potência de Knudsen e não por gradientes. Era de se esperar isso quando um sistema está em estado próximo ao equilíbrio pela relação 𝜏𝜋𝑇 ∼ 𝜂/𝑠, onde 𝜏𝜋 é o tempo de relaxação,
e assim, consideramos variáveis de tempos e escalas de comprimento macroscópicos (𝐵 e 𝐵𝐼𝐽) que estão separadas daquelas microscópicas (𝑋𝐼𝐽. Essa relação não é universal.
Em situações críticas slowing down (o tempo de relaxação cresce indefinidamente para flutuações em pontos críticos) 𝑋𝐼𝐽 não se equilibra mesmo que a viscosidade shear atinja
um mínimo, por causa da ocorrência de transições de fase de primeira ordem a qual 𝑋𝐼𝐽
está inserido. Isso será visto na próxima seção. Agora em problemas mais gerais, 𝑋𝐼𝐽
depende das condições iniciais para estar em equilíbrio (MARTINEZ; STRICKLAND,
2009;PRATT; TORRIERI,2010).
Pela teoria CTP, as forças friccionais originam uma transferência de graus de liber- dade “microscópica” para “macroscópica”, através de cutoff ∼ 𝑇𝑜. São variáveis responsá-
veis por aumentar a energia interna do sistema no conjunto de equações da Lagrangeana e uma vez que fazem essa “passagem” de UV → IR não precisam ser mais parametrizadas por uma entropia dependente do tempo (GALLEY, 2013). Desse modo, é necessário au- mentar o número de graus de liberdade e pode parecer uma decisão arbitrária, mas deve ser entendida ao respaldar em argumentos de causalidade e simetrias.
Capítulo 6. Israel-Stewart 73
As Lagrangeanas de 2.4 com ordem Λ−1 ou mais, não conservam a energia e não são unitárias (GALLEY; TSANG; STEIN,2014). Essa violação em NS é ∼ (𝑙𝑚𝑓 𝑝∇)2(𝐵)+
˙ 𝐵𝜕ℒ𝑑𝑖𝑠𝑠 𝜕𝐵 enquanto para IS é Δ𝑇0𝑖∼ ˙𝑋𝜕ℒ𝑑𝑖𝑠𝑠 𝜕𝑋 + ¨𝑋 𝜕ℒ𝑑𝑖𝑠𝑠 𝜕 ˙𝑋 + (𝑙𝑚𝑓 𝑝∇) 2(∇𝑋), ∼ (𝑙𝑚𝑓 𝑝∇)(∇𝑋)2+ (𝑙𝑚𝑓 𝑝∇)2(∇𝑋). (6.13)
Como requerido no espaço de configurações de mais alta energia, a introdução da nova matriz 𝑋𝐼𝐽 nos abre o questionamento se mais graus de liberdade serão inevitáveis em
mais altas ordens. Lembrando do teorema de Ostrogradski, no apêndiceB, pode se aplicá- lo recursivamente e assim criar mais graus de liberdade. No entanto, precisamos ressaltar a utilização do teorema de Coleman-Mandula (WEINBERG, ) que a única quantidade conservada é 𝑇𝜇𝜈. E assim os termos novos a serem adicionados na Lagrangeana da EFT
não precisam ser 𝑋𝐼𝐽 𝐾 ou de segunda ordem 𝑋𝐼𝐽2 , pois podem sempre ser absorvidos
através de uma redefinição da variável 𝑌𝐼 como feito na Seção 4.2 ou por contração no
rank do tensor de altas ordens 𝑋2𝐼𝐽 𝐾𝐿𝑋𝐼𝐽𝑋𝐾𝐿 = 𝑋𝐾𝐿(‖ 𝜕𝑌 ‖)4de maneira que continuem
termos não conservados. A nossa teoria é bottom-up 2.2.2e não se pode dizer nada além das suas propriedades de simetrias, mesmo que a matriz encerra algum comportamento a nível de escala microscópica (TORRIERI, 2013). A construção de mais altas ordens não será abordado nessa dissertação, mas sim em trabalhos futuros.
A EFT permite estudar a dinâmica do fluido sobre as equações de movimento geradas por 6.7e6.11, e ainda conseguir um guia para averiguar comportamento em altas dimensões (MARTINEZ; STRICKLAND, 2009;PRATT; TORRIERI, 2010).