Modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando modelos autorregressivos

Modelagem Matemática do Tempo de Vida de

Baterias utilizando modelos Autorregressivos

Marlon Vinícius Machado

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - Unijuí - como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.

Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientador(a)

Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Co-Orientador

Ijuí, RS, Brasil c

Modelagem Matemática do Tempo de Vida de

Baterias utilizando modelos Autorregressivos

Marlon Vinícius Machado

Dissertação de Mestrado apresentada em Abril, 2014

Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientador(a)

Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Co-Orientador

Fabricia Roos Frantz, Dsc. Componente da Banca Adriana Soares Pereira, Dsc.

Componente da Banca

Ijuí, RS, Brasil, Abril, 2014

... "Tenho andado distraído" "Impaciente e indeciso" "E ainda estou confuso" "Só que agora é diferente" "Estou tão tranquilo" "E tão contente" ... "Quantas chances desperdicei" "Quando o que eu mais queria" "Era provar pra todo o mundo" "Que eu não precisava" "Provar nada pra ninguém" ... Renato Russo - Quase Sem Querer.

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, pois Ele me concedeu a vida e me guiou até onde cheguei.

Aos meus pais, Paulo e Odete, pelo amor, pelo carinho, pela educação, pelo incentivo, pelo apoio e pela conança que sempre tiveram.

Aos demais familiares, pelo incentivo e carinho.

À Taíne, Taciani, Júnior, Luiz Alberto e Rosimeri, minha família de Ijuí, pelo carinho, incentivo, apoio, ajuda, compreensão e amizade, nos momentos em que passamos juntos. À Ana Júlia, pelo imenso apoio, carinho e ajuda com os ensaios da apresentação da defesa, principalmente nos dias que antecederam a mesma.

Aos meus professores orientadores, Airam e Paulo, pelos ensinamentos, conselhos e pela paciência que sempre tiveram para comigo.

Aos demais professores do Mestrado, em especial ao professor Manolo, pelos ensina-mentos, discussões, apoio, ajudas e amizade.

Aos amigos e colegas das turmas 2011, 2012 e 2013 pelo companheirismo, pelas con-versas, discussões, pelos momentos de descontração e pela amizade. Em especial, aos grandes amigos Cícero e Leugim, que me ajudaram muito no desenvolvimento do meu trabalho, e aos grandes amigos Saul, Igor, Rodolfo, Rodrigo, Marcelo Tresseno, Emerson, Alberto, Marcelo Trindade e Leonardo que foram como irmãos para mim.

À Sra. Geni, pela atenção, disposição e carinho que sempre teve para comigo. À UNIJUÍ, pela estrutura física e pela bolsa oferecida.

Ao SINPRO, pela bolsa de auxílio nanceiro.

Resumo

Atualmente, o uso de dispositivos móveis tem aumentado signicativamente devido a mobilidade, obtida com o auxílio de uma fonte de energia denominada bateria, e a facilidade ao acesso a rede sem o, proporcionada por estes aparelhos. Conhecer o tempo pelo qual a bateria consegue manter o dispositivo em funcionamento, ou seja, seu tempo de vida, tem sido de fundamental importância no desenvolvimento de dispositivos móveis. Sendo assim, conhecer algum método capaz de predizer este tempo de vida da bateria se torna muito importante. Com isto, neste estudo busca-se obter um modelo matemático que realiza a predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, a partir da aplicação da teoria de Identicação de Sistemas. Esta modelagem é realizada através de dados experimentais obtidos de uma plataforma de teste, considerando baterias do tipo Lítio-Íon, da marca Nokia, modelo BL-5F, presente em telefones celulares Nokia, modelo N95. A implementação dos modelos foi realizada na ferramenta computacional MatLab, com o auxílio da caixa de ferramentas denominada Ident. O modelo obtido pelo estudo, como o mais acurado, pertence a família de modelos paramétricos lineares, sendo do tipo AutorRegressivo (AR) no domínio de tempo discreto. Este modelo tamém foi convertido para o domínio de tempo contínuo, sendo seu melhor resultado obtido pelo discretizador Tustin. Por m, os modelos AR em tempo discreto e tempo contínuo foram comparados ao modelo analítico de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula, considerado na literatura técnica como o modelo analítico mais acurado. O modelo AR em tempo discreto apresentou-se o mais acurado com um erro médio de 0, 72%.

Palavras-Chave: Tempo de vida de baterias; Teoria da Identicação de Sistemas; Modelos Autorregressivos

Abstract

Currently, the use of mobile devices has increased signicantly due to mobility obtained with the aid of an energy source called battery, and easy access to wireless network, provided by these devices. Knowing the time at which the battery can keep the device in operation, i.e., its lifetime, has been of fundamental importance in the development of these devices. Thus, to know some method capable of predicting this time of battery life becomes very important. With this, in this study we seek to build a model that performs the prediction of the lifetime of batteries used in mobile devices, using the Theory of System Identication. This modeling is performed using experimental data obtained from a test platform that collects data from discharge of a battery. The battery used for data collection was the type Lithium-Ion battery, the Nokia brand, model BL-5F, present in mobile phones Nokia N95 model. The implementation of the models was performed in software MatLab with the help of the tool box called Ident. The model obtained from the study, as the most accurate, belongs to the family of linear parametric models, being the type Auto-Regressive (AR) and given in discrete time domain. This model was further converted to discrete-time domain for continuous time domain, with their best result obtained by discretizador Tustin. Finally, the AR models in discrete and continuous time were compared to the analytical model of diusion Rakhmatov-Vrudhula considered in the technical literature as the most accurate analytical model. The AR model in discrete time presented the most accurate with an average error of 0, 72%.

Keywords: Battery Life-Time; System Identication Theory; Auto-Regressive Mo-dels.

Lista de Símbolos

M - número de unidades de carga

w - comprimento do eletrólito da bateria

N + 1 - estados da Cadeia de Markov

N - número de unidades de carga disponíveis

a1 - probabilidade de uma unidade de carga ser consumida

a0 - probabilidade de recuperação de uma unidade de carga

qi - probabilidade de i unidades de carga serem solicitadas

T - número de unidades de carga

f - função do número de unidades de carga que foram consumidas

pj(f ) - probabilidade de recuperação de unidades de carga

rj(f ) - probabilidade de permanecer no mesmo estado

j - nível da discretização da fonte de carga limitada

G - ganho obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante

m - número médio de pacotes transmitidos

i - nível da discretização da fonte de carga disponível

t - duração da corrente inativa

C - capacidade da bateria

C0 - capacidade da bateria no início da operação do modelo analítico Linear

I - corrente constante de descarga

td - tempo de duração da corrente de descarga do modelo analítico Linear

L - tempo de vida da bateria

a - parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria

b - parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria

k - parâmetro relacionado ao tipo de bateria do modelo analítico Cinético

h1 - altura da fonte de carga disponível do modelo analítico Cinético

h2 - altura da fonte de carga limitada do modelo analítico Cinético

y1 - quantidade de carga da fonte disponível

y2 - quantidade de carga da fonte limitada

i(t) - corrente de descarga

y1(0) - quantidade de carga disponível em t = 0

y2(0) - quantidade de carga limitada em t = 0

α- parâmetro que representa a capacidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula

β - parâmetro que representa a não-linearidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula

c- fração da capacidade da bateria

y(t) - série de saída ou dados experimentais de saída

u(t) - série de entrada ou dados experimentais de entrada

A(q), B(q), C(q), D(q) e F (q) - Polinômios arbitrários

v(k)- ruído branco

a1, ..., an - parâmetros

b1, ..., bn - parâmetros

Q - quantidade de unidades de carga

pr - probabilidade de recuperação de Q unidades de carga

pnr - probabilidade de não ocorrer a recuperação

e(k)- erro do modelo

q−n - operador de atraso, tal que y(k)q−1 = y(k − 1), onde n = 1, 2, 3, ...

