x2y2
x2 +y2, se (x, y)= (0,0) 0, se (x, y) = (0,0)
´e diferenci´avel na origem.
Exerc´ıcio 3
Mostre que a fun¸c˜ao
f(x, y) =
x3
x2 +y2, se (x, y)= (0,0) 0, se (x, y) = (0,0)
´e cont´ınua, admite derivadas parciais em todos os seus pontos, mas n˜ao ´e diferenci´avel na origem. O que vocˆe pode dizer sobre a continuidade das fun¸c˜oes derivadas parciais de f?
Para terminar esse tema, vamos estabelecer uma defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 8.1:
Seja f :A⊂ lR2 −→lR uma fun¸c˜ao definida num subconjunto aberto A de lR2. Dizemos que f ´e diferenci´avel se f for diferenci´avel em todos os pontos de A.
Uma condi¸ c˜ ao suficiente para f ser diferenci´ avel
Ap´os todas essas informa¸c˜oes, vocˆe deve estar fazendo a seguinte per-gunta: sob quais condi¸c˜oes poderemos afirmar que uma certa fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel, a partir de uma an´alise de suas derivadas parciais? Ou seja, h´a algum crit´erio que permita detectar situa¸c˜oes nas quais, claramente, a fun¸c˜ao ´e diferenci´avel, evitando o uso imediato da defini¸c˜ao?
Por exemplo, gostar´ıamos de afirmar que fun¸c˜oes tais como f(x, y) = xy cos(x +y), ou g(x, y, z) = exyz s˜ao diferenci´aveis, sem ter de calcular os limites do quociente do erro por |(x, y)−(a, b)| ou |(x, y, z)−(a, b, c)|, dependendo do caso.
Para responder a essa quest˜ao, vamos precisar estender um conceito que j´a conhecemos das fun¸c˜oes de uma vari´avel.
Defini¸c˜ao 8.2:
Seja f :A⊂lR2 −→lR uma fun¸c˜ao definida num aberto A de lR2. Se f admitir derivadas parciais, ∂f
∂x e ∂f
∂y, em todos os pontos do conjunto A e se al´em disso as derivadas parciais forem fun¸c˜oes cont´ınuas, diremos que f ´e uma fun¸c˜ao de classeC1.
Veremos que ser de classe C1 ´e uma condi¸c˜ao suficiente para que a fun¸c˜ao f seja diferenci´avel.
Teorema 8.2:
Se f : A ⊂ lR2 −→ lR ´e uma fun¸c˜ao de classe C1, ent˜ao f ´e diferenci´avel.
Veja, esse teorema responde `a quest˜ao que formulamos anteriormente, pelo menos em um n´umero consider´avel de casos.
Exemplo 8.3
A fun¸c˜ao f(x, y) = xy cos(x+y) ´e diferenci´avel. Realmente, f est´a definida em todo o lR2. Al´em disso,
∂f
∂x(x, y) = y cos(x+y) − xy sen (x+y),
∂f
∂y(x, y) = x cos(x+y) − xy sen (x+y),
s˜ao ambas fun¸c˜oes cont´ınuas, definidas em lR2. Assim, f ´e de classe C1 e, portanto, diferenci´avel.
Antes de provarmos o teorema, observe que todas essas defini¸c˜oes e resultados tamb´em valem para fun¸c˜oes de mais de duas vari´aveis. Use isso para resolver o exerc´ıcio seguinte.
Exerc´ıcio 4
Mostre que a fun¸c˜ao g(x, y, z) = exyz ´e diferenci´avel.
Demonstra¸c˜ao do teorema
Seja (a, b) ∈ A um ponto gen´erico, m = ∂f
∂x(a, b) e n = ∂f
∂y(a, b).
Para mostrar que f ´e diferenci´avel em (a, b), devemos mostrar que o limite
de E(x, y)
|(x, y)−(a, b)|, quando (x, y)→(a, b), ´e zero. Lembre-se:
xlim→a y→b
E(x, y)
|(x, y)−(a, b)| = lim
x→a y→b
f(x, y)−f(a, b)−m(x−a)−n(y−b) (x−a)2 + (y−b)2
= lim
h→0 k→0
f(a+h, b+k)−f(a, b)−m h−n k
√h2 +k2 , com h=x−a e k=y−b.
Note que, devido a A ser um conjunto aberto, podemos garantir que, para valores pequenos deh e k, (a+h, b+k)∈A.
Nessa altura, fazer isso n˜ao parece ser uma tarefa f´acil. Realmente, para isso usaremos algumas estrat´egias bem conhecidas, mas para quem nunca as viu antes, podem parecer um bocado misteriosas. ´E algo assim como o ovo que Colombo colocou em p´e. Parece imposs´ıvel antes, mas, depois de feito, parece ser bem simples. Veremos.
Nesse tipo de situa¸c˜ao, estaremos sempre tentando dividir o limite em peda¸cos menores, que possamos controlar, usando o fato de que
|a+b| ≤ |a|+|b|.
