Tópicos em dinâmica de fluidos como uma teoria de campo

Instituto de Física Gleb Wataghin

David Montenegro Coelho

Tópicos em Dinâmica de Fluidos como uma

Teoria de Campo

Campinas

2016

David Montenegro Coelho

Tópicos em Dinâmica de Fluidos como uma Teoria de

Campo

Dissertação apresentada ao Instituto de física Gleb Wataghin da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Física na área de Física Teórica.

Orientador: Donato Giorgio Torrieri

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE A VERSÃO FINAL. DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO DAVID MONTENEGRO COELHO, E ORIENTADA PELO PROF. DR. DONATO GIORGIO TORRIERI.

Campinas

2016

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Coelho, David Montenegro,

C65t CoeTópicos em dinâmica de fluidos como uma teoria de campo / David Montenegro Coelho. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

CoeOrientador: Donato Giorgio Torrieri.

CoeDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Coe1. Teoria de campo efetivo. 2. Hidrodinâmica. 3. Estabilidade. 4.

Causalidade (Física). 5. Israel-Stewart, Teoria de. 6. Navier-Stokes, Equações de. I. Torrieri, Donato Giorgio,1975-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Topics in fluid dynamics as field theory Palavras-chave em inglês:

Effective field theory Hydrodynamics Stability

Causality (Physics) Israel-Stewart theory Navier-Stokes equations Área de concentração: Física Titulação: Mestre em Física Banca examinadora:

Donato Giorgio Torrieri [Orientador] Pedro Cunha de Holanda

Fernando Silveira Navarra Data de defesa: 15-09-2016

Programa de Pós-Graduação: Física

MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE

DAVID MONTENEGRO COELHO – RA: 116586 APRESENTADA E APROVADA

AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 15/09/2016.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. Donato Giorgio Torrieri – (Orientador) – DRCC/IFGW/UNICAMP - Prof. Dr. Pedro Cunha de Holanda – DRCC/IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra – IF/USP

A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no processo de vida acadêmica do aluno.

CAMPINAS 2016

Agradecimentos

Meus agradecimentos são, primeiramente, ao meu Orientador o Professor Doutor Donato Giorgio Torrieri pela paciência ao longo desses dois anos de trabalho e por todo o aprendizado e confiança depositado em mim para concluir a Dissertação aqui presente, sem falar, nas inúmeras discussões físicas ocorridas que levaram aos resultados teóricos e principalmente ao meu aprendizado e amadurecimento como um profissional.

Agradeço a minha família pelo suporte nos momentos difíceis que compõem a es-trada acadêmica e apoio que me permitiram continuar, mesmo com as inúmeras ausências.

Agradeço aos meus amigos que me deram suporte emocional em vários pontos dessa minha jornada desde o convívio e até nas discussões físicas que foram fundamentais na manutenção da minha sanidade nos últimos meses, em especial: Silvia Franchetti, Eduardo, Diego Coelho, Bruno, Silvânia, Flávia, Bruna e Diego.

Agradeço a Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) e o Instituto de Física Gleb Wataghin pela infraestrutura, excelentes professores e suporte financeiro para as Escolas de Verão e seminários, além do excelente curso de Graduação e de Pós Gradua-ção oferecido pela instituiGradua-ção. Especialmente ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) que sem seu apoio e suporte imediato este trabalho não teria sido possível.

mas o fato de se recusar a adquiri-los” Karl Popper.

Resumo

O interesse científico cresceu após confirmado por testes experimentais o comportamento do Plasma de Quark-Glúon como um fluido quase perfeito no LHC e RHIC. O objetivo desse trabalho é fornecer as bases teóricas da Effective Field Theory (EFT) na abordagem da Hidrodinâmica, pois vários recursos não-triviais na dinâmica relativística dos fluidos são claramente explicados por esse formalismo.

Problemas teóricos na EFT sugerem a inclusão de uma nova formulação do Princípio de Hamilton compatível com o princípio da causalidade, através do Closed-Time-Path. Após resolvido esse problema, alcançamos o requisito necessário para derivar a hidrodi-nâmica dissipativa em altas ordens por meio da ação. Assim, conseguimos caracterizar a Lagrangeana de Navier-Stokes ao introduzir a quebra de simetria na preservação do difeomorfismo pelo volume por meio do termo 𝐵−1_𝐼𝐽. No entanto, uma análise pelo método de Ostrogradski levou à supressão dessa equação, através da inclusão da Lagrangeana de Israel-Stewart na expansão que é justificada por meios de argumentos de estabilidade e causalidade.

Por fim, propomos uma variável 𝑋𝐼𝐽 na Lagrangeana de Israel-Stewart, simétrica,

ani-sotrópica e dependente das condições iniciais que juntamente com os já estabelecidos graus de liberdade de campo, formam a base para a derivação bottom-up em altas ordens da EFT e propicia medidas para estudar turbulência e instabilidade no vácuo e outras situações que chegam da relação entre graus de liberdade macroscópico e microscópico.

Palavras-chaves: teoria efetiva de campo, hidrodinâmica, instabilidade, Israel-Stewart,

Scientific interest grew after the behavior of the quark-gluon Plasma as a nearly perfect fluid in the LHC and RHIC. The objective of this dissertation is offer support to use the Effective Field Theory (EFT) approach to study hydrodynamics because many non-trivial features in relativistic fluid dynamics are clearly explained by this Lagrangian formalism.

Theoretical problems in EFT considering by including a new formulation of the Hamil-tonian principle that is compatible with the principle of causality for non-conservative field through the Closed-Time-Path formalism. After solving this problem, we reached requirement to derive the dissipative hydrodynamics in higher orders of action. We were able to characterize Navier-Stokes’ Lagrangian by introducing the symmetry breaking of preserving diffeomorphism through the volume with the term 𝐵_𝐼𝐽−1 to the Lagrangian of Navier-Stokes. An analyse of Ostrogradski’s method led to the removal of equation by including the Israel-Stewart term in the Lagrangian expansion that provides an extra justification by means of symmetry and causality arguments.

Finally, we propose a variable 𝑋𝐼𝐽, Israel-Stewart’s Lagrangian, symmetric, anisotropic

and dependent on initial conditions together with an established degree of freedom of the field, which form the basis for the derivation of higher orders of the bottom up and promote steps to the study of turbulence by instability in the vacuum, and other situations arising from the relationship between macroscopic and microscopic degrees of freedom.

Key-words: effective field theory, hydrodynamics, instability, Israel-Stewart,

Lista de ilustrações

Figura 1 – Esquerda: Os coeficientes de Fourier ⟨𝑣2

𝑛⟩1/2 em função do momento

transverso. Figura retirada de (GALE et al., 2013). Direita: A in-fluência de 𝜂/𝑠 na relação de 𝑣2 com 𝑝𝑡. Figura retirada da referência

(SNELLINGS, 2011). . . 16

Figura 2 – Uma comparação da viscosidade shear e a densidade de entropia de vários fluidos fortemente acoplados em uma relação de 𝜂/𝑠 e (𝑇 −𝑇𝑐)/𝑇𝑐,

onde 𝑇𝑐 é a temperatura da transição superfluida. Figura retirada da

referência (ADAMS et al., 2012). . . 17

Figura 3 – Um esquema ilustrativo dos limites de escala de energia. Onde as linhas horizontais verdes são energia 𝐸 ≥ 𝑀ℎ𝑖 e as linhas azuis são 𝐸 ≤ 𝑀𝑙𝑜.

A linha vermelha 𝐸𝑐 é a energia escolhida para estudar.. . . 25

Figura 4 – Ilustração do procedimento top-down na EFT. . . . 27

Figura 5 – Ilustração do procedimento bottom-up na EFT. . . . 28

Figura 6 – Representa um elemento de fluido parametrizado por eixos de campo escalar 𝜑𝐼_{, os eixos cartesianos no fundo é para mostrar que não existe}

uma parametrização direta como nas redes cristalina. . . 34

Figura 7 – Representa um elemento de fluido no estado fundamental onde os eixos dos campos 𝜑𝐼 _{se alinham com os eixos cartesianos 𝑥}𝐼_{, por meio de}

⟨𝜑𝐼_{⟩ = 𝑥}𝐼_{. . . . . 35}

Figura 8 – Representa um fluxo estacionário onde as setas azuis representam trans-ferência de momento molecular da componente x para diferentes cama-das no eixo y e provoca um desaparecimento cama-das gradientes de veloci-dade do fluido. Figura retirada da referência (KOVTUN, 2012). . . 42

Figura 9 – Esquerda: Princípio de Hamilton, trajetória de 𝑞𝑖(𝑡). Direita:

Prin-cípio de Hamilton da mecânica não conservativa, trajetória de 𝑞1𝑖(𝑡)

e 𝑞2𝑖(𝑡). As linhas pontilhadas são os caminhos virtuais e as sólidas

são os caminhos estacionários, a seta indica o sentido da integração de 𝑡𝑖 (tempo inicial) á 𝑡𝑓 (tempo final). Figura retirada da referência

(GALLEY, 2013).. . . 49

Figura 10 – O comportamento qualitativo da ação 𝑆 em função dos graus de liber-dade macroscópicos de NS: 𝐵 e 𝐵𝐼𝐽. Levando em conta o limite

hi-dróstatico (𝜑𝐼 ≃ 𝑥𝐼_{). Figura retirada da referência (MONTENEGRO;}

de IS: 𝐵, 𝐵𝐼𝐽 e 𝑋𝐼𝐽 no limite hidrostático 𝜑 ≃ 𝑥 . A ação é definida

positiva para todos os graus de liberdade. Figura retirada da referência (MONTENEGRO; TORRIERI, 2016). . . 72