H(q) - Função de Transferência do sistema

C(x, t)- função concentração de espécies eletroativas do modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula

J (x, t) - uxo de espécies eletroativas

D - constante de difusão

v - número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica

F - constante de Faraday

A - área da superfície do eletrodo

ρ(t) - fração de decaimento da concentração de espécies elétroativas

U (t) - função degrau

c1, ..., cn - parâmetros

d1, ..., dn - parâmetros

f1, ..., fn - parâmetros

ny, nu, nc, nd, nf - ordem dos polinômios

p, d, q, r - ordem dos modelos

Vcell - tensão terminal

V oc[Soc(t)]- tensão de circuito aberto

icell(t) - corrente de descarga

Vtransiente - tensão transiente

SOC(t)- estado de carga da bateria

Cavailable(t)- capacidade disponível da bateria

Cmax - capacidade máxima da bateria

SOCinitial - estado de carga da bateria estimado antes do tempo inicial

t0 - tempo inicial

Cunavailable(t)- capacidade perdida da bateria

Rseries - resistência em Série

s(t) - função de transferência

M (q) - função de transferência do sistema

N (q) - função de transferência do sistema

G(q) - função de transferência do sistema

E(q) - função de transferência do sistema

V (q) - função de transferência do sistema

W (q) - função de transferência do sistema

Z - domínio de tempo discreto

fk - função a ser discretizada

F (Z), Z[fk] - transformada Z da função fk

H(z)- função de transferência no domínio Z

H(s) - função de transferência no domínio de Laplace

U (s)- função de transferência no domínio de Laplace

E(s) - função de transferência no domínio de Laplace

ζ - vetor que contém os parâmetros do modelo

θ - parâmetros do modelo

W - vetor de entradas e saídas medidas experimentalmente

Nmax - é o número de dados experimentais

y(t|ζ) - são as saídas calculadas a partir do modelo que contém os parâmetros que se deseja estimar

F IT - Função para o cálculo do erro do modelo

yh - vetor das saídas simuladas pelo modelo

ye - vetor das saídas obtidas experimentalmente para validação do modelo

ym - média amostral dos dados simulados

T Vem - resultados obtidos pela plataforma de testes

T VC - resultados obtidos pelos modelos

C1, C2eC2 - constantes da EDO

T s - Intervalo de Amostragem

WNmax - conjunto das entradas e saídas ao longo de um intervalo de tempo, onde

1 ≤ t ≤ Nmax

Lista de Tabelas

4.1 Dados utilizados para estimação dos parâmetros das estruturas de modelos. 43

4.2 Dados utilizados para validação dos modelos. . . 44

4.3 Resultados da análise de ordem para o modelo ARX. . . 47

4.4 Resultados da análise de ordem para o modelo ARMAX. . . 48

4.5 Resultados da análise de ordem para o modelo ES. . . 50

4.6 Resultados da análise de ordem para o modelo BJ. . . 51

4.7 Resultados da análise de ordem para o modelo AR. . . 52

4.8 Resultados dos modelos . . . 54

4.9 Resultados dos modelos AR para os discretizadores Tustin e Forward . . . 59

5.1 Parâmetros do modelo RV. . . 64

5.2 Validação do modelo RV. . . 64

5.3 Análise comparativa entre os modelos AR e o modelo RV . . . 64

Lista de Figuras

2.1 Esquema de uma célula eletroquímica, [1]. . . 11

2.2 Diferentes estados de operação da bateria, [2,3]. . . 13

2.3 Proposta do modelo híbrido [5]. . . 19

2.4 Modelo cinético com distribuição em duas fontes, [6]. . . 20

3.1 Classicação dos modelos paramétricos lineares de acordo com a ordem . . 29

3.2 Diagrama de blocos do modelo AR. . . 30

3.3 Diagrama de blocos do modelo ARX [7]. . . 31

3.4 Diagrama de blocos do modelo ARMAX [7]. . . 32

3.5 Diagrama de blocos do modelo ES [7]. . . 33

3.6 Diagrama esquemático do modelo BJ [7]. . . 34

3.7 Interpretação gráca dos métodos das diferenças Backward e Forward [8]. . 39

3.8 Interpretação gráca do método das diferenças Tustin [8]. . . 39

4.1 Plataforma de testes. . . 42

4.2 Interface de gerenciamento da plataforma de testes. . . 43

4.3 Caixa de ferramentas Ident. . . 46

4.4 Validação das estruturas de modelo identicadas. . . 53

4.5 Comparação das Estruturas de Modelo AR em domínio contínuo. . . 60

5.1 Comparação entre os modelos AR e RV. . . 65

Sumário

1 Apresentação da Dissertação 5 1.1 Introdução . . . 5 1.2 Motivação . . . 7 1.3 Objetivos . . . 7 1.3.1 Objetivo Geral . . . 7 1.3.2 Objetivos Especícos . . . 7 1.4 Contribuições . . . 8 1.5 Estrutura do Documento . . . 9 2 Revisão Bibliográca 10 2.1 Introdução . . . 10 2.2 Baterias . . . 10 2.2.1 Composição da Bateria . . . 10

2.2.2 Caracterísiticas e Efeitos Não Lineares . . . 11

2.3 Tipos de Baterias . . . 12

2.3.1 Lítio-Íon e Lítio-Íon Polímero . . . 13

2.3.2 Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) . . . 14

2.3.3 Níquel-Cádmio (Ni-Cd) . . . 14

2.3.4 Alcalina Recarregável . . . 15

2.4 Modelos Matemáticos de Baterias . . . 15

2.4.1 Modelos Eletroquímicos . . . 15

2.4.2 Modelos Elétricos . . . 15

2.4.3 Modelos Estocásticos . . . 16

2.4.4 Modelos Híbridos . . . 18

2.4.5 Modelos Analíticos . . . 19

2.4.6 Modelos Via Teoria da Identicação de Sistemas . . . 22

3 Identicação de Sistemas 25 3.1 Introdução . . . 25

Sumário 3

3.2 Trabalhando com Dados . . . 25

3.3 Modelagem Matemática a partir da Teoria da Identicação de Sistemas . . 26

3.4 Modelos Paramétricos Lineares da Identicação de Sistemas . . . 28

3.4.1 Modelo Autorregressivo . . . 29

3.4.2 Modelo Autorregressivo com Entradas Externas . . . 30

3.4.3 Modelo Autorregressivo com Médias Móveis e Entradas Externas . 31 3.4.4 Modelo Erro de Saída . . . 32

3.4.5 Modelo Box-Jenkins . . . 33

3.5 Etapas da Identicação de Sistemas . . . 33

3.6 Critérios de escolha das estruturas de modelo . . . 34

3.7 Estimação de Parâmetros . . . 35

3.8 Validação do Modelo Matemático . . . 36

3.9 Métodos de Discretização . . . 37

3.9.1 Transformada Z do sinal discretizado . . . 37

3.9.2 Transformação bilinear, de Tustin ou Trapezoidal. . . 38

3.9.3 Método das diferenças: Backward Dierence . . . 39

3.9.4 Método das diferenças: Forward Dierence . . . 40

4 Modelagem Matemática 41 4.1 Introdução . . . 41

4.2 Obtenção dos Dados Experimentais . . . 41

4.3 Escolha das Estruturas de Modelos . . . 44

4.4 Estimação dos parâmetros e apresentação dos modelos no domínio discreto 45 4.4.1 Caixa de Ferramenta Ident do MatLab . . . 45

4.4.2 Modelo Auto Regressivo com Entradas Externas . . . 47

4.4.3 Modelo Autorregressivo com Médias Móveis e Entradas Externas . 48 4.4.4 Modelo Erro na Saída . . . 49

4.4.5 Modelo BJ . . . 50

4.4.6 Modelo Autorregressivo . . . 52

4.5 Validação dos Modelos . . . 53

4.6 Identicação das Estruturas de Melhor Acurácia . . . 54

4.7 Metodologias de Conversão do Modelo AR do Domínio de Tempo Discreto para Contínuo . . . 54

4.7.1 Conversão do modelo AR: Tustin e primeira metodologia . . . 55

4.7.2 Conversão do modelo AR: Forward e primeira metodologia . . . 56

4.7.3 Conversão do Modelo AR: Backward e primeira metodologia . . . . 57

4.7.4 Conversão do Modelo AR: Forward e segunda metodologia . . . 57 4.7.5 Conversão do Modelo AR: Tustin, Backward e segunda metodologia 59

Sumário 4

4.8 Análise Comparativa dos Modelos em Tempo Contínuo . . . 59

5 Análise Comparativa entre os modelos AR e o modelo RV 61 5.1 Introdução . . . 61

5.2 Equações do modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula . . . 61

5.3 Validação do Modelo RV . . . 63

5.4 Análise Comparativa entre os Modelos . . . 64

6 Conclusões e Trabalhos Futuros 66 Referências Bibliogracas 69 A Publicações Relacionadas a Dissertação 72 A.1 Artigos Publicados em Congressos . . . 72

Capítulo 1

Apresentação da Dissertação

1.1 Introdução

Nos últimos anos, é visível o aumento na comercialização de dispositivos móveis. Den-tre estes podem ser citados notebooks, tablets, smartphones, enDen-tre outros. Isto se dá devida a mobilidade proporcionada por estes dispositivos, que não precisam estar o tempo todo conectados a uma fonte externa de energia para que permaneçam em funcionamento pois, possuem uma fonte própria, a bateria. E, também, devido à facilidade ao acesso à rede sem o.

