Exerc´ıcio 6
Aula 4 Limites e continuidade
Objetivo
• Aprender a t´ecnica de tomar limites de fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis ao longo de curvas.
• Conhecer a no¸c˜ao de continuidade de fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis.
O ´ultimo tema apresentado na aula anterior foi restringir o limite de uma fun¸c˜ao de duas ou mais vari´aveis ao longo de uma curva. Essa t´ecnica faz o papel dos limites laterais das fun¸c˜oes de uma vari´avel, apresentados no C´alculo I.
Realmente, quando os limites laterais,
x→alim+f(x) e lim
x→a−f(x),
s˜ao diferentes, conclu´ımos que a fun¸c˜aof n˜ao admite limite quando xtende aa.
Na vers˜ao do C´alculo II, consideramos os limites de uma fun¸c˜ao de v´arias vari´aveis, em um certo ponto, tomados ao longo de curvas distintas, e eles s˜ao diferentes, tamb´em conclu´ımos que a fun¸c˜ao n˜ao admite limite nesse ponto, pois, se o limite existisse, o teorema 23.3 implicaria igualdade dos limites sobre quaisquer curvas convergentes para o ponto. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 4.1
A fun¸c˜aof(x, y) = |x−2|
(x−2)2+ (y+ 1)2, definida para todo (x, y)= (2,−1), n˜ao admite limite quando (x, y) tende a (2,−1). Para ver isso, considere α1(t) = (2 +t,−1) e α2(t) = (2 + 3t,−1 + 4t), por exemplo.
Em ambos os casos, temos
limt→0αi(t) = (2,−1).
No entanto,
limt→0f(α1(t)) = lim
t→0
|t|
√t2 = 1 e
limt→0f(α2(t)) = lim
t→0
|3t|
√9t2+ 16t2 = 3 5.
Vocˆe viu que os limites tomados ao longo de duas curvas diferentes, mas que convergem para (2,−1) quando t tende a zero, s˜ao diferentes.
Ou seja, a fun¸c˜aofapresenta um comportamento para valores pr´oximos de (2,−1), ao longo da imagem de α1, e outro comportamento para valores pr´oximos de (2,−1), ao longo da imagem de α2.
Nessas circunstˆancias, costumamos dizer quefn˜ao tem limite no ponto, apesar de a frase ser canhestra.
Em contrapartida, vocˆe deve lembrar-se do C´alculo I, em que a
coin-b
a
A condi¸c˜aoc2+d2>0 evita quecedsejam tomados simultaneamente nulos, pois nesse casoα(t) seria a fun¸c˜ao constanteα(t) = (a, b).
cidˆencia dos limites laterais assegura a existˆencia do limite. No C´alculo II, por´em, estamos em situa¸c˜ao bem diferente. Enquanto no caso das fun¸c˜oes de uma vari´avel temos apenas dois limites laterais a considerar, no plano, por exemplo, temos uma infinidade de dire¸c˜oes a levar em conta. Por exemplo, a equa¸c˜ao
α(t) = (a+ct, b+dt),
com c2 +d2 >0, parametriza o feixe de retas que cont´em o ponto (a, b), de tal maneira que
limt→0α(t) = (a, b).
A surpresa, que evidencia a diferen¸ca entre as fun¸c˜oes de uma vari´avel das fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis, ´e que a an´alise do comportamento da fun¸c˜ao f(x, y) no ponto (a, b), de acumula¸c˜ao do dom´ınio de f, ao longo de todos esses caminhos (i.e., todos os poss´ıveis valores de c e de d), n˜ao ´e suficiente para estabelecer a existˆencia do limite de f em (a, b), no caso de todos eles serem coincidentes. Aqui est´a um exemplo.
Exemplo 4.2 (exemplo 2.6, revisitado)
Vamos analisar o comportamento da fun¸c˜ao f(x, y) = 4x2y x4+y2 em torno da origem.
Considere α(t) = (ct, dt), com c2 +d2 > 0, o feixe de retas que concorrem para a origem:
limt→0α(t) = lim
t→0(ct, dt) = (0,0).
Vamos calcular lim
t→0f(α(t)). ´E preciso dividir a an´alise em dois casos:
d= 0 e d = 0.
Se d= 0, a condi¸c˜ao c2 +d2 >0 garante que c= 0, portanto, f(α(t)) = f(ct,0) = 4c2t20
c4t4+ 0 = 0,
set= 0. Assim,
Conclus˜ao: o limite de f sobre qualquer dire¸c˜ao que tomarmos, ten-dendo `a origem, ´e zero. Portanto, h´a evidˆencias de que o limite da fun¸c˜aof, nesse ponto, seria zero, n˜ao?
Sim, h´a evidˆencias, mas em Matem´atica isso n˜ao ´e suficiente para es-tabelecer a verdade.
