Objetos familiares

A fase de interiorização é caracterizada pela ação dos processos sobre objetos familiares. Consideramos, nesta pesquisa, como objetos familiares a noção de função, limite, taxa de variação, coeficiente angular de uma reta, equação de uma reta e reta tangente (intuitiva).

Apresentamos, a seguir, uma análise dos conteúdos específicos de cada objeto familiar, evidenciando se foram destacadas, ou não, suas características operacionais e estruturais.

• Função

A noção de função é introduzida logo no primeiro capítulo, estudada nos itens:

1.1. Funções e análise da informação gráfica. 1.2. Propriedades das funções.

1.3. Fazendo o gráfico de funções em calculadoras e em computadores; Sistemas Algébricos Computacionais.

Inicialmente são apresentados gráficos e tabelas com o intuito de estimular a leitura e interpretação. Após essa introdução, são apresentadas duas definições de função:

Se uma variável

y

depende de uma variável

x

, de tal forma que cada valor de

x

determina exatamente um valor de

y

, então dizemos que y é uma função de x

e

Uma função

f

é um critério que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por

x

, então a saída é denotada por

f(x)

.

Essas definições, apresentadas pelo autor, são categorizadas como operacionais. (veja Tabela 1, p. 20)

Após as definições, são propostos doze exercícios envolvendo processos computacionais de função, exemplo:

(Exercício 6, p. 23)

Use a equação

y

=1+

x

para responder às seguintes questões: (a) Para quais valores de x, y=4?

(b) Para quais valores de x, y=0? (c) Para quais valores de x, y

≥

6?

(d) Terá y um valor mínimo? Um valor máximo? Se assim for, determine-o.

Em seguida, são apresentados, por meio de representação gráfica, algumas funções como a afim, a quadrática, a cúbica e outras, ressaltando os aspectos estruturais da função (veja Tabela 3, p. 29).

O aspecto estrutural de funções também é estudado por exercícios do tipo:

(Exercício 3-6, p. 34)

Determine o domínio natural da função algebricamente e confirme seu resultado com o gráfico produzido pelos seus recursos de “fazer gráficos”.

(a)

3

1

)

(

−

=

x

x

f

(b)

_g(_x)₌

_x

2

₋3

(c)

x

x

h

cos

2

3

)

(

−

=

(d)

x

x

x

f(

)

=

A característica estrutural de função também é enfatizada pelo autor, no tópico da página 41, denominado compressão:

A ampliação de uma janela de inspeção tem para o gráfico o efeito de compressão, pois uma maior parte do gráfico é espremida na tela do computador. Se a compressão for muito grande, então podem-se perder detalhes do gráfico. Desta forma, a escolha da janela de impressão depende, freqüentemente, do que você quer ver, mais do gráfico ou mais do detalhe.

A idéia de compressão é reforçada pela comparação da função

)

2

(

5

₋

=

x

x

y

dentro de dois intervalos distintos: um intervalo de ordenadas [-5,5] (Figura 3.2) e outro de ordenada [-500,500] (Figura 3.3)

x y

x y

O autor, ao utilizar recursos gráficos e computacionais, possibilitou abordar tanto os aspectos operacionais, como os estruturais de função.

• Equação de uma reta e coeficiente angular de uma reta (inclinação)

Esses objetos também foram introduzidos logo no primeiro capítulo, nos itens:

1.5. Modelos matemáticos; modelos lineares. 1.6. Famílias de Funções.

1.7. Apêndice C – Retas e planos coordenados.

Observação: Em alguns livros, os autores definem inclinação de uma reta

como a medida do ângulo α, onde α é o ângulo formado com o eixo x, tomado no sentido anti-horário. Em outros, os autores tratam a inclinação da reta como o coeficiente angular da reta. Informamos que o autor do livro analisado utiliza inclinação de uma reta como coeficiente angular de uma reta.

Para o estudo desses objetos, o autor inicia o item 1.5. com “uma rápida revisão sobre retas”, propondo aos alunos um aprofundamento dos estudos no Apêndice C.

Relembra que as equações de retas apresentam várias formas como a geral, a inclinação–intercepto, a ponto–inclinação e a intercepto duplo.

