Limite hidrodinˆ amico

Para cobrir toda a gama da rarefa¸c˜ao do g´as δ, o problema deve ser resolvido no regime hidrodinˆamico tamb´em, ou seja, quando δ 1. Algu-mas conclus˜oes sobre a influˆencia do potencial intermolecular no problema em quest˜ao podem ser feitas com base na presente solu¸c˜ao limite, a qual se baseia nas equa¸c˜oes de Navier-Stokes contendo os coeficientes de

trans-porte, tais como a viscosidade µ, condutividade t´ermica κ, e coeficiente de difus˜ao t´ermica kT. Estes coeficientes s˜ao fun¸c˜oes desconhecidas da tempe-ratura T e composi¸c˜ao qu´ımica C da mistura. Al´em disso, estas fun¸c˜oes n˜ao s˜ao anal´ıticas para o potencial AI de modo que uma solu¸c˜ao anal´ıtica rigorosa da equa¸c˜ao de Navier-Stokes n˜ao ´e poss´ıvel. Por isso, vamos nos restringir a uma aproxima¸c˜ao assumindo a seguinte dependˆencia (que ´e sim-ples e interpola bem os dados experimentais e num´ericos) da viscosidade µ e condutividade t´ermica κ com a temperatura

µ(T) = µ₀ geral a quantidade ω, que nesse caso carrega a informa¸c˜ao do potencial, n˜ao

´e constante, mas ω varia pouco com a temperatura, vide tabela 7.11, e como nesse problema a temperatura tamb´em varia pouco, vide figura 7.1, podemos considerar ω constante. Seu valor para T₀ = 300 K foi calculado a partir dos dados experimentais de viscosidade relatados na Ref. [54] e s˜ao dados na

´

ultima coluna da Tabela 7.3.

A solu¸c˜ao hidrodinˆamica baseia-se nas equa¸c˜oes constitutivas, ou seja, as leis de Newton e Fourier, e nas conserva¸c˜oes de momento linear e energia

dPxy

dx = 0, dqx

dx +P_xyduy

dx = 0. (7.2)

De acordo com os dados emp´ıricos [54], o fator de difus˜ao αT depende fra-camente da temperatura, de modo que pode ser assumido constante. Os dados de raz˜ao de termodifus˜ao para HS relatados na Ref. [65] e aqueles para potencial AI relatado na Ref. [38] s˜ao apresentados na Tabela 7.3.

Para levar em conta uma rarefa¸c˜ao moderada, as equa¸c˜oes diferenciais s˜ao resolvidas aplicando-se as condi¸c˜oes de contorno de deslizamento de veloci-dade, vide por exemplo [42]

e salto de temperatura

T = T₀ ∓ζT`dT

dx em x = ±H

2, (7.4)

onde, σP e ζT s˜ao os coeficientes de deslizamento de velocidade e de salto de temperatura, respectivamente, e ` ´e o livre caminho equivalente (2.1). Fisi-camente, essas condi¸c˜oes significam que a velocidade do g´as imediatamente pr´oximo `a parede n˜ao ´e igual a velocidade da parede, e que a temperatura imediatamente pr´oxima da parede tamb´em n˜ao ´e igual `a temperatura da pa-rede. Uma an´alise cr´ıtica dos dados num´ericos e experimentais sobre esses coeficientes podem ser encontrados na Ref. [159]. De acordo com os dados num´ericos obtidos na Ref. [164] a partir da equa¸c˜ao modelo McCormack, o coeficiente de deslizamento σP n˜ao ´e sens´ıvel ao potencial intermolecular.

Seus valores v´alidos tanto para HS como para potencial AI s˜ao apresentados na Tabela 7.3. O coeficiente de salto ζT calculado na Ref. [165] ´e fortemente afetado pelo potencial e est´a apresentado na Tabela 7.3 para HS e para o chamado potencial real´ıstico (PR) [165], que ´e o nome que se d´a quando se utilizam as f´ormulas de interpola¸c˜ao dadas em [54].

