Modelo de Qualidade (MQ)

O modelo BA negligencia um importante aspecto de sistemas competitivos que é o fato de que nem todos os nós são igualmente suscetíveis a adquirir ligações. Inúmeros exemplos em sistemas reais demonstram que a conectividade do nó não depende apenas de sua idade. Na rede WWW, por exemplo, tem alguns sítios (documentos), que através da combinação de bom conteúdo e marketing adquirem um número maior de ligações em um curto intervalo de tempo ultrapassando facilmente páginas mais antigas. Um exemplo claro disso é o Google, e outros sites similares, que conseguiu se tornar o site de busca mais utilizado da atualidade, mesmo tendo surgido muito tempo depois. Um outro exemplo é o Facebook que destruiu a popularidade do Orkut. Como exemplo adicional teríamos o fato de alguns artigos adquirirem, em um curto intervalo de tempo, um grande número de citações. Esse comportamento pode ser associado a alguma qualidade intrínseca dos nós, tais como: habilidades sociais de um indivíduo, o conteúdo de uma página da web, ou mesmo o conteúdo de um artigo científico. Essa habilidade que o nó tem de competir por ligações foi chamada por Bianconi e Barabási de “fitness” ou “qualidade” do nó, daí o nome do modelo.

Em 2001 Bianconi e Barabási estenderam o modelo padrão BA ao observarem que este aspecto competitivo estava presente em muitas redes reais. O modelo BA prediz que todos os nós da rede aumentam sua conectividade no tempo como ki = (t/ti)β, onde β = 1/2 e tié o tempo no qual o nó i tem sido adicionado no sistema. Como consequência os nós mais velhos terão um número maior de ligações, uma vez que tiveram mais tempo para adquirí- las. Bianconi e Barabási desenvolveram um modelo contínuo para esta nova regra de ligação preferencial da rede, permitindo calcular β analiticamente e derivar uma expressão geral para a distribuição de conectividade. Os resultados analíticos se mostraram em acordo com os resultados numéricos apresentados por Bianconi e Barabási [100]. O modelo MQ leva em conta a habilidade que um determinado sítio da rede tem de adquirir ligações. A cada sítio da rede é atribuído um parâmetro ηi chamado de “fitness” o qual não muda com o tempo. Assim, a cada instante de tempo um novo sítio j com fitness ηj é adicionado ao sistema onde a escolha do parâmetro η de cada sítio é extraída de uma distribuição ρ(η) uniforme [100]. A existência da qualidade altera a ligação preferencial e isso afeta diretamente o expoente β da evolução temporal da conectividade dos sítios [100]. A regra de ligação preferencial

assume a seguinte forma: Π(ki) = ηiki P jηjkj (3.26)

Podemos notar que se todos os ηi = 1ou seja, ρ(η) = δ(η−1), recuperamos o modelo padrão BA, portanto o modelo MQ tem o modelo BA como caso particular. Neste modelo, sítios jovens com poucas ligações podem receber conexões com uma probabilidade maior do que sítios mais antigos com alto grau, contanto que seu parâmetro de qualidade seja alto. Assim, dado um intervalo de tempo apropriado, este sítio pode tornar-se um pólo, mesmo tendo nascido muito tempo depois e isso só é possível devido à sua habilidade de adquirir ligações (ηi). No modelo BA isso nunca seria possível uma vez que a idade do sítio é o único fator determinante para este tornar-se pólo. Bianconi calculou analiticamente a evolução temporal da conectividade de um dado sítio neste modelo e mostrou que:

kηi(t, t0) = m  t t0 β(ηi) onde, β(ηi) = ηi C (3.27)

A constante C foi calculada analiticamente por Bianconi e Barabási, os quais mostra- ram que C = 1.255 (ver Fig. 3.6.b) [100]. Ao mudar a regra de ligação preferencial (Eq. 3.26), acrescentando o parâmetro de qualidade, observou-se que a distribuição de conectividade foi afetada assumindo a forma:

P (k)_∼ k −(1+C)

log k (3.28)

Note que este modelo resulta em uma distribuição de conectividade que é uma lei de potência, porém com uma correção logarítmica. O expoente da distribuição é dado por γ = 1 + C. Dado o valor de C = 1.255 encontrado para o modelo MQ o expoente γM Q = 2.225(diferente do valor encontrado para o modelo BA) (ver Fig. 3.5.a) [100]. No modelo de Barabási C = 2 todos os ηi = 1 e consequentemente γ = 3. A mudança na regra de ligação preferencial implica no surgimento de “Super Pólos” na rede, o que faz com que a cauda da distribuição de conectividade seja deslocada para a direita e isso pode ser evidenciado pela diminuição do expoente da distribuição de conectividade, ou seja, γM Q < γBA.

