Modelo de Natal (Geográfico)

Grande parte dos trabalhos na área de redes são puramente topológicos, não levando em conta a distância real entre os sítios da rede, porém em muitas redes reais a distância Euclidiana é um fator importante que não se deve negligenciar. No caso de vários tipos de redes, tais como redes de interação proteína-proteína ou a rede de atores que atuaram em um mesmo filme a distância geográfica não é um elemento que influencie de maneira significativa as conexões da rede, então é razoável não considerá-la. No entanto, existem muitas redes onde a posição do sítio é particularmente importante, de maneira que alguns sítios podem ser beneficiados com um número maior de conexões caso sua localização seja estrategicamente privilegiada. Alguns exemplos importantes de redes geográficas reais são as redes de energia elétrica [101], redes de aeroportos [102], metrô [103], redes neurais [104], etc. Em redes geográficas, a existência de uma ligação direta entre os vértices pode depender de uma série de limitações, tais como a distância entre eles, acidentes geográficos, os recursos disponíveis para a construção da rede, limitação territorial e assim por diante. Os modelos considerados para representar essas redes devem considerar essas restrições [105]. Outra pesquisa que aponta a distância geográfica entre os sítios como sendo relevante em estudos de redes complexas é o estudo de propagação de epidemias. Pesquisas apontaram a distância como um fator importante no espalhamento de doenças. É achado que a geografia desempenha um papel mais importante do que os pólos na disseminação de epidemias. Xu X.-J et al. mostraram que nas redes que são geograficamente mais vinculadas, com conexões locais mais fortes, a epidemia prevalece significantemente, indicando que redes com mais conexões locais tem um risco maior de disseminar doenças [106].

Em 2005, Soares et al. propuseram um modelo de rede geográfica incluindo cres- cimento e ligação preferencial. O objetivo do estudo era, entre outros, verificar a relação existente entre a estatística não-extensiva e as redes livres de escala [14, 15]. Este trabalho focou em dois principais aspectos: (i) O estado estacionário da distribuição de conectividade P (k) associada ao número de sítios que tem k ligações no limite de N → ∞. (ii) A depen- dência temporal da conectividade média, mais precisamente como hkii aumenta com o tempo escalado t/ti com t ≥ ti no limite t/ti → ∞.

A dinâmica da rede obedece a uma regra em que a ligação entre dois sítios quaisquer dependerá da conectividade do sítio que já está na rede e da distância deste ao sítio que está chegando. Cada sítio que chega à rede deve ser colocado a uma distância r do centro de

massa do sistema. A distribuição das distâncias no plano satisfaz a uma lei de potência da forma P (r) ∝ 1/r2+αG caracterizada pelo parâmetro α

G4, parâmetro este responsável pelo crescimento da rede, ou seja, αG define quão próximos ou distantes estão os sítios uns dos outros. O nó que chega (j) é então conectado a um dos outros sítios preexistentes (i) da rede obedecendo a uma regra de ligação preferencial que é proporcional à conectividade do sítio i e inversamente proporcional a rαA

ij , onde rij é a distância Euclidiana do sítio i ao sítio j e αA5 é o parâmetro que controla a importância da distância na regra de ligação preferencial. Este modelo proporciona uma competição entre conectividade e distância, ou seja, o sítio que chega à rede terá que decidir estatisticamente se quer se conectar ao sítio com maior conectividade (mais popular) ou ao sítio que está mais próximo dele geograficamente. Esta competição tende a sumir quando αA → 0 e desaparece completamente quando αA = 0, reproduzindo nesse limite um comportamento característico do modelo BA que não possui métrica. (ver Fig. 3.7) [1, 14, 15].