Basta considerar as curvas
β1(t) = (t, t2) e β2(t) = (2t, t2).
Em ambos os casos, lim
t→0βi(t) = (0,0).
Sobre curvas diferentes, a fun¸c˜ao tem limites diferentes e, portanto, lim
(x,y)→(0,0)
4x2y x4 +y2.
Esse exemplo mostrou que o comportamento da fun¸c˜aof, ao longo da fam´ılia de retas que concorrem para a origem, n˜ao ´e suficiente para determi-nar o limite da fun¸c˜ao nesse ponto. Para entendermos um pouco mais esse fenˆomeno, vamos estudar um pouco mais a fun¸c˜aof(x, y) = 4x2y
x4+y2. J´a sabemos que Dom(f) = lR2− {(0,0)}. Vamos determinar as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao. Isto ´e, queremos resolver a equa¸c˜ao
f(x, y) = 4x2y
x4+y2 = c.
Para c = 0, temos as solu¸c˜oes x = 0 ou y = 0. Portanto, f−1(0) = {(x, y)∈lR2− {(0,0)}; x = 0 ou y = 0}.
Esse conjunto ´e formado pelos dois eixos cartesianos menos a origem.
Suponha, agora, que c= 0. Ent˜ao,
f(x, y) = 4x2y
x4 +y2 = c ⇐⇒ 4x2y = cx4+cy4.
Isto ´e, vamos resolver a equa¸c˜ao
cy2−4x2y+cx4 = 0
em y, obtendo
y = 4x2 ±√
16x4−4c2x4 2c
y = 2±√ 4−c2 c x2.
Note que, casoc∈[−2,0)∪(0,2], a equa¸c˜ao anterior define um par de par´abolas cujos v´ertices coincidem com a origem e s˜ao as curvas de n´ıvelc.
Observe, tamb´em, que se c∈(−∞,−2)∪(2,∞), ent˜aof−1(c) = ∅. Ou seja, a imagem da fun¸c˜aof´e o intervalo [−2,2] e a fun¸c˜aof ´e uma fun¸c˜ao limitada.
Finalmente, podemos observar que a curva β1(t) = (t, t2),t >0, ´e uma parametriza¸c˜ao de um ramo da curva de n´ıvel 2. Ou seja, f ´e constante e igual a 2 ao longo da imagem deβ1(t),t >0.
Al´em disso, f ´e constante e igual a 16
17 ao longo da imagem de β2(t),
Dizer quef´e constante ao longo da imagem deβ1(t), t >0, significa dizer que f(β1(t)) =c, para algum n´umeroc.
t >0. Como as imagens dessas curvas convergem para a origem (veja figura anterior), i.e., lim
t→0βi(t) = (0,0), e f ´e constante sobre cada uma delas, por´em com valores diferentes, f n˜ao admite limite na origem.
Aqui est´a uma s´erie de perspectivas do gr´afico de f(x, y) = 4x2y x4+y2, numa vizinhan¸ca da origem.
Lembre-se de que esta fun¸c˜ao n˜ao est´a definida na origem. Observe que os quatro semi-eixos cartesianos Ox e Oy est˜ao contidos no gr´afico de f. Repare, tamb´em, que se y > 0, ent˜ao f(x, y) > 0, e se y < 0, ent˜ao f(x, y) < 0. Ao longo da par´abola y = 1
2x2, a fun¸c˜ao assume seu valor m´aximo, correspondendo ao n´ıvel c = 2, enquanto ao longo da par´abola y=−1
2x2, a fun¸c˜ao assume seu valor m´ınimo, correspondendo ao n´ıvel −2.
Correspondendo a n´ıveis entre 0 e 2, temos os pares de par´abolas na regi˜ao y >0 do plano, enquanto para n´ıveis entre −2 e 0 temos os pares de par´abolas sim´etricas em rela¸c˜ao ao eixo Ox, na regi˜ao y <0 do plano.
E muito importante conhecer uma gama de fun¸c˜´ oes, com seus gr´aficos e suas curvas de n´ıvel, para perceber a diversidade de situa¸c˜oes poss´ıveis quando lidamos com duas vari´aveis. Nosso pr´oximo exemplo apresentar´a alguns gr´aficos de fun¸c˜oes com suas respectivas curvas de n´ıvel.
