Uma coisa deve ter chamado a sua aten¸c˜ao, especialmente no exemplo 15.2. As derivadas de ordem dois, de termos cruzados, como ∂x∂y∂2f e ∂y∂x∂2f , s˜ao iguais, apesar da diferente ordem de deriva¸c˜ao.
No entanto, nem toda fun¸c˜ao tem essa propriedade. Veja o
Na aula anterior, vimos que a fun¸c˜ao definida por
f(x) =
admite derivadas direcionais em todas as dire¸c˜oes, na origem, e todas essas derivadas s˜ao iguais a zero. Em particular,
∂f
Portanto,
O teorema que enunciaremos a seguir nos d´a uma condi¸c˜ao suficiente para que as derivadas de ordem dois, em rela¸c˜ao `as diferentes vari´aveis, comutem.
Teorema 15.1
Seja f : D ⊂ lR2 −→ lR uma fun¸c˜ao de classe C2 (ou seja, f admite deri-vadas parciais de ordem dois e essas fun¸c˜oes s˜ao todas cont´ınuas), definida em um subconjunto aberto D de lR2. Ent˜ao, ∀(x, y)∈D,
∂2f
∂x∂y(x, y) = ∂2f
∂y∂x(x, y).
Em geral, os textos de C´alculo omitem a demonstra¸c˜ao desse teorema.
Para provar esse resultado, usamos o Teorema do Valor M´edio, de maneira semelhante `a que fizemos na aula Diferenciabilidade – continua¸c˜ao, para provar que, se a fun¸c˜ao for de classe C1, ent˜ao ela ´e diferenci´avel, por´em, em dose dupla. Vocˆe poder´a encontrar essa demonstra¸c˜ao no livro C´alculo Diferencial e Integral, Volume II, de Richard Courant (Editora Globo), a partir da p´agina 55.
No entanto, vocˆe pode usar o teorema imediatamente. Aqui est´a uma oportunidade de fazer isso.
Atividade 15.5
Calcule todas as derivadas parciais, at´e ordem trˆes, da fun¸c˜ao f(x, y) = x2e−y.
Veja: usando o Teorema 15.1, vocˆe poder´a concluir quefxxy = fxyx = fyxx, por exemplo. Isso far´a com que vocˆe calcule quatro derivadas parciais de ordem trˆes no lugar de oito, certo?
Apresentaremos, agora, uma s´erie de exemplos com os quais vocˆe apren-der´a a usar a Regra da Cadeia para calcular derivadas parciais de ordens superiores de fun¸c˜oes compostas.
Exemplo 15.4
Come¸caremos com uma composi¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis f(x, y) com uma curvaα(t).
Sejaf : lR2 −→lR uma fun¸c˜ao de classeC2e sejag(t) = f(t2+1,2t3), a composi¸c˜ao de f com α(t) = (t2+ 1,2t3).
Vamos expressar g(t) = d2g
dt2(t) em termos das derivadas parciais de f. Observe que
Muito bem! Antes de prosseguirmos, observe a fun¸c˜ao obtida ap´os a primeira deriva¸c˜ao. Ela ´e formada por duas parcelas, sendo cada uma o produto de duas fun¸c˜oes de t. Por exemplo, h(t) = 2t ∂f
∂x(t2 + 1,2t3) ´e o produto da fun¸c˜ao k(t) = 2t pela composi¸c˜ao da fun¸c˜ao derivada par-cial de f em rela¸c˜ao a x com a curva α(t). Para calcularmos a pr´oxima derivada, temos de levar isso em conta. Ou seja, usaremos a Regra do Pro-duto com mais uma aplica¸c˜ao da Regra da Cadeia. Veja como derivar a primeira parcela,
j(t) = 12t ∂f
∂y(t2+1,2t3)+6t2
∂2f
∂x∂y(t2+ 1,2t3) (2t) + ∂2f
∂y2(t2+ 1,2t3) 6t2
d dt
∂f
∂y(t2+1,2t3)
j(t) = 12t ∂f
∂y(t2+ 1,2t3) + 12t3 ∂2f
∂x∂y(t2+ 1,2t3) + 36t4 ∂2f
∂y2(t2+ 1,2t3).
