As variáveis termodinâmicas não possuem definições microscópicas em algum re- ferencial fora do equilíbrio, isto é, um “operador” que forneça um valor “local” dessas variáveis, ao contrário de 𝑇𝜇𝜈 e 𝑗𝜇. Para calcular os valores de (𝜖, 𝑝, 𝑛) fora do equilíbrio,
devemos levar em conta o seu deslocamento do ponto de equilíbrio, pelas relações abaixo
𝜀 = 𝜖(𝑇, 𝜇) + 𝑓𝜖(𝜕𝑇, 𝜕𝜇, 𝜕𝑢), (5.50)
𝒫 = 𝑝(𝑇, 𝜇) + 𝑓𝒫(𝜕𝑇, 𝜕𝜇, 𝜕𝑢), (5.51)
𝒩 = 𝑛(𝑇, 𝜇) + 𝑓𝒩(𝜕𝑇, 𝜕𝜇, 𝜕𝑢). (5.52) Onde 𝜖, 𝑝 e 𝑛 são definidos em alguma equação de estado em equilíbrio termodinâ- mico e seus valores fora do equilíbrio são 𝜀, 𝒫, 𝒩 , respectivamente. O 𝑢𝜇 é um autovetor do tipo tempo (Landau-Lifshitz) e não é afetado por variações de primeira ordem no equilíbrio (ISRAEL; STEWART, 1979b). Esse problema é contornado com a EFT, pois não inclui a dinâmica microscópica (ISRAEL; STEWART, 1979b).
Uma formulação relativística da hidrodinâmica acarreta alguns problemas na Ter- modinâmica. As equações dissipativas de primeira ordem levam a equações diferenciais parabólicas, como explicitada em5.47, e transportam informações a velocidade mais alta do que a luz, violando assim, o princípio da causalidade. Esse problema foi resolvido por Israel-Stewart ao inserir termos de segunda ordem no cálculo da corrente de entropia 𝑠𝜇
Capítulo 5. Navier-Stokes 65
interessados nas relações da equação de estado com as Lagrangeanas dissipativas em 5.15
e 5.33. No sistema hidrodinâmico relativístico a entropia no caso mais geral é
𝑠𝜇 = 𝑠𝜇𝑐𝑎𝑛+ 𝑠𝜇𝑐𝑜𝑟𝑟, (5.53) No sistema em equilíbrio (estado que não muda seus parâmetros intensivos e ex- tensivos com o tempo) a corrente de entropia canônica é 𝑠𝜇
𝑐𝑎𝑛 = 𝑠𝑢𝜇, sendo 𝑢𝜇 definido
como 3.11 e a densidade de entropia é independente dos parâmetros: viscosidade e fluxo de calor. Essa última afirmação, só é valida se a correção for linear, caso contrário fatores de segunda ordem deverão ser levados em conta (NONSTATIONARY. . ., 1976), e esse caso não sera abordado na dissertação e sim em trabalhos futuros.
É conhecido, desde a teoria cinética dos gases (GROOT; LEEUWEN; WEERT, ), que a entropia de um fluido fora do equilíbrio é modificada por um termo 𝑠𝜇
𝑐𝑜𝑟𝑟 (entropia
de correção). Essa correção em primeira ordem calculada no limite do regime hidrostático não existe, (ISRAEL; STEWART,1979a), quando 𝑢𝜇 é escolhido sobre aquelas condições de tal forma que 𝑢𝜇𝐸 ≈ 𝑢𝜇𝐿, então os efeitos de primeira ordem em torno do equilíbrio hidrostático são nulos
𝑢𝜇𝑢𝜆(𝑇𝜆𝜇− 𝑇(0)𝜆𝜇) = 0. (5.54) Onde 𝑇(0)𝜆𝜇 está em um estado de equilíbrio (referencial) e 𝑇𝜆𝜇 definido em um
estado levemente fora do equilíbrio (quase estacionário), e assim os efeitos de primeira ordem 𝑠𝜇(1) da entropia desaparecem 𝑢𝜇(𝑠
𝜇
(1)− 𝑠
𝜇
(0)) = 0 (NONSTATIONARY. . .,1976). A