Exemplo 4.3
f(x, y) = y3
3 −2y2+ 3y−x2 g(x, y) = cosy −x2
Esses dois exemplos s˜ao de fun¸c˜oes do tipoz=g(x)+h(y). Observe que f tem um ponto de m´aximo local. Em torno desse ponto, as curvas de n´ıvel lembram c´ırculos. Essa fun¸c˜ao tem, tamb´em, um ponto que chamaremos ponto de sela. Em torno desse ponto, as curvas de n´ıvel lembram uma fam´ılia de hip´erboles. J´a a fun¸c˜aog apresenta uma infinidade de pontos de m´aximo absoluto (a origem ´e um deles) e uma infinidade de pontos de sela.
h(x, y) = x2−y2
x2+y2 k(x, y) =x2−y4
x2+y4
Essas duas fun¸c˜oes s˜ao parecidas uma com a outra. Vocˆe nota a dife-ren¸ca nas curvas de n´ıvel. Enquanto as curvas de n´ıvel de h s˜ao pares de retas, as curvas de n´ıvel dek s˜ao pares de par´abolas.
u(x, y) = senx seny v(x, y) = 3x e−(x2+y2)
O gr´afico da fun¸c˜ao u lembra uma bandeja de transportar ovos que se estende infinitamente para todos os lados. As retas x = k1π e y = k2π formam o conjunto de n´ıvel zero. Observe que a fun¸c˜ao tem uma infini-dade de pontos de m´ınimo absolutos e de m´aximo absolutos, cada um no centro dos quadrados, cercados por curvas de n´ıvel que lembram c´ırculos, e que se alternam numa disposi¸c˜ao que lembra um tabuleiro de xadrez.
Essa ´e, definitivamente, uma fun¸c˜ao bem interessante. Note que ela ´e uma fun¸c˜ao peri´odica.
J´a a fun¸c˜aov tem um ponto de m´aximo e um ponto de m´ınimo absolu-tos. Note que o eixoOy´e a curva de n´ıvel zero. As curvas de n´ıvel `a esquerda s˜ao curvas de n´ıvel negativo e circundam o ponto de m´ınimo, enquanto as do lado direito s˜ao curvas de n´ıvel positivo e circundam o ponto de m´aximo.
Aqui est˜ao mais duas varia¸c˜oes sobre o mesmo tema.
z(x, y) = 3xy e−12(x2+y2) w(x, y) = (x2−3y)e−(x2+y2)
Continuidade
N˜ao h´a novidades na formula¸c˜ao desse conceito. Note, apenas, que apresentaremos a defini¸c˜ao de continuidade de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis por uma quest˜ao de simplicidade. Essa defini¸c˜ao pode ser naturalmente ge-neralizada para os casos de mais do que duas vari´aveis, bastando acrescentar tantas vari´aveis quantas forem necess´arias.
Defini¸c˜ao 4.1:
Dizemos que uma fun¸c˜ao f :A ⊂lR2 −→lR ´e cont´ınua em um ponto (a, b), de acumula¸c˜ao de A, se
• (a, b)∈A;
• lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) = f(a, b).
Dizemos que a fun¸c˜ao f : A ⊂ lR2 −→ lR ´e cont´ınua (sem especificar um determinado ponto), sef for cont´ınua em todos os pontos de acumula¸c˜ao de seu dom´ınio A.
Exemplo 4.4
Vamos determinar o valor de c para o qual a fun¸c˜ao
f(x, y) =
Note, inicialmente, que A= Dom(f) = lR2; portanto, todos s˜ao pontos de acumula¸c˜ao de A. Al´em disso, se (a, b)= (1,0),
lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) = ab2+ (a−1)2
(a−1)2+b2 = f(a, b).
Portanto, como f(1,0) =c, temos de calcular lim
(x,y)→(1,0)f(x, y) = lim
(x,y)→(1,0)
xy2+ (x−1)2 (x−1)2+y2 . Este limite est´a indeterminado, porque
lim
(x,y)→(1,0)xy2+ (x−1)2 = 0 e lim
(x,y)→(1,0)(x−1) +y2 = 0.
Precisamos de alguma estrat´egia alg´ebrica que nos permita levantar
Este truque ´e velho, mas funciona!
essa indetermina¸c˜ao. Muito bem; ap´os algum tempo olhando o quociente do limite, chegamos ao seguinte desenvolvimento:
xy2+ (x−1)2 limitada, o teorema 23.3 garante que lim
(x,y)→(1,0)
Um resultado que continua sendo verdadeiro nesse contexto ´e que a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas ´e cont´ınua.
Teorema 4.1:
Sejam f : A ⊂ lR2 −→ lR uma fun¸c˜ao cont´ınua, α : I ⊂ lR −→ lR2 uma fun¸c˜ao vetorial de uma vari´avel real, onde I ´e um intervalo e α(I)⊂A, eg :B ⊂lR −→lR uma fun¸c˜ao cont´ınua tal queB ´e uma uni˜ao de intervalos e f(A)⊂B. Ent˜ao, as composi¸c˜oes f ◦α e g ◦f s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas.
A demonstra¸c˜ao desse fato ´e, de certa forma, simples e rotineira. Va-mos, portanto, apenas considerar um exemplo.
