OBTENC ¸ ˜ AO E UTILIZAC ¸ ˜ AO DE GRAFOS-LIMITE DE AUT ˆ OMATOS CELULARES ELEMENTARES

(1)

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ AO EM ENGENHARIA EL´ ETRICA E COMPUTAC ¸ ˜ AO

Eurico Luiz Prospero Ruivo

OBTENC ¸ ˜ AO E UTILIZAC ¸ ˜ AO DE GRAFOS-LIMITE DE AUT ˆ OMATOS CELULARES ELEMENTARES

S˜ao Paulo 2016

(2)

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ AO EM ENGENHARIA EL´ ETRICA E COMPUTAC ¸ ˜ AO

Eurico Luiz Prospero Ruivo

OBTENC ¸ ˜ AO E UTILIZAC ¸ ˜ AO DE GRAFOS-LIMITE DE AUT ˆ OMATOS CELULARES ELEMENTARES

Texto de tese apresentado ao

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica e Computa¸cão como requisito das exigências do exame para obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Engenharia Elétrica e Computa¸cão.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira

S˜ao Paulo 2016

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R934o Ruivo, Eurico Luiz Prospero

Obtenção e utilização de grafos-limite de autômatos celulares elementares / Eurico Luiz Prospero Ruivo - 2016.

111f.: il., 30 cm

Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica e

Computação) – Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo, 2016.

Orientação: Pedro Paulo Balbi de Oliveira Bibliografia: f. 96-100

1. Autômatos celulares elementares. 2. Comportamento

limite. 3. Complexidade. 4. Grafos de processo. 5.

Isomorfismo entre grafos. 6. Linguagem regular. 7.

Transformada discreta de Fourier. I. Título.

CDD 515.723

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Agradecimentos

Agrade¸co a todos que me apoiaram e fizeram parte de minha vida durante esse per´ıodo.

Aos meus pais, João Luiz e Marilda, pela cria¸cão e base quando era pequeno e pelo apoio e compreensão agora que já cresci.

Ao meu irmão João Pedro, pelo companheirismo eterno e pelos vários dias que passa- mos recordando a infância e rindo de coisas que ninguém mais entende (nem se explicar- mos).

Ao meu orientador Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira, por todo apoio, pela confian¸ca depositada em mim, por todos esses anos de amizade, por ter me ensinado (com louvor) a dar os primeiros passos na vida acadêmica. Meu muito obrigado e a esperan¸ca de continuarmos trabalhando juntos mesmo após a conclusão de meu doutorado.

Aos meus amigos da época do colégio que permanecem até hoje, Rodrigo e Mikhail.

Desculpas por todas as vezes que recusei um convite para sair e obrigado por, mesmo assim, continuarem a me convidar.

Aos meus amigos e amigas de todos os lugares: Amanda Suhai, Ana Paula Sanches, Arthur Tamborino, Guilherme Ba´ıa, Karen Pierin, Lucas Dorin e Mauricio Boni,

Aos meus amigos do Laboratório de Computa¸cão Natural, em especial Ana Carolina e Willyan Abilhoa (parabéns aos dois e saudades da visita à loja de doces quase todas as tardes), Alexandre Szabo, Daniel Ferrari, Danilo Cunha, Dávila Patr´ıcia, Mauricio Verardo, Pedro Henrique, Rafael Félix, Rafael Xavier e Zorandir Soares.

A Vida em si e a todos os acontecimentos, positivos e negativos, pois cada um sempre` tem um papel e pode ser aproveitado de alguma forma.

Aos membros de minha banca: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira, Prof. Dr.

Arnaldo Mandel, Prof. Dr. Eric Antonio Goles Chacc, Prof. Dr. Leandro Nunes de Castro e Prof. Dr. Nizam Omar pelas observa¸cões, comentários e sugestões que possibilitaram um melhor desenvolvimento e conclusão do presente trabalho.

Aos professores do Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica e Computa¸cão da Universidade Presbiteriana Mackenzie pela base sólida que me forneceram e sobre a qual pude me apoiar para o desenvolvimento deste trabalho.

Agrade¸co também ao MackPesquisa - Fundo Mackenzie de Pesquisa, pela disponi- biliza¸cão de reserva técnica, e à Universidade Presbiteriana Mackenzie pela isen¸cão de mensalidades e taxas oferecida para meu curso de doutorado.

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RESUMO

Autômatos celulares são sistemas dinâmicos localmente definidos, discretos no espa¸co, no tempo e nas variáveis de estado, e capazes de apresentar comportamento emergente global arbitrariamente complexo. Uma das questões centrais no estudo de autômatos celulares refere-se ao comportamento limite, isto é, às caracter´ısticas da dinâmica global, ao considerar-se o limite de uma evolu¸cão temporal infinita. Trabalhos anteriores mos- traram que para evolu¸cões temporais finitas de autômatos celulares unidimensionais, suas dinâmicas podem ser sempre descritas por linguagens regulares e, portanto, por autômatos finitos. Além disso, esses estudos indicaram a existência de padrões para a evolu¸cão desses autômatos finitos para algumas regras; entretanto tais resultados foram obtidos manu- almente através da inspe¸cão direta das estruturas que neles surgem ao longo do tempo.

Neste trabalho apresenta-se a formaliza¸cão de um método automático para o cálculo de tais estruturas. Com base nisso, as regras do espa¸co de autômatos celulares elementares são classificadas de acordo com a existência de um padrão de crescimento de seus autômatos finitos. Além disso, este trabalho apresenta novos métodos para a inferência do grafo-limite de alguns autômatos celulares elementares, por meio da análise das ex- pressões regulares que descrevem seus comportamentos em tempo finito e do estudo da evolu¸cão dos atratores de cada regra, bem como uma aplica¸cão desses grafos-limite para o cálculo de espectros de Fourier das regras.

Palavras-chave: Autˆomatos celulares elementares, comportamento limite, complexidade, grafos de processo, isomorfismo entre grafos, linguagem regular, transformada discreta de Fourier

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ABSTRACT

Cellular automata are locally defined dynamical systems which are discrete in space, time and in the state variables, and capable of presenting arbitrarily complex global emergent behaviour. One core question in the study of cellular automata refers to their limit behaviour, that is, to the global dynamical features in a infinite time evolution. Previous works have shown that for finite time evolutions, one-dimensional cellular automata present dy- namics which can be described by regular languages and, therefore, by finite automata.

Also, such studies have shown the existence of growth patterns in the evolution of such finite automata for some cellular automata rules; however these results were obtained ma- nually by directly inspecting the structures that arise during the time evolution. In this work we present the formalisation of an automatic method to compute such structures.

Based on this, the rules of the elementary cellular automata rule space were classified ac- cording to the existence of a growth pattern in their finite automata. Also, we present new methods to infer the limit graph of some elementary cellular automata rules by analysing the regular expressions describing their behaviour in finite-time and the attractors of each rule, as well as an application of these graphs in computing the Fourier spectra of the rules.

Keywords: Elementary cellular automata, limit behaviour, complexity, process graphs, graph isomorphism, regular language, discrete Fourier transform

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Sum´ ario

Lista de s´ımbolos e abreviaturas 1

Lista de defini¸c˜oes e exemplos 1

Lista de figuras 3

Lista de tabelas 5

1 Introdu¸c˜ao 6

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 8

1.2 Objetivo . . . 8

1.3 Metodologia . . . 8

2 Fundamentos 10 2.1 Autˆomatos celulares . . . 10

2.1.1 Autômatos celulares, configura¸cões e evolu¸cão temporal . . . 10

2.1.2 ACs unidimensionais . . . 13

2.1.3 Classifica¸c˜oes dinˆamicas . . . 16

2.1.4 Espectros de ACs unidimensionais . . . 21

2.2 Linguagens formais e autˆomatos finitos . . . 24

2.2.1 Linguagens formais . . . 24

2.2.2 Autˆomatos finitos . . . 27

2.3 Linguagens-limite de autˆomatos celulares . . . 31

2.4 Trabalhos anteriores . . . 34

3 Crescimento dos grafos de processo 35 3.1 Grafos de processo dos autˆomatos celulares elementares (ACEs) . . . 35

3.1.1 Grafos de De Bruijn e o m´etodo iterativo . . . 35

3.1.2 Composi¸c˜ao de regras e o m´etodo direto . . . 42

3.2 Complementos de grafos . . . 47

3.3 Coberturas e conjuntos de diferen¸cas . . . 50

3.4 Grafos de processo de ACEs com crescimento constante . . . 53

4 Inferência de grafos-limite por meio da evolu¸cão de expressões regulares 57 4.1 Análise do crescimento das expressões regulares . . . 57

