Resultados e discuss˜ oes

Tensor de cisalhamento

Os valores num´ericos do tensor de cisalhamento adimensional Π para o potencial AI s˜ao apresentados nas tabelas 7.1 e 7.2.

Tabela 7.1: Tensor de cisalhamento adimensional Π para potencial AI vs parˆametro de rarefa¸c˜aoδ, fra¸c˜ao molar de equil´ıbrioC₀ e velocidade da parede U/v₀ = 0,2. ^a Eq.(7.18), ^b Eq.(7.12).

Π

C₀ = 0 C₀ =0,25 C₀ =0,5 C₀ =0,75 C₀ =1 δ

0 ^a 0,5642 0,5314 0,5007 0,4823 0,5642 0,01 0,5575 0,5252 0,4953 0,4775 0,5585 0,1 0,5167 0,4883 0,4619 0,4466 0,5191

1 0,3365 0,3232 0,3110 0,3037 0,3382

10 0,08320 0,08216 0,08146 0,08087 0,08324 20 0,04531 0,04510 0,04487 0,04461 0,04540 40 0,02381 0,02370 0,02368 0,02364 0,02383 40 ^b 0,02379 0,02371 0,02364 0,02360 0,02379

Os valores de Π para δ = 0, foram calculados a partir da equa¸c˜ao (7.18) e aqueles na ´ultima linha foram calculados a partir da equa¸c˜ao (7.12) substi-tuindo δ = 40 e os valores de σP, ζT, ω e Pr apresentados na Tabela 7.3.

Uma compara¸c˜ao entre os dados num´ericos de Π para δ =0,01 com os de δ = 0 mostra que a diferen¸ca relativa ´e de cerca de 0,01, ou seja, tem a ordem deδ. A diferen¸ca entre os dados de DSMC paraδ = 40 e os calculados a partir da solu¸c˜ao hidrodinˆamica (7.12) n˜ao excede 0,2%, ou seja, estas duas solu¸c˜oes coincidem dentro da precis˜ao num´erica. Assim, os dados apresentados na Tabela 7.1 cobrem toda a gama da rarefa¸c˜ao do g´as.

Para indicar a influˆencia do potencial em toda a gama do parˆametro de rarefa¸c˜ao, a tabela 7.4 representa o desvio relativo do tensor de cisalhamento com base no modelo de HS, Π_HS, do com base no potencial AI, Π_AI.

Como era esperado, a diferen¸ca entreΠ_HS e Π_AI para a menor velocidade

Tabela 7.2: Tensor de cisalhamento adimensional Π para potencial AI vs parˆametro de rarefa¸c˜aoδ, fra¸c˜ao molar de equil´ıbrioC₀ e velocidade da parede U/v₀ = 2. ^a Eq.(7.18). ^b Eq.(7.12).

Π

C₀ = 0 C₀ =0,25 C₀ =0,5 C₀ =0,75 C₀ =1 δ

0 ^a 0,5642 0,5314 0,5007 0,4823 0,5642 0,01 0,5612 0,5286 0,4981 0,4791 0,5615 0,1 0,5319 0,5015 0,4726 0,4537 0,5315

1 0,3663 0,3499 0,3330 0,3199 0,3616

10 0,09777 0,09379 0,09092 0,08926 0,09551 20 0,05316 0,05083 0,04962 0,04909 0,05191 40 0,02766 0,02647 0,02593 0,02575 0,02704 40 ^b 0,02783 0,02646 0,02586 0,02511 0,02699 Tabela 7.3: Propriedades da mistura He-Ar para T=300 K.

µ(µPa ·s) κ(W/K) Pr −kT σP1 ζT2 ω C0 HS³ AI⁴ HS⁵ AI^d HS AI HS^e AI⁶ HS PR Emp⁷ 0 22,68 22,68 17,86 17,74 0,6607 0,6652 - - 1,018 1,954 1,954 0,85 0,25 22,81 23,22 29,27 32,60 0,5232 0,4782 0,1026 0,0604 1,084 1,769 1,969 0,81 0,5 22,77 23,53 47,62 54,34 0,4523 0,4096 0,1693 0,0962 1,150 1,777 2,017 0,77 0,75 22,22 23,18 80,67 89,63 0,4408 0,4139 0,1692 0,0916 1,191 1,910 2,070 0,71 1 19,91 19,91 156,50 155,52 0,6607 0,6648 - - 1,018 1,954 1,954 0,68

