Observamos nas seções anteriores que todos os modelos apresentados incluíam um fator em comum: a ligação preferencial. Como visto na seção 3.2.1, o modelo BA assume que a probabilidade de um novo nó se ligar ao nó i pré-existente é proporcional à conectividade ki do nó i. Porém, esta suposição envolve duas hipóteses: (i) Π(ki) depende de ki, em contraste ao grafos aleatórios clássicos (Π(ki) = p); (ii) Π(ki)é linear em ki. É observado que em alguns sistemas reais a regra de ligação preferencial é linear em relação à conectividade do sítio em acordo com o modelo proposto por Barabási e Albert. Em outras redes, no entanto, a dependência de Π(ki) com ki é sub-linear e as distribuições de conectividade seguem uma lei de potência tal que P (k) ∼ k−γ com γ < 1. Como por exemplo algumas redes estudadas na neurociência, rede de colaboração de atores e rede de co-autores temos que γ = 0.8 ± 0.1 [107, 8].
O efeito da regra de ligação preferencial não linear com a conectividade do sítio foi estudado e explicado por Krapivsky et al. em [83], os quais mostraram analiticamente que a natureza de escala livre em redes é destruída para ligação preferencial não-linear com k. Eles estudaram a regra de ligação preferencial de maneira generalizada, tal que quando Π(ki)∼ kαi, comportamentos diferentes surgem para α < 1, α > 1 e α = 1. Para α < 1 o comportamento emergente é uma distribuição de conectividade P (k) exponencial. Para α > 1 um único sítio se conecta a quase todos os outros da rede. E apenas quando α = 1, consequentemente Π(ki)∼ ki, a topologia das redes é livre de escala. Através desses resultados pode-se encontrar que P (k) ∼ k−γ. Eles mostraram ainda que e o valor de γ está entre 2 e ∞ [8, 83]. Observa- se ainda, que as redes reais têm um expoente característico que geralmente se encontra no intervalo 2 < γ ≤ 5 [3], por este motivo, é importante considerar a ligação preferencial linear com k em modelos que simulam redes com topologia livre de escala (ver Tab. 3.2 e Tab.3.1). O valor do expoente γ da distribuição de grau também nos dá informações impor- tantes sobre a rede. Nota-se que quanto maior o expoente γ mais homogênea é a distribuição de conectividade de uma rede. Podemos imaginar o limite em que γ → ∞ no modelo BA, por exemplo, e é fácil ver que nesse limite todos os nós da rede teriam a mesma conectividade mostrando a homogeneidade da rede. Porém, ao analisar o outro extremo, ou seja, quando γ → 0, espera-se que cada sítio tenha uma conectividade diferente, gerando assim uma rede completamente heterogênea na sua distribuição de grau. Portanto, se tomarmos a rede BA como referência podemos dizer que valores de γ > 3 caracterizam redes cada vez mais ho-
mogêneas enquanto que valores de γ < 3 caracterizam redes cada vez mais heterogêneas [1].
Tabela 3.1: Comparação entre modelos que envolvem conectividade, métrica e qualidade. Nos modelos citados abaixo podemos ver que existem três mecanismos que podem estar presentes ou ausentes na regra de ligação preferencial. A conectividade é o mecanismo básico e está presente em todos os modelos. No entanto, os parâmetros de qualidade e métrica alternam de um modelo para o outro. O modelo MN possui métrica, no entanto, não leva conta a qualidade do sítio em sua regra de ligação preferencial. Ainda assim, quando αA = 0, ∀d, recupera-se o modelo BA. O modelo MQ com métrica, possui o modelo MN como caso particular, ∀d, quando ηi = 1. Se αA = 0 e ηi = 1, recupera-se o modelo BA. O modelo de Afinidade não possui métrica, dessa forma ele não tem o modelo MN como caso particular. Ainda assim é possível recuperar o modelo BA se Aij = 0, indicando que não existe diferença entre a qualidade dos sítios. Este modelo não possui o modelo MQ como caso particular. Por fim, o modelo de Afinidade com Métrica, possui o modelo MN com d = 2 como caso particular se Aij = 0. É possível ainda recuperar o modelo BA se Aij = 0 e αA = 0. Esse modelo apesar de ser um pouco mais completo, foi estudado apenas para d = 2 e não possui o modelo MQ como caso particular.