4.2 An´alise da evolu¸c˜ao de atratores . . . 62

4.2.1 Inferência de grafo-limite pela análise da evolu¸cão de atratores . . . 63

4.2.2 Atratores calculados para a regra 178 . . . 68

4.2.3 Atratores calculados para a regra 160 . . . 75

(9)

5 C´alculo de espectros por meio de grafos-limite 78

5.1 M´etodo da poda . . . 78

5.2 M´etodo do grafo-limite . . . 81

5.3 Resultados e compara¸c˜ao entre os m´etodos . . . 83

5.3.1 Espectros sem diferen¸cas . . . 84

5.3.2 Espectros com diferen¸cas posicionais . . . 84

5.3.3 Espectros com diferen¸cas essenciais . . . 86

6 Conclusões e poss´ıveis extensões 93 Referências Bibliográficas 96 A Expressões regulares utilizadas para inferência de comportamento limite 101 A.1 Regra 32 . . . 101

A.2 Regra 56 . . . 102

A.3 Regra 128 . . . 103

A.4 Regra 132 . . . 103

A.5 Regra 136 . . . 104

A.6 Regra 140 . . . 104

A.7 Regra 160 . . . 105

A.8 Regra 162 . . . 106

A.9 Regra 168 . . . 107

A.10 Regra 178 . . . 107

A.11 Regra 184 . . . 111

(10)

Lista de defini¸ c˜ oes e exemplos

2.1 Defini¸c˜ao: Autˆomato celular . . . 10

2.2 Defini¸c˜ao: Configura¸c˜ao . . . 10

2.3 Defini¸c˜ao: Configura¸c˜ao s-finita . . . 11

2.4 Defini¸cão: Configura¸cão periódica . . . 11

2.5 Defini¸c˜ao: Conjunto de configura¸c˜oes em tempo finito t . . . 12

2.1 Exemplo: Fun¸c˜ao de transi¸c˜ao local . . . 12

2.6 Defini¸c˜ao: Raio de um AC unidimensional . . . 13

2.7 Defini¸c˜ao: N´umero de Wolfram W(f) de uma regra . . . 14

2.2 Exemplo: C´alculo do n´umero de WolframW(f) . . . 14

2.8 Defini¸c˜ao: Composi¸c˜ao de dois ACs . . . 15

2.3 Exemplo: Composi¸c˜ao de ACs . . . 15

2.9 Defini¸c˜ao: Opera¸c˜oes de simetria . . . 19

2.4 Exemplo: Aplica¸c˜ao de simetrias . . . 19

2.5 Exemplo: Regras dinamicamente equivalentes . . . 20

2.10 Defini¸c˜ao: Transformada discreta de Fourier . . . 21

2.6 Exemplo: Espectro da regra 184 . . . 22

2.11 Defini¸c˜ao: Alfabetos e cadeias . . . 24

2.12 Defini¸c˜ao: Opera¸c˜oes sobre linguagens . . . 24

2.7 Exemplo: Opera¸c˜oes sobre linguagens . . . 24

2.13 Defini¸c˜ao: Gram´atica . . . 25

2.8 Exemplo: Linguagem gerada por uma gram´atica . . . 25

2.14 Defini¸c˜ao: Express˜ao regular . . . 26

2.15 Defini¸c˜ao: Autˆomato Finito Determin´ıstico . . . 27

2.16 Defini¸c˜ao: Grafo direcionado rotulado . . . 27

2.17 Defini¸c˜ao: Caminho em um grafo . . . 28

(11)

2.9 Exemplo: Representa¸c˜ao de um grafo . . . 28

2.10 Exemplo: Autˆomato Finito Determin´ıstico . . . 29

2.11 Exemplo: Cadeias aceitas por um AFD . . . 29

2.18 Defini¸c˜ao: Linguagem fatorial . . . 30

2.19 Defini¸c˜ao: Linguagem de processo . . . 30

2.12 Exemplo: Grafo de processo . . . 30

2.20 Defini¸cão: Conjunto ω-limite de um subconjunto do espa¸co de configura¸cões 31 2.21 Defini¸cão: Atrator de um AF . . . 31

2.22 Defini¸c˜ao: Conjunto-limite de um AC . . . 31

3.1 Defini¸c˜ao: Grafo de De Bruijn de um AC . . . 35

3.1 Exemplo: Grafo de De Bruijn da regra 150 . . . 36

3.2 Defini¸c˜ao: Configura¸c˜oes aceitas por um grafo de processo (ou AFD) . . . 37

3.3 Defini¸c˜ao: Conjuntos de configura¸c˜oes induzidos por linguagens . . . 37

3.4 Defini¸c˜ao: Conjuntos de configura¸c˜oes descritos por grafos de processo (ou AFDs) . . . 37

3.2 Exemplo: Grafo gerado pela fun¸c˜ao NetCAStep para a regra 126 . . . 39

3.5 Defini¸c˜ao: Subgrafo . . . 48

3.6 Defini¸c˜ao: Isomorfismo entre grafos . . . 48

3.7 Defini¸c˜ao: Subisomorfismo entre grafos . . . 48

3.8 Defini¸c˜ao: Subgrafo gerado . . . 48

3.9 Defini¸c˜ao: Subgrafo complementar . . . 48

3.10 Defini¸c˜ao: Complemento entre grafos . . . 49

3.11 Defini¸c˜ao: Cobertura de grafos . . . 50

3.12 Defini¸cão: Conjunto de diferen¸cas entre grafos . . . 51 5.1 Exemplo: Desaparecimento de padrões finitos durante a evolu¸cão temporal 83

(12)

Lista de figuras

2.1 Representa¸c˜ao de uma regra de transi¸c˜ao . . . 13

2.2 Representa¸c˜ao de uma evolu¸c˜ao temporal . . . 13

2.3 Evolu¸c˜ao temporal da composi¸c˜ao de duas regras . . . 16

2.4 Evolu¸c˜ao temporal com ponto-fixo e com regime peri´odico . . . 17

2.5 Evolu¸c˜oes temporais de regras representantes das classes de Wolfram e de Li-Packard . . . 19

2.6 Evolu¸c˜ao temporal de regras dinamicamente equivalentes . . . 20

2.7 Espectros da regra 184 para configura¸c˜oes com diferentes densidades . . . . 23

2.8 Aplica¸cão de regras de substitui¸cão e forma¸cão de linguagem por uma gramática . . . 26

2.9 Representa¸c˜ao gr´afica de um grafo . . . 28

2.10 Representa¸c˜ao gr´afica de um AFD . . . 29

2.11 Exemplo de grafo de processo . . . 30

3.1 Grafo de De Bruijn da regra 150 . . . 36

3.2 Fluxograma do m´etodo iterativo . . . 38

3.3 Grafo gerado pela fun¸c˜ao NetCAStep para a regra 126 com t= 1 . . . 40

3.4 Grafo gerado pela fun¸c˜ao NetCAStep para a regra 126 com t= 1 . . . 40

3.5 Fluxograma do m´etodo direto . . . 43

3.6 Diferen¸ca de grafos utilizada em (Trafaniuc, 2004) . . . 47

3.7 Grafo e subgrafo gerados e grafo complementar . . . 49

3.8 C´alculo do complemento de dois grafos de processo da regra 184 . . . 50

3.9 Estruturas isomorfas em grafos . . . 51

3.10 Exemplo de cobertura de um grafo da regra 184 . . . 52

3.11 Conjuntos de coberturas e de diferen¸cas da regra 184 . . . 53

3.12 Exemplos de grafos com padr˜ao de crescimento . . . 55

(13)

3.13 Grafos das regras 136 e 184 constru´ıdos por estruturas adicionadas . . . 55

4.1 Grafo-limite da regra 32 . . . 59

4.2 Grafos e express˜oes-limite das regras 32, 56, 128, 132 e 136 . . . 60

4.3 Grafos e express˜oes-limite das regras 140, 162, 168 e 184 . . . 61

4.4 Grafo de processo descrevendo configura¸c˜oes sem a cadeia “11” . . . 62

4.5 Representa¸cão gráfica da rela¸cão entre atratores e o conjunto-limite . . . . 63

4.6 Inferˆencia do conjunto-limite a partir de atratores . . . 64

4.7 Evolu¸c˜ao dos grafos de processo da regra 178. . . 68

4.8 Evolu¸c˜ao dos grafos de processo da regra 178 com exclus˜oes de 000 e 111. . 72

4.9 Grafos descrevendo atratores da regra 178 com exclus˜oes de 000 e 111 . . . 73

4.10 Grafo descrevendo o atrator da regra 178 obtido a partir de configura¸c˜oes iniciais que n˜ao possuem 0^∞ e 1^∞ . . . 74