Figura 12 – A figura do lado esquerdo é o “limite hidrostático” e do lado direito é uma turbulencia no vácuo. A energia livre está associada com graus de liberdade microscópico e macroscópico e a ilustração representa um diagrama de fase de primeira ordem. Figura retirada da referên-cia (BURCH; TORRIERI, 2015). . . 76

Figura 13 – A ação 𝑆 de um sistema “turbulento” no qual as correções da EFT e gradientes 𝑇𝑜 são esboçadas. Figura retirada da referência

(MONTE-NEGRO; TORRIERI, 2016). . . 77

Sumário

1.1.4 Teoria Cinética dos Gases . . . 18

1.2 Effective Field Theory . . . 20

I

REVISÃO TEÓRICA

23

2.1 Princípios Básicos da Effective Field Theory . . . 24

2.1.1 Graus de Liberdade . . . 25 2.1.2 Simetrias e Expansão . . . 25 2.2 Tipos de EFT . . . 27 2.2.1 Top-Down. . . 27 2.2.2 Bottom-Up . . . 28 2.3 Renormalização . . . 29

II

FLUIDO PERFEITO NA EFT

31

3.1 Teoria Clássica . . . 32

3.1.1 Graus de Liberdade . . . 33

3.1.2 Simetrias . . . 34

3.2 Fluido Carregado . . . 38

III

FLUIDO IMPERFEITO NA EFT

41

4.1 Referencial. . . 44

4.2 Dissipação na Linguagem EFT . . . 44

5 NAVIER-STOKES . . . 53

5.1 Introdução . . . 53

5.2 Relações de Navier-Stokes . . . 58

5.2.1 Instabilidade e Causalidade em Navier-Stokes . . . 61

5.3 Termodinâmica . . . 64

6 ISRAEL-STEWART . . . 67

6.1 Lagrangeana de Israel-Stewart . . . 68

6.2 Entropia . . . 73

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS . . . 78

REFERÊNCIAS . . . 93

APÊNDICES

99

APÊNDICE B – INSTABILIDADE DE OSTROGRADSKI . . . 103

13

1 Introdução

1.0.1

Instruções da Dissertação

Mostraremos um guia de como essa dissertação está estruturada e daremos um breve resumo de cada capítulo.

Continuaremos a introdução mostrando as principais aplicações da Hidrodinâmica nos vários ramos da física: Plasma de Quark-Glúons, Ultra-Cold Atoms e AdS/CFT e Teoria Cinética. Sem entrar em detalhes aprofundados ou uma demonstração teórica mais consistente, apenas ressaltando como sistemas de diferentes escalas podem ser modelados por um fluido.

O Capítulo2tem por objetivo iniciar uma descrição teórica e fenomenológica das principais bases da Effective Field Theory, levando a uma compreensão mais intuitiva, sem abordar uma descrição mais formal da matemática a qual será deixada para uma leitura complementar dada nas referências. Esse capítulo serve como uma preparação para um estudo mais detalhado dos próximos capítulos onde será visto uma aplicação da EFT na Hidrodinâmica.

No Capítulo 3, realizamos uma revisão teórica de trabalhos já publicados, a fim de familiarizar a descrição do fluido ideal não carregado e carregado pelos conceitos teó-ricos introduzidos no capítulo anterior. É um exercício instrutivo e indispensável com o propósito de se acostumar com a notação de campo das propriedades de um fluido.

No capítulo 4, fizemos uma breve discussão para recordar as principais ideias da hidrodinâmica Euleriana sobre a dissipação e com o propósito de correlacioná-las com as principais ideias da EFT. Esse capítulo contém a introdução do Princípio de Hamilton para sistemas não conservativos (Closed-Time-Path) e como incorporá-lo a EFT.

No capítulo 5, calculamos a Lagrangeana de Navier-Stokes pela quebra de sime-tria da preservação do volume pelo difeomorfismo na presença de um fluido descarregado. Usamos o arcabouço teórico desenvolvido nos capítulos anteriores e calculamos o compor-tamento instável e não causal de Navier-Stokes.

O capítulo6é dedicado a introduzir a Lagrangeana de Israel-Stewart motivada pelo problema apresentado no capítulo anterior. Esclarecemos em maior detalhe a variável 𝑋𝐼𝐽

e a sua relação na hidrodinâmica de altas ordens, além de averiguar fatores de turbulência, “instabilidade no vácuo” e modificações na corrente de entropia sugerida pelo novo termo de Israel-Stewart.

perspectivas futuras. Os apêndices são largamente citados durante o texto e servem como apoio para alguns conceitos teóricos.

1.0.2

Notação e Convenção

Definiremos as notações e convenções utilizadas ao longo da dissertação, a fim de evitar complicações na compreensão da mesma.

A regra de soma de Einstein estará implícita, ∑︀

𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖 = 𝑎𝑖𝑏𝑖, a menos que seja

especificado o contrário na dissertação. Por questões de utilidade as letras gregas (𝜇, 𝜈, ...) serão especificadas em denotar os índices quadridimensionais do espaço. A métrica é formada por 𝑑𝑖𝑎𝑔(−, +, +, +), a menos que se explicite o contrário.

A derivada parcial de qualquer função será denotada como _𝜕𝑥𝜕𝑓𝜇 = 𝜕𝜇𝑓 , ⃗∇ =

(𝜕1

𝜇, 𝜕𝜇2, 𝜕𝜇3, ..., 𝜕𝜇𝐼), onde 𝐼 são coordenadas espaciais. Adotamos o sistema natural de

me-didas 𝑐 = 𝑒 = 𝐺 = 𝑘𝛽 = ¯ℎ = 1.

1.1

Hidrodinâmica

Fluidos estão em todos os lugares: ar, oceano, laboratório, espaço, sistemas as-trofísicos, Plasma de Quark-Glúon e outros. A Hidrodinâmica é o nome tradicional cor-respondente a dinâmica dos fluidos que estuda o movimento de líquidos e gases. É uma ciência, inicialmente, empírica e teve seus estudos proeminentes e fundamentais dados por Arquimedes e passando, assim, por grandes matemáticos e físicos, como Bernoulli, Newton, Euler, Navier-Stokes e outros. Quando se pensa em Hidrodinâmica, logo surgem as observações diárias como: o fluxo de água em uma torneira, um vórtice na pia, a tur-bulência dos ventos, as ondas do mar e outros fenômenos diários. Todos esses modelos são bem conhecidos e estabelecidos pela hidrodinâmica. A Mecânica dos Fluidos, assim de-nominada por Euler, consegue descrever boa parte do comportamento dos fluidos ao usar as leis da Mecânica Clássica e Termodinâmica. E em todos esses casos a hidrodinâmica se estrutura como um problema de valor inicial, determinístico e analisada unicamente pelas suas equações de movimento (LANDAU; LIFSHITZ, ).

A hidrodinâmica é um tema teórico e fenomenológico ainda em desenvolvimento (SOUZA; KOIDE; KODAMA, 2016), e seu estudo é essencial para o entendimento do comportamento de sistemas dinâmicos (clássicos ou quânticos) em uma temperatura dife-rente de zero. Dentro dessa larga teoria criada e em construção é imprescindível fazer a sua conexão com as observações experimentais. No entanto, conceber uma ligação geral entre a hidrodinâmica e qualquer modelo de teoria microscópica é uma questão não trivial a ser respondida e isso constituem um importante ramo da física, onde o seu comportamento

Capítulo 1. Introdução 15

não aparece naturalmente, (KOVTUN; SON; STARINETS, 2005a).

1.1.1

Plasma de Quark-Glúons

A hidrodinâmica é largamente utilizada em vários fenômenos da física e em dife-rentes escalas de energia. É uma teoria muito promissora ao analisar o movimento coletivo de Quark-Glúons e indispensável para conceber certos estágios da expansão da matéria e de suas propriedades (SOUZA; KOIDE; KODAMA, 2016). Historicamente o uso da aproximação hidrodinâmica teve o seu interesse, principal, concentrado nas energias não relativísticas, pois o propósito era estudar o núcleo e suas interações a partir do ponto de vista de um sistema de muitos corpos (SOUZA; KOIDE; KODAMA, 2016). Contudo, o objetivo maior dos físicos nucleares era estudar as partículas elementares do núcleo, exci-tação, alta compressão da matéria e outros fenômenos que precisassem de um tratamento relativístico. Experimentos de íons pesados no Relativistic Heavy-Ion Collider (RHIC) localizado no Laboratório Nacional Brookhaven, USA e Large Hadron Collider (LHC) na Organização Europeia para Pesquisa Nuclear (CERN), Geneva, permitiram um novo estágio no estudo de altas energias do Plasma de Quark-Glúons (MURONGA,2002).