de parede U/v₀ = 0,2 ´e dentro da incerteza num´erica 0,5% para valores elevados do parˆametro de rarefa¸c˜ao, ie δ ≥ 10, e para o seu valor pequeno δ =0,01. No regime de transi¸c˜ao (δ = 1) a diferen¸ca entre Π_HS e Π_AI excede a incerteza num´erica, mas ainda ´e pequena, ou seja, cerca de 1%. Quando a velocidade da parede ´e grande (U/v0 = 2), a diferen¸ca entre ΠHS e ΠAI

atinge o seu m´aximo perto do regime hidrodinˆamico (δ = 10). Ela ´e um pouco menor no regime hidrodinˆamico (δ = 40). Diminuindo o parˆametro de rarefa¸c˜ao δ come¸cando de 10 a diferen¸ca diminui e torna-se menor do que o erro computacional em δ = 0,1.

A fim de determinar a incerteza da equa¸c˜ao modelo de McCormack, uma compara¸c˜ao entre o tensor de cisalhamento Π_{M C} calculado na Ref. [97] com base neste modelo com Π_AI calculado para o potencial AI em U/v₀ = 0,2 ´e

Tabela 7.4: Desvio relativo do tensor de cisalhamento Π de HS para o de

0,01 0,23 0,20 0,27 0,13 0,16 0,06 0,02 0,08 0,05 0,14 0,1 0,83 0,13 0,59 -0,08 0,45 -0,30 0,25 -0,37 0,37 0,21

Tabela 7.5: Desvio relativo do tensor de cisalhamento Π baseado no modelo de McCormack (MC), vide Ref. [97], do para potencial AI vs parˆametro de rarefa¸c˜ao δ e fra¸c˜ao molar de equil´ıbrio C₀ para U/v₀ = 0,2.

δ (Π_{M C} −Π_AI)/Π_AI (%) C₀ = 0 0,25 0,5 0,75 1 0,01 0,32 0,34 0,32 0,25 0,14 0,1 1,1 1,1 1,1 0,99 0,62 1 0,68 0,77 0,74 0,69 0,18 10 -0,14 0,02 -0,21 -0,15 -0,19 20 0,15 0,02 -0,09 0,13 -0,04 40 -0,08 0,04 -0,17 -0,21 -0,17

De acordo com a Ref. [97], o tensor de cisalhamento Π_{M C} com base no modelo de McCormack n˜ao ´e sens´ıvel ao potencial intermolecular.

Como ´e esperado, os valores de Π_{M C} coincidem com Π_AI para parˆametro de rarefa¸c˜ao elevado (δ ≥ 10) e para o valor pequeno (δ = 0,01). No entanto, para δ = 0,1 e 1, a diferen¸ca entre Π_{M C} e Π_AI ´e cerca de 1%, ou seja, ultrapassa a precis˜ao num´erica. Isto que o modelo de McCormack d´a uma incerteza de cerca de 1% nesse caso.

Gradiente de velocidade

O perfil de velocidade para o problema em quest˜ao difere, apenas ligeira-mente, de uma linha reta, enquanto o gradiente de velocidade adimensional no ponto m´edio (x = 0), ou seja, a quantidade

depende fortemente do parˆametro de rarefa¸c˜ao. No limite hidrodinˆamico (δ 1) ´e obtido da Eq.(7.7) como Assim, quando o termo de ordem de ξ² ´e negligenciado, o gradiente ν n˜ao

´e afetado pelo potencial embora os valores num´ericos de ν para U/v₀ = 0,2 s˜ao omitidos aqui. No entanto, para uma velocidade de parede elevada, o termo da ordem ξ² cont´em ω e Pr, que dependem do potencial.

Os valores de ν com base no potencial AI s˜ao apresentados na Tabela 7.6 para U/v₀ = 2.