4.11 Grafo-limite da regra 178. . . 74

4.12 Evolu¸c˜ao dos grafos de processo da regra 160 com exclus˜oes de 111. . . 76

4.13 Grafo descrevendo o atrator da regra 160 com exclus˜oes de 111 . . . 77

4.14 Grafo-limite da regra 160. . . 77

5.1 Comportamento do crescimento de uma mesma configura¸c˜ao para diferentes regras . . . 79

5.2 Exemplos de evolu¸c˜oes temporais incorretamente representadas no espectro do m´etodo da poda . . . 81

5.3 Grafos com peso e espectros das regras 32, 128 e 136 . . . 84

5.4 Grafos com peso e espectros das regras 132, 140, 178 e 184 . . . 85

5.5 Evolu¸c˜oes temporais das regras 132, 140, 178 e 184 para configura¸c˜oes 0- finitas e 1-finitas . . . 87

5.6 Grafos com peso e espectros das regras 56, 160, 162 e 168 . . . 88

5.7 Exemplo da evolu¸c˜ao temporal da regra 56. . . 89

5.8 Exemplo de evolu¸c˜ao temporal da regra 160 . . . 90

(14)

Lista de tabelas

2.1 Tabelas de transi¸c˜oes de regras dinamicamente equivalentes . . . 21

3.1 Tabela de complexidade dos ACEs (1/2) . . . 45

3.2 Tabela de complexidade dos ACEs (2/2) . . . 46

3.3 Classifica¸cão dos ACEs de acordo com o crescimento dos grafos de processo 54 4.1 Evolu¸cão da expressão regular descrevendo Ω^t₃₂. . . 57

4.2 Express˜oes regulares de alguns atratores da regra 184 . . . 65

4.3 Express˜oes regulares em tempo finito para a obten¸c˜ao de um atrator da regra 184 . . . 66

4.4 Evolu¸c˜oes dos grafos de processo da regra 178 com exclus˜oes de cadeias de 1s. . . 69

A.1 Express˜oes regulares da regra 32 . . . 101

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Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao

Os autômatos celulares (ACs) são sistemas dinâmicos discretos no espa¸co, no tempo e nas variáveis de estado que apresentam comportamento s´ıncrono, paralelo e homogêneo (Kari, 2005). Propostos inicialmente por Von Neumann (1966) em um estudo sobre estruturas autorreplicáveis, têm sido estudados desde então sob diversos pontos de vista, como objetos computacionais, matemáticos e como modelos de diversas situa¸cões reais (Wolfram, 2002).

Um dos primeiros ACs a ficar famoso, o“Game of Life”, desenvolvido pelo matemático John Conway e divulgado ao público por Gardner (1970), é definido a partir de três regras simples atuando localmente sobre um plano formado por células. Apesar da defini¸cão simples de como a regra atua, o AC em questão é capaz de apresentar comportamento global arbitrariamente complexo, apresentando inclusive computabilidade universal (Kari, 2005).

Foi demonstrado por Cook (2004) que a regra 110 do espa¸co dos autômatos celulares elementares – um dos tipos mais simples de ACs – também exibe computabilidade universal. Langton (1990) conjecturou anteriormente que ACs com capacidade de trans- missão, armazenamento e processamento de informa¸cão encontram-se entre regras com comportamento periódico bem estabelecido e regras caóticas, em uma região conhecida como“beira do caos” (“edge of chaos” no original).

Somando-se sua capacidade de processamento paralelo de informa¸cão à existência de regras simples com computabilidade universal, o interesse nos ACs do ponto de vista computacional é indiscut´ıvel.

Os ACs também apresentam potencial para aplica¸cão como modelos em simula¸cões

(16)

de diversas áreas do conhecimento. Wolfram (2002) chegou a conjecturar que todos os fenômenos poderiam ser descritos com base na intera¸cão entre sistemas simples, incluindo ACs.

Modelos envolvendo ACs incluem, para citar apenas alguns, trabalhos nas áreas de dinâmica dos fluidos (Margolus, Toffoli, & Vichniac, 1986), processamento de imagens (Rosin, 2006; Shahverdi, Tavana, Ebrahimnejad, Zahedi, & Omranpour, 2016), estudo de propaga¸cão de epidemias (Sirakoulis, Karafyllidis, & Thanailakis, 2000; Cisotto & Badia, 2016) e dinâmica social (Hegselmann & Flache, 1998; Hunt, Mendi, & Bayrak, 2011).

Em contraste com os modelos desenvolvidos para aplica¸cões práticas, existe a possibilidade de se estudar os ACs como objetos matemáticos, em abordagem de maior rigor formal e focado nas propriedades intr´ınsecas desses objetos.

Hedlund (1969) iniciou o estudo dos ACs sob o ponto de vista dadinˆamica simb´olica.

Em seu trabalho nunca se referiu aos sistemas estudados como autômatos celulares, mas sim como fun¸cões definidas no conjunto de sequênciask-árias que comutavam com oshift definido também nesse conjunto.

Alguns dos resultados fundamentais em (Hedlund, 1969) foram transcritos para seus equivalentes utilizando a terminologia padr˜ao de ACs por Kari (2005), incluindo resultados sobre a injetividade e sobrejetividade de ACs, bem como as diferen¸cas de comportamento global dos ACs existentes entre configura¸c˜oes finitas e infinitas.

Ainda do ponto de vista da dinâmica simbólica (Lind & Marcus, 1995), propriedades topológicas e da teoria da medida relativas a ACs são apresentadas de maneira geral em (Blanchard, K˚urka, & Maass, 1997) e (K˚urka, 2012).

J´a Wolfram (2002) sugeriu o estudo dos ACs do ponto de vista fenomenol´ogico, isto

´e, o estudo de suas propriedades emergentes e de como estas relacionam-se entre si e com as defini¸c˜oes locais das regras.

Nesse sentido, Wolfram analisou diversas propriedades, como por exemplo o surgimento de padrões ao longo da evolu¸cão temporal de regras (Wolfram, 1983), a classifica¸cão dos ACs de acordo com a complexidade do comportamento emergente padrão (Wolfram, 2002) e o estudo das linguagens definidas a partir de regras de ACs (Wolfram, 1994).

(17)

1.1 Motiva¸ c˜ ao

Wolfram (1994) estudou a complexidade de regras de ACs a partir de caracter´ısticas do autômato finito (de fato, o sub-tipo grafo de processo, em que todos os estados são finais e iniciais) que reconhece a linguagem definida por essa regra. Mais precisamente, essa complexidade foi estudada com base no crescimento do número de vértices e arestas do grafo de processo que descreve itera¸cões sucessivas da regra.

Isso possibilita a compara¸c˜ao da complexidade dasdinˆamicas das regras e como essa complexidade evolui com o tempo.

Uma das perguntas feitas em (Wolfram, 1985) corresponde a que este trabalho se prop˜oe a responder parcialmente, a saber: quais conjuntos-limite um autˆomato celular pode produzir?

1.2 Objetivo

Mesmo sendo um dos espa¸cos mais simples de regras, o espa¸co dos autˆomatos celulares elementares (ACEs) pode apresentar comportamento dinˆamico arbitrariamente complexo (Cook, 2004).

De maneira informal, um ACE é um sistema dinâmico temporal e espacialmente discreto cujas configura¸cões são sequências binárias nas quais cada bit (célula) é atualizado com base em seu estado e nos estados das células vizinhas à esquerda e à direita. Em resumo, a dinâmica de um ACE é definida localmente com base nos estados (binários) da própria célula e de seus vizinhos mais próximos.

Este trabalho tem como objetivo desenvolver ferramentas e métodos para determinar o comportamento limite de alguns (ACEs) por meio de um conjunto de técnicas desenvol- vidas para a análise da evolu¸cão de suas linguagens e deteçcão de padrões de crescimento dessas linguagens, conforme detalhado a seguir na Se¸cão 1.3.

1.3 Metodologia

Baseando-se nas ideias discutidas em trabalhos anteriores (Trafaniuc, 2004; Miki, 2006;

Costa, 2013), procurou-se inferir o comportamento limite de alguns ACEs a partir da observa¸c˜ao do padr˜ao de crescimento dos grafos que descrevem suas linguagens em tempo

(18)

finito.

