Lei de controle

A lei de controle 𝑢 deve ser projetada a fim de garantir que _̃︀x alcance a superfície de deslizamento 𝑠(x, 𝑡) = 0 em um intervalo de tempo finito, e uma vez atingida essa superfí- cie, permaneça deslizando sobre a mesma indefinidamente. O procedimento para obter a lei de controle 𝑢 que satisfaz a condição a condição de escorregamento, será ilustrado para o seguinte sistema de segunda ordem e uma única entrada (Slotine et al., 1991):

¨

𝑥 = 𝑓 (𝑥, ˙𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑡) + 𝑑(𝑡), (2.50)

com 𝑥 como a saída de interesse, 𝑓 (𝑥, ˙𝑥, 𝑡) é a dinâmica possivelmente não conhecida exa- tamente e que portanto será estimada como ˆ𝑓 (𝑥, ˙𝑥, 𝑡), 𝑢(𝑡) é a entrada de controle e 𝑑(𝑡) é um distúrbio. Para simplificar as notações, a dependência das funções 𝑓, ˆ𝑓 e 𝐹 em relação às variáveis (𝑥, ˙𝑥) e o tempo 𝑡 será omitida. A estimação do erro em 𝑓 , é assumida ser limitada por um valor máximo de erro de modelagem 𝐹 = 𝐹 (𝑥, ˙𝑥):

⃒ ⃒ ⃒ ˆ 𝑓 − 𝑓 ⃒ ⃒ ⃒≤ 𝐹. (2.51)

Define-se então a superfície de deslizamento segundo a equação 2.44

𝑠 = (𝑑

𝑑𝑡 + 𝜆)x = ˙̃︀ ̃︀𝑥 + 𝜆̃︀𝑥. (2.52)

Para a obtenção da lei de controle do sistema, deriva-se a equação 2.52 em relação ao tempo, que na ausência de erros de modelagem e distúrbios pode ser escrita como:

a lei de controle que atinge 𝑠 = ˙𝑠 = 0 é dada por:

ˆ

𝑢 = − ˆ𝑓 + ¨𝑥𝑑− 𝜆 ˙̃︀𝑥. (2.54) O termo ˆ𝑢 conhecido como lei de controle equivalente pode ser interpretado como a me- lhor estimativa para satisfazer a equação 2.47. Para considerar as incertezas do modelo, deve-se adicionar um termo descontínuo ao longo da superfície 𝑆(𝑡), alterando a lei de controle para:

𝑢 = ˆ𝑢 − 𝑘 𝑠𝑔𝑛(𝑠), (2.55)

𝑢 = − ˆ𝑓 + ¨𝑥𝑑− 𝜆 ˙̃︀𝑥 − 𝑘 𝑠𝑔𝑛(𝑠). (2.56) Substituindo a equação 2.56 na equação 2.53 obtemos:

˙𝑠 = 𝑓 + 𝑢 − ¨𝑥_̃︀𝑑+ 𝜆 ˙𝑥,̃︀

˙𝑠 = 𝑓 − ˆ𝑓 + ¨𝑥𝑑− 𝜆 ˙𝑥 + ¨̃︀ 𝑥𝑑− 𝜆 ˙𝑥 − 𝑘 𝑠𝑔𝑛(𝑠) − ¨̃︀ 𝑥̃︀𝑑+ 𝜆 ˙𝑥,̃︀

˙𝑠 = 𝑓 − ˆ𝑓 − 𝑘 𝑠𝑔𝑛(𝑠). (2.57)

Sendo 𝑘 um ganho definido no projeto que é chaveado pela função sinal (𝑠𝑔𝑛), que tem os seguintes valores:

𝑠𝑔𝑛(𝑠) = +1, se 𝑠 > 0,

𝑠𝑔𝑛(𝑠) = −1 ; se 𝑠 < 0.