Com o crescente desenvolvimento tecnológico, o mercado consumidor está se tornando cada vez mais exigente. A indústria se preocupa em produzir dispositivos cada vez mais modernos buscando realizar melhorias no design, na funcionalidade e no tempo pelo qual a bateria consegue manter o dispositivo móvel em funcionamento, ao qual denomina-se tempo de vida da bateria.

Estas melhorias, tanto no design, quanto na funcionalidade dos dispositivos tem in-uência direta no tempo de vida da bateria, pois quanto mais funções forem realizadas pelo dispositivo, mais carga será drenada da bateria reduzindo o seu tempo de vida. Pen-sando nisto, e buscando baterias com um maior tempo de duração de carga, é importante aprimorar os métodos para a predição do tempo de vida de baterias a m de auxiliar os projetistas de dispositivos móveis na construção de aparelhos cada vez mais modernos, de menor peso e tamanho.

Na literatura técnica são apresentadas várias maneiras de realizar a predição do tempo de vida de baterias, entre elas a experimentação física. Este método consiste em analisar o tempo de vida de uma bateria para cada função do dispositivo móvel, através de expe-rimentos físicos. Isto faz com que, dependendo das características do sistema estudado, este método se torne exaustivo e inviável do ponto de vista econômico.

Outra maneira é fazer uso da modelagem matemática para representar a descarga de 5

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6 energia do aparelho. Diversos modelos matemáticos, com esta nalidade, são apresentados na literatura, dentre estes podem ser citados: os eletroquímicos [1, 9], os elétricos [1, 4], os estocásticos [1, 10], os híbridos [5], os analíticos [1, 6, 11] e os modelos via teoria da Identicação de Sistemas [12], cada um destes com suas características e níveis de complexidade.

Na literatura técnica são apresentadas duas formas de modelagem matemática de sistemas dinâmicos, a modelagem fundamentada na física do processo e a modelagem através da utilização da teoria de Identicação de Sistemas. Na modelagem pela física do processo, quanto maior é a proximidade do modelo com o real, mais complexo o mesmo se tornará, o que signica uma maior quantidade de parâmetros e consequentemente uma maior diculdade, tanto na obtenção de dados a partir do modelo, quanto na interpretação destes dados. A utilização da teoria de Identicação de Sistemas, aparece como uma alternativa para minimizar os problemas gerados a partir da modelagem pela física do processo. Esta teoria permite encontrar modelos matemáticos mais simples utilizando dados obtidos de um sistema real, ou de uma plataforma de testes.

Considerando a modelagem física, na literatura técnica, os modelos analíticos, são apresentados como mais simples se comparados aos outros modelos. Isto se justica devido aos modelos analíticos apresentarem um conjunto reduzido de equações e por serem mais fáceis de implementar, pois necessitam de um número menor de parâmetros. O modelo analítico de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula, denominado neste trabalho de modelo RV, é apresentado pela literatura técnica como um dos modelos analíticos mais acurados [2,11,13]. Este modelo representa o processo de descarga de uma bateria, a partir de um conjunto de Equações Diferencias Parciais (EDPs), com condições de contorno de segunda espécie, e possui dois parâmetros empíricos, o α, que representa a capacidade, e o β, que representa uma não linearidade da bateria, ambos devem ser estimados a partir de dados reais de um processo de descarga.

Na modelagem através da teoria de Identicação de Sistemas, os modelos paramétricos lineares são apresentados como os modelos mais simples, pois são de fácil compreensão e implementação computacional, além de apresentarem menor número de parâmetros a serem estimados, se comparados com os demais modelos desta teoria [7]. Dentre os modelos paramétricos lineares, o modelo mais acurado na predição do tempo de vida de baterias é o modelo AutoRregressivo com entradas eXternas (Auto-Regressive eXogenous input - ARX ) [12]. Estudos apresentados por Romio [12] mostram que este modelo quando comparado com dados experimentais apresenta um erro médio de 3, 39% em domínio do tempo discreto e, posteriormente, sendo convertido para o domínio contínuo, através do uso de discretizadores, apresenta um erro médio de 7, 39%.

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 Romio [12], realizando a modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias, no tempo discreto e sua conversão para tempo contínuo, utilizando novas estruturas de modelos paramétricos lineares da teoria de Identicação de Sistemas. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 1.2 é apresentada a motivação. Na Seção 1.3 são apresentados os objetivos geral e especícos. Na Seção 1.4 são apresentadas as contribuições. Na Seção 1.5 é apresentada a organização deste documento.

1.2 Motivação

A mobilidade e a facilidade ao acesso à rede sem o, proporcionados pelos dispositivos móveis, aumentou signicativamente sua comercialização. Atualmente, estes dispositivos estão sendo utilizados para as mais diversas atividades do cotidiano da sociedade, como por exemplo, comunicação entre as pessoas, atividades prossionais, diversão e lazer.

Este aumento na comercialização, exige da indústria, dispositivos mais modernos, com melhor design, maior funcionalidade e tempo de vida. Sendo assim, a motivação deste tra-balho está em colaborar com a indústria no aprimoramento destes dispositivos, buscando encontrar um modelo matemático de boa acurácia, de fácil compreensão e implementação computacional e que realize a predição do tempo de vida de baterias de forma simples e rápida.

1.3 Objetivos

Nesta seção são apresentados o objetivo geral, que direciona o desenvolvimento deste estudo, e os objetivos especícos, elencados para maior facilidade na realização do objetivo geral.

1.3.1 Objetivo Geral

Este trabalho tem como objetivo geral a modelagem matemática no tempo discreto da predição do tempo de vida de baterias utilizando novas estruturas paramétricas lineares da teoria da Identicação de Sistemas e a conversão dos modelos mais acurados para tempo contínuo, através de discretizadores.

1.3.2 Objetivos Especícos

Para atingir o objetivo geral, os seguintes objetivos especícos são elencados:

• Realizar uma revisão bibliográca sobre baterias e modelos matemáticos utilizados para representar a descarga de energia dos dispositivos móveis;

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8 • Realizar uma revisão bibliográca das estruturas de modelos matemáticos presentes

na teoria da Identicação de Sistemas;

• Obter os dados experimentais do sistema a ser modelado a partir de uma plataforma de testes;

• Implementar computacionalmente, as estruturas de modelos escolhidas (i.e., mo-delos paramétricos lineares), utilizando a ferramenta computacional MatLab e um conjunto de dados experimentais;

• Validar os modelos implementados, a partir da comparação dos dados simulados pelo modelo, com os dados experimentais;

• Identicar o modelo paramétrico linear mais acurado em tempo discreto;

• Converter o modelo paramétrico linear mais acurado para tempo contínuo através do uso de discretizadores;

• Comparar os resultados obtidos a partir da modelagem matemática via teoria de Identicação de Sistemas, com o modelo analítico mais acurado apresentado pela literatura técnica, ou seja, o modelo RV.

1.4 Contribuições

Como contribuições para a realização da predição do tempo de vida de baterias de dispositivos móveis, este estudo apresenta:

• Utilização de um novo conjunto de dados colhidos de uma plataforma de testes, a partir da aquisição de 8 baterias novas do tipo Lítio-Íon (Li-Ion) usadas em telefones celulares Nokia modelo N95;

• Modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando modelos paramé-tricos lineares presentes na teoria de Identicação de Sistemas.

• Modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando a estrutura Au-toRregressiva (AR), com boa acurácia, em tempo discreto e em tempo contínuo. • Análise comparativa do modelo AR em tempo discreto e em tempo contínuo, com o

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9

1.5 Estrutura do Documento

O presente trabalho organiza-se conforme a estrutura apresentada a seguir:

• O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográca sobre as principais propriedades e características de uma bateria, os tipos de baterias mais utilizadas atualmente, e os modelos matemáticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias encontrados na literatura técnica, procurando obter maiores conhecimentos sobre o objeto de estudo deste trabalho, a bateria.