Para isso, o conjunto de informa¸cões sobre esses grafos contido em (Wolfram, 1994) foi recalculado e expandido, utilizando varia¸cões das técnicas descritas anteriormente.

A seguir, foi desenvolvida uma t´ecnica, baseada em isomorfismos entre grafos, para caracterizar o crescimento dos grafos em termos das estruturas que surgem ao longo da evolu¸c˜ao temporal de uma regra.

Essas estruturas foram então analisadas e, para algumas regras estudadas, observou- se um padrão regular nas estruturas adicionadas ao grafo em diferentes momentos da evolu¸cão temporal.

Tomando como hipótese a permanência desse padrão de crescimento para qualquer evolu¸cão temporal finita, foi poss´ıvel calcular expressões regulares descrevendo as linguagens geradas por parte das regras para qualquer tempo finito.

Finalmente, para essas regras foi poss´ıvel inferir uma express˜ao regular descrevendo o conjunto-limite e, portanto, um grafo-limite descrevendo esse mesmo conjunto.

Os grafos-limite foram então aplicados à constru¸cão dos espectros de Fourier dessas regras sob condi¸cão de contorno não-periódica, resolvendo de maneira mais eficaz um problema abordado em (Ruivo & de Oliveira, 2013), a saber: que o comprimento de tais configura¸cões podem variar ao longo do tempo.

Este texto está dividido como segue. O Cap´ıtulo 2 introduz as no¸cões fundamentais e estabelece o referencial teórico deste trabalho, estando dividido em se¸cões de acordo com o assunto. As Se¸cões 2.1 e 2.2 introduzem a terminologia, nota¸cão e resultados relevantes sobre autômatos celulares e linguagens formais, respectivamente. Na Se¸cão 2.3 é feita uma revisão bibliográfica sobre comportamento limite de autômatos celulares.

No Cap´ıtulo 3 são apresentados os grafos que representam as linguagens associadas às regras de autômatos celulares elementares e a conceitua¸cão teórica é então seguida das contribui¸cões do presente trabalho. As técnicas utilizadas para detectar o padrão de crescimento dos grafos descritos acima são discutidas e, em seguida, o método para inferir grafos-limite a partir da evolu¸cão de expressões regulares é explicado no Cap´ıtulo 4, bem como um método para análise de subconjuntos do conjunto-limite e sua aplica¸cão para duas regras de autômatos celulares. É feita então uma aplica¸cão desses grafos-limite para o cálculo do espectro de Fourier das regras (Cap´ıtulo 5). Finalmente, as conclusões e perspectivas para trabalhos futuros são apresentadas no Cap´ıtulo 6.

(19)

Cap´ıtulo 2

Fundamentos

2.1 Autˆ omatos celulares

2.1.1 Autˆ omatos celulares, configura¸ c˜ oes e evolu¸ c˜ ao temporal

Um autômato celular (AC) é um sistema dinâmico discreto no espa¸co e no tempo, homogêneo (isto é, a fun¸cão que define sua dinâmica é a mesma em todos os pontos do espa¸co) e localmente definido. Segue abaixo uma defini¸cão mais formal.

Defini¸cão 2.1. Um autômato celularAé uma quádruplaA= (S, N, f, d) (Kari, 2005), na qual:

• S ={0,1,· · · , k−1} ´e o conjunto de estados;

• N = (~v₁, ~v₂,· · · , ~v_n), ~v_i ∈Z^d, ´e o vetor de vizinhan¸ca;

• f :Sⁿ−→S é sua fun¸cão de transi¸cão local ouregra local;

• d ∈Z+ ´e sua dimens˜ao.

Defini¸cão 2.2. Uma configura¸cão é uma fun¸cão c:Z^d −→S. O conjunto das fun¸cões deZ^d em S é denotado porS^Z^d e é denominado o espa¸co das configura¸cões.

O conjunto Z^d é denominado de espa¸co celular e cada um de seus elementos é uma célula. Uma configura¸cão pode ser interpretada como uma atribui¸cão de um estado (isto

é, um elemento deS) a cada célula. Sendo assim, dada uma configura¸cão, c(~v), ~v ∈Z^d,é oestado da célula ~v na configura¸cãoc.

(20)

Defini¸cão 2.3. Dado s ∈ S, uma configura¸cão c é dita s-finita quando o conjunto {~v ∈ Z^d :c(~v)6=s}é finito. Dito de outra maneira, cé s-finita quando, exceto por uma quantidade finita, suas células têm estado s. Em particular, uma configura¸cão s-finita unidimensional (d = 1) pode ser escrita na forma· · ·s, s, s0, s1,· · · , s(L−1), s, s,· · ·.

Assim, uma configura¸c˜ao s-finita unidimensional c:Z−→S tal que

c(i) =







s_i ∈S, se 0≤i≤(L−1)∈Z s, caso contr´ario

é denotada por c= [s₀,· · · , s(L−1)]_s e é denominada uma configura¸cão s-finita unidimensional de tamanho L.

Defini¸cão 2.4. Seja {~e1,· · · , ~ed} a base canônica de Z^d. Se existe Li ∈ Z tal que c(~v) = c(~v +L_i ·~e_i), a configura¸cão c é dita ~e_i-periódica. Caso c seja ~e_i-periódica para todos os vetorese_i da base canônica de Z^d,cé ditatotalmente periódica.

Em particular, os dois conceitos de periodicidade descritos acima coincidem no caso unidimensional, no qual uma configura¸cão obedecendo à descri¸cão acima é chamada simplesmente de periódica ouc´ıclica.

Uma configura¸c˜ao unidimensional c:Z−→S c´ıclica dada por

c(i) =







s_i ∈S, se 0≤i≤(L−1)∈Z c(i+L) = c(i), caso contr´ario

é denotada por [s₀,· · ·, s_(L−1)] e é dita uma configura¸cão unidimensional c´ıclica de tamanho L.

Dado um AC A = (S, N, f, d), a regra local f do AC induz uma fun¸cão de transi¸cão global F :S^Z^d −→S^Z^d no espa¸co das configura¸cões da seguinte maneira:

(F(c))(~v) = f(~v+~v₁, ~v+~v₂,· · ·, ~v+~v_n)

Os vetores~v₁,· · ·, ~v_nsão os elementos do vetor de vizinhan¸caN e (~v+~v₁,· · · , ~v+~v_n)∈ (Z^d)ⁿ é a vizinhan¸ca de~v. Sendo assim, o estado de cada célula v da configura¸cão F(c)

é calculado a partir dos estados das células na vizinhan¸ca de~v na configura¸cão c.

Denotando porF^t(c) a itera¸c˜ao deF tvezes sobrec(isto ´e,F^t(c) = (F ◦F ◦ · · · ◦F)

| {z } t vezes

(c)),

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a sequênciac, F(c), F²(c),· · · , F^t(c),· · · é aevolu¸cão temporal ouórbitadecporF. Nesse caso, cé denominada configura¸cão inicial.

Defini¸cão 2.5. O conjunto de configura¸cões obtido após t itera¸cões do AC com regra localf sobre todas as configura¸cões do conjunto de configura¸cões é denotado por Ω^t_f.

No caso unidimensional, a evolu¸cão temporal de uma configura¸cão por uma regra pode ser representada bidimensionalmente em Z², com o tempo representado na vertical (geralmente orientado para baixo) e cada elemento da sequência de configura¸cões ocupando uma linha.

A fim de resumir e dar maior clareza aos conceitos discutidos acima, ´e apresentado o exemplo a seguir.

Exemplo 2.1. Considere um ACA= (S, N, f, d) comS ={0,1},N = (−1,0,1),d= 1 ef :Z−→ {0,1} dada por

f(a₁, a₂, a₃) =







0, sea₁+a₂+a₃ ´e par 1, caso contr´ario

Trata-se de um AC unidimensional (d = 1), com conjunto de estados binário (S = {0,1}) e o vetor de vizinhan¸ca N = (−1,0,1) define que, dada uma célula i ∈ Z, sua vizinhan¸ca será (i−1, i, i+ 1).

Imaginando-se o espa¸co celular Z como uma sequência bi-infinita de quadrados ar- ranjados horizontalmente, onde cada célula é representada por um desses quadrados, a vizinhan¸ca de cada célula é formada pela célula imediatamente à sua esquerda, pela própria célula e pela célula imediatamente à sua direita.

Isso permite uma visualiza¸cão gráfica da regra local f, conforme a Figura 2.1, onde quadrados brancos e pretos representam, respectivamente, células no estado 0 e no estado 1. Esse código de cores é utilizado no restante do texto.