Exemplo 4.5
(a) A fun¸c˜ao h(x, y) = sen (x+y) ´e cont´ınua, pois pode ser vista como a composi¸c˜ao h(x, y) = g ◦f(x, y), onde f(x, y) = x+y ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua (funcional linear, na verdade) e g(x) = sen x fun¸c˜ao cont´ınua (do C´alculo I).
(b) A composi¸c˜ao de α(t) = (t,2t), fun¸c˜ao cont´ınua, com f(x, y) = xy + 2x+y , tamb´em cont´ınua, resulta na fun¸c˜ao
k(t) = f ◦α(t) = f(t,2t) = 2t2+ 4t, claramente uma fun¸c˜ao cont´ınua.
Um resultado muito interessante e ´util, que caracteriza as fun¸c˜oes con-t´ınuas, em geral, ´e o seguinte.
Teorema 4.2 (da permanˆencia do sinal)
Sejam f : A ⊂ lR2 −→ lR uma fun¸c˜ao cont´ınua e (x0, y0) ∈ A tal que f(x0, y0) > 0 (digamos). Ent˜ao, existe uma n´umero r > 0 tal que, se (x, y)∈A ´e tal que
0<|(x, y)−(x0, y0)|< r, ent˜ao, f(x, y)>0.
Ou seja, se o sinal da fun¸c˜ao cont´ınua f ´e positivo num determinado ponto (x0, y0), ent˜ao o sinal de f permanece positivo em uma vizinhan¸ca de raio r em torno do ponto (x0, y0).
Como o teorema anterior ainda n˜ao foi demonstrado, vamos terminar a aula fazendo a demonstra¸c˜ao desse teorema.
Demonstra¸c˜ao
Consideremos, inicialmente, a possibilidade de (x0, y0) ser um elemento deA, mas n˜ao ser um ponto de acumula¸c˜ao de A (essa situa¸c˜ao n˜ao ocorre com freq¨uˆencia nas fun¸c˜oes mais usadas no C´alculo, mas como ´e uma possi-bilidade te´orica, devemos inclu´ı-la de qualquer forma).
Se (x0, y0)∈A, mas n˜ao ´e um de seus pontos de acumula¸c˜ao, existe um n´umero r > 0, tal que (x0, y0) ´e o ´unico elemento de A contido no disco de centro em (x0, y0) e raior. Neste caso, a afirma¸c˜ao do teorema ´e verdadeira.
Suponhamos, agora, que (x0, y0) ´e um elemento de A, assim como um ponto de acumula¸c˜ao de A. Logo, podemos reescrever a defini¸c˜ao de conti-nuidade em (x0, y0) da seguinte maneira: equi-valente a dizer quef(x, y) pertence ao intervalo
f(x0, y0)
2 ,3f(x0, y0) 2
⊂lR . Muito bem; com isso terminamos. Na pr´oxima aula, o tema da dife-renciabilidade ser´a introduzido atrav´es das derivadas parciais.
Aqui est˜ao alguns exerc´ıcios para que vocˆe pratique os conhecimentos que aprendeu.
Exerc´ıcio 2
Seja f(x, y) = (x+ 1)y3 (x+ 1)2+y6. (a) Determine o dom´ınio de f.
(b) Considere α(t) = (at−1, bt), com a2+b2 >0. Mostre que limt→0 f(α(t)) = 0.
O que isso quer dizer?
(c) O que podemos dizer a respeito de lim
(x,y)→(−1,0) f(x, y)?
Exerc´ıcio 3
Calcule os seguintes limites ou mostre quando a fun¸c˜ao n˜ao admite tal limite.
Determine o valor de c para o qual a fun¸c˜ao
f(x, y) =
Determine qual das seguintes fun¸c˜oes ´e cont´ınua. Para as que n˜ao forem cont´ınuas, determine o maior subconjunto do dom´ınio no qual a fun¸c˜ao ´e cont´ınua.
(a)f(x, y) = ex2+y2. (b) g(x, y) =
4−x2−4y2.
(c) h(x, y) =
2x2+y2
x2+y2, se (x, y)= (0,0)
0, se (x, y) = (0,0) .
(d) k(x, y) =
x+ 2y
x2+y2, se (x, y)= (0,0) c, se (x, y) = (0,0)
.
Exerc´ıcio 6
Seja D = {(x, y) ∈ lR2; x2 + y2 ≤ 1} e f : D −→ lR uma fun¸c˜ao cont´ınua, tal que f(0,0) = 1.
(a) Mostre que existe um n´umero r > 0, tal que, se x2 +y2 < r2, ent˜ao f(x, y)>0.
(b) Sabendo que f(−√
2/2,−√
2/2) < 0 e f(√ 2/2,√
2/2) > 0, mostre que existe um n´umero a, tal que f(a, a) = 0. (Considere α(t) = (t, t)).