• O Capítulo 3 dispõe os conceitos fundamentais da Teoria de Identicação de Siste-mas, ferramenta matemática utilizada para a construção dos modelos desenvolvidos nesta pesquisa. Ainda podem ser encontrados o estimador dos Mínimos Quadra-dos (MQ), utilizado para a estimação de parâmetros Quadra-dos modelos identicaQuadra-dos e do modelo RV, e os discretizadores Backward, Forward e Tustin, necessários para conversão do modelo identicado em domínio de tempo discreto para o domínio do tempo contínuo.

• O Capítulo 4 apresenta: (i) o processo de desenvolvimento para a construção de um modelo matemático através da Teoria de Identicação de Sistemas para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, (ii) os modelos estimados através dos dados coletados, e (iii) a conversão de domínio do tempo discreto para o domínio de tempo contínuo.

• O Capítulo 5 descreve o modelo RV, suas equações e os parâmetros estimados a partir de um conjunto de dados obtidos de uma plataforma de testes. Realiza-se, ainda, a comparação entre os modelos AR em tempo discreto e em tempo contínuo com o modelo RV através da análise dos resultados obtidos por estes.

• Por m, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste estudo e são apontados possíveis trabalhos futuros.

Capítulo 2

Revisão Bibliográca

2.1 Introdução

Neste capítulo são apresentados os conceitos básicos que envolvem baterias utiliza-das em dispositivos móveis, assim como uma revisão bibliográca dos tipos de baterias usadas atualmente nestes dispositivos e, também, dos principais modelos matemáticos apresentados na literatura técnica, para predição do tempo de vida das baterias.

Este capítulo está organizado como segue. Na Seção 2.2, são apresentados os conceitos básicos, ou seja, é realizada uma descrição da bateria, bem como suas propriedades e efeitos não lineares. Na Seção 2.3, são apresentados os tipos de baterias mais utilizados atualmente. E, por m, na Seção 2.4, são apresentados os principais modelos matemáticos para predição do tempo de vida de baterias, encontrados na literatura.

2.2 Baterias

Para o desenvolvimento deste estudo, torna-se necessário o conhecimento sobre o que é uma bateria, quais suas funções, composições, efeitos e propriedades. Sendo assim, a seguir apresentam-se as especicações detalhadas sobre tais conceitos.

2.2.1 Composição da Bateria

Uma bateria é composta por uma ou mais células eletroquímicas conectadas em para-lelo, série ou como uma combinação de ambos [1], onde a energia química é transformada em elétrica através de uma reação eletroquímica. Estas células eletroquímicas são com-postas por dois eletrodos1_{, chamados ânodo e cátodo, e um eletrólito}2 _{que separa os dois}

1_{Condutor metálico por onde uma corrente elétrica entra ou sai de um sistema [2].}

2_{Condutor de eletricidade (sólido ou líquido), no qual o transporte de carga se realiza por meio de}

íons [2].

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 11 eletrodos, como mostrado na Figura 2.1

Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica, [1].

Em um processo de descarga, no ânodo, ocorre uma reação de oxidação, onde um redutor doa M elétrons que são liberados ao circuito. Enquanto no cátodo, ocorre uma reação de redução, na qual são aceitos os M elétrons em troca de um oxidante.

Estas reações produzem duas importantes propriedades da bateria: a Voltagem (ex-pressa em volts "V") e a Capacidade (ex(ex-pressa em Àmpere-Hora "Ah"), cujo produto é a energia armazenada na bateria. Em uma bateria considerada ideal, a tensão é constante durante a descarga, tornando-se zero quando a bateria está descarregada.

Porém, em um caso real, alguns efeitos não-lineares estão presentes durante o processo de descarga, podendo afetar signicativamente a capacidade da bateria e o seu tempo de vida. Destaca-se que estes fenomênos ocorrem em todos os tipos de baterias, por outro lado, dependendo do tipo de bateria eles têm maiores ou menores consequências na sua capacidade [1, 3]. A seguir são apresentadas algumas características da bateria e seus efeitos não-lineares.

2.2.2 Caracterísiticas e Efeitos Não Lineares

Inicialmente são descritas duas características importantes das baterias: o nível de cuto e o tempo de vida. Logo após são descritas suas principais características não-lineares: o efeito de recuperação e o efeito de taxa de capacidade.

Nível de Cuto

O nível de Cuto é denido como o limite mínimo de carga (capacidade) em que a bateria pode gerar tensão suciente para manter o dispositivo em funcionamento. Quando este valor é atingido a bateria não é mais capaz de fornecer carga ao dispositivo móvel, sendo considerada descarregada.

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 12 Tempo de Vida

O tempo de vida de uma bateria é denido como o tempo que esta demora para atingir o nível de cuto.

Efeito de Recuperação

Durante o período de relaxação, ou seja, quando houver pouca ou nenhuma energia sendo drenada da bateria, ocorre uma reorganização dos elétrons no eletrólito. Isto gera um aumento na capacidade efetiva da bateria antes que esta atinja o nível de cuto, este efeito é denominado efeito de recuperação.

Na Figura 2.2 (A) é ilustrada a bateria completamente carregada e observa-se que a concentração de espécies eletroativas é constante durante todo o comprimento do eletrólito (w). Durante uma descarga, as reações eletroquímicas reduzem as espécies eletroativas próximas ao eletrodo (Figura 2.2 (B)). No instante em que ocorre uma redução signicativa na corrente de descarga, a bateria passa por um momento de relaxação, possibilitando a reorganização dos elétrons uniformemente, reequilibrando o sistema (Figura 2.2 (C)) e aumentando a concentração de espécies eletroativas nas proximidades do eletrodo até o gradiente de concentração car nulo, assim a capacidade efetiva da bateria também é aumentada (Figura 2.2 (D)) caracterizando o efeito de recuperação. Observa-se, no entanto, que esta quantidade de espécies eletroativas será menor que a concentração inicial. Por m, quando a bateria atinge um limite inferior ao de carga (nível de cuto), as reações eletroquímicas cessam, e a bateria é considerada descarregada (Figura 2.2 (E)) [12].

Efeito de Taxa de Capacidade

O efeito da Taxa de Capacidade depende da capacidade atual da bateria e da inten-sidade da corrente de descarga, em altas correntes de descarga, a capacidade efetiva é baixa, pois não há tempo para que as espécies eletroativas se reorganizem no eletrólito, assim menos carga é utilizada pelo sistema. Porém, em cargas alternadas, a capacidade efetiva é aumentada, pois quando a corrente de descarga passa de alta para baixa, ou mesmo quando não há uxo de corrente, os elétrons se reorganizam no eletrólito, ele-vando a quantidade de carga na superfície do eletrodo, assim, aumentando a capacidade efetiva da bateria [13].

2.3 Tipos de Baterias

Nesta seção são descritas as principais tecnologias de baterias desenvolvidas nas últi-mas décadas para atender a demanda de dispositivos portáteis, com uma maior ênfase na bateria que será utilizada neste estudo.

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 13

Figura 2.2: Diferentes estados de operação da bateria, [2,3].

2.3.1 Lítio-Íon e Lítio-Íon Polímero

Atualmente, as baterias de Lítio-Íon (Li-Ion) e Lítio-Íon Polímero (Li-Po) são utiliza-das em diversos dispositivos móveis, dentre eles, os mais famosos smartphones, o iPhone da Apple (Li-Po) e na linha Samsung Galaxy (Li-Ion). Estes dispositivos estão cada vez mais modernos e são utilizados para as mais diversas atividades do cotidiano. Com a expansão das indústrias, alcançando diferentes pontos do planeta, a tecnologia destes dis-positivos permite a comunicação e realização de reuniões, através de vídeo chamadas, o que gera conforto aos grandes empresários. Além de facilitar o acesso a rede sem o, pos-sibilitando a leitura de e-mails, a informação e a comunicação com os amigos e a família. Isto mostra a evolução da tecnologia e a importância destas baterias.

O lítio, elemento base na composição destas baterias, é o metal mais leve entre todos os metais conhecidos, além de ter o melhor potencial eletroquímico e a melhor relação entre peso e capacidade energética. É considerado, também, ideal para servir como ânodo de uma bateria devida imensa capacidade de energia.