Considerando agora uma configura¸cão 0-finita c= [1]₀, parte da evolu¸cão temporal de cpor F (fun¸cão de transi¸cão global induzida por f) encontra-se representada na Figura 2.2, com o tempo representado no eixo vertical e orientado para baixo. Observando a representa¸cão gráfica da evolu¸cão temporal, é poss´ıvel notar a forma¸cão de um padrão fractal.

De fato, mesmo regras de ACs unidimensionais e bin´arios podem apresentar compor-

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Figura 2.1: Representa¸c˜ao gr´afica da regra f (Exemplo 2.1). Quadrados brancos e pretos representam, respectivamente, os estados 0 e 1.

Figura 2.2: Parte da evolu¸cão temporal da regraf (Exemplo 2.1). Observa-se a forma¸cão de um padrão fractal.

tamento complexo, conforme ser´a discutido na Se¸c˜ao 2.1.3

2.1.2 ACs unidimensionais

Autômatos celulares unidimensionais são extensivamente estudados sob diversos pontos de vista. Pelo fato de serem mais simples que os ACs de outras dimensões e, mesmo assim, serem capazes de apresentar comportamento não-trivial, são um ponto de partida natural para a investiga¸cão de propriedades e caracter´ısticas desses objetos.

Além disso, a possibilidade de observar simultaneamente as diversas itera¸cões de uma evolu¸cão temporal, conforme exemplificado na Figura 2.2, possibilita uma análise visual do comportamento dinâmico da regra, facilitando o estudo emp´ırico e fenomenológico destes, como é feito, por exemplo, por Wolfram (2002). Tal investiga¸cão visual torna-se mais dif´ıcil (d= 2) ou imposs´ıvel (d≥3) em outras dimensões.

De agora em diante, exceto se houver men¸cão contrária, todos os ACs considerados serão unidimensionais.

Defini¸c˜ao 2.6. Sejar ∈ {¹₂,1,1¹₂,2,· · · } e sejaN_r dado por:

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N_r =







(−r,−(r−1),· · · ,0,· · · , r−1, r), se r∈Z (− brc,− b(r−1)c,· · · ,0,· · · ,d(r−1)e,· · · ,dre), caso contr´ario

Um AC cujo vetor de vizinhan¸ca ´e igual a N_r, para algum r como definido acima ´e dito um AC de raio r.

Por exemplo, sejam A₁ eA₂ dois ACs com raios 1 e 2¹₂, respectivamente. Ent˜ao seus vetores de vizinhan¸ca s˜ao, respectivamente,N₁ = (−1,0,1) e N₂¹

2 = (−2,−1,0,1,2,3).

Fixando-se o conjunto de estados S ={0,· · · , k−1} e o raio r, o conjunto de regras que um AC com essas caracter´ısticas pode apresentar é denominado o espa¸co de regras k-árias de raio r. Dentro de um espa¸co de regras como esse, cada regra individualf pode ser identificada através de seu número de Wolfram (Wolfram, 2002), W(f).

Defini¸cão 2.7. Dado um AC unidimensional comk estados e raio re regra local f, seu número de Wolfram W(f) é dado por:

W(f) = X

a=(a1,···,a_(2r+1))∈Z^(2r+1)

f(a)k^k^(2r)â¹^+k^(2r−1)â²^+···+k⁰â^(2r+1) (2.1)

Exemplo 2.2. Considere o AC do Exemplo 2.1. Temos:

f(1,1,1)2²²^·1+2¹^·1+2⁰^·1 = 1·24·1+2·1+1·1

= 1·2⁷ = 128 f(1,1,0)2²²^·1+2¹^·1+2⁰^·0 = 0·24·1+2·1+1·0

= 0·2⁶ = 0 f(1,0,1)2²²^·1+2¹^·0+2⁰^·1 = 0·24·1+2·0+1·1

= 0·2⁵ = 0 f(1,0,0)2²²^·1+2¹^·0+2⁰^·0 = 1·24·1+2·0+1·0

= 1·2⁴ = 16 f(0,1,1)2²²^·0+2¹^·1+2⁰^·1 = 0·24·0+2·1+1·1

= 0·2³ = 0 f(0,1,0)2²²^·0+2¹^·1+2⁰^·0 = 1·24·0+2·1+1·0

= 1·2² = 4 f(0,0,1)2²²^·0+2¹^·0+2⁰^·1 = 1·24·0+2·0+1·1

= 1·2¹ = 2 f(0,0,0)2²²^·0+2¹^·0+2⁰^·0 = 0·24·0+2·0+1·0

= 0·2⁰ = 0

Assim, como 128 + 16 + 4 + 2 = 150, a regra definida no Exemplo 2.1 ´e a regra 150 do espa¸co de regras bin´arias de raio 1.

ACs unidimensionais cujas regras têm raio 1 e estão definidas para um conjunto binário de estados são denominados autômatos celulares elementares (ACEs). Esse espa¸co de

(24)

regras possui 2²³ = 256 regras distintas e ser´a o principal objeto de estudo nos cap´ıtulos seguintes.

Apesar dos ACEs serem ainda mais simples que os ACs unidimensionais como um todo, seu espa¸co de regras apresenta grande riqueza de comportamentos dinâmicos, desde o trivial, definido por pontos fixos, até a existência de computabilidade universal, como é o caso da regra 110 desse espa¸co (Cook, 2004). Detalhes a respeito dessa diversidade de comportamentos dinâmicos serão abordados na próxima se¸cão.

No restante do texto, um ACE cuja regra local apresenta número W(f) será referido apenas pelo número de sua regra local, a qual será denotada por f_W_(f₎ e cuja fun¸cão global induzida será denotada porF_W(f₎. Assim, “regra 110” refere-se tanto ao ACE que apresenta regra local de número 110 quanto à regra local f₁₁₀ em si.

E necess´´ ario abordar o conceito de composi¸c˜ao de dois ACs, o qual ´e utilizado em parte do texto.

Defini¸cão 2.8. Dados dois ACs A1 = (S, Nr1, f,1) e A1 = (S, Nr2, g,1), define-se a composi¸cão de A₁ com A₂ por A₁◦A₂ = (S, N_(r₁_+r₂₎, f◦g,1), com a fun¸cão local (f◦g) dada por:

f ◦g(a₁, a₂,· · · , a_2(r₁_+r₂₎₊₁) =f(g(a₁, a₂,· · · , a_2r₂₊₁),· · · , g(a_(2r₁₊₁₎,· · · , a_2(r₁_+r₂₎₊₁))) A fun¸cão global induzida por (f ◦ g) corresponde à composi¸cão F ◦G das fun¸cões globais induzidas por cada fun¸cão local.

Exemplo 2.3. Seja A₁ o ACE de regra 150 (a mesma definida no Exemplo 2.1) e A₂ = ({0,1}, N¹

2, g,1), com g(a₁, a₂) = a₂,∀(a₁, a₂) ∈ {0,1}². Ent˜ao (A₁ ◦ A₂) = ({0,1}, N₁¹

2, f₁₅₀◦g,1), com

(f₁₅₀◦g)(a₁, a₂, a₃, a₄) =f₁₅₀(g(a₁, a₂), g(a₂, a₃), g(a₃, a₄)) =f₁₅₀(a₂, a₃, a₄) (f₁₅₀◦g)(a₁, a₂, a₃, a₄) =







0, sea₂+a₃+a₄ ´e par 1, caso contr´ario

A Figura 2.3 mostra a evolu¸cão temporal da configura¸cão 0-finita [1]₀ (a mesma utilizada no Exemplo 2.1) para a composi¸cãoF₁₅₀◦G, induzida pela composi¸cão calculada acima.

(25)

Figura 2.3: Parte da evolu¸c˜ao temporal da composi¸c˜ao de regras mostradas no Exemplo 2.3.

A composi¸cão de ACs unidimensionais é uma maneira natural de explorar conjuntos de regras de maior raio a partir da combina¸cão dos comportamentos de regras de menor raio.