Mesmo ap´os a simplifica¸c˜ao (7.1), as equa¸c˜oes s˜ao resolvidas numerica-mente para uma velocidade de parede arbitr´aria U. No entanto, se introdu-zirmos o parˆametro

ξ = U

v0(1 + 2σP/δ), (7.5)

ent˜ao as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes sujeitas `as condi¸c˜oes de contorno (7.3) e (7.4) podem ser expandidas com rela¸c˜ao a este parˆametro. Se omitirmos os termos de ordem ξ⁴ e os termos de ordem 1/δ², obt´em-se

q_x(x) = ξ²v₀p₀ δ

x

H +O(ξ⁴). (7.9)

Aqui, c_p = 5kB/2m ´e o calor espec´ıfico a press˜ao constante. Este n´umero

´e muito pr´oximo de 2/3 para um g´as ´unico e, nesse caso, depende fracamente do potencial molecular. No entanto, no caso da mistura, difere desse valor e depende significativamente do potencial. Os valores para HS e AI s˜ao apre-sentados na Tabela 7.3. Para calcular o n´umero de Prandtl para o potencial AI, a viscosidade e a condutividade t´ermica calculadas no trabalho [38], e dadas na Tabela 7.3, foram utilizadas.

A viscosidade e condutividade t´ermica utilizadas para calcular o n´umero de Prandtl para HS foram calculadas usando uma expans˜ao polinomial de Sonine de maior ordem Ref. [3, 8]. As express˜oes dos termos de primeira ordem podem ser encontradas em muitos livros e artigos, vide por exemplo, Eqs. (7.3-82) e (7.3-87) no livro [3], Eqs. (70) e (71) em Ref. [110], Eq.

(145) em Ref. [70] e Eq. (198) em Ref. [65]. Essas express˜oes necessitam dos diˆametros moleculares d1 e d2 que s˜ao extra´ıdos a partir da express˜ao exata da viscosidade para um g´as ´unico de esferas r´ıgidas

µ = 0,126668

√2mkBT

d² (7.10)

obtida em [64, 166]. Assumindo que no limite de gases individuais C₀ = 0 e C₀ = 1 as viscosidades de ambos AI e HS s˜ao as mesmas, os diˆametros s˜ao dados como d₁ =0,2173 nm e d₂ =0,3618 nm para He e Ar, respectivamente.

Isto ocorre porque ´e justamente desta forma que os diˆametros moleculares para HS s˜ao calculados, ou seja, eles s˜ao ajustados pela viscosidade. As corre¸c˜oes relacionadas com expans˜oes polinomiais de Sonine de ordem supe-rior calculados nas Refs. [65, 70] foram utilizadas para calcular a viscosidade e condutividade t´ermica para as fra¸c˜oes molares intermedi´arias C0 =0,25, 0,5 e 0,75. Os valores correspondentes s˜ao apresentados na Tabela 7.3.

Usando a Eq. (7.8) e a condi¸c˜ao RH/2

−H/2C(x)dx = C₀H que provem do fato da massa ou quantidade de mat´eria se conservar, a fra¸c˜ao molar ´e obtida

como Assim, o maior desvio da fra¸c˜ao molar acontece nas paredes (x = ±H/2) e ´e duas vezes menor que isso no ponto m´edio (x = 0). Como a raz˜ao de termodifus˜ao ´e negativa temos, C(0)> C₀ e C(H/2) < C₀. Usando os dados num´ericos da Tabela 7.3 pode-se verificar que os desvios relativos da fra¸c˜ao molar∆C/C₀ atinge 5% e 3% para os potenciais do HS e AI, respectivamente.

Assim, a varia¸c˜ao da fra¸c˜ao molar ´e muito pequena e pode ser desprezada.

Substituindo (7.6) em (3.2), o tensor de cisalhamento reduzido ´e obtido como

Esta express˜ao nos d´a uma ideia sobre a influˆencia do potencial. Uma vez que o coeficiente de deslizamento σP n˜ao ´e afetado pelo potencial, o primeiro termo na equa¸c˜ao (7.12) n˜ao depende do mesmo. Os primeiros termos nos perfis de velocidade (7.7) e temperatura (7.8) tamb´em n˜ao s˜ao afetados pelo potencial. Uma vez que as quantidades ω, Pr e ζT dependem do potencial, os termos da ordem ξ² nas equa¸c˜oes (7.7), (7.8) e (7.12) s˜ao afetados pelo potencial. Esta express˜ao (7.12) serve para mostrar que para U/v₀ = 0,2 a contribui¸c˜ao dos termos n˜ao lineares ´e menor que 0,3%, o que significa que para o valor de velocidade da parede considerado, o problema pode ser considerado linear dentro da precis˜ao assumida.

De acordo com a Eq.(7.9), o fluxo de calor q_x n˜ao cont´em o termo de primeira ordem em rela¸c˜ao ao parˆametro pequeno ξ. O termo de segunda ordem n˜ao depende do potencial intermolecular de modo que esta quantidade n˜ao ser´a analisada aqui.