Para obtenção do modelo em domínio de tempo contínuo, foram utilizados três dis- cretizadores, o Tustin, o Forward e o Backward, apresentados no Capítulo 3, Seção 3.9. Vale ressaltar que, durante o processo de conversão do domínio de tempo discreto para contínuo ou vice-versa, pode haver perda de informação. Sendo assim, há possibilidades de se obter um modelo menos acurado do que o original.
Para o desenvolvimento desta tarefa foram aplicadas duas metodologias. A primeira considera o modelo AR na forma de uma equação à diferenças homogênea, a qual surge de uma EDO. Em seguida, busca-se obter os parâmetros da EDO realizando a compa- ração desta, discretizada, com a equação do modelo AR. Esta metodologia é dividida nos seguintes passos: (i) utiliza-se uma EDO de mesma ordem do modelo AR, escrita no
Capítulo 4. Modelagem Matemática 55 domínio de Laplace, através da aplicação da Transformada de Laplace, (ii) utiliza-se os discretizadores, os quais permitem escrever a EDO inicial na forma de equação à dife- renças, (iii) Por m, realiza-se a comparação dos parâmetros da EDO discretizada com a equação do modelo AR, o que torna possível encontrar os parâmetros da EDO original, (iv) soluciona-se a EDO e encontra-se o modelo em tempo contínuo. A outra metodologia é realizada com o modelo AR na forma de função de transferência, seu desenvolvimento ocorre, primeiramente, pela aplicação dos discretizadores, com o intuito de trazer o mo- delo de domínio de tempo discreto (Z) para o domínio de Laplace, em seguida aplica-se a transformada de Laplace inversa, o que permite encontrar a equação do modelo contínuo. Esta metodologia pode ser aplicada pois, segundo [20], a transformada Z no domínio de tempo discreto é equivalente a transformada de Laplace no domínio de tempo contínuo.
4.7.1 Conversão do Modelo AR: Tustin e primeira metodologia
Para conversão do modelo AR por Tustin, utilizando da primeira metodologia, a equa- ção (4.10) é reescrita, considerando v(k) nulo, ou seja
y[k] − 1, 169529y[k − 1] + 0, 27506y[k − 2] − 0, 001597y[k − 3] = 0. (4.14) Neste momento, considera-se uma EDO de terceira ordem, dada por
Ad 3 dt3y(t) + B d2 dt2y(t) + C d dty(t) + Dy(t) = 0 (4.15)
em seguida aplica-se a Transformada de Laplace na equação (4.15), considerando as con- dições iniciais x(0) = x0(0) = x”(0) = 0, então obtém-se a equação
As3Y (s) + Bs2Y (s) + CsY (s) + D = 0. (4.16)
Substituindo s pelo discretizador Tustin, ou seja, s = 2(z−1)
T s(z+1), considerando T s = 100
encontra-se a equação à diferenças dada por
(A + 50B + 2500C + 125000D)y[k]+ (−3A − 50B + 2500C + 375000D)y[k − 1]+
(3A − 50B − 2500C + 375000D)y[k − 2]+ (−A + 50B − 2500C + 125000D) = 0.
(4.17)
Comparando os parâmetros da EDO discretizada, equação (4.17), com os parâmetros do modelo AR, equação (4.14), obtém-se os seguintes parâmetros para a EDO discretizada A = 0, 03822164, B = 0, 00121652, C = 0, 00000975 e D = 0, 000000013. Substituindo
Capítulo 4. Modelagem Matemática 56 estes parâmetros na equação (4.15), tem-se
0, 03822164d 3 dt3y(t) + 0, 00121652 d2 dt2y(t) + 0, 00000975 d dty(t) + 0, 000000013y(t) = 0 (4.18) resolvendo a EDO, encontra-se como solução geral
y(t) = C1e−0,019823t + C2e−0,010348t+ C3e−0,001657t. (4.19)
Para encontrar a solução particular realiza-se um ajuste de curvas considerando os dados y(100) = 595, 36, y(200) = 297, 64 e y(300) = 193, 81, o que permite encontrar o valor das constantes, C1 = 710, 053438, C2 = 786, 04646e C3 = 257, 607533. Substituindo
o valor das contantes na equação (4.19), obtém-se o modelo contínuo para o AR de ordem três.
y(t) = 710, 053438e−0,019823t+ 786, 04646e−0,010348t+ 257, 607533e−0,001657t. (4.20)
4.7.2 Conversão do Modelo AR: Forward e primeira metodologia
Como a ordem do modelo é a mesma, o processo desenvolvido na subseção anterior, até a equação (4.16), também será o mesmo, sendo assim, substituindo s pelo discretizador Forward, ou seja, s = (z−1)
T s , considerando T s = 100 e operando, chega-se a equação à
diferenças a seguir
Ay[k] + (−3A + 100B)y[k − 1] + (3A − 200B + 10000C)y[k − 2]+
(−A + 100B − 10000C + 1000000D)y[k − 3] = 0. (4.21)
Comparando os parâmetros da EDO discretizada, equação (4.21), com os parâmetros do modelo AR, Equação (4.14), obtém-se os parâmetros da EDO discretizada que são A = 1, B = 0, 0183047125, C = 0, 0000936002 e D = 0, 0000001039. Substituindo estes parâmetros na Equação (4.15), tem-se
d3 dt3y(t) + 0, 0183047125 d2 dt2y(t) + 0, 0000936002 d dty(t) + 0, 0000001039y(t) = 0 (4.22) resolvendo a EDO, encontra-se como solução geral
Capítulo 4. Modelagem Matemática 57 Para encontrar a solução particular considera-se um ajuste de curvas a partir dos dados y(100) = 595, 36, y(200) = 297, 64 e y(300) = 193, 81, o que permite encontrar o valor das constantes, C1 = 1891, 935163, C2 = −720, 252705 e C3 = 301, 625046. Substituindo
o valor das contantes na equação (4.23), obtém-se o modelo contínuo para o AR de ordem três.