F´ormulas enormes, n˜ao? No entanto, note que h´a muita repeti¸c˜ao.
Podemos abreviar um pouco se usarmos a nota¸c˜ao fxx, por exemplo. Para expressar a segunda derivada de g(t), usaremos que g(t) = h(t) +j(t).
g(t) = 2fx(t2+ 1,2t3) + 4t2fxx(t2+ 1,2t3) + 12t3fxy(t2+ 1,2t3) + +12t fy(t2+ 1,2t3) + 12t3fyx(t2+ 1,2t3) + 36t4fyy(t2+ 1,2t3).
Sabendo que f ´e de classe C2, podemos somar os termos fxy e fyx. Al´em disso, deixaremos subentendido que as derivadas parciais s˜ao todas calculadas em α(t) = (t2+ 1,2t3). Com isso, conseguimos uma express˜ao bem mais simples para g(t):
g(t) = 2fx+ 12t fy+ 4t2fxx+ 24t3fxy + 36t4fyy. Atividade 15.6
Suponha quef seja uma fun¸c˜ao de classe C2, de duas vari´aveis, e considere g(t) = f(et, e−t).
Expresse a derivada segunda g(t) em termos das derivadas parciais de f, usando a nota¸c˜aofx,fxy e omitindo o fato de que essas derivadas parciais devem ser calculadas em (et, e−t).
Uma vez isso feito, fa¸ca f(x, y) = xy2, efetue a composi¸c˜ao e derive a fun¸c˜ao obtida diretamente, comprovando seus c´alculos.
Exemplo 15.5
No caso de x e y serem, por sua vez, fun¸c˜oes de duas vari´aveis, digamos u e v, podemos, novamente, aplicar a Regra da Cadeia para expressar as derivadas parciais.
Mais uma vez omitiremos os pontos onde as parciais devem ser calcu-ladas, por raz˜oes de simplicidade.
Digamos que z = f(x, y), x = g(u, v) e y = h(u, v) e que todas as fun¸c˜oes envolvidas sejam de classe C2. Vamos expressar ∂2z
∂u2 e ∂2z
∂v∂u em termos das outras derivadas parciais.
Come¸camos derivando a composta em rela¸c˜ao a u:
zu = fxxu + fyyu.
Na pr´oxima etapa, devemos observar que fx, xu, fy e yu s˜ao, cada uma delas, fun¸c˜oes de u e de v. Por exemplo, fx simboliza a composi¸c˜ao fx(x(u, v), y(u, v)).
Ent˜ao, derivando novamente, em rela¸c˜ao a u, obtemos:
zuu = (fxxxu+fxyyu)xu + fxxuu + (fyxxu+fyyyu)yu + fyyuu zuu = fxx(xu)2 + 2fxyxuyu + fyy(yu)2 + fxxuu + fyyuu.
Derivando zu em rela¸c˜ao a v, temos:
zuv = (fxxxv +fxyyv)xu + fxxuv + (fyxxv +fyyyv)yu + fyyuv zuv = fxxxuxv + fxy(xuyv+xvyu) + fyyyuyv + fxxuv + fyyuv.
Note que, nas f´ormulas anteriores,fxydeve ser calculado em (x(u, v), y(u, v)) = (g(u, v), h(u, v)), por exemplo, e xuv deve ser calculado em (u, v).
Essas computa¸c˜oes causam um certo impacto, devido ao tamanho que costumam alcan¸car (e olhe que n˜ao estamos calculando derivadas de ordens maiores do que dois!). No entanto, uma vez acostumado com a nota¸c˜ao abreviada, vocˆe perceber´a uma imperativa l´ogica em suas forma¸c˜oes.
No pr´oximo exemplo usaremos, de maneira ainda informal, a linguagem das equa¸c˜oes diferenciais. Uma equa¸c˜ao diferencial parcial, EDP para os
´ıntimos, ´e uma equa¸c˜ao que envolve derivadas parciais. Umasolu¸c˜ao de uma EDP ´e uma rela¸c˜ao que n˜ao cont´em derivadas e que satisfaz a equa¸c˜ao em todos os pontos do dom´ınio em quest˜ao.