Em seguida, propõe 126 exercícios envolvendo inclinações de reta e equações de reta, entre os quais 16 são resolvidos a título de exemplificação.

Tanto no item 1.5 como no apêndice C, o foco recai sobre a característica operacional de coeficiente angular e equação de uma reta, por exercícios do tipo:

(Exercício 1, p. 71)

Ache as inclinações dos lados do triângulo com vértices (0,3) (2,0) e (6,

3 8_{) .}

(Exercício 15, p. 72)

Ache a forma inclinação-intercepto da equação da reta satisfazendo as condições dadas e verifique sua resposta usando um recurso gráfico.

Outros exercícios, relativos à inclinação da reta, enfocam sua característica estrutural, como:

(Exercício 3, p. 70)

Faça uma relação em ordem de inclinação crescente das retas nas figuras anexas. x y x y I II

x y

x y

III IV

A ênfase da abordagem estrutural de coeficiente angular é reforçada no item 1.6., onde o autor trata o coeficiente angular m e o coeficiente linear b como parâmetros.

Se mantivermos b fixo e fizermos variar o parâmetro m na equação _y=_mx+_b, iremos obter uma família de retas cujos membros têm intercepto y igual a b (fig. 3.4); por outro lado, mantendo m fixo e fazendo variar o parâmetro b, iremos obter uma família de retas paralelas cujos membros têm inclinação m (fig. 3.5).

Desse modo, o autor enfoca o coeficiente angular de uma reta e a equação de uma reta sob as perspectivas operacionais e estruturais.

• Limite

O autor apresenta a noção de limite no segundo capítulo. Os itens abordados são:

2.1. Limites (uma introdução intuitiva) 2.2. Limites (técnicas para calcular)

2.3. Limites (discutidos mais rigorosamente) O capítulo apresenta a seguinte introdução:

O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois grandes problemas geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Como discutido na Introdução, esses problemas requerem o “processo de limite” para a sua solução. Entretanto, o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações – na verdade tantas, que, de fato, o conceito “limite” é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos de Cálculo estão baseados.

Observamos, nessa introdução, a forte ênfase dada ao caráter processual de limite. Essa característica também é enfatizada na introdução do conceito de limite:

O uso básico de limite é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor. Por exemplo, examinemos o comportamento da função _f(_x)_=x2_−x+1 _quando

x

_{está cada vez mais}

próximo de 2. Fica evidente a partir do gráfico e da tabela que os valores de

) (x

f ficam mais próximos de 3 à medida que

x

estiver cada vez mais próximo de 2, por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito.

Após 29 exercícios, são apresentadas as técnicas de cálculos de limites de funções, como as polinomiais, racionais e definidas por partes, sendo propostos mais 66 exercícios.

Em seguida, aborda-se o limite numa perspectiva estrutural, introduzida por uma idéia geral, apresentada de modo informal.

LIMITES (de um ponto de vista informal). Se os valores de f(x) puderem ser definidos tão próximo quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximo de a (mas não igual a a), então escreveremos _{f x L}

a

x→ ( )=

lim

Após algumas explanações sobre o assunto, essa idéia geral é reescrita para apresentar a versão final da definição de limite:

Seja f(x) definida em todo

x

que está em algum intervalo aberto que contenha o número a, com a possível exceção que f(x) não precisa estar definida em x=a. Escrevemos _{f x L}

a

x→ ( )=

lim se dado qualquer ε > 0, pudermos encontrar um número δ > 0 tal que

δ < − < ε < −L se x a x f( ) 0 .

Posteriormente, sugere a resolução de 70 exercícios, utilizando a definição estrutural de limite.

Após essa análise, pudemos inferir que tanto os aspectos operacionais, como os estruturais, são apresentados nesse capítulo do livro.

• Taxa de variação e reta tangente (intuitiva)

Esses objetos são encontrados no terceiro capítulo, no item:

3.1 Retas tangentes e taxas de variação.

Inicialmente, observamos que o enfoque do autor está mais no relacionamento entre os dois objetos do que no estudo individual de cada um.