𝑠𝜇𝑐𝑜𝑟𝑟 só é considerada em tensor energia-momento de segunda ordem ou mais, o que não é o caso até esse momento. A positividade da divergência na entropia de uma corrente fora de equilíbrio, 𝜕𝜇𝑠𝜇≥ 0, é uma observação física e universalmente garantida. Embora nosso
desejo seja expressar a teoria não linear da hidrodinâmica pela EFT por inteiro e associar suas simetrias com as do vetor corrente 𝑠𝜇
𝑐𝑜𝑟𝑟. Assumindo nosso tensor energia-momento
levemente fora do equilíbrio e aproximadamente conservado em primeira ordem como em
5.27, a entropia 𝑠𝜇 𝑐𝑎𝑛 é 𝑠𝜇𝑐𝑎𝑛 = 𝑝𝑢 𝜇 𝑇 − 𝑢𝜈𝑇𝜇𝜈 𝑇 = 𝜖 + 𝑝 𝑇 + 𝑞𝜇 𝑇 . (5.55)
Note que a formulação covariante e convencional da termodinâmica apresentada acima prediz uma propagação instantânea das informações em sistemas dissipativos. Uma reformulação da entropia será apresentada no próximo capítulo. A temperatura e a entro- pia no sistema dissipativo de Navier-Stokes é obtida quando se faz o mesmo procedimento
utilizado em 3.15 e 3.16 nas equações5.28 e 5.29. A temperatura é 𝑇 = 𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ ∫︁ (︃𝜕√2 𝐵𝐹 − 2 √ 𝐵𝜒′− 𝐵 3𝜕 √ 𝐵𝜒 ′ 𝜕√ 𝐵𝐹 − 𝐵 3𝜒 ′ )︃ 𝑑√𝐵 + 𝑙𝑛𝒞 ⎫ ⎬ ⎭ , (5.56) e a entropia é 𝑠 = 1 𝑇 𝒞𝑒𝑥𝑝 {︃ −√𝐵𝜕√ 𝐵𝐹 − 𝐵 3 2𝜒′) }︃ . (5.57)
Onde 𝒞 é uma constante adimensional e 𝜒′ =∑︀
𝑖,𝑗,𝑘
∑︀
𝑙≤𝑚[(𝑖 + 𝑗 + 𝑘)(¯𝑧𝑖𝑗𝑘′ + ¯𝑧𝑖𝑗𝑘) −
(𝐷′𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚+ 𝐷𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚)]. Caso 𝜒′ seja igual a zero, chegamos nas mesmas relações termodinâ-
micas de um fluido ideal nas Eqs.3.15e3.16. Agora, iremos aplicar o divergente ao tensor fenomenológico de primeira ordem 4.6 para verificar a positividade da entropia
𝜕𝜇(𝑠𝑢𝜇) = 𝜁 𝑇(𝜕𝜇𝑢 𝜇 )2− 1 𝑇𝜕𝜇𝑞 𝜇 + 1 𝑇𝑢𝜈𝑢 𝜇 𝜕𝜇𝑞𝜈 − 𝜂 𝑇𝑡 𝜇𝜈 𝜕𝜇𝑢𝜈 > 0. (5.58)
Podemos utilizar as relações termodinâmicas de5.30,5.39,5.43 e5.44 de maneira a restringir os valores de ¯𝑧𝑖𝑗𝑘′ e ¯𝑧𝑖𝑗𝑘, além de impor 𝜂 ≥ 0, 𝜁 ≥ 0 e uma densidade de
energia 𝜀 > 0. As restrições não fragilizam a teoria pelo fato de a própria derivação não
conceder a priori uma positividade na entropia. Relembre que as equações de movimento
estão sendo obtidas de uma Lagrangeana não unitária.
Exemplo
A positividade da entropia5.55 acontece quando a inequação abaixo é obedecida
𝜕𝜇(
𝑞𝜇
𝑇 ) ≥ 0. (5.59)
O valor de 𝑞𝜇obtido em5.30, juntamente com as aproximações 𝑢𝜇
𝑜+𝑙𝑣𝜇e 𝐵𝑜+𝑙Δ𝐵
concebem uma restrição para a validade da segunda lei da termodinâmica através de
𝜅′(𝐵𝑜)𝜕𝜇(𝜕𝑖+ 𝜕𝑜)(Δ𝐵) + 𝛽′(𝐵𝑜)𝜕𝑖𝜕𝑖Δ𝐵 ≥ 0. (5.60)
Sendo 𝛽(𝐵𝑜′) = 𝐵′𝑜
3
∑︀
𝑖,𝑗,𝑘𝑖¯𝑧𝑖𝑗𝑘′ e 𝜅(𝐵𝑜) = 𝐵3𝑜 ∑︀𝑖,𝑗,𝑘(𝑖 + 𝑘)¯𝑧𝑖𝑗𝑘. É necessário impor
restrições a ¯𝑧𝑖𝑗𝑘′ e ¯𝑧𝑖𝑗𝑘 de maneira a assegurar a validade da equação acima. Vemos que
Δ𝐵 tem dependência temporal e espacial, já que a análise é feita em fluidos não relativís- tico. Com 𝜕𝑖𝑣𝑖 ̸= 0 o fluido não pode ser comprimido e isso implica que 𝐵 é dependente
temporalmente e espacialmente na relação 3.21. A falta de compressibilidade assegura a não conservação de entropia.