Estuda-se a criação de baterias utilizando lítio há mais de 100 anos, por volta de 1912. Porém, foi somente na década de 70 que a primeira bateria foi criada e teve sua primeira comercialização no ano de 1991. As baterias de Li-Ion são possuidoras de densidade de energia signicativamente superior e com ciclo de vida aproximadamente duas vezes

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 14 maior, se comparada com uma bateria de Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH). Este tipo de bateria vem se destacando nos últimos anos e mostrando-se mais sensível as características das correntes de descarga, porém são mais caras que as baterias de Ni-MH. São bastante utilizadas em notebooks, PDAs e telefones celulares, devido seu maior tempo de vida [3,14]. A diferença entre as baterias de Li-Ion e Li-Po está no uso do cátodo. Nas baterias de Li-ion são utilizados como cátodo os elementos metálicos da bateria, e nas baterias de Li-Po são utilizados os polímeros, os quais podem ser à base de fosfato, manganês ou cobalto. Observa-se que os polímeros são materiais maleáveis, então as células que compõem a bateria de Li-Po apresentam o formato de bolsa, além disso, o material que envolve estas células é exível e dobrável, o que permite que estas baterias sejam menores e mais leves. Nas baterias de Li-Ion estas células são apresentadas, invariavelmente, em formato cilíndrico e são envolvidas por uma proteção rígida. Considerando a densidade de energia, as baterias de Li-Po possuem uma densidade maior, o que permite que esta ofereça mais carga ao dispositivo em uso se comparada com uma bateria de Li-Ion de mesmo tamanho. Com isto, pode-se perceber que a bateria de Li-Po leva vantagens sobre a bateria de Li-Ion, porém perde para a bateria de Li-Ion em uma questão importante que é o preço, as baterias de Li-Po são mais caras que as de Li-Ion.

Comparadas com os demais tipos de baterias, as baterias de lítio levam vantagem. Estas não sofrem com o "efeito de memória", ou seja, não se faz necessário dar uma carga completa para se utilizar do dispositivo ou descarregar totalmente a bateria para poder recarregá-la novamente. Com isso, diz-se que estas baterias não "viciam", porém, sofrem com o envelhecimento e consequente perda de desempenho.

2.3.2 Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH)

As baterias de Ni-MH utilizadas em notebooks possuem aproximadamente duas vezes mais densidade de energia do que as baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd). Porém, têm a desvantagem de serem caras, apresentam um curto ciclo de vida e são inecientes para altas taxas de descarga [3,14].

2.3.3 Níquel-Cádmio (Ni-Cd)

As baterias de Ni-Cd por várias décadas foram utilizadas com muito sucesso no de-senvolvimento de baterias recarregáveis para dispositivos móveis, porém estão perdendo espaço nos últimos anos, devido à toxidade e a baixa densidade de energia. Como vanta-gens dessas baterias podem ser citados o baixo custo e as altas taxas de descarga [3,14].

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 15

2.3.4 Alcalina Recarregável

Estas baterias vem sendo utilizadas por muitos anos e surgiram como uma alternativa de baixo custo, a qual acabou inuenciando negativamente no seu desempenho. Pois, mesmo tendo a sua densidade de energia e ciclo de vida superiores as baterias de Ni-Cd, após 10 ciclos, sua densidade é reduzida pela metade e, após 50 ciclos em 75% [3,14].

Na seção a seguir são apresentados os principais modelos matemáticos de baterias existentes na literatura para a predição do seu tempo de vida.

2.4 Modelos Matemáticos de Baterias

Ao longo do tempo e com o avanço tecnológico, diferentes tipos de modelos matemá-ticos foram desenvolvidos para a realização da predição do tempo de vida de baterias. Sendo assim, esta seção é dedicada a uma revisão bibliográca do estado da arte dos principais modelos matemáticos presentes na literatura técnica.

2.4.1 Modelos Eletroquímicos

Estes modelos são considerados mais precisos, pois baseiam-se nos processos químicos que ocorrem na bateria. Porém, devido ao grande número de parâmetros são conside-rados complexos e de difícil implementação. Doyle, Fuller e Newman [1], desenvolveram um modelo eletroquímico, para baterias de Li-Ion e Li-Po composto por seis EDPs não lineares. Atualmente este modelo esta implementado em um programa denominado For-tran Dualfoil o qual possui alto nível de exatidão. Sendo frequentemente utilizado para comparação com outros modelos, em substituição a utilização de dados experimentais [1,14].

2.4.2 Modelos Elétricos

Também conhecidos como modelos de circuitos elétricos, descrevem a bateria na forma de circuito, utilizando a combinação de componentes elétricos tais como, fontes, resistores, capacitores e indutores, sua simulação é de fácil compreensão, realizada em simuladores de circuito. A estrutura dos modelos elétricos para representar os diferentes tipos de baterias é a mesma, sendo dada por:

• Um capacitor que representa a capacidade da bateria;

• Uma taxa de descarga normalizadora que determina a perda de capacidade em altas correntes de descarga;

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 16 • Um circuito para o consumo (descarga) da bateria;

• Uma tabela de pesquisa da tensão versus estado da carga; • Um resistor representando a resistência da bateria.

Um modelo elétrico conhecido na literatura é denominado modelo Battery ele está presente na ferramenta computacional MatLab. Este modelo é conhecido pela praticidade no processo de extração de parâmetros, obtidos a partir de uma única curva real de descarga da bateria, em conjunto com os dados de seu datasheet3_{, caso já exista neste,}

uma curva real de descarga, não é necessária a realização de testes experimentais [15]. Porciúncula realizou uma avaliação do modelo elétrico Battery [15]. Neste estudo primeiramente foi realizada a comparação dos resultados simulados através do modelo elétrico Battery com os dados obtidos da simulação do modelo para Predizer Runtime e Característica V-I de uma bateria, que é um modelo elétrico de alta acurácia encontrado na literatura [4], considerando baterias do tipo Li-Ion, da marca Nokia, modelo BL-5F, e baterias de Li-Po PL-383562. A partir desta comparação [15] vericou que mesmo que os parâmetros do modelo Battery tenham sido retirados do datasheet da bateria os resultados foram satisfatórios, as diferenças, entre os modelos, nos erros de tempo de vida foram de apenas 0, 139% para correntes de descargas constantes, e de 1, 283% para correntes de descargas variáveis. Em um segundo momento foi realizada a comparação dos resultados simulados através do modelo elétrico Battery, com dados experimentais obtidos de uma plataforma de testes, para esta metodologia, tanto para descargas variáveis como para descargas constantes, foi vericado que os resultados foram satisfatórios, pois para a maioria das correntes consideradas, foi obtido um erro inferior a 5% [15].

2.4.3 Modelos Estocásticos

Este tipo de modelo descreve a descarga da bateria de uma forma mais abstrata que nos modelos elétricos e eletroquímicos. O efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos [1].

Neste modelo a bateria é representada por um número nito de unidades de carga e o comportamento de descarga da bateria é modelado utilizando um tempo discreto no processo transitório estocástico. Este processo evolui ao longo do tempo, o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de carga restantes. Em cada intervalo de tempo, a corrente média de descarga é medida e usada para determinar o número de unidade de carga consumida.

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 17 Quando esta média for diferente de zero, o número de unidades de carga drenada é obtido através de uma tabela de pesquisa ou de um gráco. No entanto, se em um intervalo, nenhuma corrente é drenada da bateria, ocorre o efeito de recuperação. Os modelos de Chiasserini e Rao e o modelo KiBaM Modicado, são exemplos de modelos estocásticos e são brevemente descritos a seguir, estes modelos foram desenvolvidos por [16] utilizando cadeias de Markov.

No modelo de Chiasserini e Rao, uma cadeia de Markov em tempo discreto, com N +1 estados, numerados de 0 a N, é utilizada para descrever a bateria. O número do estado corresponde a quantidade de carga disponível na bateria, N é o número de unidades de carga disponíveis com base no uso contínuo e a cada passo de tempo uma unidade é consumida, com probabilidade a1 = q, ou recuperada, com probabilidade a0 = 1 − q.

Quando a difusão chega a 0 ou quando um número máximo T4 _{de unidades de carga for}

consumido, a bateria é considerada descarregada.

O modelo KiBaM Modicado é apresentado como um versão ampliada do modelo de Chiasserini e Rao. Também é descrito por uma cadeia de Markov em tempo discreto, com N + 1 estados, porém, mais de uma unidade de carga podem ser consumidas em um mesmo passo de tempo, com um número máximo M de unidades de carga, onde M ≤ N, o que permite modelar um maior consumo de energia. Outro aspecto relevante é que surge a possibilidade de se manter em um mesmo estado, o que representa não haver nenhum consumo ou recuperação durante um passo de tempo.

Estes modelos serviram de base para o desenvolvimento de outros com algumas modi-cações dos primeiros. Um deles apresenta a probabilidade de recuperação dependente do estado, o que faz com que quanto menos unidades de carga estejam disponíveis, ou seja, quanto mais unidades de carga são consumidas, maior é o número fase5 _{(f), diminuindo}

a probabilidade de recuperação de carga.