Escolhendo 𝑘 para garantir a condição de escorregamento temos:

1 2 𝑑 𝑑𝑡𝑠 2 _{= ˙𝑠𝑠 =}[︁_{𝑓 − ˆ𝑓 − 𝑘 𝑠𝑔𝑛(𝑠)}]︁_{𝑠 = (𝑓 − ˆ𝑓 )𝑠 − 𝑘 |𝑠| .} (2.58)

Desta maneira se definirmos:

𝑘 = 𝐹 + 𝛽, (2.59)

substituindo a equação 2.59 em 2.58 temos:

1 2 𝑑 𝑑𝑡𝑠 2 = (𝑓 − ˆ𝑓 )𝑠 − (𝐹 − 𝛽) |𝑠| , 1 2 𝑑 𝑑𝑡𝑠 2 = 𝐹 𝑠 − 𝐹 𝑠 − 𝛽𝑠, 1 2 𝑑 𝑑𝑡𝑠 2 _{≤ −𝛽 |𝑠| .} (2.60)

A equação resultante 2.60, é obtida como esperado verificando a condição da equação anterior 2.47, satisfazendo a condição de deslizamento. Pode-se notar a partir da equação 2.59 que a descontinuidade do controle 𝑘 sobre a superfície 𝑆 = 0, aumenta de acordo com a me- dida das incertezas paramétricas. Entretanto, mediante a presença de imprecisões no modelo e

distúrbios, a lei de controle se mostra descontínua cruzando a superfície 𝑆(𝑡). Uma vez que o chaveamento associado ao controle na prática não é instantâneo e também porque o valor de 𝑠 não é conhecido com precisão infinita, isto leva ao chattering, que pode ser visto na figura 2.13. Estas oscilações além de provocar o desgaste dos atuadores (propulsores e superfícies de controle aerodinâmico) e podem excitar dinâmicas não modeladas de alta frequência. Este comportamento tende a ser mais pronunciado quanto maior forem as incertezas no sistema.

Para exemplificar os conceitos apresentados, considere-se o sistema dado pelo exemplo apresentado em Hung et al. (1993) e Azcue Puma et al. (2013), usando um sistema de segunda ordem (𝑛 = 2), cujo diagrama de blocos é apresentado na figura 2.7:

Figura 2.7: Diagrama de blocos do sistema de segunda ordem (𝑛 = 2). Fonte: Hung et al. (1993), Azcue Puma et al. (2013).

O sistema é modelado em espaço de estados e tem as seguintes equações:

˙𝑥1 = 𝑥2, (2.61)

˙𝑥2 = −𝑥1 + 2𝑥2+ 𝑢, (2.62)

com 𝑢 = −𝑘𝑥1, sendo 𝑘 = 𝛼(𝑠𝑔𝑛) definido no projeto que é chaveado pela função sinal (𝑠𝑔𝑛).

Com 𝛼 = 4, seguimos com os seguintes valores:

⎧ ⎨ ⎩ 𝑠𝑔𝑛(𝑠) = +1, se 𝑠(𝑥1, 𝑥2) > 0, 𝑢 = −4𝑥1; 𝑠𝑔𝑛(𝑠) = −1 ; se 𝑠(𝑥1, 𝑥2) < 0, 𝑢 = +4𝑥1, (2.63)

definindo uma função de chaveamento como:

𝑠(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝜎; (2.64)

𝜎 = 0.5𝑥1+ 𝑥2. (2.65)

Quando a função de chaveamento 𝑠(𝑥1, 𝑥2) for igual a zero, esta função define uma su-

perfície de chaveamento de 𝑛 − 1 dimensões num espaço de 𝑛 dimensões. Então, essa superfície sempre possui uma dimensão a menos do que o sistema e, nesse caso, a superfície se transforma

numa reta. As retas de chaveamento 𝑥1 = 0 e 𝜎 = 0, conforme ilustrado na figura 2.8, dividem o plano de fase em regiões. Para satisfazer a condição 𝑠(𝑥1, 𝑥2) = 0 considera-se que 𝑥1 = 0

ou que 𝜎 = 0.5𝑥1 + 𝑥2 = 0. Considerando-se, separadamente, as regiões I e II definidas por

𝑠(𝑥1, 𝑥2) > 0 e 𝑠(𝑥1, 𝑥2) < 0, respectivamente, serão obtidos os seguintes subsistemas:

Figura 2.8: Regiões definidas pela superfície de chaveamento 𝑠(𝑥1, 𝑥2) = 0. Fonte: Hung et al.

