Ao estudar uma função contínua qualquer, o sinal que a representa é formado por in nitos pontos, o que torna mais complexo o trabalho com a mesma. A partir disto, pen- sando na sua simpli cação, discretiza-se esta função para trabalhar com um determinado número de dados, extraídos em um dado intervalo de tempo.
Muitos são os métodos de discretização que podem ser utilizados para a realização de tal tarefa. Dentre eles, pode ser citada a aplicação da transformada Z, método no qual muitas vezes não considera particularidades do processo de discretização. Entretanto, alguns métodos são mais simples e rápidos, exigindo menores, tempo computacional e algoritmos.
Utilizando a teoria de Identi cação de Sistemas, que trabalha com um conjunto de da- dos, como citado anteriormente, e buscando um modelo matemático que melhor representa a relação de causa-efeito contida neste conjunto para modelar um sistema, encontram-se modelos dados no domínio do tempo discreto. Utilizando discretizadores, pode-se con- verter estes modelos de tempo discreto para o tempo contínuo. Ou seja, os métodos de discretização são utilizados tanto para transformar um modelo do domínio do tempo con- tínuo para o domínio do tempo discreto, como também para o inverso, trazer um modelo do domínio do tempo discreto para o domínio do tempo contínuo.
3.9.1 Transformada Z do sinal discretizado
Em sistemas contínuos utiliza-se a transformada de Laplace para apresentar a relação entre os sinais de entrada e saída. Isto ocorre através da função de transferência contínua, a qual relaciona, as transformadas de Laplace do sinal de entrada e do sinal de saída. Pode-se representar esta relação entre entrada e saída no domínio do tempo discreto, porém neste caso utiliza-se a transformada Z destes sinais [26].
A transformada Z de um sinal discreto é dada por [8,26] F (Z) = Z[fk] =
∞
X
k=0
fkz−k, (3.17)
onde: F (Z) = Z[fk] é a transformada Z da função fk; fk é a função a ser discretizada.
A Transformada Z apresenta algumas propriedades, ou seja, H(z) responde ao impulso da mesma forma que H(s); se H(s) é estável, H(z) também é estável.
Capítulo 3. Identi cação de Sistemas 38 Durante o processo de discretização não são considerados elementos introduzidos no sistema.
3.9.2 Transformação bilinear, de Tustin ou Trapezoidal.
Sendo considerado um sistema dinâmico representado por [8,26] U (s)
E(s) = H(s) = a
s + a (3.18)
e sua equação diferencial associada dada por du(t)
dt + au(t) = ae(t) (3.19)
esta equação pode ser resolvida através de integral u(t) =
Z t 0
[−au(τ ) + ae(τ )]d(τ ) (3.20)
que pode ser discretizada, gerando
u(kT ) = Z kT −T 0 [−au(τ ) + ae(τ )]d(τ ) + Z kT kT −T [−au(τ ) + ae(τ )]d(τ ) (3.21) portanto u(kT ) = u(kT − T ) + Z kT kT −T [−au(τ ) + ae(τ )]d(τ ). (3.22) A integral RkT
kT −T [−au(τ ) + ae(τ )]d(τ ), pela de nição de integral, é dada pela área de
−au(τ ) + ae(τ ), no intervalo de (kT − T ) < τ < kT . O cálculo desta área pode ser aproximado através de retângulos, pelos métodos das diferenças Backward, o qual forma o retângulo a partir da parte externa da curva, ou Forward, que forma o retângulo a partir da parte interna da curva. Se a aproximação for feita através de trapézios, tem-se a aproximação Trapezoidal ou de Tustin, cobrindo a curva externamente na largura do intervalo determinado.
Pode-se representar a aproximação Trapezoidal ou de Tustin pela seguinte equação u[kT ] = 1 − ( aT 2 ) 1 + (aT2 )u[kT − T ] + aT 2 1 + (aT2 )[e[kT − T ] + e[kT ]]. (3.23) De onde se obtém a seguinte relação
Capítulo 3. Identi cação de Sistemas 39
Figura 3.7: Interpretação grá ca dos métodos das diferenças Backward e Forward [8].
Figura 3.8: Interpretação grá ca do método das diferenças Tustin [8].
H(z) = 2(z−1)a
T (z+1)+ a
(3.24) ou seja, para que D(z) = D(s), s = 2(z−1)
T (z+1)
Assim, se D(s) é estável, D(z) também será.
3.9.3 Método das diferenças: Backward Dierence
Seja D(s) = U (s)
E(s) , os termos em s são escritos na forma de equação a diferenças [8],
ou seja, dy(t) dt = y[k] − y[k − 1] δt = y[kT ] − y[kT − T ] T . (3.25)
Aplicando a transformada Z, temos Y (z) − z−1Y (z)
T = [
1 − z−1
T ]Y (z). (3.26)
Sendo assim, para que D(z) = D(s), s = 1−z−1
T . Assim, se D(s) é estável, D(z)
Capítulo 3. Identi cação de Sistemas 40
3.9.4 Método das diferenças: Forward Dierence
Seja D(s) = U (s)
E(s) , os termos em s serão escritos na forma de equação a diferenças [8],
ou seja, dy(t) dt = y[k + 1] − y[k] δt = y[kT + T ] − y[kT ] T . (3.27)
Aplicando a transformada Z, temos Y (z)z − Y (z)
T = [
z − 1
T ]Y (z). (3.28)
Sendo assim, para que D(z) = D(s), s = z−1
T . Assim, se D(s) é estável, D(z) também
será.
Os discretizadores Método de Tustin e Métodos das diferenças por Backward e Forward, são utilizados para conversão das estruturas de modelo que se apresentarem mais acura- das na modelagem do tempo de vida de baterias, do domínio do tempo discreto para o domínio do tempo contínuo. No próximo capítulo é apresentada a modelagem matemática através da teoria de Identi cação de Sistemas desenvolvida neste trabalho, assim como a metodologia para obtenção dos dados experimentais, a estimação de parâmetros, a vali- dação dos modelos e a identi cação da melhor estrutura de modelo em tempo discreto e a sua conversão para tempo contínuo.
Capítulo 4
Modelagem Matemática
4.1 Introdução
Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento de modelos matemáticos para a pre- dição do tempo de vida de baterias utilizando a teoria de Identi cação de Sistemas. Primeiramente é obtido um modelo matemático em tempo discreto seguindo as etapas apresentadas no Capítulo 3, Seção 3.5. Em um segundo momento é realizada a conversão deste modelo para tempo contínuo.
O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 4.2 é descrito como são obtidos os dados experimentais usados no desenvolvimento dos modelos. Na Seção 4.3 é apresentada a justi cativa para a escolha da estrutura dos modelos utilizados nesta pesquisa, ou seja, os modelos paramétricos lineares. Na Seção 4.4 é abordado o procedi- mento de estimação de parâmetros dos modelos, assim como e realizada a apresentação dos modelos no domínio de tempo discreto. Na Seção 4.5 é apresentada a validação dos modelos. Na Seção 4.6 é identi cada a estrutura de modelo em tempo discreto, com me- lhor acurácia, que descreve o tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis. Na Seção 4.7 é apresentado o processo de conversão do modelo obtido em tempo discreto, modelo AR para tempo contínuo considerando métodos de discretização. Na Seção 4.8 é realizada uma análise comparativa entre os modelos AR obtidos em tempo contínuo.