Com probabilidade qi, onde i são as unidades de carga necessárias em um intervalo

de tempo, durante períodos ociosos, a bateria pode recuperar unidades de carga, com probabilidade pi(f ), ou permanecer no mesmo estado, com probabilidade rj(f ), sendo a

recuperação denida por

pi(f ) = q0e(N −j)gN −gC(f ), (2.1)

onde: gN e gC(f) dependem do comportamento de recuperação da bateria.

A principal investigação realizada por Chiasserini e Rao [10, 16] é uma propriedade que trata de um ganho (G) obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante, o qual é denido como

4_{Número de unidades de carga igual a capacidade teórica da bateria (T > N)} 5_{Função do número de cargas consumidas}

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 18

G = m

N (2.2)

onde: m é o número médio de pacotes transmitidos para diferentes N variando de 3 a 50. O ganho aumenta quando a descarga é reduzida, devida maior probabilidade de recuperação.

O modelo nal é utilizado para modelar baterias Li-Ion, com N congurado para aproximadamente 2 × 106 _{estados e são utilizadas 3 fases, resultando em uma cadeia de}

Markov de aproximadamente 6 × 106 estados. Os resultados deste modelo são analisados

por cálculos numéricos, comparados com o modelo eletroquímico de [17] e apresentam um desvio médio em torno de 4% quando comparados com os resultados do modelo eletroquímico, de desvio padrão de 1%, o que demonstra que este modelo descreve bem o comportamento de baterias sobre descargas pulsantes.

Chiasserini e Rao [6,9,17] ainda propuseram um modelo estocástico baseado no modelo analítico Cinético de Manwell e McGowan [6] (KiBaM), que é utilizado para modelar baterias Ni-MH, ao invés da bateria de chumbo ácido, como proposto pelo modelo KiBaM original. Este modelo, sofreu algumas modicações, no termo correspondente ao uxo da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível, foi adicionado um fator h2, deixando a recuperação mais lenta quando houver uma menor quantidade de carga

na fonte de carga limitada. Além disso, passou a ser considerada a possibilidade de não ocorrer recuperação durante períodos ociosos. Novamente, as cadeias de Markov no tempo discreto transiente representaram o comportamento da bateria, onde os estados são marcados pelos parâmetros i, j, t, com i e j sendo, respectivamente, os níveis discretizados da carga disponível e da carga limitada, e t sendo o tempo de corrente ociosa, ou seja, quantidade de passos no tempo realizados após a última vez que a corrente foi drenada da bateria. Nestes estudos os modelos estocásticos mostram-se bastante acurados, uma vez que o modelo KiBaM Modicado apresentou um erro médio de 2, 65% [1,3].

2.4.4 Modelos Híbridos

Os modelos híbridos são apresentados como uma nova classe de modelos matemáticos para a predição do tempo de vida de baterias, podendo reunir as vantagens de dois ou mais tipos de modelos. Recentemente, foi desenvolvido um modelo híbrido, conforme ilustrado na Figura 2.3, a partir da conexão de um modelo elétrico, denominado modelo para Predizer Runtime e Característica V-I de uma bateria, e um modelo analítico, o modelo cinético KiBaM [5]. Destaca-se que o modelo KiBaM é capaz de capturar os efeitos não lineares da bateria, e o modelo elétrico é capaz de capturar as características dinâmicas da bateria e a resposta da tensão de forma acurada. Uma descrição detalhada

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 19 das equações do modelo híbrido pode ser encontrada em [5].

Figura 2.3: Proposta do modelo híbrido [5].

2.4.5 Modelos Analíticos

Os modelos analíticos, descrevem a bateria em um nível mais elevado de abstração. Utilizam um número menor de equações e possuem um menor número de parâmetros a serem estimados, o que os torna mais fáceis de implementar, se comparados com os mode-los elétricos e eletroquímicos. Ainda são exíveis podendo ser congurados para baterias especícas. Podem ser utilizados considerando correntes de descargas constantes e des-cargas variáveis, e capturam os efeitos não lineares que ocorrem na bateria (i.e. efeito de Taxa de Capacidade e efeito de Recuperação). Dentre estes modelos podem ser citados: o modelo Linear [2,6,14], a Lei de Peukert [1,6,11], o modelo Cinético ou KiBaM (Kinetic Battery Model) [1,6] e o modelo RV [6,11,12]. Estes modelos serão apresentados a seguir.

Modelo Linear

O modelo Linear é considerado o modelo mais simples entre os analíticos, considera a bateria como um recipiente linear de corrente, sendo descrito pela equação,

C = C0 − Itd, (2.3)

onde: C é a capacidade restante da bateria, C0

é a capacidade inicial, I é a corrente de descarga constante durante a operação, e td é o tempo de duração. Assim, a capacidade

remanescente será calculada sempre que a taxa de descarga mudar [2]. Lei de Peukert

É um modelo simples que descreve partes dos efeitos não lineares da bateria, ou seja, captura o efeito da taxa de capacidade, mas não considera o efeito de recuperação [1,6,11]. Para o cálculo do tempo de vida de baterias, usando descargas constantes, é utilizada a equação,

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 20

L = a

Ib, (2.4)

onde: I é a corrente de descarga, a e b são os parâmetros que precisam ser estimados a partir de dados experimentais, e L é o tempo de vida aproximado da bateria.

Modelo Cinético ou KiBaM

Este modelo distribui a carga da bateria em duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada. Pode-se vericar uma representação do modelo KiBaM na Figura 2.4, onde c é uma fração da capacidade total de carga da bateria, 1 − c é a capacidade restante da carga da bateria, I é a corrente de descarga, k é a razão do uxo de carga entre as fontes de carga disponível e de carga limitada, h1 e h2são as alturas das fontes de carga

disponível e limitada, respectivamente, e, y1 e y2 são, respectivamente, as quantidades de

carga na fonte de carga disponível e na fonte de carga limitada.

Figura 2.4: Modelo cinético com distribuição em duas fontes, [6].

A fonte de carga disponível fornece elétrons diretamente a corrente I, enquanto a fonte de carga limitada disponibiliza elétrons somente a fonte de carga disponível [12]. As fontes de carga tem sua altura dada por:

h1 = y1 c , h2 = y2 1 − c. (2.5) O sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) dado por

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 21 ( _dy 1 dt = −i(t) + k(h2− h1), dy2 dt = −k(h2− h1). (2.6) com as condições iniciais

y1(0) = c.C,

y2(0) = (1 − c).C

(2.7) permite obter a variação de carga em ambas as fontes, onde C é a capacidade total da bateria.

No momento em que se aplica uma descarga à bateria, reduz-se a carga disponível o que aumenta a diferença entre as alturas das fontes. Quando esta descarga deixar de ser aplicada ocorre um uxo de carga da fonte de carga limitada para a fonte de carga dispo-nível, igualando as alturas h1 e h2 das fontes. Nestes momentos de inatividade do sistema,

o tempo de vida da bateria se estende, sendo maior do que enquanto uma descarga está sendo aplicada continuamente. Isto mostra que o efeito de recuperação é considerado neste modelo. O efeito de taxa de capacidade também é considerado, pois, a carga dis-ponível é drenada mais rapidamente para correntes de descarga (i(t) = I) altas, o que não permite tempo para que a carga limitada possa uir em direção a carga disponível, igualando novamente as alturas. Isto faz com que mais carga que, sem ser utilizada, na fonte de carga limitada e a capacidade efetiva da bateria é reduzida. Quando não houver mais carga na fonte de carga disponível a bateria é considerada descarregada.

Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula

Apresentado pela literatura técnica como o mais acurado entre os modelos analíticos, o modelo RV é descrito pelas leis de Fick, através de um sistema de EDPs, com condições de contorno de segunda espécie. Este modelo descreve a evolução da concentração das espécies eletroativas no eletrólito da bateria e tem por nalidade calcular o tempo de vida de uma bateria submetida a uma determinada corrente de descarga [6,11,12]. Possui dois parâmetros que devem ser estimados, α, que representa a capacidade, e o β que representa uma não linearidade da bateria.