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6 Israel-Stewart
Apresentaremos, nesse capítulo, um importante resultado motivado, primeira- mente, pelas dificuldades encontradas na equação de NS em descrever a natureza. Uma maneira de regular essa divergência, proposta por Isarel e Stewart, gerou a primeira equa- ção relativística causal e estável da hidrodinâmica (ISRAEL; STEWART,1979a; NONS- TATIONARY. . .,1976), obtida por argumentos entrópicos fora do equilíbrio e chamada de equação de Israel-Stewart (IS). Viemos propor uma Lagrangeana fenomenológica através da EFT que possibilita formular os termos de primeira ordem e propor uma sistematiza- ção da própria construção da EFT na hidrodinâmica, e assim alcançar modelos de altas escalas (energia).
A equações de IS para o termo shear
𝜏𝜋𝜂Δ𝜅𝜇𝜁𝜈𝑢𝛼𝜕𝛼Π𝜅𝜁 + 𝜋𝜇𝜈 = 𝜎𝜂𝜇𝜈+ 𝒪((𝜕𝑢)
2), (6.1)
e o termo bulk
𝜏𝜋𝜁𝑢𝛼𝜕𝛼Π + Π = 𝜎𝜁+ 𝒪((𝜕𝑢)2). (6.2)
Onde 𝜎𝜂𝜇𝜈 e 𝜎𝜁são o termo shear e bulk de NS , respectivamente. Apenas a primeira
ordem da viscosidade de NS dada por 5.32 foi considerada e esses termos não homogê- neos dependem de valores fornecidos nas condições iniciais e os outros de ordem superior 𝒪((𝜕𝑢)2) serão desprezados. O 𝜏𝜂
𝜋 e 𝜏𝜋𝜁 são o tempo de relaxação associado a parte shear
e bulk de NS, respectivamente. Δ𝛼𝛽𝛾𝜆 ≡ (Δ𝛼𝛾Δ𝛽𝜆 + Δ𝛼𝜆Δ𝛽𝛾)/2 − 1/3Δ𝛼𝛽Δ𝛾𝜆. Sendo
𝜋𝜇𝜈 simétrico, transverso (𝑢
𝜇𝜋𝜇𝜈 = 0) e sem traço com 5 graus de liberdade novos (RO- MATSCHKE, 2010; KOVTUN, 2012). Π = Π
𝜇 𝜇
3 representa um novo grau de liberdade do termo bulk. O projetor Δ𝜅𝜇𝜁𝜈 mantém Π𝜇𝜈 ortogonal à velocidade 𝑢𝜇, devido ao termo
não homogêneo da equação 6.1ser a viscosidade shear enquanto a componente paralela á
𝑢𝜇 de Π𝜇𝜈 deverá ser mantida por causa da viscosidade bulk na equação6.2.
Quando os gradientes de pressão desaparecem na Eq. 5.41 de NS a corrente dis- sipativa relaxa instantaneamente ao seu estado estacionário o que é errado pela teoria molecular, pois as moléculas do fluido apresentam uma velocidade finita de transmissão. As Eqs. 6.1 e 6.2 foram “criadas” para resolver esse problema a partir de um ponto de vista fenomenológico, pois 𝜋𝜇𝜈 é uma extensão de NS no momento que essas correntes disspativas são promovidas a variáveis dinâmicas que relaxam por uma escala de tempo
𝜏𝜋 ̸= 0 (GRAD, ), se 𝜏𝜋 = 0, então 𝐼𝑆 = 𝑁 𝑆. O 𝜏𝜋 é uma condição necessária devido a
nenhum princípio fundamental da hidrodinâmica que obrigasse a inserção desse termo (ROMATSCHKE, 2010; DENICOL et al., 2011). A existência desse parâmetro pequeno é, também, entendida a partir da função espectral microscópica (DENICOL et al., 2011), mas isso acaba por ser altamente dependente de uma teoria microscópica.