A relação entre esses objetos é introduzida da seguinte forma:

Traça-se uma reta secante por dois pontos distinto P e Q sobre uma curva

) (x

f

y= , e se for admitido que Q move-se ao longo da curva em direção a P, então podemos esperar uma rotação da reta secante em direção a uma posição limite, a qual pode ser considerada como a reta tangente à curva no ponto P.

Após algumas explicações e gráficos ilustrativos, é posto que a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo

[x

₁

, x

₂

]

é a inclinação da reta secante 0 1 0 1 sec

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

m

−

−

=

, e que a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x0 é a inclinação da reta tangente em P

0 1 0 1

)

(

)

(

lim

0 1

x

x

x

f

x

f

m

x x tg

−

−

=

→

Essas definições apresentam uma característica estrutural (tabela 4, p. 36). Posteriormente são apresentados 21 exercícios que envolvem cálculos e estimativas de retas tangentes e taxas de variações, como:

(Exercício 5 , p.175)

(a) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de

f

em um ponto genérico

x

₀.

(b) Use o resultado da parte (a) para achar a inclinação da reta tangente num dado valor

x

₀.

_f(_x)=_x

2

+1;

_x

₀

=2

(Exercício 18 , p.177)

Uma pedra é deixada cair de uma altura de 170m em direção à Terra. Em t segundos, a distância percorrida pela pedra é de

_s=_16t

2_m.

(a) Quantos segundos após o início da queda a pedra atinge o solo? (b) Qual é a velocidade média da pedra durante a queda?

Não foram observadas características processuais no estudo de taxa de variação e de reta tangente (intuitiva).

3.4.2. A Noção de Derivada

Em nossos estudos (Item 2.2.2., p. 34), enfocamos a noção de derivada nos estágios de interiorização, condensação e reificação, que segundo Sfard (1991), são etapas necessárias para conceitualização de uma noção. O autor do livro também discorre sobre a compreensão conceitual relatada no prefácio de seu livro: “a meta desta edição é focalizar mais a compreensão

conceitual”.

Fizemos uma investigação do conteúdo de derivada do livro, à luz dos estágios de conceitualização de uma noção matemática. Essa investigação foi baseada nos três estágios de conceitualização de uma noção matemática, apresentados por Sfard:

Interiorização

O estágio de interiorização é categorizado pela ação dos processos sobre objetos familiares.

No livro, levantamos os seguintes processos de objetos familiares, apresentados na mesma ordem em que aparecem no livro:

1º. Cálculo da inclinação da reta tangente no ponto

(x

₀

,

f(x

₀

))

. (p.170) 0 1 0 1

)

(

)

(

lim

0 1

x

x

x

f

x

f

m

x x tg

−

−

=

→

2º. Cálculo da taxa de variação instantânea de

y

em relação a

x

no ponto

(x

₀

,

f(x

₀

))

. (p.174) 0 1 0 1

)

(

)

(

lim

0 1

x

x

x

f

x

f

m

x x tg

−

−

=

→

3º. Cálculo da equação da reta tangente no ponto

(x

₀

, y

₀

)

. (p.174)

)

.(

₀ 0

m

x

x

y

y

−

=

_tg

−

4º. Cálculo da derivada de

f

em relação a

x

. (p.179)

h

x

f

h

x

f

x

f

h

)

(

)

(

lim

)

(

'

0

−

+

=

→

5º. Interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente.

(p.179)

A derivada

f

'

de uma função pode ser interpretada como uma função cujo valor em

x

é a inclinação da reta tangente ao gráfico de

y=

f(x)

em

x

.

6º. Interpretação da derivada como a taxa de variação instantânea.

(p.179)

A derivada

f

'

de uma função pode ser interpretada como uma função cujo valor em

x

é a taxa de variação instantânea da variação de

y

em relação a

x

.

7º. Estimativa da inclinação da reta tangente no ponto

(x

₀

, y

₀

)

, por meio de um “zoom” nesse ponto. (Aproximação linear local de ƒ em

x

₀). (exercício 33, p.188)

Seja

_f(x)=₂

x_{. Estime}

_f

_'(1)

_{pelo seguinte método:}

(a) Usando um recurso gráfico para fazer um zoom num ponto apropriado do gráfico até que ele se pareça a uma reta e, então, estimando a inclinação.

8º. Utilização de regras de derivação.