Em [11] Rakhmatov e Vrudhula comparam o seu modelo com o programa de simulação Dualfoil, e com uma versão estendida da Lei de Peukert, na qual é possível utilizar cargas variáveis. Os resultados de simulação obtidos no simulador Dualfoil são usados como valores de referência. Para 10 pers de cargas contínuas, o modelo RV prediz o tempo de

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 22 vida com um erro médio de 3%, e um erro máximo de 6% em comparação com os resultados obtidos utilizando-se do programa Dualfoil. Por outro lado, a Lei de Peukert apresentou um erro médio de 14% e um erro máximo de 43%. A Lei de Peukert tem sido utilizada de forma satisfatória para cargas baixas, mas os erros aumentam signicativamente para cargas altas. Para cargas variáveis e interrompidas, o modelo RV apresenta os melhores resultados, ou seja, um erro máximo de 2, 7% e um erro médio abaixo de 1%. Neste cenário, a Lei de Peukert não apresenta bons resultados, principalmente por não considerar um efeito não-linear importante na bateria, que é o efeito de recuperação [3].

Em [13] é realizada uma análise comparativa entre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert e modelo RV [13]. Como tanto para a Lei de Peukert, como para o modelo RV é necessário realizar a estimação dos parâmetros, α e β, foram utilizadas duas metodolo-gias: a primeira foi baseada nos estudos de Gauss, onde este sugere que para estimação de parâmetros sejam usados, no mínimo, tantos dados quantos forem os parâmetros a serem estimados; a segunda, foi a metodologia clássica utilizada em [11], juntamente com o método dos Mínimos Quadrados (MQ). A escolha pela metodologia de Gauss se deu devido ao fato de que o autor buscava reduzir a quantidade de pers de descarga necessá-rios para estimar os parâmetros dos modelos e com isso percebeu ser interessante realizar a comparação entre estas duas metodologias a m de testar sua acurácia na estimação de parâmetros, juntamente com o método MQ.

Da pesquisa de [13] pode-se vericar que entre os modelos comparados, o que mostrou melhores resultados foi o modelo RV, apresentando um erro médio de 5, 71% para descar-gas constantes e 6, 53% para descardescar-gas variáveis, conrmando que o modelo RV é o mais acurado entre os modelos analíticos, como apresentado pela literatura. A metodologia de Gauss, para estimação de parâmetros, mostrou-se eciente, reduzindo signicativamente o número de correntes de descarga necessárias para a estimação de parâmetros, mantendo um bom nível de acurácia dos modelos.

2.4.6 Modelos Via Teoria da Identicação de Sistemas

A teoria da Identicação de Sistemas é um procedimento alternativo que busca encon-trar um modelo matemático que representa, pelo menos em parte, a relação de causa e efeito contida em um conjunto de dados. As estruturas de modelos presentes nesta teoria são [7, 18]: os modelos paramétricos lineares, dos quais podem ser citados os modelos: Autorregressivo (AR), Autorregressivo com Entradas Externas (ARX), Autorregressivo com Médias Móveis e Entradas Externas (ARMAX), de Erro na Saída (ES) e Box-Jenkins (BJ); os modelos paramétricos não lineares, dentre os quais apresentam-se o modelo Au-torregressivo com Entradas Externas Não Linear (NARX) e modelo AuAu-torregressivo com Médias Móveis e Entradas Externas Não Linear (NARMAX); e, por m, os modelos não

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 23 paramétricos, que são dados no domínio da frequência, dentre os quais pode ser citado o modelo de Análise Espectral.

Em [12], foi realizado o desenvolvimento de um modelo matemático considerando estruturas de modelos paramétricas lineares, mais especicamente, os modelos ARX, AR-MAX, ES e BJ, da teoria de Identicação de Sistemas para o cálculo da predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. A escolha destes modelos ocorreu devido ao fato de não existir, na literatura técnica, pesquisas relacionadas a pre-dição do tempo de vida de baterias que utilizam esta teoria. Além disto, estes modelos são considerados simples e de fácil implementação adequando-se a maioria dos casos a estudar, sendo considerados do tipo caixa cinza/preta, uma vez que necessitam de pouco ou nenhum conhecimento prévio do processo que se está querendo modelar.

Ainda em [12], todos os modelos foram implementados na ferramenta computacio-nal MatLab, por este software possuir um conjunto de ferramentas/bibliotecas destinada, exclusivamente ao trabalho com Identicação de Sistemas, denominada Ident. As simula-ções computacionais foram realizadas considerando um conjunto de dados proveniente de uma plataforma de testes, onde os pers de descarga referem-se a uma bateria de Li-Ion presente em telefones celulares da marca Nokia.

Uma das principais características do trabalho apresentado em [12] é que os dados simulados foram comparados com dados reais provenientes de um ambiente de testes. O que é considerado um diferencial na pesquisa, pois, em geral, os trabalhos correlatos fazem uso de simuladores (um simulador frequentemente utilizado é o DualFoil) que possuem signicativa acurácia mas, ainda assim, não podem ser comparados a dados reais.

Os modelos ARX, ARMAX, ES e BJ foram validados e foi determinado que o modelo mais acurado foi o modelo ARX em tempo discreto para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, pois este apresentou a melhor acurácia com erro médio de 3, 39%, quando comparado com os demais modelos simulados e com os dados provenientes da plataforma de testes. Objetivando a obtenção de um modelo de mais fácil manipulação e mais realista, que permite encontrar o tempo de vida de baterias para diferentes pers de descarga, foi realizada a conversão do modelo ARX em tempo discreto para o tempo contínuo utilizando-se dois discretizadores o ZOH e o Tustin. Em seguida, foi realizada uma análise comparativa entre os modelos ARX em tempo contínuo, e o modelo ARX no qual foi utilizado o discretizador Tustin foi mais acurado apresentando erro médio de 7, 39%, quando comparado com os dados provenientes da plataforma de testes.

Por m, foi realizada a comparação dos modelos ARX em tempo discreto e em tempo contínuo com o modelo RV, que é o modelo analítico de melhor acurácia encontrado na literatura para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. A

Capítulo 2. Revisão Bibliográca 24 partir dos resultados das simulações foi constatado que o modelo ARX em tempo contínuo apresentou um erro médio de 7, 39%, o modelo RV apresentou um erro médio de 5, 68% e o modelo ARX em tempo discreto apresentou um erro médio de 3, 39%, quando comparados com os dados obtidos da plataforma de testes [12].

No próximo capítulo, são descritos os conceitos básicos da teoria de Identicação de Sistemas utilizados neste trabalho para modelagem da predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis.

Capítulo 3

Identicação de Sistemas

3.1 Introdução

A Teoria de Identicação de Sistemas é um procedimento alternativo utilizado para en-contrar um modelo matemático que representa, aproximadamente, a relação causa-efeito presente em um conjunto de dados [7]. Neste contexto, neste capítulo são apresentados os conceitos básicos necessários para o entendimento da modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias utilizando a teoria de Identicação de Sistemas.

O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.2, é apresentada uma breve revisão de como trabalhar com dados. Nas Seções 3.3 e 3.4, são apresentadas, respectivamente, uma revisão sobre a modelagem matemática utilizando esta teoria, e uma descrição das estruturas de modelos paramétricas lineares que são as estruturas escolhidas para a realização da modelagem matemática desenvolvida neste trabalho. Na sequência, nas Seções 3.5 e 3.6 são expostas as etapas norteadoras para o desenvolvimento da modelagem e utilização das estruturas de modelos. Como os modelos desta teoria possuem parâmetros que devem ser estimados na Seção 3.7 é apresentado o método de estimação dos Mínimos Quadrados. Na Seção 3.8 são descritas formas para validação de modelos. E, por m, na Seção 3.9 são explanados os discretizadores que são utilizados neste estudo para converter os modelos, de tempo discreto para contínuo.

3.2 Trabalhando com Dados

Para trabalhar com conjuntos de dados gerados através de observações sobre um de-terminado fenômeno ou experimento, utiliza-se de um método cientíco. Este é denido por um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um m que se deseja [19]. Dentre os métodos cientícos, são apresentados os métodos experimental e estatístico.

Capítulo 3. Identicação de Sistemas 26 O método experimental mantém constantes os fatores do estudo, exceto um, o qual é escolhido pelo pesquisador conforme a necessidade do estudo. Este irá variar para que se descubram possíveis efeitos por ele gerados [19]. Como em muitos casos não é possível manter os fatores constantes variando apenas um deles, ca inviável a utilização do método experimental. Assim, surge como opção o método estatístico. Este método consiste em variar todos os fatores, efetuando as devidas anotações destas variações e buscando saber qual inuência cabe a cada fator.

Como neste estudo será utilizado o conceito de método estatístico, as etapas do seu desenvolvimento são brevemente apresentadas a seguir [19]:

• Coleta de dados: a partir da realização, do planejamento e do conhecimento das características do fenômeno que será estudado, é realizada a coleta de dados, que pode ser direta ou indireta.