Qual procedimento físico permitiria analisar e tratar o Plasma de Quark-Glúon como um fluido quase perfeito? Pela análise hidrodinâmica do espectro azimutal das partículas no RHIC (ROMATSCHKE; ROMATSCHKE,2007) e LHC (LUZUM,2011) a matéria formada é extremamente acoplada (LEE; WICK, 1974), e assim o fluxo elíptico detectado pode ser tratado como um fluido quase perfeito. Resultados mostraram que a viscosidade é proporcional a temperatura e entender essas questões ajudaria a encontrar os coeficiente de transporte do plasma criado nessa colisão (CRITELLI, 2016). Outro resultado agregado é o valor pequeno de 𝜂/𝑠 oriundo da análise do fluxo elíptico, próximo daquele estimado pela AdS/CFT, (POLICASTRO; SON; STARINETS,2001).

A viscosidade da matéria é de interesse em muitas áreas da física que aplicam ou se correlacionam com a hidrodinâmica. Por exemplo, a viscosidade do plasma em um meio relativístico de íons pesados como no RHIC exibe uma resistência do fluxo a colisões (MüLLER,2016). Como os experimentos são relativísticos, surge um problema ao aplicar a teoria dissipativa relativística de NS, pois a mesma gera uma equação parabólica. Para solucionar esse problema, promoveremos as correntes dissipativas em graus de liberdade independentes e inserimos um tempo de relaxação na criação de correntes dissipativas provenientes de gradientes de força (ROMATSCHKE, 2010).

É importante fundamentar as bases teóricas da hidrodinâmica quando se reivindi-car a sua correlação com os experimentos, a melhor evidência para corroborar um modelo vem da análise do chamado fluxo anisotrópico que é caracterizado pela assimetria inicial na geometria do sistema produzido por uma colisão não central (SNELLINGS,2011;

CRI-TELLI, 2016). Um conveniente modo de parametrizar os vários padrões de anisotropia é dado por uma decomposição de Fourier da distribuição azimutal de partículas observadas relativas ao plano definido pelo parâmetro de impacto e a direção do feixe.

𝐸𝑑 3_𝑁 𝑑3_𝑝 = 1 2𝜋 𝑑2_𝑁 𝑝𝑇𝑑𝑝𝑇𝑑𝑦 [1 + 2 ∞ ∑︁ 𝑛=1 𝑣𝑛cos(𝑛(𝜑 − 𝜓𝑛))] (1.1)

Onde 𝐸 a energia da partícula, 𝑝𝑇 momento transverso, 𝜑 o ângulo azimutal, 𝑦

a rapidez, 𝜓𝑛 é a reação do ângulo do plano e 𝑣𝑛 é o coeficiente de Fourier associado

com o modo: 𝑣1 o fluxo direto, 𝑣2 o fluxo elíptico, 𝑣3 o fluxo triangular que quantificam a anisotropia triangular nos estados iniciais e finais de colisões de íons pesados e outros (CRITELLI, 2016; ADAMS et al., 2012). Os coeficientes ímpares de Fourier aparecem, principalmente, por causa das flutuações do estado inicial.

Figura 1: Esquerda: Os coeficientes de Fourier ⟨𝑣2

𝑛⟩1/2em função do momento transverso.

Figura retirada de (GALE et al.,2013). Direita: A influência de 𝜂/𝑠 na relação de 𝑣2 com 𝑝𝑡. Figura retirada da referência (SNELLINGS, 2011).

Entende-se por fluxo elíptico a observação de uma anisotropia forte e azimutal na colisões de íons pesados não centrais e é quantificado em termos do segundo coeficiente de Fourier da equação 1.1. Cálculos hidrodinâmicos mostram que o fluxo elíptico 𝑣2 é aproximadamente linear na anisotropia espacial (SNELLINGS,2011;GALE et al.,2013). A figura1á esquerda permite responder a pergunta se a hidrodinâmica é um bom modelo para descrever um fluxo elíptico, os dados experimentais fornecem uma resposta positiva ao obterem 𝜂/𝑠 = 0.2 (GALE et al., 2013;CRITELLI,2016). Experimentalmente o valor de 𝜂/𝑠 é observado quando se mede 𝑣2 como se vê no gráfico a direita da figura 1. A linha verde corresponde ao fluido ideal, 𝜂/𝑠 ∼ 0 (SNELLINGS,2011) e percebe uma forte dependência de 𝑣2 com o valor de 𝜂/𝑠 e 𝑝𝑇. O fluxo elíptico depende das propriedades

fundamentais do meio e da anisotropia inicial.

Na figura abaixo temos uma comparação do valor (𝜂/𝑠)𝑄𝐺𝑃 e de outros fluidos

Capítulo 1. Introdução 17

Figura 2: Uma comparação da viscosidade shear e a densidade de entropia de vários flui-dos fortemente acoplaflui-dos em uma relação de 𝜂/𝑠 e (𝑇 − 𝑇𝑐)/𝑇𝑐, onde 𝑇𝑐 é a

temperatura da transição superfluida. Figura retirada da referência (ADAMS et al., 2012).

hidrodinâmico em relação a outros previamente já estabelecidos como o hélio e a água. Ao observar os vários tipos de fluidos verificamos um comportamento similar na visco-sidade shear que governa os coeficientes de transporte, mesmo que no gráfico estejamos trabalhando com longas escalas de 𝜂/𝑠 (ADAMS et al., 2012).

A teoria hidrodinâmica é boa em descrever sistemas de muitos corpos fora do equilíbrio térmico e de longos comprimentos de onda. As equações de movimento são es-critas quando conhece a equação de estado termodinâmico do sistema e seus coeficientes de transporte, assim ambos são calculados pela teoria de perturbação. No entanto, os experimentos de colisão de íons atuam em baixas temperaturas e temos que a teoria de perturbação possui pouca aplicação nessa escala de energia, isso é um sinal da caracterís-tica pracaracterís-ticamente “não perturbativa” do fluido QGP por ter uma viscosidade tão pequena (MEYER, 2007).

1.1.2

AdS/CFT

Uma interação frutífera referida como AdS/CFT (Anti-de-Sitter/ Conformal Field Theory) se desenvolveu baseada na correspondência entre 𝒩 = 4 teoria Supersimétrica Yang-Mills (SYM) e soluções em altas dimensões da teoria da gravidade clássica chamada black branes (KOVTUN; SON; STARINETS,2005b;POLICASTRO; SON; STARINETS,

2001). Black branes são buracos negros e suas soluções são atreladas a propriedades termo-dinâmicas do buraco negro. Denominada também de gauge/gravity duality a AdS/CFT se caracterizam por ser uma relação entre o espaço Anti-de Sitter (AdS) baseado na te-oria das cordas e na Conformal Field Theories (CFT) uma tete-oria quântica de campos

(HERZOG, 2002). Enfatizando que a AdS/CFT tem uma aplicação muito importante ao lidar com problemas de teoria gauge fortemente acopladas como a QCD e no estudo da dinâmica perturbativa. Um exemplo é a sua relação da viscosidade shear com a entropia e o estabelecimento de seu limite quântico inferior, dado abaixo, que atrai muito o interesse científico (KOVTUN; SON; STARINETS, 2005a).

𝜂 𝑠 = ¯ ℎ 4𝜋𝑘𝐵 ≈ 6, 08.10−13, (1.2)

onde ¯ℎ é constante de Planck e 𝑘𝐵 é a constante de Boltzmann. Essa relação em

toda a Teoria Quântica de Campo a temperatura finita e sem potencial químico não de-pende da métrica. Dados no RHIC e LHC mostram um valor muito próximo do obtido acima o que motiva a melhor entender a QGP. É uma questão pertinente e aberta e um desafio teórico interessante se existe um limite inferior que seja menor do que o apresen-tado acima.

1.1.3

Ultra-Cold Atom

Esses gases são um exemplo de fase da matéria quântica que não podem ser descri-tos por nenhuma teoria de gases fracamente interagentes. São formados por fermiôns ou bosôns com uma ampla variedade de estruturas de spin que podem interagir fortemente ou fracamente e ambas as interações serão atrativas ou repulsivas (ADAMS et al., 2012). Os experimentos são conduzidos em uma variedade de armadilhas magnéticas e ópticas. Possuem baixa viscosidade e a sua relação 𝜂/𝑠 se aproxima do limite universal obtido pelos métodos da teoria de corda, e assim se aproxima da descrição de um fluido quase perfeito (TURLAPOV et al.,2008).

Em medidas experimentais o gás atômico fortemente interagente no limite de vis-cosidade quântica se comporta como um fluido sobre um grande intervalo de temperatura cobrindo desde o estado superfluido á fases normais, as medidas concordam com um mo-delo hidrodinâmico (KINAST; TURLAPOV; THOMAS, 2005). Pela figura 2 vemos que o ultra-cold Fermi gas possui um comportamento similar a QGP, mesmo que defiram em algumas ordens de grandeza do 𝜂/𝑠.

1.1.4

Teoria Cinética dos Gases

A Hidrodinâmica Euleriana é estabelecida pela segunda lei de Newton sobre cada elemento de volume do fluido. Espera-se na descrição microscópica expressar os coeficien-tes de transporte (shear e bulk) e outras grandezas macroscópicas, através de elementos fundamentais como a interação interatômica (CHAPMAN; COWLING, ).