Exemplo 15.6
Vamos determinar os valores de a, b e c tais que a fun¸c˜ao u(x, y) = a x2 + b xy+c y2 seja uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
uxx+uyy = 0.
Veja: devemos calcular as derivadas correspondentes, substituir na equa¸c˜ao e descobrir se h´a alguma rela¸c˜ao a que elas devam obedecer.
ux = 2a x+b y; uy = b x+ 2c y;
uxx = 2a; uyy = 2c.
Portanto, se a=−ctemos uxx+uyy = 0.
Na verdade, a fun¸c˜ao polinomial
u(x, y) =a x2+b xy−a y2+d x+e y+f
´e uma solu¸c˜ao de uxx+uyy = 0.
Para ver se vocˆe pegoumesmo a id´eia, determine os valores de a, b, ce dtais que a fun¸c˜aou(x, y) = a x3+b x2y+c xy2+d y3 seja solu¸c˜ao da EDP uxx+uyy = 0.
Apresentamos agora, uma s´erie de exerc´ıcios para vocˆe praticar.
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Dizemos que uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis ´e harmˆonica se ela satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace
∆f = ∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 = 0.
Mostre que as seguintes fun¸c˜oes s˜ao harmˆonicas:
(a)f(x, y) =x3−3xy2−2x2+ 2y2+ 2xy;
(b) g(x, y) = ln (x2+y2);
(c) h(x, y) = arctg y
x
;
(d) k(x, y) =ex sen y + ey cosx.
Exerc´ıcio 2
Considere f(x, y)) =
xy(x2−y2)
x2+y2 , se (x, y)= (0,0);
0, se (x, y) = (0,0).
Mostre que fxy(0,0) =−1 e fyx(0,0) = 1.
Exerc´ıcio 3
A EDP ∂2u
∂t2 = c2 ∂2u
∂x2, onde c´e uma constante, ´e chamada equa¸c˜ao da onda e ´e uma das primeiras EDPs a serem estudadas. Mostre que as fun¸c˜oes do tipo
u(x, t) =f(x+c t) +g(x−c t),
onde f e g s˜ao fun¸c˜oes de uma vari´avel real, de classeC2, s˜ao solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao da onda.
Exerc´ıcio 4
A EDP ∂w∂t = k∂∂x2w2, onde k ´e uma constante, ´e chamada equa¸c˜ao do calor, e ´e uma outra EDP bem conhecida. Mostre que as fun¸c˜oes do tipo
w(x, t) = (a cos(cx) +b sen (cx))e−kc2t,
onde a,b ec s˜ao constantes, s˜ao solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao do calor.
Exerc´ıcio 5
Sejag(u, v) =f(u+v, uv), onde f ´e uma fun¸c˜ao de classe C2. Calcule gu(1,1) e gvu(1,1), sabendo que fx(2,1) = 3, fy(2,1) =−3, fxx(2,1) = 0, fxy(2,1) = 1 e fyy(2,1) = 2.
Exerc´ıcio 6
Sejam z =z(x, y), x=eu cosv, y=eu sen v. Suponha que
∂2z
∂x2 +∂2z
∂y2 = 0.
Calcule ∂2z
∂u2 + ∂2z
∂v2.
Exerc´ıcio 7
Expresse g(t) em termos das derivadas parciais de f, sendo g(t) = f(1−t, t2).
Exerc´ıcio 8
Considereh(u, v) =f(u2−v2,2uv), ondef(x, y) ´e uma fun¸c˜ao de classe C2. Expresse ∂2h
∂u2(u, v) em termos das derivadas parciais da fun¸c˜ao f.
Exerc´ıcio 9
Seja v(r, θ) = u(x, y), onde x=r cosθ e y=r sen θ. Mostre que
∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 = ∂2v
∂r2 +1 r
∂v
∂r + 1 r2,∂2v
∂θ2.