Inicialmente, efetuamos um levantamento de amostra significativa de livros didáticos de Cálculo nos acervos das bibliotecas das Instituições Oswaldo Cruz, PUC-SP e USP.
A amostra se constituiu em 34 livros abrangendo o período de 1963 a 2002. Essa diversidade nos levou à elaboração de critérios para selecionar o livro a ser analisado nesta pesquisa.
Após o levantamento, efetivamos uma classificação dos livros utilizando o referencial de Tall (1997), o qual apresenta três abordagens para o ensino do Cálculo:
I. O Cálculo imerso no mundo real;
II. O Cálculo teórico que envolve representações numéricas, gráficas e simbólicas;
III. O Cálculo formal que utiliza definições-teoremas-provas.
Autores de livros didáticos também apresentam divergências de pontos de vista na elaboração de seus livros:
Parece não haver acordo sobre o que deva constituir um primeiro curso de Cálculo e Geometria Analítica. Insistem alguns que a única via para compreender realmente o Cálculo principia com um estudo completo do sistema dos números reais, desenvolvendo passo a passo de uma maneira lógica e rigorosa. Argumentam outros que o Cálculo é fundamentalmente um instrumento para engenheiros e físicos; conseqüentemente acreditam que o curso deve conduzir às aplicações do Cálculo, fazendo apelo à intuição para, depois, pela prática de resolução de problemas, desenvolver a destreza manipulatória. Há muito de correto em ambos os pontos de vista. O Cálculo é uma ciência dedutiva e um ramo da Matemática Pura. Ao mesmo tempo é muito importante lembrar que o Cálculo tem raízes profundas em problemas físicos e que muito de sua potência e beleza deriva da variedade de suas aplicações.
Essas possíveis abordagens nos permitiram elaborar três critérios para categorizar os livros de Cálculo:
• Primeiro critério (C1) – Livros que abordam os conteúdos do Cálculo com ênfase nos problemas práticos e reais.
• Segundo critério (C2) – Livros que abordam os conteúdos do Cálculo de forma mais teórica, enfatizando suas representações.
• Terceiro critério (C3) – Livros que abordam os conteúdos do Cálculo da maneira formal, apresentando o conteúdo por meio de definições, teoremas e provas.
Para a categorização dos livros por meio dos critérios citados, consideramos a organização dos conteúdos específicos e sua forma de apresentação, o que nos levou à seguinte classificação:
" Classificamos pelo critério C3, os livros que apresentavam os conteúdos de maneira formal (definição – teorema – prova), por exemplo:
Toda reta é um gráfico de uma equação linear em x e y. Assim temos: Teorema 1. Toda reta é o gráfico de uma equação linear em x e y.
(Prova).
Teorema 2. o gráfico da equação y = mx + k é a reta não vertical com inclinação m e intersecção y igual a k.
(Prova).
Teorema 3. Duas retas são paralelas se e somente se tem a mesma inclinação. (Prova).
Teorema 4. Se duas retas não verticais são perpendiculares, então a inclinação de uma é negativo do inverso da inclinação da outra.
(Prova). Teorema 5. . . . .
: (Prova).
:
Os livros selecionados por esse critério foram:
1. Edwin Moise. Cálculo, um curso universitário. USP, 1970. 2. George Thomas. Cálculo. USP, 1970.
3. Michael Spivak. Cálculo infinitesimal. Reverte, 1970.
4. Miquel & Merino. Curso de Cálculo Diferencial. Mestre Jou, 1966. 5. Nilson Machado. Cálculo. Atual, 1977.
6. N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Lopes da Silva, 1979. 7. Richard Courant. Cálculo Diferencial e Integral. Globo, 1963. 8. Roberto Romano. Cálculo Diferencial e Integral. Atlas, 1983. 9. Wilfred Kaplan. Cálculo e Álgebra Linear. LTC, 1972.
" Classificamos pelo critério C2, os livros que apresentavam seus conteúdos de maneira teórica (definição – exemplo – exercícios), por exemplo:
y = mx + b
O número b, que é a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y, é chamado de intercepto y da reta. Conseqüentemente, a equação acima é a chamada forma inclinação-intercepto. Essa forma é extremamente útil, pois nos dá imediatamente a inclinação da reta...
Exemplo: Ache a inclinação da reta cuja equação é 6x + 5y – 7 = 0... Exercícios: Ache a equação da reta, cuja inclinação é 4 e passa por (2,3)...
(Louis Leithold, 1994 – O Cálculo com Geometria Analítica)
Os livros selecionados por esse critério foram:
1. Al Shenk. Cálculo e Geometria Analítica. Campus, 1984. 2. Diva Flemming. Cálculo A. Makron, 1992.
4. Edwards & Penney. Cálculo com Geometria Analítica. PHB, 1997. 5. Frank Ayres. Cálculo Diferencial e Integral. McGraw-Hill, 1994.
6. George Simmons. Cálculo com Geometria Analítica. McGraw- Hill, 1987.
7. Geraldo Ávila. Cálculo I. LTC, 1978.
8. Hamilton Guidorizzi. Cálculo Diferencial e integral. USP, 1987. 9. Howard Anton. Cálculo, um novo horizonte. Bookman, 2000. 10. James Stewart. Cálculo. Pioneira-Thomson Learning, 2002.