(1993), Azcue Puma et al. (2013).

Subsistema I: ⎧ ⎨ ⎩ ˙𝑥1 = 𝑥2, ˙𝑥2 = −5𝑥1+ 2𝑥2, (2.66) Subsistema II: ⎧ ⎨ ⎩ ˙𝑥1 = 𝑥2, ˙𝑥2 = 3𝑥1+ 2𝑥2. (2.67)

O plano de fase para os subsistemas I e II são representados nas Figuras 2.9 e 2.10, respectivamente.

A partir de 𝑚 entradas de controle, o plano de fase do sistema dado pelas equações 2.62 ser composto através de 2𝑚 subsistemas, selecionados pela lei de chaveamento expressa pela função sinal(𝑠). O comportamento resultante será descrito através das trajetórias do sistema sobre a superfície de chaveamento 𝑠(𝑥1, 𝑥2) = 0. A figura 2.12, ilustra o plano de fase resultante

da composição de ambos os subsistemas através das funções de chaveamento anteriormente propostas.

Figura 2.9: Plano de fase do subsistema I. Fonte: Hung et al. (1993), Azcue Puma et al. (2013).

Figura 2.10: Plano de fase do subsistema II. Fonte: Hung et al. (1993), Azcue Puma et al. (2013).

Figura 2.11: Plano de fase, modos de aproximação a um ponto da superfície e deslizamento. Fonte: Hung et al. (1993), Azcue Puma et al. (2013).

Sobre a reta 𝑥1 = 0, as trajetórias de fase das regiões I e II são unidas sem qualquer

sobre a direção do movimento (Hung et al. (1993), Azcue Puma et al. (2013)). Sobre a reta 𝜎 = 0.5𝑥1+𝑥2 = 0, a qual é, em si mesma, uma equação dinâmica, a trajetória do sistema se dá sobre

a própria linha de chaveamento, pois a reta 𝜎 = 0 contém somente pontos finais das trajetórias vindas de ambos os lados, estabelecendo assim uma trajetória especial sobre 𝜎 = 0. Este tipo de movimento é denominado modo deslizante e suas soluções dependem somente do ganho associado à variável de estado 𝑥1. O movimento do sistema acontece em duas etapas, o modo de

convergência também denominado modo de aproximação (como mostra a figura 2.11), quando, a partir de qualquer ponto inicial, o estado do sistema é conduzido em direção à superfície de chaveamento (ou reta de chaveamento, como no exemplo) e alcança-a em tempo finito e, uma vez que o estado atinge essa superfície, é conduzido sobre ela, diretamente para a origem do plano, esta condição é chamada de modo deslizante. Garantida a condição de convergência para o controle em modos deslizantes, a origem representa o estado de equilíbrio do sistema. Devido ao curso do modo deslizante, a trajetória do estado coincide com a reta de chaveamento 𝜎 = 0, sua equação pode ser interpretada como a equação do movimento, do tipo ˙𝑥 + 𝑐𝑥 = 0 (uma equação diferencial de primeira ordem), cuja solução é do tipo 𝑥1(𝑡) = 𝑥1(𝑡0)𝑒−𝑐(𝑡−𝑡0):

0.5𝑥1+ ˙𝑥1 = 0. (2.68)

Esta solução é insensível à variação dos parâmetros da planta e a distúrbios não modela- dos. Esta propriedade é muito importante para esta abordagem, lhe conferindo robustez Utkin et al. (2009) denomina essa propriedade de invariância e é bastante interessante do ponto de vista de projeto de controladores com realimentação, manifestando-se apenas durante a etapa de modos deslizantes. A trajetória percorrida pelo estado do sistema a partir de um ponto inicial arbitrário pode ser vista na figura 2.12. Iniciando na região II, o sistema evolui e passa para a região I e a seguir atinge a superfície de chaveamento, sendo então conduzido à origem do plano.

Figura 2.12: Plano de fase resultante da aplicação da função de chaveamento. Fonte: Hung et al. (1993), Azcue Puma et al. (2013).