Capítulo 1. Introdução 19

Introduzida por Boltzmann, no final do século dezenove, a teoria cinética fornece uma quadro dos gases no nível intermediário entre a escala microscópica e a macroscópica. Adotar uma aproximação probabilística do sistema com o objetivo de diminuir os graus de liberdade, mas mantendo os traços microscópicos, ou seja, uma explicação que não permita levar em conta fenômenos longe do equilíbrio termodinâmico e da representação atomista. Um certo número de métodos oriundos da teoria cinética dos gases permitem fazer a ponte com o mundo macroscópico e descrever as equações de movimento através da equação de Boltzmann. Essa equação governa a evolução dos gases perfeitos pela teoria cinética e modela sistemas fora do equilíbrio térmico pela descrição da densidade de partículas no espaço de fase 𝑓 (⃗𝑥, ⃗𝑝, 𝑡), onde ⃗𝑥 e ⃗𝑝 são o vetores momento e posição, respectivamente e 𝑡 é o tempo. A função de distribuição fornece a estatística do gás. E assumimos que o

comprimento de onda térmico é muito menor que o livre caminho médio das moléculas, de modo que os efeitos quânticos sejam desprezados e conseguimos aborda o sistema em uma configuração clássica. Ao calcular a média das quantidades macroscópicas pelas médias na função distribuição, a exemplo da distribuição espacial das moléculas abaixo

𝑁 (⃗𝑥, 𝑡) =

∫︁

𝑓 (⃗𝑥, ⃗𝑝, 𝑡)𝑑3𝑝. (1.3) A equação relativística de Boltzmann em um espaço-tempo plano fornece pela teoria cinética como 𝑓 evolue no tempo

𝑝𝜇𝜕𝜇𝑓 = 𝐶[𝑓 ]. (1.4)

Onde 𝐶[𝑓 ] é operador de colisão Bhatnagar–Gross–Krook (BGK) e nos conta como as interações moleculares evoluem no tempo. Para colisões elásticas, 𝐶[𝑓 ] = 0, ou seja não existe interação e a função de distribuição assume uma forma gaussiana.

O número adimensional de Knudsen (𝐾𝑛 = 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜_{𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜𝑠𝑐ó𝑝𝑖𝑐𝑎}) estabelece, assim, uma transição entre a hidrodinâmica e a Teoria Cinética dos Gases, onde todos os limites hidrodinâmicos da equação de Boltzmann correspondem a situações onde o 𝐾𝑛 ≪ 1 (HAKIM, ) e de um gás rarefeito 𝐾𝑛 ≤ 1. A equação de Boltzmann é uma excelente aproximação no tratamento de gases rarefeitos e fornece uma análise qualitativa para testar ideias em situações matematicamente controláveis, á exemplo dos limites da Eq. de Euler ou Navier-Stokes. Uma grande vantagem da hidrodinâmica é a sua redução drástica dos graus de liberdade em uma constituição macroscópica do fluido em variáveis macroscópicas que representam as propriedades locais do fluido (CERCIGNANI,a).

Pela teoria cinética a descrição da viscosidade envolve argumentos da seção de cho-que do átomo e seu livre caminho médio 𝑙𝑚𝑓 𝑝. A titulo de ilustração a viscosidade shear e

bulk pode ser encontrada em (HAKIM, ). No limite hidrodinâmico, 𝜂_𝑠 → 0, as interações acontecem em uma escala muito menor que a distância entre as partículas, assim o fluido

é fortemente acoplado com uma seção de choque alta e como a viscosidade shear é inver-samente proporcional a isso o fluido ideal tem viscosidade zero. E encontramos 𝜂_𝑠 → ∞ no limite de um gás ideal em que a distância média entre as colisões devem ser bem maiores que a distância entre as partículas e como a viscosidade é proporcional ao 𝑙𝑚𝑓 𝑝 esse gás

teria assim uma viscosidade “infinita” (BETZ; HENKEL; RISCHKE,2009). Na verdade, existe um pequeno fator de acoplamento, por causa da instabilidade no equilíbrio térmico gerado pelo gás ideal e assim chamamos de um gás fracamente acoplado. Para valores de

𝜂/𝑠 entre esses dois limites ambos os modelos podem ser aplicados (CERCIGNANI, a;

BETZ; HENKEL; RISCHKE, 2009).

Como exemplo, podemos invocar o princípio de Incerteza de Heisenberg Δ𝑥Δ𝑝 ≥ ¯

ℎ/(2𝜋) e afirmando que o livre caminho médio não pode ser medido por uma precisão

maior do que a relação ⟨𝑝⟩𝑙𝑚𝑓 𝑝 ≥ ¯ℎ. Junto com a formula de Maxwell 𝜂 = 1₃𝑛⟨𝑝⟩𝑙𝑚𝑓 𝑝, 𝑛

densidade de partículas, obtemos um resultado, 𝜂_𝑠 ≥ ¯ℎ

𝐾𝐵, maior que o 1.2 da AdS/CFT (CRITELLI, 2016). Na figrua 2 percebemos que o holographic bounds exerce um limite inferior pela linha tracejada na horizontal sobre qualquer tipo de fluido existente na na-tureza.

1.2

Effective Field Theory

Argumentaremos que a EFT é um modelo consistente para esclarecer o compor-tamento de fluidos reais relativísticos (ENDLICH et al., 2011; DUBOVSKY et al.,2012;

DUBOVSKY et al., 2006). Não nos preocupamos com nenhum modelo microscópico e as possíveis interações moleculares a serem seguidas, pois é uma teoria baseada em uma concepção mais geral da Física. A EFT tem uma relação direta com as bases da Teoria Quântica de Campos (TQC), entretanto a EFT muda totalmente a maneira de interpretar sobre o que é ou não essencial abordar. Por exemplo, alguns processos físicos na TQC, onde graus de liberdade com energia menor a um cutoff Λ excitam graus de liberdade Ultra Violeta (UV) acima de Λ e, usualmente, a teoria tende ao infinito, pois não conse-gue aplicar o método Willsonian integrating out: uma técnica desenvolvida que permite realizar uma integração nos graus de liberdade 𝐸 ≥ Λ, onde 𝐸 é a energia (PESKIN; SCHROEDER, ). Em oposição, a EFT apenas afirma que não podemos fazer uma descri-ção física em distâncias menores que 𝐸−1 enquanto na TQC a não renormalização implica em uma patologia da teoria.

A EFT pode ser construída através da integração de Wilson onde as variáveis Ultra Violeta serão integradas, método top-down. Mas em outras circunstâncias, teremos apenas os graus de liberdade de baixa energia/longos comprimentos de onda, método bottom-up.

Capítulo 1. Introdução 21

Uma das vantagens desse modelo é o acoplamento com outros campos externos, a exemplo da conhecida fórmula entre ação e energia livre a temperatura finita

𝐹 = 𝑇 ln 𝒵 = ⟨𝐸⟩ − 𝑇 ⟨𝑆⟩. (1.5) Onde a energia livre 𝐹 , função de partição 𝒵 e a entropia 𝑆. Em conjunto com a degenerescência de variáveis (MORSE; FESHBACH, ; GALLEY, 2013) Schwinger/ Keldysh. Essa receita é usada para conectar a atual entropia com a ação (CROSSLEY; GLORIOSO; LIU, 2015).

Todas as correções hidrodinâmicas pela EFT seguem de forma natural por uma expansão de Lagrangeana em altas ordens como será mostrado nessa dissertação. Ou-tro fator a ser enfatizado é que essas perturbações “nascem” com quebras espontâneas de simetria, transições de fase, cross-over e critical point, logo, não faz necessidade usar qualquer expansão de variáveis ou se preocupar com condições de contorno de uma te-oria perturbativa, já que as flutuações podem ser incluídas sem quaisquer aproximações numéricas (BURCH; TORRIERI, 2015).

A construção da EFT se propõe a responder questões experimentais e teóricas, pois a teoria está atrelada (principalmente a bottom-up) a averiguação experimental. De-terminar se as variáveis ou simetrias expostas condizem com a realidade, e isso permite uma maior flexibilidade da EFT. Todavia, os problemas de incorporar efeitos dissipativos na EFT são resolvidos, a partir de uma redefinição de variáveis por meio da degenerescên-cia nos graus de liberdade (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014). No resultado de primeira ordem, obtemos a expansão da Lagrangeana pelo método bottom-up

ℒ𝑒𝑓 𝑡 = ℒ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝐵±) + ℒ𝑏𝑢𝑙𝑘(𝐵±, 𝑢𝜇±) + ℒ𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟(𝐵±, 𝐵𝐼𝐽 ±). (1.6)

Onde ℒ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 é definido em (DUBOVSKY et al., 2006;GALLEY; TSANG; STEIN, 2014) e fornece a Equação de Euler (LANDAU; LIFSHITZ, ). ℒ𝑏𝑢𝑙𝑘 e ℒ𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 são as

ex-pansões de primeira ordem que dão origem a viscosidade bulk e shear, respectivamente. Esses dois termos são instáveis fisicamente (PU; KOIDE; RISCHKE,2010) e a EFT trata as divergências Ultra Violetas como uma advertência na introdução de altos graus de liberdade ou pela falta de um sólido entendimento físico das configurações microscópicas. Nessa dissertação as instabilidades em aproximações lineares (HISCOCK; LINDBLOM,

1985;FOGAçA et al., 2014) são contornadas ao elevar o fluxo dissipativo ao patamar de graus de liberdade novos (GRAD, ) e se valendo do princípio de Ostrogradski ( WOO-DARD, 2015), e assim mostramos que a Lagrangeana para a hidrodinâmica viscosa se escreve

O último termo ℒ𝐼𝑆 da equação acima é a Lagrangeana de Israel-Stewart com

graus de liberdade novos 𝑋 que são requeridos para estabilizar a teoria e restaurando as dificuldades da hidrodinâmica relativística dissipativa, além disso esse trabalho permitirá estudar a relação entre o tempo de relaxação e escalas microscópicas, “instabilidade do vácuo” e Lagrangeanas semiclássicas. Nós investigaremos nessa dissertação a construção do modelo bottom-up pela Effective Field Theory e as principais Lagrangeanas dissipati-vas da hidrodinâmica.