Derivada de uma constante Regra da potência

Derivada de somas e diferenças Regra do produto

Regra do quociente

Derivada de funções trigonométricas Regra da cadeia

Síntese dos processos

1º. Cálculo da inclinação da reta tangente no ponto

(x

₀

,

f(x

₀

))

.

2º. Cálculo da taxa de variação instantânea de

y

em relação a

x

no ponto

(x

0

,

f(x

0

))

.

3º. Cálculo da equação da reta tangente no ponto

(x

₀

, y

₀

)

. 4º. Cálculo da derivada de

f

em relação a

x

.

5º. Interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente. 6º. Interpretação da derivada como a taxa de variação instantânea.

7º. Reconhecimento da derivada num ponto como a aproximação linear local de

f

em

x

₀.

Uma varredura nos livros selecionados pelo segundo critério (C2), indicou que eles propiciam os estudantes adentrarem no estágio de interiorização. A diversidade de processos, como os indicados na síntese anterior, varia entre os livros, sendo que alguns privilegiam mais os processos relacionados à representação gráfica da derivada; outros, privilegiam mais os processos relacionados a taxas de variação instantânea e, outros, privilegiam mais os

processos simbólicos da derivada.

Escolhemos, aleatoriamente, um livro selecionado pelo C3 e um pelo C2, para analisar e detectar os processos utilizados nas atividades, sendo explicitados na mesma ordem em que foram encontrados nos livros:

Cálculo, um Curso Universitário – Edwin Moise

1º. Cálculo da inclinação da reta tangente no ponto

(x

0

,

f(x

0

))

.

2º. Cálculo da derivada de

f

em relação a

x

.

3º. Interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente. 4º. Utilização de regras de derivação.

Cálculo A – Diva Flemming

1º. Cálculo da inclinação da reta tangente no ponto

(x

0

,

f(x

0

))

.

2º. Cálculo da equação da reta tangente no ponto

(x

₀

, y

₀

)

. 3º. Cálculo da derivada de

f

em relação a

x

.

4º. Utilização de regras de derivação.

5º. Interpretação da derivada como a taxa de variação instantânea. 6º. Cálculo da taxa de variação instantânea de

y

em relação a

x

no

ponto

(x

₀

,

f(x

₀

))

.

A ordem em que os processos são utilizados nas atividades dos livros, influenciam na evolução da compreensão da derivada?

Quais os processos necessários para propiciar ao aluno, alcançar o estágio de condensação?

A inadequada distribuição de atividades que envolvam os vários

processos, dificulta o aluno a alcançar o estágio de condensação?

Referenciando-se em nosso quadro teórico, procuramos uma resposta a esta última questão. Para tanto, conjecturamos que a exploração inadequada dos processos, encontrada num livro em relação à noção de derivada, possa influenciar a evolução dos alunos para o estágio de condensação.

Pelo levantamento anterior, encontramos no livro Cálculo, um curso

universitário de Edwin Moise, apenas quatro processos. Verificamos que esse

livro não apresenta atividades que utilizem processos importantes para a conceitualização da derivada, como:

• Cálculo da taxa de variação instantânea de

y

em relação a

x

no ponto

(x

₀

,

f(x

₀

))

.

• Interpretação da derivada como a taxa de variação instantânea.

No entanto, a interpretação da derivada como uma taxa de variação instantânea é indissociável à noção de derivada, sendo elucidada no livro da seguinte forma:

Suponha que uma partícula se move, de acordo com alguma lei dada, segundo uma reta. Se pensarmos na reta do movimento como o eixo y, então o movimento pode ser descrito por uma função

f

:I

→R

...

A velocidade é a função

v

=

f

':

I

→R

, desde que

f

seja diferenciável, o que usualmente acontece.

[a,b] Essa explanação apresenta uma característica estrutural, tratando as noções contidas quase como objetos. Essa característica é relativa ao estágio de condensação.

No entanto, a ausência de atividades relacionadas ao estágio de interiorização pode comprometer a conceitualização dessa noção, pois, segundo Sfard (1991), a transgressão da hierarquia dos estágios pode desenvolver uma abordagem pseudo-estrutural. No exemplo dado, pode propiciar aos alunos que identifiquem a derivada como a taxa de variação instantânea.