Modelo Ligação Preferencial “Fitness” Métrica Referência (d = 1, 2, 3, 4) [6] Modelo de Natal Πi ∝ kir −αA ij Não Sim d-dimensional d = 2 [14, 15] (d = 2) [108] MQ Πi ∝ kiηir−αA Sim Sim com Métrica (d = 1, 2, 3, 4) Em desenvolvimento γ = 1 [109] Modelo Πi ∝ ki[1− Aij]γ Sim Não
de Afinidade Aij ≡ |ηi− ηj| γ > 1 [110]
Modelo Πi ∝ ki[1− Aij]rij−αA
de Afinidade Sim Sim (d = 2) [1]
Novo Conceito ou Mecanismo Limites de γ Referências Crescimento Linear, ligação preferencial linear γ= 3 [12]
Ligação Preferencial não linear
Q(ki) ∼ kiα sem escala para α 6= 1 [83]
Ligação Preferencial Assintoticamente γ → ∞ se a∞→ ∞
Q(ki) ∼ a∞Kicom ki→ ∞ γ∞ se a∞→ ∞ [83]
Atratividade inicial γ= 2 se A = 0
Q(ki) ∼ A + ki γ → ∞ se A → ∞ [111, 28]
Acelerar o crescimento hki ∼ tθ γ= 1.5 se θ → 1
constante inicial de atratividade γ →2 se θ → 0 [112] Acelerar o crescimento γ= 1.5 para k kc(t) [113]
hki = at + 2b γ= 3 para k kc(t) [114]
Arestas internas com prob. p γ= 2 se q=1−p+m1+2m
Redirecionamento de aresta com prob. q γ → ∞ se p, q, m →0 [8] c arestas internas γ →2 se c → ∞ ou remoção de c arestas γ → ∞ se c → −1 [115] Envelhecimento gradual γ →2 se ν → −∞ Q(ki) ∼ ki(t − ti)−ν γ → ∞ se ν →1 [28] Fitness de nós multiplicativos P(k) ∼ k−1−c ln(k) Q ∼ ηiki [100] Fitness de nós multiplicativos-aditivos P(k) ∼ kln(k)−1−c Q i∼ ηi(ki− 1) + ζi 1 m 2 [116] Aresta invariante P(kin) = k√d 2ln(akin)
Copiando com prob. p γ= (2 − p)/(1 − p) [117, 118] Redirecionando com prob. r γ= 1 + 1/r [119]
Caminhando com prob. p γ '2 para p > pc [120]
Viculando a arestas γ= 3 [112]
p arestas internas direcionadas γin= 2 + pλ
Q(ki, kj) ∝ (kini + λ)(koutj + µ) γout= 1 + (1 − p)−1+ µp/(1 − p) [121]
1 − p arestas internas direcionadas γin= 2 + p
Atividade linear preferencial alterada γout' 2 + 3p [122]
4
Papel da dimensionalidade em redes
complexas
Os primeiros estudos em redes complexas que apareceram na literatura não davam importância à distância Euclidiana entre os sítios, mas apenas às distâncias topológicas. Em algumas redes a distância geográfica realmente não é importante, como por exemplo na Internet, uma vez que a comunicação entre dispositivos independe de quão distantes eles estejam um do outro. Não existe diferença entre conectar dois dispositivos próximos (no mesmo bairro por exemplo) ou distantes geograficamente (um em Natal e outro nos Estados Unidos). Em outras redes a geografia não pode ser ignorada, como por exemplo, na rede de aeroportos. Nessas redes é preciso levar em conta não só o tempo de trânsito entre dois lugares quaisquer, mas também os enormes custos envolvidos nesse trajeto que aumentam ou diminuem dependendo da distância entre os mesmos. As redes que não dependem da distância geográfica entre os sítios são chamadas de topológicas e as que dependem são chamadas de redes geográficas. Pesquisas mostraram que a estatística que rege as redes complexas que possuem interações de longo alcance, não é a tradicional estatística de Boltzmann-Gibbs, mas deve ser uma estatística mais geral, como por exemplo, a estatística não-extensiva proposta por Tsallis em 1988 e que generaliza a estatística de Boltzmann-Gibbs. Os sistemas que apresentam interações locais são bem descritos pela estatística clássica. Isto não acontece para sistemas que apresentam correlações de longo alcance.