Parte I

2 Effective Field Theory

O capítulo fará uma introdução básica sobre a Effective Field Theory ao revisar suas principais técnicas, ideias e algumas aplicações. O objetivo é mostrar como é possível construir novas teorias, entre elas a hidrodinâmica a qual será abordada nessa dissertação, através de uma expansão de Lagrangeanas. Nesse capítulo não será apresentado nenhum rigor matemático, apenas uma noção intuitiva sobre o assunto.

2.1

Princípios Básicos da Effective Field Theory

Qualquer sistema físico é interessante em todas as suas escalas de energia, desde a mudança da trajetória causada por campos gravitacionais no universo até o tempo de vida das partículas elementares como 𝑊 e 𝑍 (Bosões). Porém, ainda não existe, uma “Teoria de Tudo” capaz de agregar todos os processos físicos conhecidos e desconhecidos em todas as escalas de energia. Além disso, seria muito difícil verificar essa “Teoria de Tudo” experimentalmente e ressaltando que ela poderia agregar informações desnecessárias, a respeito de um determinado experimento (GRIPAIOS,2015).

A EFT é um método geral utilizado que permite explorar determinadas escalas de energias, a depender do problema a ser tratado. Primeiro, faz uma divisão de maneira a isolar os importantes processos físicos dentro do intervalo de energia escolhido. Por isso, é imprescindível saber identificar o “limitante de massa alta” (𝑀ℎ𝑖 ∼ 𝐸ℎ𝑖) e o “limite

de massa baixa” (𝑀𝑙𝑜 ∼ 𝐸𝑙𝑜), onde 𝐸ℎ𝑖 e 𝐸𝑙𝑜 são o nível máximo e mínimo de energia,

respectivamente, a qual será estudado no sistema. Após isso, escolhe os graus de liberdade e os parâmetros físicos que estão entre esses limites, ou seja, cria-se um discernimento entre quais os processos físicos relevantes e caracteriza-os como mostra a figura abaixo, (BURGESS,2007).

Esse processo de separação dos acoplamentos físicos que não são incorporadas na descrição física é chamada “Effective Theory”, ou seja, todos os acoplamentos responsáveis por interações que não estão nessa faixa de energia são descartados e podem ser tratados como perturbações. Em suma, a EFT trabalha somente em acoplamentos de parâmetros finitos os quais dispõe de importância ao problema, pois é uma teoria que não pretende ser válida em todas as escalas de momento. A EFT força a se concentrar apenas na parte relevante da física 𝐸𝑙𝑜 ≪ 𝐸𝑐 ≪ 𝐸ℎ𝑖 (vide figura abaixo). Será apresentado uma descrição

sucinta de algumas situações que permitem visualizar as principais regras de construção da EFT.

Capítulo 2. Effective Field Theory 25

Figura 3: Um esquema ilustrativo dos limites de escala de energia. Onde as linhas hori-zontais verdes são energia 𝐸 ≥ 𝑀ℎ𝑖 e as linhas azuis são 𝐸 ≤ 𝑀𝑙𝑜. A linha

vermelha 𝐸𝑐 é a energia escolhida para estudar.

2.1.1

Graus de Liberdade

1 _{(KAPLAN,2005; ROTHSTEIN, 2003; HAMMER, 2005).}

2.1.2

Simetrias e Expansão

Observa-se na natureza que as simetrias determinam uma importante regra na delineação de problemas físicos. Na EFT as simetrias globais, locais ou as quebras es-pontâneas delas fornecem estruturas para entender a dinâmica física e estabelecem um procedimento na qual as variáveis serão incorporadas ou criadas em cada Lagrangeana. Após, escrever todos os termos da Lagrangeana é preciso verificar a sua correspondência com as previsões experimentais, no momento não existe um método sistemático e deve se analisar caso por caso, se não, existirá mais termos que o necessário 2. Recorde que processos dissipativos aparecem como expansões de gradientes ou de Taylor, mas na EFT

1 _{Um maior detalhamento sobre a inserção e criação de graus de liberdade em um sistema dissipativo}

será conduzido no capítulo 5.

2 _{Nos capítulos3e5será apresentado uma descrição mais detalhada da inserção das simetrias e quebras}

eles se corroboram de forma natural pelas simetrias inseridas nas Lagrangeanas.

Exemplo

Veremos um exemplo clássico de Euler-Heisenberg em 1936, o espalhamento elás-tico do fóton-fóton. Conseguimos uma teoria simplificada, pela EFT, ao proceder com uma separação de escalas 𝐸𝑐 ∼ 𝜔 ≪ 𝑚𝑒 ∼ 𝐸ℎ𝑖, onde 𝜔 é a frequência angular do fóton,

𝑚𝑒 é a massa do elétron. Os graus de liberdade são um campo que cria 𝜓 e destrói ¯𝜓

par-tículas e fótons 𝐴𝜇. Por (??), as variáveis relevantes ao sistema são escolhidas e temos que

ℒ𝑄𝐸𝐷[𝜓, ¯𝜓, 𝐴𝜇] → ℒ𝑒𝑓 𝑓[𝐴𝜇] (transformamos a Lagrangeana da Eletrodinâmica Quântica

em uma Efetiva). A simetria do sistema está na invariância de Gauge (relacionadas com as simetrias internas da Lagrangeana), Lorentz (𝜓 → 𝜓′ = 𝜓𝑒𝑖𝛼(𝑥)_{, 𝐴}

𝜇 → 𝐴′𝜇− 𝜕𝜇𝛼(𝑥)

e 𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈) e como o sistema é neutro, só pode existir termos sem gradientes na

Lagran-geana. Onde 𝛼(𝑥) é uma função arbritária de coordenadas do espaço-tempo e 𝐹𝜇𝜈 um tensor eletromagnético ℒ𝑒𝑓 𝑓 = 1 2𝑐1( ⃗𝐸 2_{− ⃗𝐵}2_{) + 𝑐} 2[( ⃗𝐸2− ⃗𝐵2)2+ 𝑐3( ⃗𝐸. ⃗𝐵)2] + ... (2.1) Pela equação acima, as quantidades físicas são calculadas por parâmetros como

𝐸𝑐

𝐸ℎ𝑖 =

𝜔

𝑚𝑒 (BURGESS,2007). A dependência da escala de energia 𝐸𝑐 analisada a um dado nível de acurácia 𝜖 sob um conjunto finito de parâmetros é uma característica notável da EFT. A expansão se dá (𝐸𝑐 𝐸ℎ𝑖 )𝑛𝜖 _{≈ 𝜖 ⇒ 𝑛} 𝜖≈ 𝑙𝑛(1/𝜖) 𝑙𝑛(𝐸ℎ𝑖/𝐸𝑐) . (2.2)

Onde 𝑛𝜖 é a ordem requerida, mesmo que a teoria seja descrita por infinitos

ter-mos e a renormalização é tomada ordem por ordem na expansão. E qualquer variável 𝑀 tal que 𝑀 ≫ 𝐸ℎ𝑖 é realizado uma integração de maneira a ter uma renormalização nos

estados de “baixa energia”.

Segue uma maneira mais concisa de expressar a construção da EFT, como ilustrado na figura 4.

1. Encontre os graus de liberdade ≪ 𝐸ℎ𝑖.

2. Identifique as simetrias ou interações relevantes entre a escala de mais alta energia e baixa energia 𝐸𝑙𝑜 ≪ 𝐸𝑐 ≪ 𝐸ℎ𝑖.

3. Encontrar os parâmetros de expansão e organizar a teoria através 𝐸𝑐

Capítulo 2. Effective Field Theory 27

2.2

Tipos de EFT

A grande inovação da EFT é a possibilidade de permitir comparar diferentes es-calas de momento, ou seja, é uma teoria multi-escalar. Pode-se olhar essa sequência de interações em dois ângulos possíveis a bottom-up e a top-down. Nas próximas duas subse-ções será apresentado os conceitos chaves e técnicas a serem utilizadas de acordo com as regras sistemáticas enumeradas acima.

2.2.1

Top-Down

A top-down é utilizada quando se conhece a teoria em alta energia e por um objetivo prático é necessário calcular o seu comportamento em baixa energia.

Figura 4: Ilustração do procedimento top-down na EFT.

Todos os graus de liberdade de momento 𝑝, com (𝑝 ≥ 𝐸ℎ𝑖), são removidos através

de processos de integração dessas variáveis, e assim, adquirimos de forma sistemática uma teoria de baixa energia que permite calcular quantidades físicas com um momento menor que 𝐸ℎ𝑖 o que resulta em uma manipulação mais fácil da teoria, pois diminue o número

de acoplamentos dos graus de liberdade. Esse processo pode ser traduzido como

ℒℎ𝑖 →

∑︁

𝑛

ℒ(𝑛)_𝑙𝑜 . (2.3)

Onde ℒℎ𝑖 é a Lagrangeana conhecida, ℒ𝑙𝑜 é a Lagrangeana a ser encontrada e 𝑛

representa a ordem que é inversamente proporcional ao nível de energia do sistema. As ℒℎ𝑖e ℒ𝑙𝑜 divergem no limite Ultravioleta (UV) e convergem no limite Infravermelho (IR).