Tabela 7.6: Gradiente de velocidade ν definido em (7.19) para potencial AI vs parˆametro de rarefa¸c˜ao δ e fra¸c˜ao molar de equil´ıbrio C₀ para U/v₀ = 2.

a Eq.(7.20)

ν

δ C₀ = 0 0,25 0,5 0,75 1

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,01 0,048 0,049 0,048 0,050 0,041 0,1 0,173 0,174 0,173 0,175 0,172 1 0,486 0,481 0,475 0,468 0,494 10 0,819 0,813 0,810 0,811 0,826 20 0,873 0,878 0,876 0,879 0,880 40 0,904 0,916 0,916 0,917 0,914 40 ^a 0,880 0,900 0,906 0,907 0,895

Esta quantidade varia de zero `a unidade atrav´es da varia¸c˜ao do parˆametro de rarefa¸c˜ao de zero at´e infinito. ´E fracamente afetada pela fra¸c˜ao molar. Na

´

ultima linha da tabela 7.6, os valores de ν calculados a partir da equa¸c˜ao (7.20) s˜ao dados. Estes valores s˜ao poucos por cento menores do que os calculados numericamente. Assim, ao contr´ario do tensor de cisalhamento, a contribui¸c˜ao de ordem ξ⁴ para o gradiente ν ´e significativa, em torno de 2%.

De modo a avaliar a influˆencia do potencial no gradiente, o desvio relativo de ν com base no modelo de HS para o baseado no potencial AI ´e dado na Tabela 7.7.

Tabela 7.7: Desvio relativo do gradiente de velocidade ν do modelo de HS para o de potencial AI vs parˆametro de rarefa¸c˜aoδ e fra¸c˜ao molar de equil´ıbrio C₀ para U/v₀ = 2.

Como era de esperar, para grandes valores da rarefa¸c˜ao, vide equa¸c˜ao (7.6) e (7.20), o desvio de ν ´e duas vezes menor do que o desvio correspondente ao tensor de cisalhamento Π apresentados na Tabela 7.4. Para valores pequenos do parˆametro de rarefa¸c˜ao, o desvio relativo aumenta drasticamente porque a quantidade ν tende a zero no limite δ →0.

Temperatura

De acordo com a solu¸c˜ao hidrodinˆamica (7.8), o desvio da temperatura do seu valor de equil´ıbrio tem uma forma parab´olica e atinge o seu m´aximo no ponto m´edio do intervalo (x = 0). No regime de mol´eculas livres, ver Eq.

(7.17), o desvio da temperatura ´e constante. Para o valor de velocidade de parede U/v₀ = 0,2 o desvio de temperatura ´e pequeno e tem a ordem do erro num´erico. Assim, os dados sobre o perfil de temperatura s˜ao dados apenas para o valor da velocidade U/v = 2. Os perfis t´ıpicos s˜ao representados na

Figura 7.1: Perfil de temperatura para U/v₀ = 2 e C₀ =0,5. Publicado originalmente em [39].

Figura 7.1 variam suavemente desde a forma parab´olica em δ = 40 para o perfil constante em δ =0,01.

Os valores da temperatura no ponto m´edio (x = 0) s˜ao apresentados na Tabela 7.8 onde o valor molecular livre (7.17) e o limite hidrodinˆamico (7.8) s˜ao tamb´em fornecidos.

Note, que em δ = 0,01 o valor de T(0)/T₀ ´e praticamente o mesmo que o do regime de mol´ecula livre. Os valores da temperatura em δ = 40 diferem ligeiramente da solu¸c˜ao anal´ıtica (7.8), com o m´aximo de 0,7% em C₀ = 0,25.

A influˆencia do potencial sobre a temperatura ´e apresentada na Tabela 7.9 sob a forma da diferen¸ca relativa entre a temperatura para o modelo de HS e potencial AI.

Tabela 7.8: Temperatura no ponto m´edio (x = 0) para potencial AI vs parˆametro de rarefa¸c˜ao δ e fra¸c˜ao molar de equil´ıbrio C0 para U/v0 = 2. ^a Eq.(7.17). ^b Eq.(7.8).

T(0)/T₀

δ C₀ = 0 0,25 0,5 0,75 1 0 ^a 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 0,01 1,667 1,666 1,663 1,660 1,665 0,1 1,661 1,653 1,642 1,631 1,660 1 1,587 1,553 1,518 1,488 1,583 10 1,360 1,286 1,245 1,238 1,356 20 1,316 1,237 1,203 1,201 1,313 40 1,291 1,214 1,182 1,183 1,289 40 ^b 1,288 1,206 1,176 1,178 1,288

Tabela 7.9: Desvio relativo da temperatura no ponto m´edio (x = 0) para HS daquele para potencial AI vs parˆametro de rarefa¸c˜ao δ e fra¸c˜ao molar de equil´ıbrio C₀ para U/v₀ = 2.

