Transferˆ encia de calor

3.3.1 Descri¸ c˜ ao do problema

Considere uma mistura gasosa bin´aria confinada entre duas placas para-lelas fixas em x = ±H/2 e com diferentes temperaturas T₀ ±∆T /2, respec-tivamente, vide figura 3.3.1. Assim, H ´e a distˆancia entre as placas e ∆T ´e a diferen¸ca de temperatura. Vamos calcular o fluxo de calor q_x⁰, o perfil de temperatura T(x) e a distribui¸c˜ao de fra¸c˜ao molar C(x) entre as placas.

Figura 3.1: Esquema de transferˆencia de calor.

Al´em da raz˜ao ∆T /T₀, a solu¸c˜ao do problema ´e determinada por mais dois parˆametros. Um deles ´e a fra¸c˜ao molar de equil´ıbrio definida em 2.4.

Por causa do fenˆomeno de termodifus˜ao, a fra¸c˜ao molar varia entre as placas de modo que iremos distinguir o valor de equil´ıbrio C₀, ou seja, o seu valor em ∆T = 0, e a fra¸c˜ao molar local C(x) que ´e uma fun¸c˜ao da coordenada x quando ∆T 6= 0. O outro parˆametro que determina a solu¸c˜ao ´e o parˆametro de rarefa¸c˜ao definido em 2.6.

A solu¸c˜ao do problema em quest˜ao tamb´em ´e determinada pelo modelo de intera¸c˜ao g´as-superf´ıcie, mas no presente trabalho n˜ao estamos interessa-dos na influˆencia dessa intera¸c˜ao sobre a transferˆencia de calor. Portanto, a reflex˜ao difusa de part´ıculas gasosas de ambas as esp´ecies nas placas ´e as-sumida. A reflex˜ao difusa onde a part´ıcula que colide com a superf´ıcie sai em uma dire¸c˜ao qualquer e com uma velocidade dada pela distribui¸c˜ao de Maxwell para a temperatura da superf´ıcie, independentemente da velocidade incidente.

Os resultados s˜ao dados em termos de fluxo de calor q adimensional defi-nido por

q := − q⁰_xT₀

p0v0∆T, (3.1)

que ´e sempre positivo. Os resultados adimensionais, ou seja, q em fun¸c˜ao

de δ, n˜ao necessitam da especifica¸c˜ao da distˆancia dimensional H e press˜ao p₀, mas s˜ao v´alidos para ampla gama destas quantidades. Uma vez que o fluxo de calor reduzido q depende fracamente da diferen¸ca de temperatura relativa ∆T /T₀, o conhecimento dessa quantidade nos permite utilizar os dados obtidos para um valor espec´ıfico de ∆T /T0 em uma grande faixa desta rela¸c˜ao.

3.3.2 Caso de teoria linear para g´ as ´ unico

Nesta se¸c˜ao falaremos de artigos de teoria linear, isto ´e, quando ∆T ´e pequeno, para g´as ´unico. Bassani et al. (1967) [74] estudaram o problema de transferˆencia de calor supondo acomoda¸c˜ao completa do g´as `as condi¸c˜oes das superf´ıcies. Depois, Bassani et al. (1968) [75] estudaram a influˆencia do coeficiente de acomoda¸c˜ao. Neste segundo trabalho consideraram o problema tanto entre placas paralelas como em cilindros concˆentricos, para parˆametros de rarefa¸c˜ao de 0 a 10. Siewert (1999) [76] apresentou uma solu¸c˜ao de ordena-das discretas para transferˆencia de calor em um canal plano. Eles obtiveram resultados para coeficientes de acomoda¸c˜ao arbitr´arios e desiguais. Shari-pov et al. (2007) [77] estudaram a transferˆencia de calor para g´as ´unico e numa mistura, para o caso linear, utilizando o modelo S que foi resolvido pelo m´etodo de velocidade discreta. Os resultados obtidos foram o fluxo de calor e a distribui¸c˜ao de temperatura.