No entanto, nem sempre é fácil a separação dos graus de liberdades de alta energia com os de baixa energia, porque eles podem estar multiplicados de uma maneira não trivial (ZHANG; WILLENBROCK, 2010). Porém, existe uma maneira de remover esse emara-nhado pelo teorema de Wilson (PORTO, 2016) a qual o procedimento está demonstrado na equação ?? e configura em uma teoria não renormalizável e não local, entretanto,

quando os graus de liberdade de alta energia independem dos de baixa energia as inte-rações e acoplamentos são renormalizáveis e locais, porque as informações sobre os graus de liberdade de mais alta energia estão contidas nos acoplamentos de baixa energia. Um exemplo de aplicação da top-down é a integração das partículas 𝑍, 𝑊 , top para quark charm e bottom , Heavy Quark Effective Field Theory (HUSSAIN; THOMPSON, 1994).

2.2.2

Bottom-Up

Nessa subseção será exposta uma pequena introdução ao procedimento bottow-up, largamente discutido e utilizado na hidrodinâmica, a qual será tratado com um detalha-mento maior ao longo dessa dissertação. Diferentemente do exposto acima, nem sempre se conhece completamente a ação da teoria em altas energias ou o seu comportamento fenomenológico. A teoria bottom-up se faz necessário nessas circunstâncias e uma figura esquemática desse comportamento é explicitado abaixo

Figura 5: Ilustração do procedimento bottom-up na EFT.

Em primeiro lugar deve distinguir os graus de de liberdade de maior e menor ener-gia em relação ao cutoff Λ = 𝐸ℎ𝑖. Em prática, uma teoria bottom-up é complicada pelo

fato de seus graus de liberdade de baixa energia terem características bem distantes dos de altas energias. Os primeiros são criados de acordo com as simetrias fenomenológicas

impostas ao problema e a sua estruturação é estabelecida por diferentes perspectivas

físicas (CONTINO et al.,2016). Além de ser importante estarem correlacionados com as informações que experiências de baixa energia fornecem. Desse modo, existe uma restri-ção a criarestri-ção de operadores irrelevantes ao sistema, gerando o que podemos chamar de

Princípio da Universalidade.

∙ Universalidade: Sistemas com diferentes comportamentos a curtas distâncias

Capítulo 2. Effective Field Theory 29

Ou seja, o estudo do sistema em baixas energias é independentemente da descrição das suas interações fundamentais. A teoria, mesmo assim, é estendida para adicionar termos a medida que acoplamentos de alta energia se tornem importantes, independente de conhecer essas novas interações de forma precisa, somente é importante os seus efeitos de simetria. O desenvolvimento é feito com

ℒ𝑒𝑓 𝑓 →

∑︁

𝑛

ℒ(𝑛)_{. (2.4)}

Onde 𝑛 representa a ordem (energia) da Lagrangeana e está diretamente relacio-nada com a precisão a qual se pretende alcançar o Λ, com _Λ1 a ordem de correção dado e garante o caráter renormalizável dos termos. A bottom-up é mais eficaz que a top-down, por uma razão mais pragmática, já que é mais fácil reproduzir experimentos dentre uma escala de energia acessível e averiguar acoplamentos ou simetrias desnecessários. A medida que 𝐸 ∼ Λ os termos não renormalizáveis oriundos de efeitos de altas energias aparecem relevantes e as quebras de simetrias são levadas em conta para ordens 𝑛 ≥ 1. Exemplos de aplicação bottom-up são a Teoria Quiral (MACHLEIDT; ENTEM, 2011), o Modelo Padrão (HENNING; LU; MURAYAMA,2016) e a Relatividade Geral (BURGESS,2004).

2.3

Renormalização

Técnicas de renormalização desenvolvidas inicialmente por Wilson e amplamente utilizados nos trabalhos de Grupo de Renormalização (GR) de TQC tem o propósito de trabalhar com observáveis em contextos de altas energias. A EFT assim como a TQC pode ser renormalizável ou não-renormalizável, a depender dos termos de acoplamento que a compõem (BUCHLER; COLANGELO, 2003). É interessante notar que a regularização acaba com o poder preditivo das variáveis de altas energias, por ser um fator que limita a integração e por assim dizer, reformula tanto as constantes de acoplamento quanto a ação em função de um cutoff Λ. Os termos não-renormalizável da Lagrangeana são consi-derados “irrelevantes” e suas predições são dependentes de Λ o que configuraria em uma teoria potencialmente “não físicas”. No entanto, pela EFT os termos não-renormalizáveis e renormalizáveis são capazes de nos dá uma predição finita e por isso podem ser incor-porados na expansão Lagrangeana, considerando caso por caso, a depender do modelo bottom-up ou top-down utilizado. A Lagrangeana efetiva,

ℒeff= ℒ≤𝐷+ ℒ𝐷+1+ ℒ𝐷+2+ ...ℒ𝐷+𝑛, (2.5)

onde 𝐷 é a dimensão, que no caso da dissertação será 𝐷 = 4. O primeiro termo da somatório é independente da escala de energia, por isso é renormalizável, enquanto os

outros termos de dimensões maiores que 4 são não-renormalizáveis e não-locais.

∙ Localidade: Campos em diferentes pontos do espaço-tempo possuem campos e

flutu-ações quânticos com graus de liberdade independentes.

Entretanto, até que ponto isso afeta o caráter preditivo da EFT, porque teorias não-renormalizáveis podem produzir predições finitas, mesmo se elas forem dependen-tes da escala Λ. A bottom-up é renormalizável se sua ação 𝑆𝑒𝑓 𝑓(Λ) é finita sempre que

Λ → ∞, isto é, suas divergências serão absorvidos em um grande número de parâmetros, de modo a retirar cada termo não-renormalizável e respeitar as simetrias da Lagrangeana. Cada ordem em 2.5 deve ser construída de forma cuidadosa. Cada termo adicionado na Lagrangeana irá mudar analiticamente e fenomenologicamente a natureza das interações. Isso será visto no capítulo 6 onde se incorporará uma nova variável, a fim de satisfazer critérios de estabilidade na EFT aplicada a hidrodinâmica.

Parte II

3 Fluido Ideal

A hidrodinâmica possui um largo número de aplicações em fenômenos físicos, pode-se ver na física de Buracos Negros, Cosmologia, Efeitos Magnéticos e QGP. Nespode-se capí-tulo enunciaremos aspectos elementares da EFT aplicado a hidrodinâmica. Introduzindo os principais conceitos com o intuito de preparar o leitor para os capítulos subsequentes onde a teoria será mais aprofundada e detalhada. Veremos como a hidrodinâmica surge de forma natural da ação, juntamente com seus termos dissipativos. Deseja-se que o leitor tenha capacidade de compreender a maior parte dos tópicos abordados e para começar vamos ver a hidrodinâmica sendo organizada como uma teoria de campo em função de graus de liberdade de baixa energia, depois fixar as suas simetrias e então escrevê-la na forma mais geral pela ação.

3.1

Teoria Clássica

A revisão teórica, nesse capítulo, abordará a Hidrodinâmica Euleriana reformulada na perspectiva da linguagem da EFT pela construção de seus conceitos básicos. Primeiro, definiremos as variáveis importantes a serem trabalhadas no intervalo de energia conside-rado que está compreendida entre

𝑙𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜 ⏟ ⏞ 𝑠1/3_{∼1/𝑇𝑜} ≪ 𝑙𝑚𝑓 𝑝 ⏟ ⏞ 𝜂 𝑠𝑇 ≪ 𝑙𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 ⏟ ⏞ 𝑅∼𝜖/𝜕𝜇𝜖 , (3.1)

onde 𝜖 é a densidade de energia, 𝑠 a entropia, 𝜂 a viscosidade shear e 𝑅 a dimensão macroscópica do sistema proporcional ao inverso do gradiente de variáveis macroscópicas. Igualmente feito na expansão de parâmetros da subseção 2.1.2, temos 𝐸_𝑐−1 ∼ _𝑠𝑇𝜂 ∼ com-primento de onda dissipativo, 𝐸𝑙𝑜 ∼ 𝑅−1 e 𝐸ℎ𝑖∼ 𝑇𝑜 ∼ energia de excitação dos graus de

liberdade microscópicos, já que nesse momento ignoramos a nossa falta de conhecimento dos parâmetros Ultra Violeta, onde 𝑇−1

𝑜 é a distância em que esses graus de liberdade se

tornam relevantes ao sistema e na ausência desse cutoff Λ ∼ 𝑇𝑜 os aspectos quânticos são

importantes (BURCH; TORRIERI, 2014).

A inequação 𝑙𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜 ≪ 𝑙𝑚𝑓 𝑝é importante, pois no momento que o 𝑙𝑚𝑓 𝑝é tão pequeno

quanto o cutoff as flutuações térmicas começam a excitar graus de liberdade hidrodinâ-micos (BURCH; TORRIERI,2015). Não faremos nenhuma referência a teorias microscó-picas, a exemplo da equação de Boltzmann baseada na teoria cinética e tradicionalmente utilizada para calcular propriedades de transporte de sistemas fracamente interagentes

Capítulo 3. Fluido Ideal 33

(CHAPMAN; COWLING, ; CERCIGNANI,b).

