Os primeiros resultados relativos ao comportamento limite dos ACs unidimensionais devem-se a trabalhos nas ´areas de dinˆamica simb´olica e teoria erg´odica (Hedlund, 1969). A fim de abordar tais resultados, conv´em estabelecer alguns conceitos e nota¸c˜oes funda-mentais.
Defini¸c˜ao 2.20. Dado um AC unidimensional A = (S, N, f,1) e U ⊆ SZ, o conjunto
ω-limite de U ´e o conjunto ω(U) dado por (Di Lena & Margara, 2010)
\
n>0
([
m>n
Fm(U))
Defini¸c˜ao 2.21. Umatrator deA´e um conjunto fechadoY ⊆SZn˜ao-vazio que cumpre as seguintes propriedades:
1. F(Y) = Y (Y ´e F-invariante);
2. Y =ω(U) para algum U tal que F(U)⊆U.
Defini¸c˜ao 2.22. Define-se o conjunto-limite Ωf como a uni˜ao de todos os atratores de A. Um AC ´e dito nilpotente quando Ωf ´e unit´ario. A linguagem descrevendo Ωf ´e
denominadalinguagem-limite de f.
Se a intersec¸c˜ao de todos os atratores de um AC ´e n˜ao-vazia mas n˜ao ´e ela pr´opria um atrator, tal intersec¸c˜ao ´e denominada quasi-atrator
Quanto `a quantidade de atratores que um AC unidimensional pode apresentar, Hurley
(1990) mostrou que vale apenas uma das seguintes possibilidades:
1. Possui dois atratores disjuntos e cada um deles possui ele pr´oprio dois atratores disjuntos (gerando uma quantidade infinita enumer´avel de atratores);
2. Possui dois atratores disjuntos e cada um deles possui ele pr´oprio dois atratores disjuntos (gerando uma quantidade infinita enumer´avel de atratores);
3. Existe um ´unico quasi-atrator m´ınimo; 4. Existe um ´unico atrator m´ınimo.
Do ponto de vista computacional, existem diversos resultados a respeito da decidibi-lidade de propriedades dos conjuntos-limite e de sua dinˆamica.
Kari (1992) mostrou que a nilpotˆencia ´e indecid´ıvel, assim como demonstrou mais
tarde (Kari, 1994) que qualquer propriedade n˜ao-trivial a respeito dos conjuntos-limite
de ACs ´e indecid´ıvel. Nesse mesmo sentido, Di Lena e Margara (2010) mostraram que a
unicidade de um atrator ´e indecid´ıvel, bem como propriedades relativas `a dinˆamica dos conjuntos-limite, isto ´e, propriedades da fun¸c˜ao global restrita ao conjunto ΩF, tais como transitividade, injetividade e idempotˆencia.
Em geral, as configura¸c˜oes pertencentes ao conjunto-limite de um AC podem ser des-critas por uma linguagem formal dentro da Hierarquia de Chomsky. L. P. Hurd (1990)
mostrou que pode-se construir um AC cujo conjunto-limite n˜ao pode ser descrito por uma
linguagem n˜ao-recursivamente enumer´avel.
Al´em disso, L. Hurd (1987) tamb´em forneceu exemplos de regras de ACs cujos
conjuntos-limite n˜ao podem ser descritos por uma linguagem regular, provando tamb´em que
deter-minar se uma cadeia pertence ou n˜ao ao conjunto-limite de um AC ´e indecid´ıvel.
Por outro lado, propriedades dos conjuntos-limite de ACs unidimensionais espec´ıficos j´a foram estudadas.
Hanson e Crutchfield (1992) estudaram a bacia de atra¸c˜ao da regra 18 a partir da ob-serva¸c˜ao da intera¸c˜ao entre part´ıculas ao longo da evolu¸c˜ao temporal da regra, mostrando
tamb´em a existˆencia de um isomorfismo desta regra com a regra 90. Uma abordagem
similar foi feita para a regra 54 (Boccara, Nasser, & Roger, 1991) e de maneira mais geral em (Boccara & Roger, 1991).
Ainda sobre a regra 18, Jiang e Xie (2001) demonstraram que a linguagem descrevendo
o conjunto-limite da regra 18 ´e sens´ıvel ao contexto, tendo sido demonstrado o mesmo
por Wang e Morita (2006) para a regra 146.
Jiang (2006) mostrou a existˆencia de uma rela¸c˜ao entre as regras 18, 126 e 146, pro-vando que se a linguagem-limite da regra 18 n˜ao ´e regular, o mesmo ocorre com as lingua-gens das outras regras. Em conjunto com o resultado em (Jiang & Xie, 2001) foi provado,
portanto, que as regras 18, 126 e 146 n˜ao possuem linguagem regular. Tais trabalhos
estabeleceram o tipo de linguagem-limite (ou um minorante para sua complexidade), mas n˜ao uma descri¸c˜ao expl´ıcita dessas linguagens.
conjunto-limite das regras 22 (Jiang & Yi, 2005) e 122 (Jiang, 2001) n˜ao s˜ao regulares.