2.1.3 Classifica¸ c˜ oes dinˆ amicas

Seja F uma regra global de um AC e c uma configura¸cão qualquer e considere a evolu¸cão temporal de c por F. Temos três possibilidades naturais para essa evolu¸cão, a saber:

1. A evolu¸c˜ao temporal alcan¸ca um ponto-fixo: isto ´e, existe t₀ ∈ Z+ para o qual F^t(c) =F^t⁰(c),∀t≥t₀;

2. A evolu¸cão temporal entra em regime periódico: isto é, existemt₀, p∈Z+ tais que, dado t ≥ t₀, existe 0 ≤ ∆t < p tal que F^t(c) = F^t⁰^+∆t(c). Nesse caso, p é um per´ıodo da evolu¸cão temporal;

3. A evolu¸c˜ao temporal n˜ao chega aos regimes descritos nos itens anteriores.

Dito de outra forma, o caso (1) acima ocorre quando, a partir algum momento na evolu¸cão temporal, as configura¸cões de itera¸cões consecutivas são idênticas, enquanto que o caso (2) ocorre quando, a partir de algum momento na evolu¸cão temporal, configura¸cões que estão distantes um certo número fixo de itera¸cões são idênticas.

Para deixar a ideia mais clara, a Figura 2.4 mostra parte da evolu¸cão temporal de uma mesma configura¸cão c´ıclica para as regras 69 e 178. A evolu¸cão à esquerda mostra o

(26)

Figura 2.4: Evolu¸cão temporal de uma mesma configura¸cão c´ıclica por duas regras de ACEs distintas. À esquerda, a regra 69 resulta numa evolu¸cão temporal que alcan¸ca um ponto-fixo. À direita, a regra 178 faz com que a mesma configura¸cão tenha uma evolu¸cão temporal que entra em regime periódico (com per´ıodo 2).

caso em que a evolu¸cão temporal alcan¸ca um ponto-fixo, ao passo que a evolu¸cão à direita mostra uma evolu¸cão temporal que entra em regime periódico.

Entretanto, as Figuras 2.2 e 2.3 sugerem que existem outros tipos de comportamento, do ponto de vista das evolu¸cões temporais. Existem duas classifica¸cões já consagradas na literatura, uma devida a Wolfram (1984) e outra a Li e Packard (1990), ambas fortemente correlacionadas e baseadas na análise qualitativa e emp´ırica de amostras de configura¸cões que aparecem nas diversas evolu¸cões temporais de uma regra.

Wolfram (1984) divide os ACs unidimensionais em quatro classes distintas, denominadas aquiclasses de Wolfram, sendo elas:

• Classe I (C I): para a maior parte das configura¸cões, evolu¸cões temporais por regras desta classe são tais que, a partir de certa itera¸cão, todas as células apresentam o mesmo estado;

• Classe II (C II): para a maior parte das configura¸cões, evolu¸cões temporais por regras desta classe chegam a um regime de ponto-fixo ou periódico, existindo diversidade no estado das células;

• Classe III (C III): nas evolu¸cões temporais por regras desta classe geralmente há o surgimento de padrões não-periódicos e com comportamento aparentemente caótico;

• Classe IV (C IV): regras desta classe em geral d˜ao origem a evolu¸c˜oes temporais

(27)

onde há o surgimento de regiões periódicas estáveis e regiões com comportamento aparentemente caótico e intera¸cão complexa entre estruturas existentes nas configura¸cões.

Wolfram (1984) conjecturou que regras pertencentes à Classe IV apresentam computabilidade universal. Cook (2004) demonstrou que a regra 110 do espa¸co dos ACEs apresenta, de fato, tal propriedade. A outra única regra do espa¸co dos ACEs que per- tence à Classe IV é a regra 54, entretanto, até a data de impressão deste texto, nada foi provado a respeito desta possuir ou não computabilidade universal.

A classifica¸cão de Li e Packard (1990) está muito próxima à classifica¸cão de (Wolfram, 1984) e possui cinco classes, a saber:

(A) Regras nulas: evolu¸cões temporais geralmente chegam a uma configura¸cão ho- mogênea, isto é, onde todas as células estão no mesmo estado;

(B) Regras de ponto-fixo: evolu¸cões temporais geralmente alcan¸cam um ponto-fixo, a menos, eventualmente, de uma transla¸cão da configura¸cão;

(C) Regras periódicas: evolu¸cões temporais geralmente entram em regime periódico, a menos, eventualmente, de uma transla¸cão da configura¸cão;

(D) Regras caóticas: há o surgimento de padrões não-periódicos e as evolu¸cões temporais tendem a apresentar intera¸cões caóticas locais;

(E) Regras complexas: regras nesta classe apresentam um comportamento caótico global, apresentando uma evolu¸cão temporal aparentemente aleatória.

O mapeamento entre as classes de Wolfram (1984) e de Li e Packard (1990) ´e o seguinte:

as classes (C I), (C III) e (C IV) de Wolfram correspondem, respectivamente, `as classes (A), (D) e (E) descritas acima, enquanto a classe (C II) engloba as classes (B) e (C).

A Figura 2.5 mostra exemplos de evolu¸cões temporais de regras das classes de Wol- fram e de Li-Packard, indicando também a correspondência entre os dois sistemas de classifica¸cão.

As classifica¸cões descritas acima baseiam-se na observa¸cão visual do que, tipicamente, ocorre durante a evolu¸cão temporal das regras. Outra classifica¸cão, que não é emp´ırica e

(28)

Figura 2.5: Evolu¸c˜oes temporais de regras de ACEs representantes das classes de Wolfram e de Li-Packard obtidas a partir de uma mesma configura¸c˜ao inicial.

independe de amostragem, baseia-se no agrupamento de regras que apresentam o mesmo comportamento dinˆamico a menos de alguma simetria.

Observe, por exemplo, a Figura 2.6, onde são exibidas evolu¸cões temporais das regras 10, 80, 175 e 245 do espa¸co dos ACEs. As evolu¸cões temporais são qualitativamente equivalentes e pode-se transformar uma na outra através de reflexões em rela¸cão ao eixo horizontal, troca de zeros por uns ou uma combina¸cão dessas opera¸cões.

Defini¸cão 2.9. Dado um vetor binárioa= (a1,· · · , aL), define-se as seguintes opera¸cões:

• Reflex˜ao: a⁰ = (a_L,· · · , a₁);

• Conjuga¸c˜ao: a= (1−a₁,· · · ,1−a_L);

• Reflexão conjugada (ou conjuga¸cão refletida): a⁰ =a⁰ = (1−a_L,· · ·,1−a₁) As opera¸cões definidas acimas são denominadas simetrias.

Exemplo 2.4. Seja a= (1,0,0). Temos: a⁰ = (0,0,1), a = (0,1,1) e a⁰ = (1,1,0).

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Figura 2.6: Evolu¸cões temporais das regras 10, 80, 175 e 245 do espa¸co dos ACEs. A menos de reflexão e/ou troca de zeros por uns, elas são qualitativamente idênticas.

Pode-se extender tais opera¸c˜oes para as regras de transi¸c˜ao. Seja f a regra local de um ACE. Define-se:

• Reflex˜ao de f: f⁰(a₁, a₂, a₃) = f(a₃, a₂, a₁),∀(a₁, a₂, a₃)∈ {0,1}³

• Conjuga¸c˜ao def: f(a₁, a₂, a₃) =f(a₁, a₂, a₃),∀(a₁, a₂, a₃)∈ {0,1}³

• Reflexão conjugada de f: f⁰(a₁, a₂, a₃) = f(a₃, a₂, a₁),∀(a₁, a₂, a₃)∈ {0,1}³ O conjunto {f, f⁰, f , f⁰} é a classe de equivalência dinâmica de f. As 256 regras do espa¸co dos ACEs se agrupam em 88 classes de equivalência dinâmica.

Exemplo 2.5. A Tabela 2.1 abaixo apresenta as fun¸cões de transi¸cão local das regras 10, 80, 175 e 245, representadas na Figura 2.6, todas na mesma classe de equivalência dinâmica.

Regra 10 (1,1,1)→0; (1,1,0)→0; (1,0,1)→0; (1,0,0)→0; (0,1,1)→1; (0,1,0)→0; (0,0,1)→1; (0,0,0)→0 Regra 80 (1,1,1)→0; (1,1,0)→1; (1,0,1)→0; (1,0,0)→1; (0,1,1)→0; (0,1,0)→0; (0,0,1)→0; (0,0,0)→0 Regra 175 (1,1,1)→1; (1,1,0)→0; (1,0,1)→1; (1,0,0)→0; (0,1,1)→1; (0,1,0)→1; (0,0,1)→1; (0,0,0)→1 Regra 245 (1,1,1)→1; (1,1,0)→1; (1,0,1)→1; (1,0,0)→1; (0,1,1)→0; (0,1,0)→1; (0,0,1)→0; (0,0,0)→1

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Tabela 2.1: Transi¸c˜oes das regras dinamicamente equivalentes `a regra 10

Uma vez que, qualitativamente, o comportamento dinˆamico de regras da mesma classe

´e o mesmo, pode-se estudar um representante de cada uma das 88 classes, reduzindo o tamanho do espa¸co de regras a ser analisado. Tal redu¸c˜ao foi utilizada nos estudos descritos neste trabalho.