(T_HS −T_AI)/T_AI(%)

δ C0 = 0 0,25 0,5 0,75 1 0,01 −0,06 −0,17 −0,12 −0,11 0,06 0,1 −0,24 −0,43 −0,55 −0,68 −0,18 1 −0,69 −1,10 −1,52 −1,73 −0,44 10 −0,74 −0,19 −0,02 −0,15 −0,44 20 −0,46 0,65 0,67 0,46 −0,23 40 −0,39 0,99 1,10 0,80 −0,23

Pode-se ver que na faixa de rarefa¸c˜ao 1 ≤δ ≤ 40 a diferen¸ca relativa pode exceder 1% para alguns valores da fra¸c˜ao molar C₀. De acordo com a solu¸c˜ao hidrodinˆamica (7.8), a diferen¸ca em rela¸c˜ao a este regime ´e determinada pelo n´umero de Prandtl que ´e maior para o modelo de HS do que para o potencial de AI. Ao diminuir o parˆametro de rarefa¸c˜ao, a contribui¸c˜ao de salto de temperatura aumenta. Uma vez que o coeficiente de salto ζT para AI ´e maior do que para o de HS, a temperatura para a AI torna-se maior do que aquela para o HS ao diminuir δ. Para um g´as ´unico, isto ´e, C₀ = 0 e 1, o n´umero

Figura 7.2: Perfis de velocidade para U/v₀ = 2, C₀ = 0,5 e v´arios δ.

de Prandtl Pr ´e fracamente afetado pelo potencial, enquanto o coeficiente de salto ζT ´e o mesmo para ambos os potenciais, de modo que a temperatura ´e praticamente a mesma para ambos.

Perfil de Velocidade

Como sabemos, o perfil de velocidade para Couette ´e praticamente uma linha reta. Nas figura 7.2 mostramos os perfis de velocidade para potencial AI, U/v0 = 2, concentra¸c˜oes C0 = 0,5 e parˆametro de rarefa¸c˜ao δ = 0,01, 0,1;

1, 10, 20 e 40. A velocidade ´e praticamente nula para o regime de mol´eculas livres, enquanto sofre grande varia¸c˜ao para o regime hidrodinˆamico, de modo que a inclina¸c˜ao do gr´afico para este ´e maior.

Fra¸c˜ao molar

A fra¸c˜ao molar na parede (x = H/2), ou seja, no seu ponto de afastamento m´aximo, ´e dada na Tabela 7.10.

Seu valor limite no regime hidrodinˆamico Eq. (7.11) dado na ´ultima linha difere dos resultados num´ericos em δ = 40 por 0,1%. O desvio m´aximo da fra¸c˜ao molar de seu valor de equil´ıbrio ´e observado em δ = 10. A rela¸c˜ao

Tabela 7.10: Fra¸c˜ao molar C na parede (x = H/2) para o potencial AI vs

(7.11) prevˆe que o desvio da fra¸c˜ao molar de seu valor de equil´ıbrio ´e pro-porcional ao coeficiente de raz˜ao de termodifus˜ao kT que ´e significativamente afetado pelo potencial. Uma vez que a magnitude kT de HS ´e maior do que para o potencial AI, o desvio de C(H/2) de C₀ para o modelo de HS ´e maior do que o indicado na Tabela 7.10 para o potencial AI.

Entretanto, o valor da fra¸c˜ao molar na parede C(H/2) ´e ligeiramente menor para o potencial de HS em compara¸c˜ao com o potencial AI.

A diferen¸ca de C(H/2) para os dois potenciais atinge 2% para os valores elevados do parˆametro de rarefa¸c˜ao (δ ≥ 10). Para parˆametro de rarefa¸c˜ao pequeno δ ≤ 1, a diferen¸ca de C(H/2) para HS e AI n˜ao excede a precis˜ao num´erica.

Uma distribui¸c˜ao t´ıpica de fra¸c˜ao molar ´e mostrada na Figura 7.3.

Uma vez que o coeficiente de raz˜ao de termodifus˜ao kT ´e negativo, o gradiente de fra¸c˜ao molar tem o mesmo sinal que a temperatura. ´E curioso que os perfis de C(x) s˜ao praticamentes os mesmos nos regimes de transi¸c˜ao e hidrodinˆamico, ou seja, na faixa de 1 ≤ δ ≤ 40. Perto do regime mol´ecula livre (δ =0,01), o perfil deC(x) ´e praticamente constante, ou seja, C(x) = C₀.

Figura 7.3: Perfil de fra¸c˜ao molar para U/v0 = 2 e C0 = 0,5. Publicado originalmente em [39].