Utilizaremos uma abordagem um pouco diferente, ao invés de considerar equa-ções de movimento da conservação da energia, momento e da carga, reformularemos a hidrodinâmica pelo princípio da mínima ação, após introduzirmos as simetrias relevan-tes da termodinâmica. Genericamente a ação construída terá um conjunto de gradienrelevan-tes (quebras de simetria) a qual se analisará, primeiramente, os termos de baixa frequência e momento, os outros de mais alta frequência serão correções futuras da hidrodinâmica dissipativa.

3.1.1

Graus de Liberdade

Agora iremos delinear os graus de liberdade do fluido que farão parte da desigual-dade 𝑙𝑚𝑓 𝑝 ≪ 𝑙𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 na inequação 3.1. Vamos considerar, inicialmente, um elemento de

fluido no espaço com dimensão espaciais 𝑑 = 3, onde cada elemento de volume será para-metrizado por coordenadas “Lagrangeanas” 𝜑𝐼 _{(campos escalares) em função do tempo}

𝑡 e da posição física ⃗𝑥 que é uma coordenada “Euleriana” (CHILDRESS, ; ENDLICH et al., 2011).

𝜑𝐼 = 𝜑𝐼(⃗𝑥, 𝑡), 𝐼 = 1, 2, 3. (3.2) Não existe diferença física entre essas duas descrições, podendo escolher, também,

⃗

𝑥 como coordenada “Lagrangeana” e 𝜑𝐼 _{como coordenada “Euleriana”. As coordenadas}

Lagrangeanas se caracterizam por acompanhar a partícula através da sua trajetória, de tal forma que o própio ⃗𝑥 é dependente do tempo, logo o fluido fica descrito unicamente

pela variável do tempo 𝑡 (CHILDRESS, ). Isso não constitui nenhuma simetria da natu-reza, apenas é mais fácil de trabalhar visto que ao usar o princípio da mínima ação, ela não possui tantos multiplicadores de Lagrange quanto a descrição Euleriana. A descrição Euleriana, equivalente á Lagrangeana, estuda as propriedades do fluido ao especificar uma função do espaço e tempo, tecnicamente é mais utilizada em cálculos numéricos.

Prefere-se a primeira, pois é mais fácil de estudar simetrias internas nesse referen-cial e a invariância do traço de Poincaré é direta (ENDLICH et al., 2011). Ao descrever o fluido por campos escalares o acoplamento com outros campos torna-se direta, a exem-plo do campo magnético, elétrico, gravitacional e outros. As novas coordenadas estão representadas esquematicamente pela figura abaixo.

Em um dado momento de tempo “t”, as coordenadas de um elemento de fluido são

𝜑1_{(⃗𝑥, 𝑡), 𝜑}2_{(⃗𝑥, 𝑡), 𝜑}3_{(⃗𝑥, 𝑡) para um dado ⃗𝑥 e um tempo 𝑡, desse jeito todas as propriedades} do fluido: entropia, coeficiente de transporte, velocidade e outras variáveis serão descritas por 𝜑𝐼 e suas derivadas, como será visto ao longo dessa dissertação.

Figura 6: Representa um elemento de fluido parametrizado por eixos de campo escalar 𝜑𝐼_,

os eixos cartesianos no fundo é para mostrar que não existe uma parametrização direta como nas redes cristalina.

3.1.2

Simetrias

A fim de prosseguirmos no estudo, deve-se fazer uma escolha de forma a “alinhar” os campos escalares 𝜑𝐼 (adimensionais) com as coordenadas de dimensões física ⃗𝑥. Os 𝜑𝐼 se transformam como escalares. Uma convenção particular: Em um dado referencial do fluido, demandamos uma configuração estática e homogênea tal qual as coordenadas Eulerianas e Lagrangeanas se alinham de uma forma a estabelecer o ground state do sistema, sendo o fluido barotrópico, quer dizer, a densidade só depende da pressão (DUBOVSKY et al.,

2012),

⟨𝜑𝐼⟩ = 𝑥𝐼, (𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜). (3.3)

Como pode ser visto na figura abaixo. Após isso, é fundamental designar simetrias internas: a evolução acontece no mesmo ponto do espaço-tempo, pois a dinâmica dos fluidos pode ser entendida em termos delas. Será descrito aquelas associadas ao fluido ideal na EFT. 𝜑𝐼 → 𝜑𝐼+ 𝑎𝐼, 𝑎𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, (3.4) 𝜑𝐼 → 𝑅𝐼 𝐽𝜑 𝐽_{, 𝑅}𝐼 𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3), (3.5)

onde a Eq. 3.4 representa uma operação de translação espacial e a Eq. 3.5 uma operação de rotação com 𝑅𝐼

𝐽 do grupo 𝑆𝑂(3). Essas duas simetrias não permitem, ainda,

diferenciar um líquido de um sólido isotrópico. Essa diferença física é evidenciada ao se aplicar uma tensão de cisalhamento no sólido, caso não haja ruptura da sua rede crista-lina, o elemento de volume estará sujeito a restaurar seu volume inicial, diferentemente dos fluidos ideais que continuam o fluxo de maneira indefinida (desconsiderando efeitos

dissi-Capítulo 3. Fluido Ideal 35

Figura 7: Representa um elemento de fluido no estado fundamental onde os eixos dos campos 𝜑𝐼 _{se alinham com os eixos cartesianos 𝑥}𝐼_{, por meio de ⟨𝜑}𝐼_{⟩ = 𝑥}𝐼_.

pativos) (ENDLICH et al., 2011). Em relação a isso será adicionado mais uma simetria, a preservação do volume pelo difeomorfismo:

𝜑𝐼 → 𝜉𝐼_(𝜑𝐽_{), 𝑑𝑒𝑡(𝜕𝜉}𝐼_/𝜕𝜑𝐽_{) = 1. (3.6)}

O difeomorfismo é uma função inversível que mapeia uma variedade diferenciá-vel em outra. Variedades diferenciáveis são topologias globalmente diferenciáveis, ( MUN-KRES, ). A 3.6 não representa uma trivial reetiquetagem dos campos 𝜑𝐼_{, mas sim,}

cor-responde a uma preservação dinâmica dos elementos de volume se movendo fisicamente, sem considerar uma expansão e contração do fluido.

Precisamos encontrar a Lagrangeana genérica que obedece as simetria 3.4 á 3.6. Logo, a Eq.3.4 força a Lagrangeana a depender de derivadas de 𝜑𝐼_{, ℒ ∼ 𝜕}

𝜇𝜑𝐼 . A Eq.3.5

mais a invariância de Poincaré: Simetrias de Lorentz + translação espacial e temporal faz uma dependência em ℒ ∼ 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽, sendo 𝐵𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽, onde 𝐵𝐼𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3) e a Eq. 3.6 seleciona o escalar ou o determinante de 𝐵𝐼𝐽 de maneira a preserva a simetria pelo

difeomorfismo, (DUBOVSKY et al.,2012;DUBOVSKY et al., 2006).

𝐵 = 𝑑𝑒𝑡|𝐵𝐼𝐽| = 𝑑𝑒𝑡|𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽|. (3.7)

A Lagrangeana utilizada é

ℒ = 𝐹 (𝐵) = 𝐹 (𝑑𝑒𝑡|𝐵𝐼𝐽|), (3.8)

onde 𝐹 (𝐵) é uma função suave e inversível. Para uma descrição completa do fluido as outras variáveis termodinâmicas serão fornecidas pela conservação do tensor

energia-momento.

𝑇𝜇𝜈 = 𝜕ℒ

𝜕(𝜕𝜈𝜑)

𝜕𝜇𝜑 − ℒ𝑔𝜇𝜈. (3.9)

Substituindo a Lagrangeana de um fluido ideal relativístico dado pela Eq. 3.8 na equação acima temos,

𝑇𝜇𝜈 = −2𝐵𝑑𝐹

𝑑𝐵𝐵

−1

𝐼𝐽𝜕

𝜇_𝜑𝐼_𝜕𝜈_𝜑𝐽 _{+ 𝐹 𝑔}𝜇𝜈_{. (3.10)}

Onde 𝐵_𝐼𝐽−1 é a inversa da matriz 𝐵𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽 e introduziremos o conhecido

tensor na linguagem da EFT

Δ𝜇𝜈 ≡ ⟨𝐵_𝐼𝐽−1𝐴𝜇𝜈𝐼𝐽⟩ = 𝑢𝜇𝑢𝜈 + 𝑔𝜇𝜈, (3.11) onde 𝐴𝜇𝜈𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽, 𝑢𝜇 é o quadrivetor velocidade normalizado 𝑢𝜇𝑢𝜇 = −1,

𝑢0 > 0 e a métrica do espaço tempo 𝑔𝜇𝜈, (BURCH; TORRIERI, 2015). O tensor energia-momento de um fluido ideal (LANDAU; LIFSHITZ, ) dado por

𝑇𝜇𝜈 = (𝑝 + 𝜖)𝑢𝜇𝑢𝜈 + 𝑝𝑔𝜇𝜈. (3.12) Onde 𝜖 é densidade de energia e 𝑝 a pressão, então temos

𝜖 = −𝐹 (𝐵), (3.13)

𝑝 = 𝐹 (𝐵) − 2𝐵𝐹′(𝐵). (3.14)

É fácil ver que, 𝑝 depende de 𝜖 e o fluido ideal é barotrópico. A identificação das outras variáveis termodinâmicas se dá pela relação de Gibbs-Duhem 𝜖 + 𝑝 = 𝑠𝑇 + 𝑛𝜇, juntamente com outras relações _𝜕𝑠𝜕𝜖 = 𝑇 e _𝜕𝑇𝜕𝑝 = 𝑠 e com isso temos,

𝑇 = 𝑇𝑜

√

𝐵𝑑𝐹

𝑑𝐵, (3.15)

𝑠 = 𝑇_𝑜3√𝐵. (3.16)

A determinação da equação de estado 𝐹 (𝐵) é única, juntamente com o tensor

3.10. Todas as equações da dinâmica do fluido para (𝐼, 𝐽 ) = {1, 2, 3} estão codificadas na equação de conservação 𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈 = 0.

Capítulo 3. Fluido Ideal 37

Outra igualdade vetorial relacionada é a conservação do campo 𝜑 em

𝑢𝜇(𝑥)𝜕𝜇𝜑 =

𝑑𝜑(𝑥)

𝑑𝜏 = 0. (3.17)

Onde o tempo das coordenadas “Lagrangeanas” 𝜏 parametriza a streamline, ou seja um conjunto de curvas tangenciais ao campo de velocidade do fluido que indicam a direção do movimento do mesmo, e a derivada desaparece, porque as coordenadas são mantidas fixas pelo uso do referencial comóvel (“Lagrangiano”) (ENDLICH et al., 2011). Outra variável importante é o quadrivetor velocidade 𝑢𝜇_{(𝑥) definido como perpendicular}

aos gradientes das coordenadas do fluido pela equação 3.17, obtemos

𝑢𝜇≡ 1 3!√𝐵𝜖

𝜇𝛼𝛽𝛾_𝜖

𝐼𝐽 𝐾𝜕𝛼𝜑𝐼𝜕𝛽𝜑𝐽𝜕𝛾𝜑𝐾, (3.18)

e por definição temos

𝑢𝜇≡ 𝐾 𝜇 √ 𝐵, 𝐵 ≡ −𝐾𝜇𝐾 𝜇_{, (3.19)} de modo que 𝐾𝜇≡ 1 3!𝜖 𝜇𝛼𝛽𝛾_𝜖 𝐼𝐽 𝐾𝜕𝛼𝜑𝐼𝜕𝛽𝜑𝐽𝜕𝛾𝜑𝐾. (3.20) Onde 𝜖0123 _{= −𝜖}

1023 = 1 é o símbolo de Levi-Cita em 4 dimensões. Por sua propriedade anti-simétrica o vetor 3.20 se conserva

𝜕𝜇𝐾𝜇 = 𝜕𝜇(

√

𝐵𝑢𝜇) = 0. (3.21)

A entropia 𝑠 ∼ √𝐵, então √𝐵𝑢𝜇 é o fluxo de entropia conservado pela equação acima. As variáveis 𝑝, 𝜖, 𝐾𝜇, 𝑇𝜇𝜈 e 𝑢𝜇 são invariantes sobre as simetrias internas 3.4 á

3.6. Por questão de conveniência e praticidade, mesmo que tenhamos definido na seção

3.1.1 o 𝜑𝐼 _{como variável fundamental, escolheremos 𝑢}𝜇 _{e 𝐵 como fundamentais (BURCH;} TORRIERI, 2014).

Exemplos

Consideramos um exemplo com o intuito de elucidar o cálculo das equações de estado de um fluido relativístico e sem cargas, ao aplicar onde sua equação de estado é descrita como 𝑝 = 𝜖₃ e ao ser aplicada em3.13e3.14resulta na equação 𝐹 (𝐵)−2𝐵𝐹′(𝐵) = −𝐹 (𝐵)₃ . Após algumas manipulações algébricas temos 𝐹′(𝐵) = 2₃𝐹 (𝐵)_𝐵 , o que resulta na

Lagrangeana que descreve um fluido relativístico ℒ = 𝐹 (𝐵) = 𝑇4

𝑜𝐵2/3. Usando a relação

de Gibs-Duhen descobrimos a expressão das outras grandezas termodinâmicas.

⟨𝜖⟩ = 𝑇4 𝑜𝐵 2/3_{, ⟨𝑝⟩ =} ⟨𝜖⟩ 3 , ⟨𝑠⟩ = 𝑇 3 𝑜 √ 𝐵, ⟨𝑇 ⟩ = 4 3𝑇𝑜𝐵 1/6_{. (3.22)}

3.2

Fluido Carregado

Até agora trabalhamos em sistemas com potencial químico igual a zero, contudo, os fluidos não se resumem a isso. Nos fluidos carregados as partículas podem corresponder a elétrons, bayrons, antibayrons, quark e outras, sendo o número total das partículas é conservado. A dinâmica desses fluidos sob a perspectiva da EFT necessita ser estabelecida por um grau de liberdade e simetria como feito na seção prévia. Para essa descrição não se pode utilizar os graus de liberdade 𝜑𝐼_{, pois eles atuam na descrição física do elemento}

de volume do fluido e não são compactos (DUBOVSKY et al., 2012), além de não se transformarem da mesma forma como a simetria responsável pela conservação da carga,

𝑈 (1).

∙ A simetria 𝑈 (1) é um exemplo de Grupo de Lie, responsável pela rotação no plano complexo e é identificada por vetores unitários, 𝑒𝑖𝜃_{, 𝜃 o ângulo de rotação. Esse vetor}

pode ser pensado como uma matriz unitária (RUBAKOV, 2002).

De acordo com a definição de 𝑈 (1) e encarando o caráter não compacto do con-junto, a solução é utilizar uma fase real 𝜓(⃗𝑥, 𝑡) o qual obedece a relação

𝑈 (1) : 𝜓(⃗𝑥, 𝑡) → 𝜓(⃗𝑥, 𝑡) + 𝑎, (3.23) onde 𝑎 é uma constante. em uma análise fenomenológica estamos considerando um fluido ideal onde a corrente é paralela ao campo de velocidade das cargas, as partículas se movem na mesma direção que as coordenadas “comóveis” 𝑗𝜇_{∼ 𝑢}𝜇_{. Então podemos impor}

que

𝑗𝜇= 𝑛𝑢𝜇. (3.24)

Onde 𝑢𝜇 _{é a velocidade quadridimensional, 𝑛 é a densidade de carga e 𝑗}𝜇 _{é a}

corrente de carga. Diferentemente dos líquidos em estado superfluido no qual dois tipos de ondas aparecem com a inclusão do potencial químico 𝜇 (LANDAU; LIFSHITZ, ). A equação 3.24 significa uma simetria da conservação de carga U(1) e independe da

Capítulo 3. Fluido Ideal 39

conservação de 𝜑𝐼_{, ou seja, o campo de velocidade da carga é independente do campo de}

velocidade de 𝜑𝐼_{. Então 𝜓 e 𝜑}𝐼 _{podem ser estudados separadamente e se reformula 3.24}

com

𝑈 (1) : 𝜓(⃗𝑥, 𝑡) → 𝜓(⃗𝑥, 𝑡) + 𝑓 (𝜑𝐼). (3.25) Onde 𝑓 (𝜑𝐼_{) é uma função arbitrária e dependente de 𝜑}𝐼 _{(ENDLICH et al., 2011).}

Agora, através da simetria expressa na equação 3.17 e aplicando 𝐾𝜇 _{na3.25 obtemos}

𝐾𝜇𝜕𝜇𝜓, (3.26)

um invariante escalar. Logo, associa-se uma variável intensiva a essa quantidade (potencial químico) definida por

𝑦 ≡ 𝑢𝜇𝜕𝜇𝜓 = 1 √ 𝐵𝐾 𝜇_𝜕 𝜇𝜓. (3.27)

A mais baixa ordem para descrever a Lagrangeana pelo bottom-up é

𝑆 =

∫︁

𝐹 (𝐵, 𝑦)𝑑𝜑𝑑𝜓. (3.28)

Repetindo o mesmo procedimento em 3.9, podemos reescrever o tensor energia-momento como

𝑇𝜇𝜈 = (𝐹𝑦𝑦 − 2𝐹𝐵𝐵)𝐵𝐼𝐽−1𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 + (𝐹 − 𝐹𝑦𝑦)𝑔𝜇𝜈, (3.29)

e as novas variáveis termodinâmicas serão dadas por

𝜖 = 𝐹𝑦𝑦 − 𝐹, 𝑝 = 𝐹 − 2𝐹𝐵𝐵, (3.30)

𝑠 =√𝐵, 𝜇 = 𝑦, (3.31)

𝑛 = 𝐹𝑦, 𝑇 = −𝐹𝐵. (3.32)

A teoria de campo escolhe (𝑦, 𝐵, 𝑢𝜇_{) como variáveis fundamentais na descrição de}

um fluido ideal carregado. A corrente de Noether, (GOLDSTEIN; POOLE; SAFKO, ), associada com a simetria em 3.25 é

𝑗𝜇= 𝜕𝐹

𝜕𝑦𝑢

𝜇 _{≡ 𝐹}