2.1.4 Espectros de ACs unidimensionais

Uma maneira de estudar o comportamento t´ıpico de ACs (após seus transientes) sob o ponto de vista dos tipos de padrões formados nas configura¸cões obtidas de suas respectivas evolu¸cões temporais é através da análise de seus espectros de Fourier (Wolfram, 2002).

Estudos anteriores mostram a relevância de tal abordagem. Li (1987) correlacionou a existência de atratores para regras de ACs e o espectro gerado por elas. Ninagawa (2006) conjecturou haver correla¸cão entre determinado tipo de espectro e computabilidade universal de um AC. Em (Ruivo & de Oliveira, 2013), o espa¸co dos ACEs foi explorado sob tal ponto de vista e uma caracteriza¸cão do significado desses espectros foi enunciada.

Defini¸c˜ao 2.10. Dado um vetor complexo v = (v₁,· · · , v_L) ∈ C^L, a transformada discreta de Fourier (TDF) dev ´e o vetor F(v), dado por:

(F(v))(k) = 1 L

L

X

j=1

[(F(v))(j)]·e2πi(j−1)(k−1)/n

(2.2) em quei é a unidade imaginária e (F(v))(k) é a k-ésima componente do vetor F(v).

A TDF transforma informa¸cões do dom´ınio do tempo para o dom´ınio da frequência. A interpreta¸cão deste último no caso de ACs é detalhado mais à frente. Antes convém definir o conceito de espectro de Fourier (ou simplesmente espectro) de um AC unidimensional.

Sejafa regra local de um AC unidimensional qualquer,F sua respectiva fun¸cão global, C = {c₁,· · ·, c_p} um conjunto de configura¸cões iniciais aleatórias (finitas ou c´ıclicas) de comprimentoL∈Ne t∈Nmaior que o transiente da regra f em questão. Oespectro de f é calculado da seguinte maneira:

1. Calcula-se o conjunto C⁰ = {c⁰₁,· · · , c⁰_p} no qual c⁰_i = F^t(c_i),∀i,1 ≤ i ≤ p, isto ´e,

(31)

o conjunto de configura¸c˜oes obtidas iterando-se F t vezes sobre cada configura¸c˜ao inicial em C;

2. Aplica-se a TDF sobre cada c⁰_i, obtendo-se o conjuntoF(C⁰) ={F(c⁰) :c⁰ ∈C⁰};

3. Define-se o espectro S_f de f por S_f = ¹_pP

c⁰∈C⁰|F|(c⁰), isto é, como a média aritmética do módulo das transformadas F(c⁰), tomado coordenada a coordenada.

Uma vez que S_f é sempre simétrico, considera-se apenas a primeira metade das coordenadas. Além disso, as coordenadas de S_f são normalizadas pelo seu maior valor.

Vale salientar que o espectro só tem relevância como representante das caracter´ısticas dos padrões formados por uma regra quando esta é iterada um número suficiente de vezes.

Para isso, é necessário que o número de vezes que uma regra é iterada supere o seu tempo transiente médio (ou simplesmente transiente).

De maneira informal, o transiente é uma quantidade média de itera¸cões para as quais ainda aparecem configura¸cões que não possuem os padrões tipicamente formados pela regra. Isso pode ser estimado observando-se a varia¸cão dos espectros entre duas itera¸cões sucessivas: quando a diferen¸ca entre os espectros de itera¸cões sucessivas se estabiliza, o transiente foi superado.

Agora é necessário explicitar o que está representado no dom´ınio da frequência dado por S_f. Aqui, o termo frequência refere-se à quantidade de mudan¸cas de valor entre posi¸cões adjacentes numa configura¸cão obtida após as t itera¸cões de F. Assim, no caso binário por exemplo, · · ·010101· · · é uma configura¸cão com frequência máxima e

· · ·000000· · · e· · ·111111· · · são configura¸cões comfrequência m´ınima e todas as outras configura¸cões apresentam uma frequência que está entre esses dois extremos.

Exemplo 2.6. Um caso bastante ilustrativo ´e o da regra 184 do espa¸co dos ACEs.

Tal regra possui um comportamento dinâmico conhecido e, após um transiente, atua da seguinte maneira sobre as configura¸cões:

• Se a configura¸cão possui a mesma quantidade de zeros e uns, a configura¸cão obtida após o transiente consiste em zeros e uns alternados;

• Se a configura¸cão possui mais zeros do que uns, a configura¸cão obtida após o transiente consiste em zeros e uns alternados e agrupamentos contendo os zeros excedentes;

(32)

Figura 2.7: Espectros da regra 184 para configura¸c˜oes com diferentes valores de densidade.

• Se a configura¸cão possui mais uns do que zeros, a configura¸cão obtida após o transiente é análoga à descrita imediatamente acima.

A densidade de uma configura¸cão binária é a razão entre a quantidade de uns na configura¸cão e o tamanho desta. Sendo assim, se analisarmos os espectros da regra 184 calculados a partir de conjuntos de configura¸cões com densidades cada vez mais próximas a 0.5, será poss´ıvel notar um decréscimo nos n´ıveis de densidade das frequências baixas e um aumento nos n´ıveis de densidade das frequências altas, até o caso extremo (com d= 0.5) no qual apenas a frequência mais alta encontra-se representada, conforme pode ser observado na Figura 2.7.

Observa-se uma diversidade espectral at´e mesmo no espa¸co dos ACEs. Em (Ruivo &

de Oliveira, 2013), esse espa¸co de regras foi particionado em 59classes espectrais distintas, contendo regras com o mesmo comportamento do ponto de vista espectral. Em espa¸cos de regras mais gerais, mas ainda bin´arias, observa-se a presen¸ca de regras cujos espectros assemelham-se `aqueles de filtros digitais (Ruivo & de Oliveira, 2014).

O aspecto mais relevante dos espectros para este trabalho é o de eles carregarem informa¸cões a respeito dos padrões de mudan¸cas de valores dos bits de um grupo de células adjacentes contidos nas configura¸cões dos conjuntos-limite das regras.

(33)

2.2 Linguagens formais e autˆ omatos finitos

2.2.1 Linguagens formais

Defini¸cão 2.11. Um alfabeto é um conjunto Σ não-vazio de s´ımbolos. Uma cadeia (ou palavra) é uma sequência finita de s´ımbolos de Σ. Dada uma cadeia w, ocomprimento de w, denotado por|w|, é a quantidade de s´ımbolos na sequência definida por w.

Umasubcadeia de uma cadeia w=w₁· · ·w_n é uma cadeia da forma w⁰ =w_i· · ·w_i+k, isto é, é uma cadeia formada por um fragmento de s´ımbolos adjacentes da cadeia original.

Independentemente da escolha do alfabeto, existe acadeia vazia, representada por, a qual não possui s´ımbolos (||= 0). A cadeia vazia é, por defini¸cão, subcadeia de qualquer cadeia.

Nesse contexto, Σ⁺representa o conjunto de todas as cadeias não-vazias que podem ser formadas a partir do alfabeto Σ, enquanto Σ^∗ representa o conjunto de todas as cadeias, vazias ou não, que podem ser formadas a partir de Σ, isto é, Σ^∗ = Σ∪ {}. Assim, por exemplo, se Σ ={0,1}, então Σ⁺ é o conjunto de todas as cadeias binárias não-vazias.

Dadas duas cadeias x = x₁· · ·x_m e y = y₁· · ·y_n, define-se a concatena¸c˜ao de x e y porxy=x₁· · ·x_my₁· · ·y_n.

Defini¸cão 2.12. Um subconjunto não-vazio de Σ^∗ é denominado umalinguagem formal (ou simplesmente linguagem) sobre Σ. Dadas linguagens L₁ e L₂ (não necessariamente sobre o mesmo alfabeto), define-se as seguintes opera¸cões:

• Soma: L₁+L₂ ={x:x∈L₁∪L₂}

• Concatena¸c˜ao: L1L2 ={xy :x∈L1, y ∈L2};

• Exponencia¸c˜ao: L₁ⁿ=L₁· · ·L₁

| {z }

n vezes

,∀n∈N (por defini¸c˜ao, L₁⁰ =);

• Fecho de Kleene: L₁^∗ =S

i≥0L₁ⁱ;

• Fecho positivo: L₁⁺=L₁^∗− {}

Exemplo 2.7. Seja Σ1 = {0,1,· · · ,9},Σ2 = {a, b, c, d, e, f}, L1 = {0,1,2} e L2 = {a, b}. Temos:

• L1+L2 ={0,1,2, a, b}

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• L₁L₂ ={0a,0b,1a,1b,2a,2b}

• L³₂ ={aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb}

• L₁^∗ e L₂^∗ s˜ao os conjunto de cadeias de tamanho arbitr´ario formadas, respectivamente, por elementos de {0,1,2} e {a, b}

Outra maneira de definir uma linguagem sem a necessidade de uma listagem exaustiva de suas cadeias ou por meio de uma descri¸cão do conjunto é pelo uso de gramáticas.