Durante o processo, vamos usar o Teorema do Valor M´edio, que afirma:
se g ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, definida no intervalo [α, β] e diferenci´avel no intervalo (α, β), ent˜ao existe um n´umero ξ∈(α, β), tal que
g(ξ) = g(β)−g(α) β−α .
Iniciamos aplicando a velha e famosa jogada de somar e subtrair um termo conveniente:
f(a+h, b+k)−f(a, b) = f(a+h, b+k)−f(a+h, b) +f(a+h, b)−f(a, b).
Agora, o Teorema de Valor M´edio em dose dupla. Considere g1(y) = f(a+h, y), e g2(x) = f(x, b),
fun¸c˜oes de uma vari´avel, definidas e cont´ınuas nos intervalos fechados cujos extremos s˜aobeb+k, no primeiro caso, ea ea+h, no segundo. Al´em disso, essas fun¸c˜oes s˜ao diferenci´aveis nos intervalos abertos.
Uma vez que fixamos a e h, f(a+h, y) passa a definir uma fun¸c˜ao de uma vari´avel,y, que chamamosg1. Analogamente, quando fixamosb,f(x, b) define uma fun¸c˜ao em x, de uma vari´avel, que chamamos g2.
Como essa fun¸c˜oes satisfazem as hip´oteses do Teorema do Valor M´edio,
Resumindo, para cada he k suficientemente pr´oximos de zero obtemos n´umerosξ1, entre b e b+k eξ2 entre a e a+h, tais que
∂f
∂y(a+h, ξ1)k = f(a+h, b+k)−f(a+h, b)
e ∂f
∂x(ξ2)h = f(a+h, b)−f(a, b).
Munidos dessas duas igualdades, vamos enfrentar o quociente E(h, k)
√h2+k2. Puxa! Um minuto para respirar!
Agora que vocˆe recuperou o fˆolego, observe: ganhamos o jogo!
Os n´umerosξ1e ξ2 est˜ao entreaea+h, e entrebeb+k,
tendam para zero. Como as fun¸c˜oes h vai para zero, quandoh e k v˜ao para zero. Ora, isso garante que
lim
Podemos concluir: a fun¸c˜aof´e diferenci´avel em (a, b). Isso mostra que f ´e diferenci´avel e, assim, terminamos a prova do teorema e a aula.
Uma palavra final, uma vez que j´a h´a exerc´ıcios para vocˆe resolver, deixados ao longo da aula.
Realmente, nesse est´agio de sua vida acadˆemica, n˜ao se espera que vocˆe venha a fazer demonstra¸c˜oes como a que vocˆe acabou de ler. No en-tanto, esfor¸cos para entender argumenta¸c˜oes desse tipo acrescentar˜ao muita experiˆencia `a sua bagagem, enriquecendo sua cultura matem´atica. Al´em disso, vocˆe estar´a fazendo um bom investimento no seu futuro como ma-tem´atico.
Aqui est´a um ´ultimo exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 5
Determine o dom´ınio de continuidade e o dom´ınio de diferenciabilidade da fun¸c˜ao
f(x, y) =
9−x2−y2. At´e a pr´oxima aula!
Aula 9 – Plano tangente, diferencial e gradiente
Objetivos
• Aprender o conceito de plano tangente ao gr´afico de uma fun¸c˜ao dife-renci´avel de duas vari´aveis.
• Conhecer a nota¸c˜ao cl´assica para a melhor aproxima¸c˜ao linear de uma fun¸c˜ao diferenci´avel – a diferencial.
• Aprender o conceito de vetor gradiente como o dual da diferencial.
As duas ´ultimas aulas apresentaram a no¸c˜ao de diferenciabilidade de uma fun¸c˜ao de v´arias vari´aveis e as suas implica¸c˜oes imediatas. Foram aulas teoricamente mais densas e, portanto, o car´ater um pouco mais simples que esta aula pretende ter deve ser uma bem-vinda mudan¸ca de ritmo.
Antes de prosseguir, no entanto, vamos reconhecer um d´ebito que ser´a pago na pr´oxima aula de exerc´ıcios. Veja, na aula anterior, foi provado que toda fun¸c˜ao de classe C1 ´e diferenci´avel. Isto ´e, ser de classe C1 ´e uma condi¸c˜ao suficiente para ser diferenci´avel. Diante disso, vocˆe deve conside-rar a quest˜ao da necessidade dessa condi¸c˜ao para a diferenciabilidade. Em outras palavras, essa condi¸c˜ao suficiente ´e tamb´em necess´aria? Muito bem, adiantando a resposta: n˜ao! H´a fun¸c˜oes diferenci´aveis cujas fun¸c˜oes deriva-das parciais n˜ao s˜ao cont´ınuas. Vocˆe ver´a um exemplo na pr´oxima aula de exerc´ıcios. Promessa ´e d´ıvida!
Muito bem, com isso fora da pauta, vamos ao primeiro tema desta aula.