Para construir esse modelos Soares et al. consideraram um plano contínuo, uma vez que o modelo é bidimensional. Para sortear a posição dos sítios no plano foram utilizadas coordenadas polares. Para cada sítio da rede foi sorteada a distância r e a direção θ. A distribuição das distâncias é dada pela função PG(r)que será definida abaixo e a distribuição dos ângulos é uniforme. A distribuição de conexões entre os sítios da rede seguem a regra de ligação preferencial descrita abaixo. O modelo MN é construído a partir do seguinte algoritmo:

1. O sítio i = 1 é colocado em uma origem arbitrária no plano;

2. O sítio i = 2 é colocado no plano a uma distância r do sítio i = 1 escolhida aleatoria- mente, obedecendo à distribuição:

PG(r)∝ 1

r2+αG onde, αG ≥ 0 (3.29)

a escolha da direção é dada pelo ângulo θ o qual é aleatoriamente obtido de uma distribuição uniforme, tal que 0 ≤ θ ≤ 2π. Após isso o sítio i = 2 liga-se ao sítio i = 1. 3. A partir deste passo, o centro de massa do sistema é sempre recalculado e o novo sítio (i > 2) que chega à rede é colocado no plano a uma distância r do novo centro de massa do sistema. Esta distância é dada pela distribuição de probabilidade do item

4_{O índice “G” utilizado aqui se refere à palavra em inglês growth que significa crescimento.}

anterior. O sítio recém-chegado irá então conectar-se a um dos sítios pré-existentes da rede através da seguinte regra de ligação preferencial:

Πi = kir −αA ij P jkjr −αA ij (3.30) Em que Πi é a probabilidade do sítio i se conectar ao sítio j. O índice i refere-se ao sítio pré-existente e j ao sítio recém chegado.

4. O passo anterior deverá ser repetido até o tamanho desejado do sistema.

Um exemplo do crescimento da rede pode ser visto na Fig. 3.7. As análises nessa rede são feitas variando-se dois parâmetros: αA e αG. Ao variarmos αG, mantendo αA cons- tante, observamos que a distribuição de conectividade não sofre alterações. As variações de αG provocam apenas um efeito de escala na distribuição dos sítios no plano6. Porém esse efeito não altera a distribuição de conectividade da rede. Ao variarmos o parâmetro αA, mantendo-se αG constante, a distribuição de conectividade é alterada de maneira significa- tiva. Esta regra de ligação preferencial gera uma rede livre de escala quando αA é pequeno, mas a medida que αA aumenta a distribuição de conectividade vai se aproximando de um comportamento exponencial. O aumento de αA permite gerar redes sem a presença de pólos devido à distribuição mais homogênea das ligações (ver Fig. 3.8 e Fig. 3.9). O parâmetro αA é o responsável pela mudança da topologia da rede (Livre Escala para Aleatória).

Ao considerarmos a distância Euclidiana entre os sítios, o problema de redes que antes era apenas topológico, entra na classe de sistemas com interações de longo alcance. A estatística BG não é apropriada para descrever sistemas que interagem dessa forma, sendo mais apropriado utilizar as ferramentas da Mecânica Estatística não-extensiva. Por este mo- tivo, as curvas da distribuição de conectividade geradas por este modelo, são bem ajustadas pela equação P (k) = P0e

−k/κ

q , onde eq é a função q-exponencial, κ é o número característico de ligações e q é o índice entrópico. A equação acima está relacionada com a estatística não- extensiva de Tsallis (ver seção 3.1.3). Pode-se encontrar uma relação entre os parâmetros q e κ com respeito ao parâmetro αA da regra de ligação preferencial. Observamos que αA∼ 2 a função q(αA) cai exponencialmente com αA. De forma contrária, κ(αA) tende a crescer exponencialmente com αA neste limite (ver Fig. 3.10).

Análises da evolução temporal da conectividade de cada sítio foram feitas nesse

6_{Como o efeito de “zoom” na fotografia, podemos ampliar ou reduzir, mas isso não altera as propriedades}

(a) t= 0 (b) t= 1 (c) t= 2 (d) t= 3

(e) t= 4 (f) t= 5 (g) t= 6 (h) t= 7

Figura 2.16:

Crescimento de uma rede livre de escala. A rede inicia com dois nós, m0= 2. Em cada

passo de tempo, adicionamos um nó que se liga preferencialmente a outros dois nós pré-existentes de acordo com a equação 2.9. De acordo com a expressão N = m0+ t em t = 7, temos N = 9 nós e 28

ligações.