As profundas relações entre redes livres de escala e a q-estatística já foram compro- vadas [14, 15, 99, 123]. Como veremos a seguir, estas redes são uma aplicação particular da mecânica estatística não-extensiva, baseada na entropia não-aditiva Sq = k1−
P
ipiq
q−1 . As cone- xões básicas entre a teoria de redes e a mecânica estatística não extensiva vem da otimização do funcional Sq[P (k)] = k 1−R dk[P (k)]q q− 1 com o vínculo: hki ≡ Z dk kP (k) = cte (4.1)
onde k é o grau de um dado sítio e P (k) é distribuição de conectividade da rede. Para equação anterior nós simplesmente obtemos:
P (k) = P (0)e−k/κq ou seja, P (k) = P (0)[1 + (q− 1)k/κ]1−q1 . (4.2) Para q > 1 e k → ∞ temos: P (k) = P (0)(q− 1) κ k−(q−11 ) P (k) ∼ k−γ (4.3)
Da equação acima podemos tirar a seguinte relação entre q e γ [6, 14, 15]:
γ ≡ 1/(q − 1) (4.4)
O resultado clássico γ = 3 do modelo BA [12] corresponde a q = 4/3.
Neste capítulo, além de confirmar a profunda relação entre a mecânica estatística não-extensiva de Tsallis e as redes complexas, mostraremos também como a dimensão espa- cial influencia nas propriedades do Modelo de Natal d-dimensional [6]. Os modelos estudados aqui são equivalentes ao modelo MN apresentado no capítulo anterior. Estudaremos a seguir o modelo MN para as dimensões d = 1, 2, 3 e 4. Mostraremos como a distribuição de conec- tividade P (k), os parâmetros de ajuste q e κ, o expoente dinâmico β associado à evolução temporal da conectividade dos sítios, o menor caminho médio hli e a entropia não-extensiva Sq da distribuição de grau da rede variam com a dimensão d do sistema. Mostraremos também que a dependência dessas quantidades em relação à variável αA/d é universal.
4.1
Modelo de Natal
(d = 1, 2, 3, 4)
Sistemas com interações de longo alcance são caracterizados por potenciais de pares que decaem lentamente. Os constituintes do sistema interagem a grandes distâncias através desses potenciais. Diferentemente do caso de sistemas com interações de curto alcance, onde muitos resultados são bem compreendidos, há uma falta de conhecimento completo sobre as propriedades dinâmicas e estatísticas de sistemas com interações de longo alcance. Uma definição do que entendemos por potenciais de longo alcance pode ser formulada da seguinte maneira: um potencial que a grandes distâncias decai como 1/rα é formalmente dito ser de longo alcance se α ≤ d, onde d é a dimensão espacial que o sistema se encontra. Alguns exemplos desses potenciais são: sistemas gravitacionais, sistemas hidrodinâmicos bidimensionais, sistemas elásticos bidimensionais, sistemas carregados e sistemas dipolares [124].
Em Hamiltonianos clássicos a energia potencial por partícula converge quando αA/d > 1e diverge quando 0 ≤ αA/d≤ 1 para N → ∞. Por analogia a esses sistemas, nos referire- mos a interações de longo alcance sempre que 0 ≤ αA/d≤ 1 e as interações de curto alcance quando αA/d > 1, mesmo que o índice entrópico q ainda não tenha atingido o limite q = 1.
Levando em consideração o fato acima, nosso modelo propõe uma regra de ligação preferencial que, dependendo da dimensão d e da escolha do parâmetro αA, permitiremos interações de longo ou curto alcance entre os sítios da rede. Uma vez que estaremos calculando distâncias precisamos definir uma origem a partir da qual o sítio será posicionado. A nossa origem será o centro de massa do sistema (rede) e será recalculado sempre que um novo sítio for adicionado à rede. Apresentaremos a seguir o algoritmo para gerar o Modelo de Natal d-dimensional.
