Métodos de solução de Modelos Lineares

Vários métodos para a estimação dos componentes de variância estão disponíveis atualmente, entre eles estão os métodos ANOVA (FISHER, 1928) e os métodos 1, 2 e 3 de Henderson (1953). O primeiro é apropriado para a utilização com modelos balanceados, enquanto que os outros três se aplicam, respectivamente, a modelos aleatórios, a modelos mistos sem interações e/ou hierarquizações entre efeitos fixos e aleatórios, e a mistos ou aleatórios (VALÉRIO FILHO, 1991).

Rao (1970), propôs o método geral chamado estimação quadrática de norma mínima (MINQE), que se desdobrou em vários métodos, dentre os quais se destacam o estimador quadrático não viesado de norma mínima (MINQUE) e o estimador quadrático não viesado de variância mínima (MIVQUE). Nestes métodos, propriedades como não tendencionsidade, unicidade, invariância à translação e norma ou variância mínima, podem ser incorporadas em um estimador de componente de variância (DUARTE, 2000).

Westfall (1987) trata de análise de componentes de variância de amostras grandes para dados não balanceados quando os pressupostos sobre as distribuições não são necessariamente normais. Alguns casos especiais do MINQUE, são MINQUE(0), MINQUE(1), MINQUE(∞) e MIVQUE, que são definidos através da atribuição a priori da razão entre a variância da variável aleatória e a variância do erro a 0, 1, infinito e à razão atual da variância, respectivamente. Como a razão da variância normalmente é desconhecida a priori, a estimativa pelo MIVQUE não pode ser computada para dados não balanceados (com dados balanceados, MIVQUE e ANOVA são correspondentes) (WESTFALL, 1987). Neste verifica-se que a estimativa através do MIVQUE apresenta a mínima variância interna da classe quando se compara com outros estimadores quadráticos não viesados sob normalidade, mas demonstra que outros estimadores podem ser mais eficientes em situações de não normalidade. O ganho potencial em eficiência é freqüentemente é menor quando comparado com a potencial perda de eficiência relacionada com o MIVQUE. Dos resultados demonstra-se que os estimadores REML e ML, cujas

derivações dependem dos pressupostos de que os dados seguem distribuições multivariadas normais, são boas escolhas em algumas situações de não normalidade. A análise da variância de amostras grandes demonstra que certas comparações são invariantes quanto às distribuições apresentadas. Por exemplo, a eficiência da ANOVA em relação ao MIVQUE quanto as variâncias entre classes torna-se independente dos parâmetros de curtose quando se estuda valores extremos (WESTFALL, 1987). O MINQUE e o MIVQUE podem produzir estimadores diferentes para o mesmo conjunto de dados, estimadores estes que podem ser negativos e viesados.

Outra abordagem é o de máxima verossimilhança (ML) (HARTLEY; RAO, 1967). Um método derivado deste é o da máxima verossimilhança marginal (MML) que se tornou mais conhecido como máxima verossimilhança restrita ou residual (REML). Estes estimadores, apesar de utilizar abordagens diferentes dos métodos anteriores, demonstra-se que os estimadores ML e REML podem ser exibidos como versões interativas dos MINQE´s (RAO; KLEFFE, 1988).

A escolha do melhor método de estimação de componentes de variância, é um dos desafios do pesquisador, uma vez que eles se baseiam em diferentes pressupostos e seus resultados nem sempre coincidem, podendo variar bastante entre si (KELLY; MATHEW, 1994), principalmente para conjuntos de dados desbalanceados e para modelos mistos, uma vez que suas propriedades estatísticas não se mantêm válidas para todos os parâmetros que se pretende estimar (DUARTE, 2000). Os estimadores ANOVA são não viesados, de variância mínima e invariantes à translação quando os dados são balanceados, porém sob a condição de não balanceamento, a propriedade de variância mínima não se mantém (SEARLE, 1971). Os métodos ML e REML têm seus algoritmos de solução construídos sobre a pressuposição de normalidade dos dados. O MIVQUE exige a atribuição a priori de pesos correspondentes às razões entre os componentes individuais e o componente do erro e como não dispõe desta informação a priori, os estimadores MIVQUE geralmente não são de variância mínima (SWALLOW; MONAHAN, 1984). Um caso particular denominado MIVQUE(0), os pesos dos componentes individuais são assumidos com valor zero e o componente do erro é assumido com valor igual a um,

fazendo com que a variância mínima seja garantida apenas quando os verdadeiros componentes associados aos efeitos aleatórios, com exceção do erro, forem nulos.

Vários trabalhos têm procurado avaliar a eficiência dos diversos métodos de estimativa de componentes de variância, entre eles pode-se citar o trabalho realizado por Swallow e Searle (1978) que verificou a variância do estimador MIVQUE foi de mínimo local para dados não balanceados, ou seja, somente quando os valores da estimativa da razão entre os componentes de variância e do erro foram assumidos a priori próximos aos valores reais é que este estimador produziu estimativas corretas. Swallow e Monahan (1984) compararam os métodos ANOVA, ML, REML, MIVQUE(A) e MIVQUE(0) utilizando um modelo aleatório em classificação simples e chegaram a conclusão que o modelo ANOVA é adequado quando a razão entre a variância da variável aleatória e a variância do erro é menor ou igual a um, que o modelo ML foi melhor quando esta razão foi menor que meio e que o modelo MIVQUE(0) apresentou o pior desempenho de todos sob as condições testadas. Santana et al. (2002) testaram os métodos ANOVA, ML, REML e MIVQUE(0) em um modelo aleatório de classificação simples, por simulação, utilizando dados gerados sob a condição de diversos valores da razão entre a variância da variável aleatória e a variância do erro, em modelos não balanceados, recomendando a utilização do estimador ML quando a razão for de 0,05 e do estimador REML quando a ração for superior a 0,25, sendo que o MIVQUE(0) se mostrou como o método menos eficaz.

Apesar dos problemas apresentados pelos estimadores, tais problemas não se mantêm sob todas as condições, havendo situações especiais em que um método é superior a outros, cabendo ao pesquisador a tarefa de identificar estas situações e com base nela escolher o método mais adequado (DUARTE, 2000).