Sch¨ule, Ott, e Stoop (2008) apresentou um m´etodo para converter ACs atuando sobre configura¸c˜oes finitas em express˜oes alg´ebricas, tendo como objetivo possibilitar a uti-liza¸c˜ao das ferramentas existentes para sistemas dinˆamicos cont´ınuos. Para isso, utilizou s´eries de Fourier para representar os elementos do espa¸co de configura¸c˜ao e construiu um homeomorfismo entre essas representa¸c˜oes e um espa¸co de Hilbert finito. Tal trabalho tem como foco a explica¸c˜ao do m´etodo e n˜ao aparece aplicado a nenhuma regra em particular. Outros estudos partiram da observa¸c˜ao dos blocos exclu´ıdos por uma regra. Um bloco exclu´ıdo por um AC unidimensional (S, N, f,1) em tempo t ´e uma cadeia formada por elementos deS que n˜ao aparece em nenhuma configura¸c˜ao gerada por Ft, isto ´e, ´e uma cadeia que n˜ao pertence a nenhuma configura¸c˜ao do conjunto Ωt
f (Wolfram, 1984).
Qin e Xie (2005) estudaram os blocos exclu´ıdos da regra 56 e obtiveram indiretamente a linguagem-limite dessa regra especificando quais cadeias n˜ao faziam parte dessa lingua-gem. Os resultados obtidos ao longo deste trabalho, conforme descrito nos Cap´ıtulos 3 e 4, s˜ao equivalentes aos obtidos em (Qin & Xie, 2005).
K˚urka e Maass (2000) introduziram o estudo de conjuntos-limite a partir de um ponto de vista probabil´ıstico. Nesse contexto, fala-se de conjunto µ-limite, o qual corresponde ao conjunto de configura¸c˜oes cujos blocos exclu´ıdos s˜ao as cadeias cuja probabilidade de
aparecerem em uma configura¸c˜ao tende a zero conforme o tempo tende ao infinito.
Numa perspectiva inversa em rela¸c˜ao `a maior parte dos outros trabalhos, Boyer,
Dela-court, e Sablik (2010) apresentaram um m´etodo para obter ACs cujos conjuntos µ-limite
apresentam certa propriedade (o que ´e um problema inverso de determinar as propriedades de certo conjunto limite ouµ-limite).
A literatura carece, entretanto, de trabalhos na dire¸c˜ao de especificar explicitamente as linguagens-limite de ACs, sendo exce¸c˜oes os trabalhos de Wolfram (1984) e de Qin e Xie (2005) que fornecem linguagens-limite para alguns ACEs.
Isso se deve ao fato de resultados anal´ıticos a respeito de tais linguagens serem pro-blemas de alta complexidade, sendo que, de maneira geral, mesmo o problema de decidir
se uma dada cadeia pertence `a linguagem-limite de um AC ´e um problema indecid´ıvel
(Kari, 2005).
Afastando-se das dificuldades do m´etodo anal´ıtico e buscando uma sa´ıda por meio de resultados emp´ıricos e testes computacionais, o presente trabalho caminha no sentido de
inferir as linguagens-limite de alguns ACEs a partir da evolu¸c˜ao dos grafos constru´ıdos
a partir das ideias introduzidas em (Wolfram, 1984), conforme detalhado no pr´oximo
cap´ıtulo.
2.4 Trabalhos anteriores
Este trabalho tomou como ponto de partida o que foi desenvolvido em Trafaniuc (2004), Miki (2006) e Costa (2013).
Trafaniuc (2004) analisou o crescimento dos grafos de processo referentes `as 256 regras do espa¸co dos ACEs, separando-as em dois grupos: aquelas para as quais os grafos de processo permaneciam constantes a partir de certo n´umero de itera¸c˜oes e aquelas para as quais isso n˜ao acontecia.
Para esse ´ultimo grupo, buscou regras que apresentavam grafos de processo com
cres-cimento constante entre itera¸c˜oes consecutivas, observando tal comportamento em 16
regras. Tal processo foi feito com base na an´alise visual dos grafos de processo.
Al´em disso, para 12 dessas 16 regras, Trafaniuc (2004) obteve maneiras de construir os grafos de processo para qualquer n´umero finitot de itera¸c˜oes diretamente.
J´a Miki (2006) automatizou o processo de an´alise dos grafos sugerido por Trafaniuc (2004) com base na defini¸c˜ao de uma opera¸c˜ao de diferen¸ca entre grafos, conseguindo ent˜ao obter caracteriza¸c˜oes para o crescimento de mais 6 regras para as quais ele n˜ao havia sido caracterizado.
Por fim, Costa (2013) retomou os dois trabalhos anteriores, apresentando um m´etodo
visual para a inferˆencia de grafos-limite de 6 regras do espa¸co dos ACEs al´em de uma
inferˆencia do grafo-limite da regra 184 com base na descri¸c˜ao de seu comportamento
dinˆamico.
Al´em disso, tendo notado que a opera¸c˜ao de diferen¸ca de grafos sugerida por (Miki, 2006) apresentava um problema devido a ser sens´ıvel aos nomes dos v´ertices dos grafos, Costa (2013) sugeriu como alternativa a an´alise do crescimento das matrizes de adjacˆencia de tais grafos, o que possibilitou a obten¸c˜ao de m´etodos para a constru¸c˜ao dos grafos de processo em tempo finito para 26 regras do espa¸co elementar..