1. Iniciamos a rede com o sítio i = 1 em uma origem arbitrária.
2. Em seguida, adicionamos o sítio i = 2 a uma distância r do sítio i = 1, obtida pela distribuição:
P (r)∝ 1
rd+αG (αG > 0; d = 1, 2, 3, 4) (4.5)
onde r é a distância Euclidiana do sítio recém-chegado em relação ao centro de massa do sistema. (Em uma dimensão r = |x|, em duas dimensões r = px2+ y2, em três dimensões r =px2+ y2+ z2 e assim por diante). O índice “G” no expoente α significa
“growth”, que quer dizer crescimento. Vale salientar que αG e d não são equivalentes, uma vez que d muda r e αG apenas controla a proximidade entre os sítios. Para posi- cionar o sítio em um dado local nós assumimos isotropia angular, ou seja, os ângulos foram escolhidos de uma distribuição uniforme. Para d = 2, por exemplo, as coordena- das do sítio são r (dado pela distribuição 4.5 e por θ (aleatoriamente escolhido de uma distribuição uniforme tal que 0 ≤ θ ≤ 2π).
3. Para posicionar os sítios (i ≥ 3) (na linha, plano, espaço...), o centro de massa do sistema é calculado1e o sítio recém chegado é então colocado a uma distância r do centro de massa do sistema dada pela distribuição do item (2). Ele será então conectado a um dos sítios pré-existentes da rede obedecendo à seguinte regra de ligação preferencial:
Πi =
kirij−αA P
ikirij−αA ∈ [0, 1] (α
A ≥ 0) (4.6)
onde o índice i refere-se aos sítios pré-existentes na rede e o índice j ao sítio recém chegado. Πié a probabilidade do sítio i se conectar ao sítio j, rij é a distância Euclidiana entre os sítios i e j e ki é a conectividade do sítio i.
4. O passo anterior é repetido até o tamanho desejado da rede.
Vale a pena salientar que a consideração de αG > 0 permite que P (r) seja normali- zável. Ou seja: Z ∞ 1 drrd−1r−(d+αG) = Z ∞ 1 dr 1/r1+αG (4.7)
a integral acima é finita para αG > 0, e diverge caso contrário. Podemos observar nas equações 4.5 e 4.6 que a rede é construída baseada em dois parâmetros controláveis: αG e αA. O parâmetro αG é utilizado na distribuição das distâncias entre os sítios e controla a proximidade entre os nós. Ao aumentar o valor de αG diminuímos a distância geográfica entre os sítios da rede (ver Fig. 4.1).
O parâmetro αA controla a importância da distância na regra de ligação preferen- cial. Quando αA se aproxima de zero, para qualquer que seja a dimensão, a distância física gradualmente perde a relevância e quando αA= 0 todas as distâncias tornam-se irrelevantes no que diz respeito à distribuição de conectividade. Nesse regime, o nosso modelo recupera os resultados do modelo BA (∀d)(ver Fig. 4.4). Quando 0 ≤ αA/d≤ 1 as interações de longo alcance são existentes entre os sítios da rede dada a natureza de livre escala e a presença de
pólos. Porém, quando αA/d > 1, as interações entre os sítios da rede passam a ser apenas locais (interações entre primeiros vizinhos), uma vez que, neste limite, os pólos são “des- truídos” e a distribuição de grau passa a ser mais democrática (ver Fig. 4.2). Dessa forma, podemos dizer que αA controla a homogeneidade da rede. Para valores pequenos de αA o nosso modelo gera redes heterogêneas caracterizadas pela presença de pólos. Para valores grandes de αA nosso modelo gera redes homogêneas caracterizadas pela ausência de pólos. Podemos ainda atribuir a mudança de topologia da rede ao parâmetro αA. Quando αA→ 0 geramos uma rede livre de escala e quando αA→ ∞ construímos uma rede aleatória clássica com distribuição de grau exponencial (ver Fig.4.3).