Condensação

O estágio de condensação é categorizado pela síntese dos processos em unidades manipuláveis, tornando-se mais fáceis as generalizações e as comparações. Nessa fase os processos começam a ser vistos como objetos.

Observamos que, certos itens estudados no livro, possibilitam aos estudantes tratar os processos como objetos:

• Estudo do crescimento e decrescimento de funções (Teorema 5.1.2, p.291)

Seja

f

uma função contínua em todo intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b).

(a) Se

f

'(x)>0

para todo valor de x em (a,b), então

f

é crescente em [a,b] (b) Se

f

'(x)<0

para todo valor de x em (a,b), então

f

é decrescente em (c) Se

f

'(x)=0

para todo valor de x em (a,b), então

f

é constante em [a,b]

Em atividades de crescimento e decrescimento de funções, os

• Cálculo de

f

'

• Interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente. Os alunos, para resolver problemas de crescimento e decrescimento de funções, não utilizam seus esforços cognitivos na execução dos processos, mas, sim, nas manipulações e comparações dos processos , a fim de resolver o problema.

(exercício 1, p.291)

Ache os intervalos nos quais as seguintes funções são crescentes ou decrescentes. (a)

_f(_x)=_x

2

−4_x+3

_(b)

_f(x)=_x

3 2 4 6 8 x y -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 x y

No exercício apresentado, “visualizar” a derivada como inclinação da reta tangente permite estimar que as retas tangentes ao gráfico nos pontos de abscissas pertencentes ao intervalo ]-∞,2[ possuem inclinação negativa, e que as retas tangentes ao gráfico nos pontos de abscissas no intervalo ]2,+∞[ possuem inclinação positiva. O cálculo de

f

'

permite dar precisão para determinar o intervalo exato em que

f

'(x)>0

e

f

'(x)<0

.

Nessa atividade, os esforços cognitivos são utilizados para comparação e manipulação dos processos compactados, caracterizando o estágio de condensação.

• Estudo de lucro marginal, rendimento marginal e custo marginal

O livro aborda, na página 213, a equação da reta tangente num ponto, como uma aproximação linear local:

Como a equação da reta tangente no ponto

(x

0

,

f(x

0

))

é dada por

)

).(

(

'

)

(x

0

f

x

0

x

x

0

f

y−

=

−

temos:

)

).(

(

'

)

(x

₀

f

x

₀

x

x

₀

f

y

=

+

−

Dizer que esta reta se aproxima da curva

y

=

f(x)

, para valores de

x

próximo de

x

₀, significa que a aproximação

f(x)≈

f(x

0

)+

f

'(x

0

).(x−x

0

)

fica

cada vez melhor à medida que

x→

x

₀. Análise marginal, p. 347.

Seja P(x), R(x) e C(x), as funções lucro, rendimento e custo, respectivamente. Os economistas chamam

P'(x),

R'(x)

e

C'(x)

de lucro marginal, rendimento marginal e custo marginal, respectivamente, e

interpretam essas quantidades como o lucro, o rendimento e os custos adicionais que resultam da produção e da venda de uma unidade adicional do produto, quando o nível de produção e de vendas do produto é

x

unidades.

Se

∆x

=

x−

x

₀

)

).(

(

'

)

(

)

(x

₀

x

f

x

₀

f

x

₀

x

f

+∆

≈

+

∆

Para

∆x

=1

, e

x

₀um número qualquer, temos:

)

(

'

)

(

)

1

(x

f

x

f

x

f

+

≈

+

ou

1

)

(

'

)

(

)

1

(x

P

x

P

x

P

+

≈

+

ou ainda

x

x

x

P

x

P

x

P

−

+

−

+

≈

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

'

Essa expressão pode ser interpretada como:

O lucro marginal é aproximadamente a taxa de variação do lucro em relação a uma unidade adicional, quando o nível de produção e venda do produto é

x

unidades.

O estudo desse tópico envolve os seguintes processos, que são tratados como objetos manipuláveis:

• Cálculo da inclinação da reta tangente no ponto

(x

₀

,

f(x

₀

))

.

• Cálculo da taxa de variação de

y

em relação a

x

no ponto

(x

₀

,

f(x

₀

))

.