• Crítica dos dados: Após a obtenção dos dados, é executada uma busca cuidadosa pelas eventuais falhas e imperfeições dos mesmos, para que sejam evitados possíveis erros consideráveis no desenvolvimento do estudo. Esta crítica pode ser dita externa quando se buscam erros causados por distrações, má interpretação das perguntas de um questionário, ocasionando respostas não signicativas ou falhas por meio dos informantes entrevistados no estudo. E é dita interna quando realizada a observação dos dados originais da coleta.

• Apresentação dos dados: Para maior facilidade no manuseio, entendimento e visu-alização dos dados, seja por parte do pesquisador ou de possíveis utilizadores do estudo. Seja qual for a nalidade, esses dados devem ser apresentados de forma clara e concisa. Desta forma, esta apresentação de dados pode ser feita através de tabelas ou grácos.

• Análise dos resultados: Por m, realizados os passos descritos até então, é necessário executar a análise dos resultados do estudo, através dela, são extraídas as suas conclusões, buscando perceber a possibilidade de mais experimentos e estudos para que sejam atingidos os objetivos estabelecidos para tal.

3.3 Modelagem Matemática a partir da Teoria da

Iden-ticação de Sistemas

Para melhor compreensão dos modelos matemáticos da teoria da Identicação de Sis-temas, é relevante que haja entendimento do conceito de Séries Temporais, assunto

encon-Capítulo 3. Identicação de Sistemas 27 trado em livros de Econometria. Série Temporal é denida, portanto, como um conjunto de observações ordenadas e realizadas no decorrer do tempo [18]. São exemplos:

• Concentração de elétrons no eletrólito de uma bateria a cada período de uma hora; • Crescimento da soja ou aveia de semana em semana;

• Registros da força exercida por um braço mecânico, no decorrer do tempo; • Quantidade de bactérias no leite a cada coleta.

Dois enfoques são dados na análise de Séries Temporais, onde em ambos, busca-se a construção de modelos com propósitos determinados. No primeiro enfoque, realiza-se a análise no domínio do tempo, onde são propostos modelos paramétricos. Enquanto no segundo, a análise é desenvolvida no domínio de frequências, propondo-se assim, modelos não-paramétricos.

Pode-se citar os modelos ARIMA como exemplos de modelos paramétricos. No do-mínio de frequências têm-se a análise espectral, a qual possui inúmeras aplicações em ciências físicas e engenharias.

Os objetivos da análise de Séries Temporais constituem-se em [18]: • Investigar o mecanismo gerador da série temporal;

• Fazer previsões de valores futuros da série, em curto ou em longo prazo;

• Descrever o comportamento da série, através da construção de grácos, histogramas, diagramas de dispersão, vericando a existência de tendências, ciclos e variações sazonais, entre outros.

Com isso, busca-se para a realização destes objetivos, a construção de modelos probabi-lísticos ou estocásticos, ou ainda a apropriação destes para determinada série. Diferentes situações encontradas nas ciências físicas, engenharias e ciências biológicas apresentam sistemas dinâmicos, os quais se caracterizam por terem uma série de entrada u(t), outra de saída y(t), e uma função de transferência s(t).

Com isso, surgem vários problemas de interesse:

• Estimar os parâmetros da função de transferência s(t), conhecendo-se as séries de entrada e saída;

• Fazer previsões da série y(t), com o conhecimento de observações da série de entrada u(t);

Capítulo 3. Identicação de Sistemas 28 • Controlar a série de saída y(t), de modo a aproximá-lo do valor desejado, ajustando-a convenientemente ajustando-a série de entrajustando-adajustando-a u(t). Este controle é necessário devido ajustando-a perturbações que normalmente afetam um sistema dinâmico.

Vários fatores inuenciam na construção destes modelos, como exemplos aparecem o comportamento do fenômeno ou o conhecimento obtido de sua natureza e do objetivo de sua análise, a existência de métodos otimizados de estimação e a disponibilidade de softwares adequados.

3.4 Modelos Paramétricos Lineares da Identicação de

Sistemas

É de grande importância para o desenvolvimento deste estudo, conhecer a forma geral e os operadores utilizados no desenvolvimento das estruturas de modelos paramétricos lineares da Teoria da Identicação de Sistemas. Assim sendo, a forma geral destes modelos [7] é dada por

A(q)y(k) = B(q)

F (q)u(k) + C(q)

D(q)v(k), (3.1)

dividindo a equação (3.1) pelo termo A(q), tem-se

y(k) = B(q)

A(q)F (q)u(k) +

C(q)

A(q)D(q)v(k), (3.2)

substituindo as funções de transferência B(q) A(q)F (q) e

C(q)

A(q)D(q), respectivamente, por M(q) e

N (q), chega-se a

y(k) = M (q)u(k) + N (q)v(k), (3.3)

onde: M(q) e N(q) são, respectivamente, as funções de transferência do processo e do ruído, y(k) é a saída, u(k) é a entrada do sistema, v(k) é o ruído branco1 _{e A(q), B(q),}

C(q), D(q) e F (q) são polinômios de regressores denidos a seguir

1_{Acontece quando cada valor da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar correlação}

Capítulo 3. Identicação de Sistemas 29 A(q) = 1 − a1q−1− ... − anyq −ny_; B(q) = b1q−1+ ... + bnuq −nu_; C(q) = 1 + c1q−1+ ... + cncq −nc_; D(q) = 1 + d1q−1+ ... + dndq −nd_; F (q) = 1 + f1q−1+ ... + fnfq −nf_.

onde: q−n_{é o operador de atraso, de forma que y(k)q}−1 _{= y(k − 1)[7,20], a}

1...any, b1...bnu,

c1...and, d1...dne e f1...fnf são parâmetros que precisam ser estimados, e ny, nu, nc, nd, nf

são as ordens dos polinômios.

O modelo apresentado pela equação (3.1) é denominado modelo Autorregressivo Inte-grado de Médias Móveis com Entradas Externas (ARIMAX) e denido de ordem (p,d,q,r), ou seja, ARIMAX(p,d,q,r), onde p é a ordem do processo autorregressivo (saída), d é a ordem dada pelo número de diferenças necessárias para tornar o processo estacionário, mais detalhes são abordados na Seção 3.6, q é a ordem da média móvel e r é a ordem referente a entrada. Os demais modelos paramétricos lineares podem ser obtidos a partir da variação dessas ordens fazendo-as nulas ou não, o que pode ser visto na Figura 3.1.

Figura 3.1: Classicação dos modelos paramétricos lineares de acordo com a ordem

3.4.1 Modelo Autorregressivo

O modelo Autorregressivo (AR) é considerado o modelo mais simples dentre os modelos paramétricos lineares, este modelo faz uso apenas das saídas do sistema, relacionando a saída atual com suas saídas anteriores através de um polinômio de regressores. Este modelo é dito de ordem p, ou seja, AR(p), e obtido da equação geral (equação (3.1))

Capítulo 3. Identicação de Sistemas 30 fazendo os polinômios B(q) = C(q) = D(q) = F (q) = 1, A(q) é um polinômio arbitrário de autoregressores da saída. Sua equação é dada por

A(q)y(k) = v(k). (3.4)

Dividindo a equação (3.4) pelo polinômio A(q), obtém-se o modelo AR em sua forma de função de transferência

y(k) = 1

A(q)v(k). (3.5)

O modelo AR pode ser melhor visualizado no diagrama de blocos da Figura 3.2.

Figura 3.2: Diagrama de blocos do modelo AR.

3.4.2 Modelo Autorregressivo com Entradas Externas

O modelo Autorregressivo com Entradas Externas (ARX), da mesma forma que o Mo-delo AR, relaciona a saída atual do sistema com suas saídas anteriores através de um po-linômio de regressores. Porém, este considera também, a existência de uma fonte externa que inuencia no comportamento do sistema, a esta fonte chama-se entrada externa. É considerado de ordem (p,r), ou seja, ARX(p,r), e obtido do modelo geral, (equação (3.1)), fazendo C(q) = D(q) = F (q) = 1, A(q) e B(q) são polinômios aleatórios onde A(q) é um polinômio de regressores da saída e B(q) é um polinômio de regressores da entrada. Assim, sua equação é dada por

A(q)y(k) = B(q)u(k) + v(k). (3.6)

Dividindo a equação (3.6) por A(q), tem-se a equação do modelo ARX na forma de função de transferência