Os dois ingredientes, crescimento e ligação preferencial, desempenham um papel

fundamental no modelo de Barabási e Albert e são necessários para a ocorrência da lei de

potência que descreve o comportamento da distribuição de conectividade para esse mo-

delo [10]. Entretanto, essa condição necessária, nem sempre é válida. Segundo a referên-

cia [76] é possível, para alguns modelos de rede livre de escala, obter um comportamento

lei de potência, levando em conta apenas o crescimento da rede sem ligação preferencial

ou ligação preferencial sem crescimento da rede.

ii) Algumas propriedades do modelo de Barabási e Albert

Assim como os modelos discutidos anteriormente, o modelo de Barabási e Al-

bert apresenta algumas propriedades de interesse. Nesta seção, apresentaremos algumas

das propriedades discutidas na literatura, como a evolução da conectividade dos nós no

tempo, distância do menor caminho médio, o coeficiente de agregação e uma breve dis-

cussão sobre robustez deste modelo.

Figura 3.7: Figura esquemática da dinâmica de crescimento e ligação preferencial do Modelo de Natal. Figura retirada da referência [5]

modelo. Como vimos anteriormente no modelo BA β é fixo e igual a 1/2 para qualquer sítio da rede. No modelo MQ, β é uma função da qualidade do sítio, ou seja, β = β(ηi) implicando que cada sítio tem seu próprio expoente β. No modelo MN observou-se que o expoente dinâmico β agora depende de αA e é fixo para todos os sítios da rede. Para valores de αA ≤ 2 (interações de longo alcance), podemos perceber que β possui valores elevados, onde o seu máximo valor corresponde a β = 1/2 quando αA= 0, recuperamos o modelo BA. No entanto, para αA> 2, β diminui de maneira aproximadamente exponencial e tende para um valor constante quando αA→ ∞ (ver na Fig. 3.11).

Apesar dos resultados encontrados para P (k) e β(αA), assim como a verificação da conexão entre redes complexas e a mecânica estatística não-extensiva de Tsallis, algumas pro- priedades não foram calculadas no modelo MN, como por exemplo: menor caminho médio, diâmetro da rede, coeficiente de agregação médio, correlações de grau, entropia da distribui- ção de grau, entre outras. O modelo MN foi estudado apenas para d = 2. No capítulo a seguir estaremos apresentando uma generalização deste modelo estudado em d = 1, 2, 3, 4 a fim de verificar como a dimensão influencia na distribuição de conectividade e no expoente dinâmico β. Outras propriedades também serão analisadas tais como: menor caminho médio e entropia da distribuição de grau.

100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3

k

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

P(

k)

αG= 0. 0 αG= 1. 0 αG= 2. 0 αG= 3. 0 (a) 100 101 102 103 104

k

10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

P(

k)

αA= 0. 0 αA= 3. 0 αA= 4. 0 αA= 5. 0 P(0)eq−k/κ (b)

Figura 3.8: (a) Análise da distribuição de conectividade para αA = 2 e valores típicos de αG.

Simulação realizada para N = 104 _{e 3× 10}3 _{amostras. (b) Comportamento da rede ao variar o}

(a)

(b)

Figura 3.9: (a) Sítios distribuídos no plano para valores deαG= 0 e αA = 1. É possível observar

o surgimento do pólo mesmo em uma rede pequena. (b) Sítios distribuídos no plano para valores deαG= 0 e αA= 5. É notória a quebra de pólos ao variar o parâmetro αA. Ambas as figuras são

simulações feita no Pajek paraN = 300 e seus respectivos valores de αGe αA. Figuras retiradas da

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

αA

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

q

d = 2 (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

αA

0.2 0.6 1.0 1.4

κ

d = 2 (b)

100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4

t/t

i 100 101 102 103

hk

i

i

αA= 0 αA= 1 αA= 2 αA= 3 αA= 4 αA= 5 (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

α

A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

β

d = 2 (b)

Figura 3.11: (a) Evolução temporal da conectividade do sítio i = 10 para diversos valores de αA.

Podemos observar comoβ diminui com o aumento de αA. (b) Comportamento do expoente dinâmico

No documento Papel da dimensionalidade em redes complexas: conexões com a mecânica estatística não-extensiva (páginas 74-82)