3.3.3 Caso da teoria linear para mistura

Aqui s˜ao reportados artigos tamb´em do caso de teoria linear, por´em para uma mistura. Valougeorgis e Thomas (1985) [78] utilizaram a equa¸c˜ao cin´etica para resolver o problema de transferˆencia de calor entre placas para-lelas. Garcia e Siewert (2004) [79] aplicaram o modelo de McCormack para misturas no caso de transferˆencia de calor em canal plano utilizando uma vers˜ao anal´ıtica do m´etodo de velocidades discretas. E como dissemos no item anterior, Sharipov et al. (2007) [77] estudaram a transferˆencia de calor

tanto para um g´as ´unico como para uma mistura, no caso linear.

3.3.4 Caso da teoria n˜ ao linear para g´ as ´ unico

Artigos de teoria n˜ao linear para g´as ´unico s˜ao revistos nesta se¸c˜ao. Aris-tov et al. (1990) [80] estudaram o problema de transferˆencia de calor por dois m´etodos diferentes: um deles atrav´es do m´etodo de diferen¸ca finita da solu¸c˜ao direta da equa¸c˜ao de Boltzmann, e o outro m´etodo de simula¸c˜ao es-tat´ıstica direta. Graur e Polikarpov (2009) [81] fazem uma compara¸c˜ao de diversos modelos aplicados a transferˆencia de calor. Eles conclu´ıram que o modelo elipsoidal d´a resultados mais pr´oximos aos dos resultados da equa¸c˜ao de Boltzmann n˜ao linear e resultados DSMC. Conclu´ıram tamb´em que a discrepˆancia entre os resultados experimentais e os valores num´ericos pode ser explicada pelo kernel “imperfeito”difuso-especular de Maxwell. Reflex˜ao difuso-especular ´e quando parte das part´ıculas sofre reflex˜ao difusa, e outra parte sofre reflex˜ao especular. Scherer et al. (2009) [82] desenvolveram um m´etodo anal´ıtico denominado ADO, vers˜ao anal´ıtica do m´etodo de velocida-des discretas, e aplicaram a problemas de transferˆencia de calor.

3.3.5 Caso de teoria n˜ ao linear para mistura

Por fim, nesta se¸c˜ao, falaremos de artigos do ´ultimo caso poss´ıvel, isto ´e, da teoria n˜ao linear para mistura. ´E um problema que foi pouco estudado e por isso h´a poucos artigos. Kosuge et al. (2001) [83] utilizaram o m´etodo de diferen¸cas finitas da equa¸c˜ao de Boltzmann para a transferˆencia de calor por uma mistura bin´aria hipot´etica. N˜ao trataram de g´as ´unico. Raines (2008) [84] estuda a transferˆencia de calor numa mistura gasosa entre duas placas paralelas. O m´etodo utilizado ´e derivado da equa¸c˜ao de Boltzmann, e os gases s˜ao hipot´eticos, ou seja, com massas e diˆametros assumidos sem rela¸c˜ao com gases reais.

3.3.6 Valores de referˆ encia

Para efeitos de compara¸c˜ao, para g´as ´unico e mistura, iremos considerar os valores dados na tabela 3.5.

Tabela 3.5: Fluxo de calor adimensional q vs. parˆametro de rarefa¸c˜ao δ e concentra¸c˜ao C₀, para potencial real´ıstico (PR) e mistura He-Ar de [77]. O erro num´erico reportado ´e menor que 0,1%.

δ q

C₀ = 0 0,25 0,5 0,75 1

0,01 0,56076 0,76048 0,86550 0,83812 0,56076 0,1 0,53511 0,72740 0,82890 0,80304 0,53511 1 0,40014 0,54599 0,62520 0,60835 0,40014 10 0,13483 0,18359 0,21230 0,20954 0,13483 20 0,07841 0,10685 0,12390 0,12269 0,07841 40 0,04269 0,05820 0,06762 0,06709 0,04269