11. Laurence Hoffmann. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. LTC, 2002.
12. Larry Goldstein. Cálculo e suas aplicações. Hemus, 1981.
13. Larson-Hostler-Edwards. Cálculo com Geometria Analítica. LTC, 1998.
14. Louis Leithold. O Cálculo com Geometria Analítica. Harbra, 1994. 15. Luiz Rocha. Curso dirigido de Cálculo Diferencial e integral. Nobel,
1973.
16. Munem & Foulis. Cálculo. LTC, 1982.
17. Mustafa Munem. Cálculo. Guanabara dois, 1982.
18. Paulo Boulos. Cálculo Diferencial e Integral. Makron, 1999. 19. Pedro Morettin. Cálculo, funções de uma variável. Atual, 1981. 20. Robert Seeley. Cálculo de uma variável. LTC, 1975.
21. Serge Lang. Cálculo. Livros Técnicos, 1971. 22. Tom Apostol. Cálculo. Reverte, 1983.
23. Ubiratan D’Ambrosio. Cálculo e introdução à Análise. Nacional, 1975.
24. Willian Granville. Elementos do Cálculo Diferencial e Integral. Científica, 1966.
Não encontramos livros que pudessem ser categorizados pelo critério C1, ou seja, que apresentassem ênfase significativa nos problemas de Cálculo imerso no mundo real. Alguns livros apresentavam mais problemas práticos do que outros, no entanto, a abordagem não deixa de ser a teórica.
Tall (1997) ressalta que “a definição formal e teoremas da Análise
requerem diferentes qualidades cognitivas que são inapropriadas num primeiro curso de Cálculo. Isso sugere uma penalidade aos cursos que tentam construir definições formais e teoremas com iniciantes”. Essa afirmação de Tall nos levou a
descartar os livros selecionados por C3 para escolha do livro a ser analisado.
Por conseqüência, fomos à busca de novos critérios para selecionar qual livro, dos classificados em C2, escolheríamos para análise.
Encontramos, nas leituras dos prefácios de alguns desses livros, indicações sobre a intenção dos autores em enfatizar o caráter conceitual das noções do Cálculo, objeto de nossa pesquisa. Com isso, determinamos como novo critério de seleção, livros que enfocassem a compreensão conceitual das noções do Cálculo.
Em geral, observamos uma forte tendência dos autores em formular livros com uma linguagem mais acessível para os alunos, detalhando minuciosamente os passos para propiciar a compreensão dos conteúdos:
O livro foi escrito tendo em vista dois objetivos principais: primeiro, o de expor todas as explicações com a clareza e acessibilidade apropriadas, de modo que os alunos não tivessem qualquer dificuldade na leitura e no aprendizado do livro; segundo, o de possibilitar que os estudantes aplicassem os princípios apreendidos à resolução de problemas práticos, graças à facilidade adquirida mediante o estudo do livro.
As explanações passo a passo, os inúmeros exemplos descritivos e a ampla variedade de exercícios continuam ser os aspectos relevantes do livro nesta edição. Uma vez que um livro texto deve ser escrito para o estudante, empenhei-me em manter uma apresentação de acordo com a experiência e maturidade de um principiante, sem deixar que qualquer passagem fosse omitida ou ficasse sem explicação.
(Louis Leithold, 1994 – O Cálculo com Geometria Analítica)
No entanto, percebemos que livros mais atuais apresentam outros ingredientes, como a intenção de enfocar a compreensão conceitual das noções do Cálculo e às representações numérica, gráfica e simbólica. Essa tendência foi encontrada no prefácio de dois livros:
Quando comecei a escrever a primeira edição de Cálculo, quase 25 anos atrás, o conteúdo e a organização de um curso de Cálculo eram praticamente universais... Contudo, os tempos mudam, e a era de um curso de Cálculo universal e padrão parece destinada aos baús do porão, junto com a régua de cálculo e selos de 1 centavo... Esta é uma grande revisão. Alinhando-se com as tendências atuais do Cálculo, a meta desta edição é focalizar mais na compreensão conceitual e na aplicabilidade... A “regra dos quatros” refere- se à apresentação do material do ponto de vista verbal, algébrico, visual e numérico. (grifo nosso)
(Howard Anton, 2000 – Cálculo, um Novo Horizonte)
A ênfase está na compreensão dos conceitos. Penso que todos concordam que essa deve ser a meta principal do ensino do Cálculo. De fato, o ímpeto para o atual movimento de reforma do Cálculo vem da Conferência de Tulane, de 1986, que formulou como recomendação fundamental: Focalizar na compreensão conceitual. Tentei implementar essa meta através da Regra de Três: “Tópicos devem ser apresentados geométrica, numérica e algebricamente”. Visualização, experimentação numérica e gráfica e outras abordagens mudaram radicalmente a forma de ensinar o raciocínio conceitual. Mais recentemente, a Regra de Três foi expandida, tornando-se Regra de Quatro, com acréscimo do ponto de vista verbal ou descritivo. (grifo nosso)
Nesses dois livros os autores declaram a intenção de focalizar a conceitualização do Cálculo, objeto de nossa investigação, razão pela qual os selecionamos dentre os demais.
Para escolher o livro a ser analisado, fizemos um levantamento do conteúdo de derivada de cada desses livros, a fim de averiguar qual deles apresentava mais possibilidades de análise, segundo nosso referencial teórico.