y(t) = 1891, 935163e−0,00994t− 720, 252705e−0,006834t+ 301, 625046e−0.00153t. (4.24)
4.7.3 Conversão do Modelo AR: Backward e primeira metodolo-
gia
Como para o discretizador Backward, os parâmetros encontrados para a EDO não trouxeram resultados positivos, a conversão do modelo AR para domínio contínuo, por este discretizador, não será apresentada.
4.7.4 Conversão do Modelo AR: Forward e segunda metodologia
Para conversão do modelo AR por Forward, utilizando a segunda metodologia, este será considerado na forma de função de transferência dada pela equação (4.11))
1 A(z) =
1
1 − 1, 169529z−1+ 0, 27506z−2− 0, 001597z−3 (4.25)
substituindo nesta equação a variável z pelo discretizador Forward, ou seja, sT s + 1 e considerando T s = 100, busca-se converter, o modelo AR para domínio do tempo contínuo. Sendo assim, realizando as subtituições citadas anteriormente, encontram-se as funções de transferência, da equação (4.11)) , no domínio de Laplace
1 A(s) =
s3+ 0, 03s2+ 0, 0003s + 0, 000001
s3+ 0, 01830471s2+ 0, 0000936002s + 0, 000000103934. (4.26)
Aplicando Transformada de Laplace Inversa na Equação (4.26), e substituindo-as na equação do modelo AR, tem-se
y(k) = (0, 000097e−0,00994k− 0, 002083e−0,006834k + 0, 01368e−0,00153k)v(k). (4.27) Quando se converte um modelo do domínio discreto para o contínuo, os resultados estão normalizados. Sendo assim, considera-se v(k), no domínio discreto ou domínio Z, como impulsos unitários, passando para o domínio de Laplace seu valor passa a ser 1,
Capítulo 4. Modelagem Matemática 58 porém, como os resultados são obtidos normalizados, o valor tanto da entrada quanto do ruído são considerados constantes assim, faz-se v(k) = G, a esta constante chama-se ganho [20]. Substituindo v(k) = G na equação (4.27), chega-se no modelo AR em domínio contínuo, obtido através do discretizador Forward.
y(k) = G(0, 000097e−0,00994k− 0, 002083e−0,006834k + 0, 01368e−0,00153k). (4.28) Porém, ainda é necessário calcular a constante G, o ganho. Foram utilizadas três metodologias para o cálculo desta constante. A primeira foi o cálculo da média dos valores de descarga, utilizados para estimação dos parâmetros, Tabela 4.1 obtendo G1 = 500.
A segunda, utilizou-se os dados experimentais de estimação de parâmetros em com- paração com os resultados obtidos pela equação do modelo, encontrada sem a inclusão do ganho. Dividiu-se os valores experimentais, para o tempo de vida, pelos resultados obti- dos pelo modelo para os mesmos per s de descarga. Realizou-se a média dos quocientes obtidos o que permitiu encontrar o valor para a constante, G2 = 24192, 0254.
Por m, a terceira metodologia constou do método de cálculo da constante de uma EDO, ou seja, subtitui-se uma condição inicial na equação do modelo, o que permitiu encontrar o valor do ganho. A condição inicial utilizada foi y(100) = 595, 36 e o ganho calculado foi G3 = 55519, 6408.
Assim, substituindo cada constante na Equação (4.28), os modelos contínuos cam respectivamente
y(k) = 500(0, 000097e−0,00994k− 0, 002083e−0,006834k+ 0, 01368e−0,00153k), (4.29)
y(k) = 24192, 0254(0, 000097e−0,00994k− 0, 002083e−0,006834k+ 0, 01368e−0,00153k), (4.30) e
y(k) = 55519, 6408(0, 000097e−0,00994k− 0, 002083e−0,006834k+ 0, 01368e−0,00153k). (4.31) Os Ganhos obtidos pelas primeira e terceira metodologia, mostraram-se insatisfatórios, obtendo erro médio superior a 100% sendo assim, somente a estrutura encontrada em domínio de tempo contínuo para o modelo AR, através do discretizador Forward e para o ganho obtido pela segunda metodologia, será comparada com as demais estruturas de
Capítulo 4. Modelagem Matemática 59 modelo contínuo encontradas.
4.7.5 Conversão do Modelo AR: Tustin, Backward e segunda me-
todologia
A conversão do modelo AR pelos discretizadores Backward e Tustin, não obteve bons resultados, apresentando até valores negativos para o tempo de vida da bateria, como, também, erro médio maior do que 100%. Sendo assim, estas não serão apresentadas.