Pode-se definir o principal objetivo do método de elementos finitos (MEF) aplicado a estruturas e sólidos com geometria qualquer como a definição dos estados aproximados de tensão e deformação quando submetido a ações e/ou esforços externo (50), sendo assim, pode- se afirmar que por fornecer um método sistemático de derivação da função a fim de encontrar aproximações das sub-regiões do domínio, o método dos elementos finitos excede as desvantagens dos métodos tradicionais de cálculo (51).
O MEF consiste em 3 etapas básicas de funcionamento, sendo estes estágios responsável por sua superioridade. A primeira etapa consiste na transformação de um domínio geométrico dito como complexo para subdomínios geométricos mais simples, sendo denominados de
elementos finitos (51). O segundo estágio parte do princípio que as funções de aproximação
para cada um dos elementos finitos podem ser derivadas utilizando o conceito de representação de uma combinação linear mais compacta para os polinômios algébricos (51). Por fim, todas as relações algébricas entre os valores nodais, ditos também como coeficientes indeterminados são arranjadas de forma a satisfazer as equações que a regem, sendo assim, o sentido integral se dava para cada elemento existente (51).
Além do mais, podemos destacar que o MEF pode ser considerado como a aplicação do método Rayleigh-Ritz, sendo descrito como apresentado na etapa três, ou seja, existe a relação das funções de aproximação que são consideradas como polinômios algébricos para um número finito de pontos predeterminados (nós), sendo utilizados no limiar das bordas do elemento assim também como no seu interior (51). A figura 2.24 exemplifica esta ideia.
A ferramenta MEF é conhecida também por ser poderosa e versátil, haja vista que pode ser aplicado nos mais variados tipos de problemas, sejam eles estáticos, dinâmicos, térmicos, estruturais, magnéticos, etc. Isto é possível devido a desratização o domínio por meio de uma representação aproximada através de um número conhecido de elementos (52).
O que torna este processo mais simples é a subdivisão do corpo a ser analisado em pontos pequenos e lineares, desta forma, as equações diferenciais podem ser aplicadas e vale dizer que os resultados obtidos via MEF é sempre aproximações do resultado final, contudo, por todas as características apresentadas aqui muitas aproximações podem chegar a resultados muito próximos do resultado final original. A figura 2.25 apresenta este conceito de forma mais didática.
Fig. 2.24 – Representação de como ocorre a subdivisão dos elementos finitos em um corpo; (a) circunferência com um raio R; (b) caracterização de um elemento no limiar da geometria do corpo; (c) introdução das malhas
no elemento podendo ser uniforme quanto a não uniforme a depender da geometria do corpo.
Fonte: Adaptado de (51).
Fig. 2.25 – Representação dos caminhos percorridos para a solução de problemas; (a) métodos analíticos clássicos; (b) métodos complexos que necessitam de um aporte matemático maior.
Fonte: Adaptado de (53).
Como observado na figura 2.24, uma geometria é subdividida em um número finito de elementos interligados por nós, sendo a quantidade de cálculos a serem utilizados para a resolução do problema diretamente proporcional ao número de elementos da malha, ou seja, quanto maior a complexidade do elemento a ser analisado, consequentemente, maior será o número de elementos e nós a serem calculados, impactando diretamente no tempo de processamento de todos estes elementos (54).
Em softwares CAE (Computer Aided Engineerig) como o ANSYS ®, que consiste em um software de análise/simulação computacional que se vale de representação geométrica desenvolvidas em software CAD (Computer Aided Design) para utilizar ferramentas de análise
estruturais estáticas e/ou dinâmicas a fim que se dão por meio de discretização dos elementos (malhas) e pelas condições de contorno a fim de encontrar as soluções aproximadas.
Para a ferramenta de análise estrutural utilizando o MEF, sabe-se que cada um dos objetos são representados como uma mola de rigidez e tamanho conhecidos, assim, a análise computacional se dá como se os elementos fossem uma mola, possibilitando assim as matrizes de carregamento, rigidez e deslocamento e como é conhecido que a rigidez é intrínseca ao material e as características geométricas do corpo (6, 25 e 54), desta forma obtém-se as informações básicas necessárias para a geração da malha e da solução. A figura 2.26 auxiliadas pela equação 2.7 que por sua vez se baseia nas equações 2.1, 2.2 e 2.3 descrevem melhor este processo.
Fig. 2.26 – Analogia entre o MEF e os elementos da malha; (a) semelhanças entre um objeto e uma mola sendo submetidos a esforços no sentido axial; (b) deslocamento e as atuações das forças nas extremidades de uma
mola.
Fonte: Adaptado de (54).
𝐹 = (𝐸 ∗ 𝐴 𝑙0
) ∗ ∆𝑙 ∴ 𝐹 = 𝑘 ∗ 𝑥 (2.7)
Sendo k igual a constante elástica da mola e x igual a deformação da mola.
Realizo todo o processo de discretização do objetivo, o cálculo se dá por meio de uma equação matricial pautada nos vetores e matriz de rigidez para desta forma determinar o deslocamento de cada elemento e/ou nó (54), conforme descreve a equação matricial para 2.8. para dois elementos em série. É importante frisar que os parâmetros de apoio e carga (condições de contorno gerais) são aplicados também aos nós.
( 𝑓0 𝑓1 𝑓2 ) = [ 𝑘1 −𝑘1 0 −𝑘1 𝑘1+ 𝑘2 −𝑘2 0 −𝑘2 𝑘2 ] ∗ ( 𝑈0 𝑈1 𝑈2 ) (2.8)
Prosseguindo, adentramos no conceito da malha, que por sua vez é responsável pelo conjunto de todas as subdivisões do elemento, logo, a efetividade da malha está associada ao grau de refinamento, isto é, o tamanho dos elementos predeterminados. A figura 2.27 apresenta graus de refinamento de acordo com as dimensões do objeto (1D, 2D e 3D). Além disso, existem diversos formatos das divisões das malhas, sendo as mais tradicionais descritas na figura 2.28.
Fig. 2.27 – Discretização de objetos quanto a dimensão; (a) unidimensional; (b) bidimensional; (c) tridimensional.
Fonte: Retirado de (42).
Fig. 2.28 – Discretização de objetos quanto a dimensão; (a) unidimensional; (b) bidimensional; (c) tridimensional.