Na Eq. 3.27 podemos ver que o expoente dinâmico β não é mais constante para todos os sítios como no modelo BA, mas agora ele depende da qualidade ηi do sítio i. No modelo

Capítulo 3. Mecânica Estatística e Modelos Teóricos de Redes

53

MQ cada sítio tem um β próprio, que pode ser grande ou pequeno dependendo do seu tempo de nascimento (ti) e da sua qualidade (ηi). Os dois casos extremos no modelo MQ seriam: (i) O sítio i = 1 (o primeiro a nascer) possui ηi ∼ 1. Neste caso podemos afirmar com certeza absoluta que este sítio será um pólo da rede. (ii) O sítio nasceu muito tarde (i >> 1) e possui ηi ∼ 0. A probabilidade desse sítio tornar-se um pólo é praticamente 0. É importante notar também que o expoente β(ηi) está delimitado entre 0 e 1, ou seja, 0 < β(ηi) < 1. β > 0porque um sítio sempre aumenta o número de conexões no tempo e β < 1 porque ki(t) não pode aumentar mais rápido que t [3, 100]. Embora um pouco mais realista, o modelo MQ ainda não se aplica a todas as situações reais, como por exemplo, os sistemas em que a distância Euclidiana entre os sítios não pode ser negligenciada (ex.: rede de aeroportos).

6

EVOLVING NETWORKS

DEGREE DISTRIBUTION

The degree distribution of the network generated by the Bian-

coni-Barabási model can be calculated using the continuum theory

(ADVANCED TOPICS 6.A), obtaining

Equation (6.6) is a weighted sum of multiple power-laws, indicating

that p

_k

depends on the precise form of the fitness distribution, ρ(η). To

illustrate the properties of the model we use (6.4) and (6.6) to calculate

β(η) and p

_k

for two fitness distributions:

• Equal Fitnesses

When all fitnesses are equal, the Bianconi-Barabási model reduc-

es to the Barabási-Albert model. Indeed, let us use ρ(η) = δ(η − 1),

capturing the fact that each node has the same fitness η = 1. In this

case (6.5) yields C = 2. Using (6.4) we obtain β = 1/2 and (6.6) predicts

p

_k

∼ k

−3

_{, the known scaling of the degree distribution in the Barabá-}

si-Albert model.

• Uniform Fitness Distribution

The model’s behavior is more interesting when nodes have differ-

ent fitnesses. Let us choose η to be uniformly distributed in the

[0,1] interval. In this case C is the solution of the transcendental

equation (6.5)

whose numerical solution is C* = 1.255. Consequently, (6.4) predicts

that each node i has a different dynamic exponent, β(η

_i

) = η

_i

/C*.

Using (6.6) we obtain

predicting that the degree distribution follows a power law with

degree exponent γ = 2.255. Yet, we do not expect a perfect power

law, but the scaling is affected by an inverse logarithmic correc-

tion 1/lnk.

Numerical support for the above predictions is provided in Figures

6.2 and 6.3. The simulations confirm that k

_i

(t) follows a power law for

each η and that the dynamical exponent β(η) increases with the fit-

ness η. As Figure 6.3a indicates, the measured dynamical exponents

are in excellent agreement with the prediction (6.4). Figure 6.3b also

documents an agreement between

(6.8) and the numerically ob-

tained degree distribution.

EVOLVING NETWORKS

THE BIANCONI-BARABÁSI MODEL

(6.7)

C

C

exp( 2 / ) 1 1/−

= −

(a) The measured dynamic exponent β(η)

shown in function of η for a uniform ρ(η) dis-

tribution. The squares were obtained from

numerical simulations while the solid line

corresponds to the analytical prediction β(η)

= η/1.255.

(b) Degree distribution of the model obtained

numerically for a network with m=2 and N =

10

6

_{and fitnesses chosen uniformly from the}

η ∈ [0, 1] interval. The green solid line corre-

sponds to the prediction (6.8)

with γ = 2.255.

The long-dashed line is

p

_k

∼

k

−2.255

_without

the logarithmic correction, while the short-

dashed curve correspond to p

_k

∼ k

-3

_{, expected}

if all fitness are equal. Note that the best fit is

provided by (6.8).

Figure 6.3

Characterizing the Bianconi-Barabási Model

(b)

(6.6)

p

_k

C

d

( ) m

k

C 1

.

(6.8)

p

_k 0 1

d

C

*

1

k

1 C*/

~

k

(1 C*)

ln k

,

10

1

10

0

₁₀

2

_k

₁₀

3

₁₀

4

0.2

0

0.6

0.8

1

k

-2.255

_/lnk

~k

-2.255

~k

-3

0.4

η

β(η)

p

_k

10

-9

10

-7

10

-5

10

-3

10

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

,

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

t/t

₁₀

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

<k

10

>

η

₁₀

= 0.3

η

₁₀

= 0.6

η

₁₀

= 0.9

(a) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

η

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

β(

η)

Figura 3.4: Resultado da simula¸c˜ao num´erica do modelo de Bianconi com qualidade uniforme (rede com N = 105 _{e m = 1): Dependˆencia do ex-} poente dinˆamico β(η) com o parˆametro da qualidade η para uma distri- bui¸c˜ao uniforme ρ(η) = constante. Os c´ırculos foram obtidos atrav´es da si- mula¸c˜ao num´erica enquanto a linha foi feita com base na predi¸c˜ao anal´ıtica, β(η) = η/1, 255. A simula¸c˜ao num´erica foi feita, fixando a qualidade do n´o nascido em t0= 9.

61

(b)

Figura 3.6: (a) Evolução temporal do sítioi = 10 para diferentes valores de η. Simulação realizada para m = 1, N = 105 e 1000 amostras. (b) Dependência linear de β com η, mostrando que dependendo do fitness do sítio, este tem maior probabilidade de receber ligações. Figura retirada da referência [4].

No documento Papel da dimensionalidade em redes complexas: conexões com a mecânica estatística não-extensiva (páginas 70-74)