• Determinação da equação da reta tangente no ponto

(x

₀

, y

₀

)

.

• Interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente.

• Interpretação da derivada como a taxa de variação instantânea.

• Aproximação linear local de

f

em

x

₀

• Estudo dos extremos relativos (Teorema 5.2.3, p.301)

Suponha

f

contínua em um ponto crítico

x

₀.

(a) Se

f

'(x)>0

em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de

x

₀ e

0

)

(

'

x

<

f

em um intervalo aberto ampliando-se à direita de

x

₀, então

f

tem um máximo relativo em

x

₀.

(b) Se

f

'(x)<0

em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de

x

₀ e

0

)

(

'

x

>

f

em um intervalo aberto ampliando-se à direita de

x

₀, então

f

tem um mínimo relativo em

x

₀.

(c) Se

f

' x(

)

tiver o mesmo sinal

[f

'(x)>

0

ou

f

'(x)<

0]

em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de

x

₀ e, em um intervalo aberto ampliando-se à direita de

x

₀ então

f

não tem extremos relativos em

x

₀.

O estudo dos extremos relativos permite aos alunos compararem e manipularem certos processos, como:

• Cálculo de

f

'

• Interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente.

(exercício 1, p. 299)

Localize os extremos relativos da função cujo gráfico está abaixo:

2

x

y

=

A condensação da noção de derivada, ao tratar os processos como

objetos, permite comparar as representações simbólicas e gráficas, apresentadas

no problema, da seguinte forma:

Resolução do exercício pela representação simbólica:

2

)

(x

x

f

₌

x

x

f

'(

)

=2

0

0

2

=

=

x

x

Como a direita de 0,

f

'(x)

>0

, e a esquerda de 0,

f

'(x)<0

, então

f

tem um mínimo relativo em 0.

Resolução do exercício pela representação gráfica:

Com a capacidade de “visualizar” a derivada como a inclinação das retas tangentes ao gráfico da função, verifica-se que à direita de 0, obtêm-se derivadas positivas e à esquerda de 0, derivadas negativas, logo

f

tem um mínimo relativo em 0.

Reificação

Nesse estágio ocorre uma mudança qualitativa, em que os processos familiarizados, devem ser vistos como objeto.

Não encontramos situações que propiciassem a reificação da noção de derivada. A falta de atividades ou situações que propiciem aos alunos dar esse salto qualitativo, a ter esse “insight”, nos levou a formular algumas questões:

- Que tipo de atividades seriam necessárias para propiciar a reificação da noção de derivada?

- Se os livros didáticos de Cálculo não propiciam a reificação da noção da derivada, a reificação dessa noção ocorre por quais vias?

- Por que a discussão de questões do tipo “o que é derivada?” ou “o que é reta tangente” não são encontradas em livros didáticos de Cálculo?

CAPÍTULO IV

Conclusão

Os estudos e análises explanados nessa dissertação levantaram mais questões do que respostas. A diversidade de causas geradoras de dificuldades para a compreensão de derivada é tamanha, que se torna difícil focá-las.

No início deste trabalho apresentamos nossa experiência e pesquisas que atestam que os alunos mostram mais facilidades em resolver tarefas de caráter operacional do que as de caráter conceitual.

Buscamos referencias teóricos que nos possibilitassem investigar algumas das causas geradoras de dificuldades para compreensão conceitual de noções matemáticas. Por meio desses referenciais, evidenciamos algumas possíveis causas geradoras de dificuldades para compreensão conceitual da derivada.

A primeira causa foi encontrada no próprio referencial teórico utilizado. Segundo Sfard (1991), a conceitualização de uma noção matemática decorre da conquista dos estágios de interiorização, condensação e reificação. Em sua teoria, a autora frisa a “inerente dificuldade da reificação”, logo, uma das dificuldades encontradas na conceitualização da noção de derivada é decorrente do próprio desenvolvimento do pensamento científico.

Outra causa geradora de dificuldade foi encontrada durante a busca de um livro para ser analisado à luz do referencial teórico adotado. Esta causa

No documento JAYME DO CARMO MACEDO LEME ASPECTOS PROCESSUAIS E ESTRUTURAIS DA (páginas 58-89)