Defini¸cão 2.13. Umagramática Gé uma quádruplaG= (S, N,Σ, P), na qual:

• S ∈N ´e o axioma ou s´ımbolo inicial;

• N ´e o conjunto de s´ımbolos n˜ao-terminais;

• Σ ´e o conjunto de s´ımbolos terminais;

• P é o conjunto dasregras de produ¸cão, as quais são fun¸cões do tipoσ(α) = β , onde α ∈(N ∪Σ)^∗N(N ∪Σ)^∗ eβ ∈(N∪Σ)^∗, isto é, são fun¸cões que levam uma cadeia com pelo menos um s´ımbolo não-terminal em uma cadeia de (N ∪Σ)^∗. Geralmente, tais fun¸cões são denotadas simplesmente por α−→β

Dada uma gramática G = (S, N,Σ, P), uma palavra gerada por G é uma cadeia de Σ^∗ que pode ser gerada através de aplica¸cões consecutivas de regras de produ¸cão sobre o s´ımbolo inicial. Mais formalmente, uma cadeia w ∈ Σ^∗ é gerada por G se existem σ₁,· · ·, σ_n ∈P tais que σ_n◦σn−1◦ · · · ◦σ_i(S) =w.

O conjunto das cadeias geradas por uma gramática G é um subconjunto de Σ^∗ e, portanto, uma linguagem sobre Σ^∗. Tal linguagem é denotada porL(G) e é denominada alinguagem gerada por G.

Exemplo 2.8. Seja N = {A, B, S}, Σ = {0,1}, P = {S −→ 0A, A −→ 1B, B −→

0B, B −→0}. Então a linguagem gerada porG= (S, N,Σ, P) éL(G) = {010,0100,01000,· · · }= {010ⁱ :i≥0}. A Figura 2.8 mostra a constru¸cão das cadeias de L(G) esquematicamente

através de aplica¸cões sucessivas das regras de produ¸cão.

As linguagens geradas por uma gramática podem ser classificadas de acordo com sua complexidade através da Hierarquia de Chomsky (Chomsky, 1956), a qual hierarquiza as gramáticas de acordo com as regras de produ¸cão que podem apresentar. Tal classifica¸cão das gramáticas é dada a seguir.

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Figura 2.8: Diagrama exibindo as aplica¸cões sucessivas das regras de substitui¸cão e a forma¸cão da linguagem gerada pela gramática descrita no Exemplo 2.8.

• Tipo 0: não apresenta restri¸cões quanto às regras de produ¸cão. As linguagens definidas por uma gramática do tipo 0 são denominadas linguagens recursivamente enumeráveis;

• Tipo 1: as regras de produ¸cão devem ser da forma αAβ −→ αγβ, com α, β ∈ (N ∪Σ)^∗, γ ∈ (N ∪Σ)⁺ e A ∈ N. Linguagens geradas por gramáticas deste tipo são denominadas linguagens sens´ıveis ao contexto;

• Tipo 2: apresenta regras de produ¸c˜ao na formaA −→α, comA∈N eα∈(N∪Σ)^∗. Tais gram´aticas geram linguagens livres de contexto;

• Tipo 3: suas regras de produ¸cão têm forma A−→a ou A−→aB, com A, B ∈N e a ∈ Σ. As linguagens definidas por este tipo de gramática são denominadas linguagens regulares.

Vale notar que linguagens definidas por gramáticas de certo tipo englobam as linguagens definidas por gramáticas de tipo com ´ındice maior. Assim, por exemplo, linguagens livres de contexto são um tipo particular de linguagens sens´ıveis ao contexto. A linguagem descrita no Exemplo 2.8 é regular, como se nota através da observa¸cão de suas regras de produ¸cão.

No caso das linguagens regulares, é poss´ıvel defin´ı-las ainda através de outro forma- lismo: as expressões regulares.

Defini¸cão 2.14. Dado um alfabeto Σ, então w é uma expressão regular se obedece a uma das seguintes condi¸cões:

1. w=; 2. w∈Σ

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3. w=w₁+w₂ sendo w₁ e w₂ express˜oes regulares;

4. w=w₁w₂ sendo w₁ ew₂ express˜oes regulares;

5. w=w^∗₁ ouw=w⁺₁ sendo w₁ uma express˜ao regular.

O conjunto de cadeias contidas no conjunto descrito por uma expressão regular é uma linguagem regular e para cada linguagem regular existe uma expressão regular que a descreve (Lewis & Papadimitriou, 2008). Assim existe uma equivalência entre expressões regulares e linguagens regulares. A linguagem do Exemplo 2.8 é descrita pela expressão regular 010⁺.

Uma maneira dual de se estudar as linguagens formais é através de seus respectivos reconhecedores, isto é, através de estruturas capazes de classificar cadeias de acordo com sua pertinência ou não a certa linguagem.

A seguir trata-se dos autômatos finitos, que são os reconhecedores das linguagens regulares, as quais têm estreita conexão com o comportamento dinâmico dos ACs em tempo finito, conforme será descrito na Se¸cão 2.3.

2.2.2 Autˆ omatos finitos

Defini¸cão 2.15. Umautômato finito determin´ıstico(AFD) é uma qu´ıntupla (Q,Σ, δ, q₀, F), na qual:

• Q ´e um conjunto n˜ao-vazio de estados;

• Σ ´e um alfabeto;

• δ :Q×Σ−→Qé a fun¸cão de transi¸cão;

• q₀ ∈Q ´e o estado inicial;

• F ⊆Q´e o conjunto dos estados finais ouaceitos.

Geralmente representa-se um AFD através de um grafo orientado com rótulos nas arestas. Convém definir formalmente a no¸cão de grafo e como este pode representar um autômato finito.

Defini¸cão 2.16. Um grafo direcionado rotulado é uma quádupla G = (V, E,Σ, L), na qual:

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Figura 2.9: Representa¸c˜ao gr´afica do grafo do Exemplo 2.9.

• V 6=∅ ´e o conjunto de v´ertices;

• E ⊆V ×V ´e o conjunto de arestas;

• Σ é um conjunto não-vazio de rótulos;

• L:E −→Σ é a fun¸cão que associa um rótulo a cada aresta.

Em geral, os vértices de um grafo são representados graficamente por pontos, enquanto suas arestas são representadas por linhas conectando os vértices e os rótulos são escritos próximos às suas respectivas arestas.

Defini¸cão 2.17. Um caminho em um grafo é uma sequência v₁, v₂,· · · de vértices de maneira que exista uma aresta direcionada dev_i parav_i+1,∀i∈N, isto é, de maneira que (v_i, v_i+1) ∈ E. A cadeia definida por um caminho é a sequência L(v₁, v₂), L(v₂, v₃),· · · dos rótulos relativos às arestas pertencentes ao caminho em questão. Tanto o caminho quanto a cadeia definida por ele podem ser finitos ou não.

Exemplo 2.9. Considere o grafo G= (V, E,Σ, L) com V ={q₁, q₂, q₃},

E ={(q₁, q₃),(q₁, q₂),(q₂, q₃),(q₃, q₃)}, Σ = {0,1} e L(q_i, q_j) = (i+j)mod 2. Sua representa¸c˜ao gr´afica encontra-se na Figura 2.9.

A representa¸cão de um AFD através de um grafo é natural: os estados são representados pelos vértices (sendo que o estado inicial é destacado por uma seta enquanto os estados finais são circulados) e a fun¸cão de transi¸cão é representada através das arestas direcionadas, as quais são rotuladas com o respectivo s´ımbolo do alfabeto.

Mais formalmente, dado um AFD A = (Q,Σ, δ, q₀, F), o grafo G_A = (V_A, E_A,Σ, L_A) que o representa ´e definido da seguinte forma: V_A =Q,E_A=δ(Q×Σ) eL_A(q_i, δ(q_i, x)) = x,∀q_i ∈Q, x∈Σ.